Единица (алгебра)

Не следует путать с обратимым элементом.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

В алгебре (а частности, в теории колец) единица — двусторонний нейтральный элемент операции «умножение» (англ. multiplicative identity). Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей, и тому подобное. Обозначается единица как правило цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I.

Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.

Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы, что может вносить путаницу.

Единица, нуль и теория категорий

В зависимости от алгебраической структуры и её точного определения равенство 1 = 0 может быть как запрещено, так и разрешено, однако там, где такое равенство имеет место, объект тривиален. Поле имеет единицу по определению и требуется 1 ≠ 0, так что всякое поле содержит как минимум два различных элемента. В категории Ring колец с единицей тривиальное кольцо является терминальным объектом.

Связанные понятия

Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.

Обратимость

Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

<math>\exist v_1: v_1\,u = 1</math>

<math>\exist v_2: u\,v_2 = 1</math>

Из ассоциативности умножения следует, что в таком случае v₁ = v₂, откуда опять-таки следует, что выбор единственен.

Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами (англ. unity, фр. unité), но это понятие шире, нежели конкретный нейтральный элемент 1. Например, в поле обратим всякий элемент, отличный от нуля.

Идемпотентность

Если e ∈ R — идемпотент в кольце, и идеалы e R и R e совпадают, то e является там (в подкольце) единицей.

Добавление единицы

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:

<math>(a_1 + \mu_1{\mathbf 1})(a_2 + \mu_2{\mathbf 1}) = a_1 a_2 + \mu_1 a_2 + \mu_2 a_1 + \mu_1 \mu_2{\mathbf 1}</math>

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.

С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над Z.

В градуированных алгебрах

В градуированной алгебре, единица (если существует) обязана иметь степень 0.

Примеры

• 1 (число): в целых, рациональных, действительных, и других числах
• Единичная матрица: см. умножение матриц
• Тождественный оператор в операторных алгебрах
• Многочлен 1 (нулевой степени) в кольце многочленов

См. также

• Обратимый элемент

Отрывок, характеризующий Единица (алгебра)

– Здесь генерал? – спросил адъютант, подходя к кургану.
– Сейчас были, поехали сюда, – указывая вправо, отвечали ему.
Адъютант оглянулся на Пьера, как бы не зная, что ему теперь с ним делать.
– Не беспокойтесь, – сказал Пьер. – Я пойду на курган, можно?
– Да пойдите, оттуда все видно и не так опасно. А я заеду за вами.
Пьер пошел на батарею, и адъютант поехал дальше. Больше они не видались, и уже гораздо после Пьер узнал, что этому адъютанту в этот день оторвало руку.
Курган, на который вошел Пьер, был то знаменитое (потом известное у русских под именем курганной батареи, или батареи Раевского, а у французов под именем la grande redoute, la fatale redoute, la redoute du centre [большого редута, рокового редута, центрального редута] место, вокруг которого положены десятки тысяч людей и которое французы считали важнейшим пунктом позиции.
Редут этот состоял из кургана, на котором с трех сторон были выкопаны канавы. В окопанном канавами место стояли десять стрелявших пушек, высунутых в отверстие валов.
В линию с курганом стояли с обеих сторон пушки, тоже беспрестанно стрелявшие. Немного позади пушек стояли пехотные войска. Входя на этот курган, Пьер никак не думал, что это окопанное небольшими канавами место, на котором стояло и стреляло несколько пушек, было самое важное место в сражении.
Пьеру, напротив, казалось, что это место (именно потому, что он находился на нем) было одно из самых незначительных мест сражения.
Войдя на курган, Пьер сел в конце канавы, окружающей батарею, и с бессознательно радостной улыбкой смотрел на то, что делалось вокруг него. Изредка Пьер все с той же улыбкой вставал и, стараясь не помешать солдатам, заряжавшим и накатывавшим орудия, беспрестанно пробегавшим мимо него с сумками и зарядами, прохаживался по батарее. Пушки с этой батареи беспрестанно одна за другой стреляли, оглушая своими звуками и застилая всю окрестность пороховым дымом.
В противность той жуткости, которая чувствовалась между пехотными солдатами прикрытия, здесь, на батарее, где небольшое количество людей, занятых делом, бело ограничено, отделено от других канавой, – здесь чувствовалось одинаковое и общее всем, как бы семейное оживление.
Появление невоенной фигуры Пьера в белой шляпе сначала неприятно поразило этих людей. Солдаты, проходя мимо его, удивленно и даже испуганно косились на его фигуру. Старший артиллерийский офицер, высокий, с длинными ногами, рябой человек, как будто для того, чтобы посмотреть на действие крайнего орудия, подошел к Пьеру и любопытно посмотрел на него.
Молоденький круглолицый офицерик, еще совершенный ребенок, очевидно, только что выпущенный из корпуса, распоряжаясь весьма старательно порученными ему двумя пушками, строго обратился к Пьеру.
– Господин, позвольте вас попросить с дороги, – сказал он ему, – здесь нельзя.
Солдаты неодобрительно покачивали головами, глядя на Пьера. Но когда все убедились, что этот человек в белой шляпе не только не делал ничего дурного, но или смирно сидел на откосе вала, или с робкой улыбкой, учтиво сторонясь перед солдатами, прохаживался по батарее под выстрелами так же спокойно, как по бульвару, тогда понемногу чувство недоброжелательного недоуменья к нему стало переходить в ласковое и шутливое участие, подобное тому, которое солдаты имеют к своим животным: собакам, петухам, козлам и вообще животным, живущим при воинских командах. Солдаты эти сейчас же мысленно приняли Пьера в свою семью, присвоили себе и дали ему прозвище. «Наш барин» прозвали его и про него ласково смеялись между собой.