Жёсткая система

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Жёсткой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) называется (нестрого говоря) такая система ОДУ, численное решение которой явными методами (например, методами Рунге — Кутты или Адамса) является неудовлетворительным из-за резкого увеличения числа вычислений (при малом шаге интегрирования) или из-за резкого возрастания погрешности (так называемого, взрыва погрешности) при недостаточно малом шаге. Для жёстких систем характерно то, что для них неявные методы дают лучший результат, обычно несравненно более хороший, чем явные методы[1].





Формальное определение

Рассмотрим задачу Коши для автономной системы ОДУ вида

{{{2}}} (1)

где <math>\mathbf{y}(x)</math> — неизвестная вектор-функция, <math>\mathbf{F}(\mathbf{y})</math> — заданная вектор-функция, <math>x</math> — независимая переменная, <math>\mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y}_0</math> — начальное условие.

Система (1) называется жёсткой, если для любых начальных значений <math>\mathbf{y}(x_0)=\mathbf{y}_0</math> на заданном отрезке <math>[x_0,\;x_\mathrm{end}]</math>, принадлежащем интервалу существования решения (1), выполнены условия:

<math>0<L\leqslant\rho\left(\frac{\partial\mathbf{y}(x)}{\partial x}\right)\leqslant\left\|\frac{\partial\mathbf{y}(x)}{\partial x}\right\|=\left\|\left.\frac{\partial K(x+\xi,\;x)}{\partial\xi}\right|_{\xi=0}\right\|<+\infty,\quad x_0\leqslant x\leqslant x_\mathrm{end};</math>
  • существуют такие числа <math>\xi_\mathrm{b}</math>, <math>N</math>, <math>\nu</math>, которые удовлетворяют условиям:
<math>0<\xi_\mathrm{b}\ll x_\mathrm{end},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant\nu\leqslant p,\quad 0<\xi_\mathrm{b}\leqslant x+\xi_\mathrm{b}\leqslant x+\xi\leqslant x_\mathrm{end};</math>
  • справедливо следующие неравенство:
<math>\left\|\frac{\partial^\nu K(x+\xi,\;x)}{\partial\xi^\nu}\right\|\leqslant\left(\frac{L}{N}\right)^\nu.</math>

Здесь

<math>K(x+\xi,\;x)=X(x+\xi)X^{-1}(x);</math>
<math>X(x)</math> — фундаментальная матрица уравнения в вариациях для системы (1);
<math>\|A\|=\|A\|_m=\max_i\sum_{j=1}^m|a_{ij}|</math> — матричная <math>m</math>-норма.
<math>\xi_\mathrm{b}</math> — так называемая, длина (параметр) пограничного слоя.

К жёстким дифференциальным системам ОДУ также относятся системы, для которых эти условия выполняются после масштабирования компонент вектора <math>\mathrm{y}(x)</math> на каждом решении.

Так как любую неавтономную систему ОДУ порядка <math>m</math>, можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию, то неавтономная система ОДУ называется жёсткой, если жёсткой является равносильная ей автономная система порядка <math>m+1</math>.

Напишите отзыв о статье "Жёсткая система"

Литература

  • Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 685 с. — ISBN 5-03-003117-0..
  • Curtiss C. F., Hirschfelder J. О. [www.pnas.org/content/38/3/235.full.pdf Integration of stiff equations] // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1952. — vol. 38(3). — pp. 235—243.

Ссылки

  • [www.keldysh.ru/comma/html/ode/stiff.html Жесткие системы ОДУ]
  • [www.exponenta.ru/educat/class/courses/ode/theme15/theory.asp Обыкновенные дифференциальные уравнения. Занятие 15. Жесткие системы дифференциальных уравнений. Теоретическая справка]

Примечания

  1. Curtiss C. F., Hirschfelder J. О. [www.pnas.org/content/38/3/235.full.pdf Integration of stiff equations] // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1952. — vol. 38(3). — pp. 235—243.

Отрывок, характеризующий Жёсткая система

Перонская была уже готова. Несмотря на ее старость и некрасивость, у нее происходило точно то же, что у Ростовых, хотя не с такой торопливостью (для нее это было дело привычное), но также было надушено, вымыто, напудрено старое, некрасивое тело, также старательно промыто за ушами, и даже, и так же, как у Ростовых, старая горничная восторженно любовалась нарядом своей госпожи, когда она в желтом платье с шифром вышла в гостиную. Перонская похвалила туалеты Ростовых.
Ростовы похвалили ее вкус и туалет, и, бережа прически и платья, в одиннадцать часов разместились по каретам и поехали.


Наташа с утра этого дня не имела ни минуты свободы, и ни разу не успела подумать о том, что предстоит ей.
В сыром, холодном воздухе, в тесноте и неполной темноте колыхающейся кареты, она в первый раз живо представила себе то, что ожидает ее там, на бале, в освещенных залах – музыка, цветы, танцы, государь, вся блестящая молодежь Петербурга. То, что ее ожидало, было так прекрасно, что она не верила даже тому, что это будет: так это было несообразно с впечатлением холода, тесноты и темноты кареты. Она поняла всё то, что ее ожидает, только тогда, когда, пройдя по красному сукну подъезда, она вошла в сени, сняла шубу и пошла рядом с Соней впереди матери между цветами по освещенной лестнице. Только тогда она вспомнила, как ей надо было себя держать на бале и постаралась принять ту величественную манеру, которую она считала необходимой для девушки на бале. Но к счастью ее она почувствовала, что глаза ее разбегались: она ничего не видела ясно, пульс ее забил сто раз в минуту, и кровь стала стучать у ее сердца. Она не могла принять той манеры, которая бы сделала ее смешною, и шла, замирая от волнения и стараясь всеми силами только скрыть его. И эта то была та самая манера, которая более всего шла к ней. Впереди и сзади их, так же тихо переговариваясь и так же в бальных платьях, входили гости. Зеркала по лестнице отражали дам в белых, голубых, розовых платьях, с бриллиантами и жемчугами на открытых руках и шеях.
Наташа смотрела в зеркала и в отражении не могла отличить себя от других. Всё смешивалось в одну блестящую процессию. При входе в первую залу, равномерный гул голосов, шагов, приветствий – оглушил Наташу; свет и блеск еще более ослепил ее. Хозяин и хозяйка, уже полчаса стоявшие у входной двери и говорившие одни и те же слова входившим: «charme de vous voir», [в восхищении, что вижу вас,] так же встретили и Ростовых с Перонской.
Две девочки в белых платьях, с одинаковыми розами в черных волосах, одинаково присели, но невольно хозяйка остановила дольше свой взгляд на тоненькой Наташе. Она посмотрела на нее, и ей одной особенно улыбнулась в придачу к своей хозяйской улыбке. Глядя на нее, хозяйка вспомнила, может быть, и свое золотое, невозвратное девичье время, и свой первый бал. Хозяин тоже проводил глазами Наташу и спросил у графа, которая его дочь?
– Charmante! [Очаровательна!] – сказал он, поцеловав кончики своих пальцев.
В зале стояли гости, теснясь у входной двери, ожидая государя. Графиня поместилась в первых рядах этой толпы. Наташа слышала и чувствовала, что несколько голосов спросили про нее и смотрели на нее. Она поняла, что она понравилась тем, которые обратили на нее внимание, и это наблюдение несколько успокоило ее.
«Есть такие же, как и мы, есть и хуже нас» – подумала она.