Действие группы

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Определения

Действие слева

Говорят, что группа <math>G</math> действует слева на множестве <math>M</math>, если задан гомоморфизм <math>\Phi\colon G\to S(M)</math> из группы <math>G</math> в симметрическую группу <math>S(M)</math> множества <math>M</math>. Для краткости <math>(\Phi(g))(m)</math> часто записывают как <math>gm</math>, <math>g\cdot m</math> или <math>g.m</math>. Элементы группы <math>G</math> называются в этом случае преобразованиями, а сама группа <math>G</math> — группой преобразований множества <math>M</math>.

Другими словами, группа <math>G</math> действует слева на множестве <math>M</math>, если задано отображение <math>G\times M\to M</math>. обозначаемое <math>(g,m)= gm</math>, такое что

1. <math>(gh)m=g(hm)</math> для всех <math>g,\;h\in G</math>, <math>m\in M</math> и
2. <math>em=m</math>, где <math>e</math> — нейтральный элемент группы <math>G</math>. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу <math>M</math> его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы <math>G</math> на <math>M</math> задаётся гомоморфизмом <math>\rho: G^{op} \to S(M)</math>, где <math>G^{op}</math> — инверсная группа группы <math>G</math>. При этом часто используют сокращенное обозначение: <math>\rho(g)(m) =: xg</math>. При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

1. <math>m(gh) = (mg)h,</math>
2. <math>me = m.</math>

Комментарии

• Любое правое действие группы <math>G</math> — это левое действие <math>G^{op}</math>. Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение <math>g \mapsto g^{-1}</math>), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
• Если множество <math>M</math> снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение <math>m\mapsto gm</math> сохраняет эту структуру.
  • Например, если <math>M</math> — топологическое пространство, то <math>m\mapsto gm</math> предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется непрерывным действием.

Типы действий

• Свободное, если для любых различных <math>g,\;h\in G</math> и любого <math>m\in M</math> выполняется <math>gm\ne hm</math>.
• Транзитивное если для любых <math>m,\;n\in M</math> существует <math>g\in G</math> такой, что <math>gm=n</math>. Другими словами, действие транзитивно, если <math>Gm=M</math> для любого элемента <math>m\in M</math>.
• Эффективное, если для любых двух элементов <math>g\ne h</math> в <math>G</math> существует <math>m\in M</math> такой, что <math>gm\ne hm</math>.
• Вполне разрывное, если для любого компактного множества <math>K</math>, множество всех <math> g \in G</math>, для которых пересечение <math>K \cap gK</math> непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие <math>\rho: G \to \mathrm{X}</math> топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

• Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
  • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.

Орбиты

Подмножество

<math>Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M</math>

называется орбитой элемента <math>m\in M</math>.

Действие группы <math>G</math> на множестве <math>M</math> определяет на нём отношение эквивалентности

<math>\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).</math>

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно <math>k</math>, то

<math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,</math>

где <math>m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M</math> попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия <math>k=1</math>.

Стабилизаторы

Подмножество

<math>G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G</math>

является подгруппой группы <math>G</math> и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента <math>m\in M</math>.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если <math>n\,\sim_{_G}\,m</math>, то найдется такой элемент <math>g\in G</math>, что

<math>G_m=gG_ng^{-1}.</math>

Количество элементов в орбите

<math>|Gm|=[G:G_m]</math>, <math>G_m</math> — стабилизатор элемента <math>m</math> и <math>[G:G_m]</math> — индекс подгруппы <math>G_m\subset G</math>, в случае конечных групп равен <math>\frac{|G|}{|G_m|}</math>.

Если <math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k</math>, то

<math>|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]</math> — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. <math>\forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;</math>
2. <math>\sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;</math>
3. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, <math>M=G</math> и гомоморфизм <math>\Phi:G\to S(G)</math> задан как <math>(\Phi(g))(h)=gh</math>.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, <math>(\Phi(g))(h)=hg^{-1}</math>.

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения <math>G\times G</math> на <math>M=G</math> с гомоморфизмом <math>\Phi:G\times G\to S(G)</math> заданным как <math>(\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}</math>.

Сопряжениями

Пусть <math>M=G</math> и гомоморфизм <math>\Phi:G\to S(G)</math> задан как <math>(\Phi(g))(h)=ghg^{-1}</math>. При этом для каждого элемента <math>h\in G</math> стабилизатор <math>G_h</math> совпадает с централизатором <math>C(h)</math>:

<math>G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).</math>

Например, для элемента <math>h</math> из центра группы <math>G</math> (то есть <math>h\in Z(G)</math>) имеем <math>C(h)=G</math> и <math>G_h=G</math>.

Вариации и обобщения

• Псевдогруппа преобразований

См. также

• Представление группы

Литература

• Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..

Отрывок, характеризующий Действие группы

Третья рота была последняя, и Кутузов задумался, видимо припоминая что то. Князь Андрей выступил из свиты и по французски тихо сказал:
– Вы приказали напомнить о разжалованном Долохове в этом полку.
– Где тут Долохов? – спросил Кутузов.
Долохов, уже переодетый в солдатскую серую шинель, не дожидался, чтоб его вызвали. Стройная фигура белокурого с ясными голубыми глазами солдата выступила из фронта. Он подошел к главнокомандующему и сделал на караул.
– Претензия? – нахмурившись слегка, спросил Кутузов.
– Это Долохов, – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Кутузов. – Надеюсь, что этот урок тебя исправит, служи хорошенько. Государь милостив. И я не забуду тебя, ежели ты заслужишь.
Голубые ясные глаза смотрели на главнокомандующего так же дерзко, как и на полкового командира, как будто своим выражением разрывая завесу условности, отделявшую так далеко главнокомандующего от солдата.
– Об одном прошу, ваше высокопревосходительство, – сказал он своим звучным, твердым, неспешащим голосом. – Прошу дать мне случай загладить мою вину и доказать мою преданность государю императору и России.
Кутузов отвернулся. На лице его промелькнула та же улыбка глаз, как и в то время, когда он отвернулся от капитана Тимохина. Он отвернулся и поморщился, как будто хотел выразить этим, что всё, что ему сказал Долохов, и всё, что он мог сказать ему, он давно, давно знает, что всё это уже прискучило ему и что всё это совсем не то, что нужно. Он отвернулся и направился к коляске.
Полк разобрался ротами и направился к назначенным квартирам невдалеке от Браунау, где надеялся обуться, одеться и отдохнуть после трудных переходов.
– Вы на меня не претендуете, Прохор Игнатьич? – сказал полковой командир, объезжая двигавшуюся к месту 3 ю роту и подъезжая к шедшему впереди ее капитану Тимохину. Лицо полкового командира выражало после счастливо отбытого смотра неудержимую радость. – Служба царская… нельзя… другой раз во фронте оборвешь… Сам извинюсь первый, вы меня знаете… Очень благодарил! – И он протянул руку ротному.
– Помилуйте, генерал, да смею ли я! – отвечал капитан, краснея носом, улыбаясь и раскрывая улыбкой недостаток двух передних зубов, выбитых прикладом под Измаилом.
– Да господину Долохову передайте, что я его не забуду, чтоб он был спокоен. Да скажите, пожалуйста, я всё хотел спросить, что он, как себя ведет? И всё…
– По службе очень исправен, ваше превосходительство… но карахтер… – сказал Тимохин.
– А что, что характер? – спросил полковой командир.
– Находит, ваше превосходительство, днями, – говорил капитан, – то и умен, и учен, и добр. А то зверь. В Польше убил было жида, изволите знать…
– Ну да, ну да, – сказал полковой командир, – всё надо пожалеть молодого человека в несчастии. Ведь большие связи… Так вы того…
– Слушаю, ваше превосходительство, – сказал Тимохин, улыбкой давая чувствовать, что он понимает желания начальника.
– Ну да, ну да.
Полковой командир отыскал в рядах Долохова и придержал лошадь.
– До первого дела – эполеты, – сказал он ему.
Долохов оглянулся, ничего не сказал и не изменил выражения своего насмешливо улыбающегося рта.
– Ну, вот и хорошо, – продолжал полковой командир. – Людям по чарке водки от меня, – прибавил он, чтобы солдаты слышали. – Благодарю всех! Слава Богу! – И он, обогнав роту, подъехал к другой.
– Что ж, он, право, хороший человек; с ним служить можно, – сказал Тимохин субалтерн офицеру, шедшему подле него.
– Одно слово, червонный!… (полкового командира прозвали червонным королем) – смеясь, сказал субалтерн офицер.
Счастливое расположение духа начальства после смотра перешло и к солдатам. Рота шла весело. Со всех сторон переговаривались солдатские голоса.
– Как же сказывали, Кутузов кривой, об одном глазу?
– А то нет! Вовсе кривой.
– Не… брат, глазастее тебя. Сапоги и подвертки – всё оглядел…
– Как он, братец ты мой, глянет на ноги мне… ну! думаю…
– А другой то австрияк, с ним был, словно мелом вымазан. Как мука, белый. Я чай, как амуницию чистят!
– Что, Федешоу!… сказывал он, что ли, когда стражения начнутся, ты ближе стоял? Говорили всё, в Брунове сам Бунапарте стоит.
– Бунапарте стоит! ишь врет, дура! Чего не знает! Теперь пруссак бунтует. Австрияк его, значит, усмиряет. Как он замирится, тогда и с Бунапартом война откроется. А то, говорит, в Брунове Бунапарте стоит! То то и видно, что дурак. Ты слушай больше.
– Вишь черти квартирьеры! Пятая рота, гляди, уже в деревню заворачивает, они кашу сварят, а мы еще до места не дойдем.
– Дай сухарика то, чорт.
– А табаку то вчера дал? То то, брат. Ну, на, Бог с тобой.
– Хоть бы привал сделали, а то еще верст пять пропрем не емши.
– То то любо было, как немцы нам коляски подавали. Едешь, знай: важно!
– А здесь, братец, народ вовсе оголтелый пошел. Там всё как будто поляк был, всё русской короны; а нынче, брат, сплошной немец пошел.
– Песенники вперед! – послышался крик капитана.
И перед роту с разных рядов выбежало человек двадцать. Барабанщик запевало обернулся лицом к песенникам, и, махнув рукой, затянул протяжную солдатскую песню, начинавшуюся: «Не заря ли, солнышко занималося…» и кончавшуюся словами: «То то, братцы, будет слава нам с Каменскиим отцом…» Песня эта была сложена в Турции и пелась теперь в Австрии, только с тем изменением, что на место «Каменскиим отцом» вставляли слова: «Кутузовым отцом».
Оторвав по солдатски эти последние слова и махнув руками, как будто он бросал что то на землю, барабанщик, сухой и красивый солдат лет сорока, строго оглянул солдат песенников и зажмурился. Потом, убедившись, что все глаза устремлены на него, он как будто осторожно приподнял обеими руками какую то невидимую, драгоценную вещь над головой, подержал ее так несколько секунд и вдруг отчаянно бросил ее:
Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.