Задача Кеплера в общей теории относительности

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
   Общая теория относительности
<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,</math>
Гравитация
Математическая формулировка
Космология
См. также: Портал:Физика

Задача Кеплера вообще представляет собой проблему отыскания движения двух сферически-симметричных тел, взаимодействующих гравитационно. В классической теории тяготения решение этой проблемы было найдено самим Исааком Ньютоном: оказалось, что тела будут двигаться по коническим сечениям, в зависимости от начальных условий — по эллипсам, параболам или гиперболам. В рамках общей теории относительности (ОТО) с пуристической точки зрения эта задача представляется плохо поставленной, так как модель абсолютно твёрдого тела невозможна в релятивистской физике (смотри Парадокс Белла, Твёрдость по Борну), а не абсолютно твёрдые тела не будут при взаимодействии сферически-симметричными. Другой подход включает переход к точечным телам, правомерный в ньютоновской физике, но вызывающий проблемы в ОТО. Помимо этого, кроме положений и скоростей тел необходимо задать также и начальное гравитационное поле (метрику) во всём пространстве — проблема начальных условий в ОТО. В силу указанных причин точного аналитического решения задачи Кеплера в ОТО не существует (аналогично задаче трёх тел в ньютоновской теории тяготения), но есть комплекс методов, позволяющих рассчитать поведение тел в рамках данной задачи с необходимой точностью: приближение пробного тела, постньютоновский формализм, численная относительность. В статье часто и без напоминаний подразумевается, что гравитационное поле — это то же самое, что и пространство-время.





Содержание

Исторический контекст

Основной источник: [1]

В 1859 году французский астроном, директор Парижской обсерватории Урбен Жан Жозеф Леверье нашёл, что прецессия орбиты Меркурия, определённая из наблюдений, не совсем совпадает с теоретически предсказанной — перигелий орбиты движется чуть быстрее, чем следует из теории Ньютона после учёта всех межпланетных возмущений[2]. Эффект был малым — 38" в столетие, но значительно превышал ошибки измерений — примерно 1". Значение открытия было велико и многие физики, астрономы и небесные механики XIX века занимались этим вопросом. Было предложено множество решений в рамках классической физики, самыми известными были: наличие невидимого облака межпланетной пыли вблизи Солнца, сплюснутость (квадрупольный момент) Солнца, ненайденный спутник Меркурия или новая более близкая к Солнцу планета Вулкан[3][4]. Так как ни одно из этих объяснений не выдержало проверки наблюдениями, некоторые физики начали выдвигать более радикальные гипотезы, что необходимо изменять сам закон тяготения, например, менять в нём показатель степени или добавлять в потенциал члены, зависящие от скорости тел[5].

Однако большинство таких попыток оказались противоречивыми. В своих трудах по небесной механике[6] Лаплас показал, что если гравитационное взаимодействие между двумя телами не действует мгновенно (что эквивалентно введению потенциала, зависящего от скоростей), то в системе движущихся планет не будет сохраняться импульс — часть импульса будет передаваться гравитационному полю, аналогично тому, как это происходит при электромагнитном взаимодействии зарядов в электродинамике. С ньютоновой точки зрения, если гравитационное воздействие передаётся с конечной скоростью и не зависит от скоростей тел, то все точки планеты должны притягиваться к точке, где Солнце было несколько раньше, а не к одновременному его месторасположению. На этом основании Лаплас показал, что эксцентриситет и большие полуоси орбит в задаче Кеплера с конечной скоростью гравитации должны расти со временем — испытывать вековые изменения. Из верхних пределов на изменения этих величин, следующие из устойчивости Солнечной системы и движения Луны, Лаплас показал, что скорость распространения гравитационного ньютонова взамодействия не может быть ниже 50 миллионов скоростей света[3][5].

Сообщается ли притяжение от одного тела к другому мгновенно? Время передачи, если бы оно было для нас заметно, обнаружилось бы преимущественно вековым ускорением в движении Луны. Я предлагал это средство для объяснения ускорения, замеченного в упомянутом движении, и нашёл, что для удовлетворения наблюдениям должно приписать притягательной силе скорость в семь миллионов раз большую, чем скорость светового луча. А так как ныне причина векового уравнения — Луны хорошо известна, то мы можем утверждать, что притяжение передается со скоростью, по крайней мере в пятьдесят миллионов раз превосходящей скорость света. Поэтому, не опасаясь какой либо заметной погрешности, мы можем принимать передачу тяготения за мгновенную.

П. С. Лаплас Изложение системы Мира Париж, 1797.[7]

Метод Лапласа корректен для прямых обобщений ньютоновой гравитации, но может быть не применим к более сложным моделям. Так, например, в электродинамике движущиеся заряды притягиваются/отталкиваются не от видимых положений других зарядов, а от положений, которые они занимали бы в настоящее время, если бы двигались от видимых положений равномерно и прямолинейно — это является свойством потенциалов Лиенара — Вихерта[8]. Аналогичное рассмотрение в рамках общей теории относительности приводит к такому же результату с точностью до членов порядка <math>(v/c)^3</math>[9].

В попытках избежать изложенных проблем между 1870 и 1900 годами множество учёных пытались использовать законы гравитационного взаимодействия, основанные на электродинамических потенциалах Вебера, Гаусса, Римана и Максвелла[10]. В 1890 году Леви удалось получить стабильные орбиты и нужную величину сдвига перигелия путём комбинации законов Вебера и Римана. Другая успешная попытка была предпринята П. Гербером в 1898 году. Тем не менее, так как исходные электродинамические потенциалы оказались неверными (например, закон Вебера не вошёл в окончательную теорию электромагнетизма Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты как произвольные[1][11]. Некоторые другие попытки, такие как теория Г. Лоренца (1900 год), которые уже использовали теорию Максвелла, давали слишком малую прецессию[3][12].

Около 1904—1905 годов работы Х. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна заложили фундамент специальной теории относительности, исключив возможность распространения любых взаимодействий быстрее, чем со скоростью света. Таким образом, встала задача заменить ньютоновский закон гравитации на другой, совместимый с принципом относительности, но дающий при малых скоростях и гравитационных полях почти ньютоновские эффекты. Такие попытки были сделаны А. Пуанкаре (1905 и 1906), Г. Минковским (1908) и А. Зоммерфельдом (1910). Однако все рассмотренные модели давали слишком малую величину сдвига перигелия[12][13].

В 1907 году Эйнштейн пришёл к выводу, что для описания гравитационного поля необходимо обобщить тогдашнюю теорию относительности, сейчас называемую специальной. От 1907 по 1915 год Эйнштейн последовательно шёл к новой теории, используя в качестве путеводного свой принцип относительности. Согласно этому принципу однородное гравитационное поле действует одинаковым образом на всю материю и, следовательно, не может быть найдено свободно падающим наблюдателем. Соответственно, все локальные гравитационные эффекты воспроизводимы в ускоренно движущейся системе отсчёта и наоборот. Поэтому гравитация действует как сила инерции, возникающая из-за ускорения системы отсчёта, — такая как центробежная сила или сила Кориолиса; подобно всем этим силам гравитационная сила пропорциональна инертной массе. Как следствие этого обстоятельства получается, что в различных точках пространства-времени инерциальные системы отсчёта имеют ускорения друг относительно друга. Это возможно описать, только если пожертвовать классическим предположением о том, что наше пространство описывается евклидовой геометрией, и перейти к искривлённому пространству римановой геометрии. Более того, искривлённой оказывается связь пространства и времени, которая и проявляется как сила гравитации в обычных условиях[14]. После восьми лет работы (1907—1915) Эйнштейн нашёл закон, показывающий, как пространство-время искривляется находящейся в нём материей — уравнения Эйнштейна. Гравитация отличается от сил инерции тем, что вызывается кривизной пространства-времени, которая может быть измерена инвариантно. Первые же решения полученных уравнений, полученные Эйнштейном (приближённо) и Шварцшильдом (точно), объяснили аномальную прецессию Меркурия и предсказали удвоенную величину отклонения света по сравнению с предыдущими эвристическими оценками. Это предсказание теории было подтверждено в 1919 году английскими астрономами.

Приближение пробного тела

В этом подходе считается, что масса одного тела m пренебрежимо мала по сравнению с массой второго M; это неплохое приближение даже для планет, вращающихся вокруг Солнца, и практически идеальное для космических аппаратов. В таком случае можно считать, что первое тело является пробным, то есть оно не вносит возмущений в гравитационное поле второго тела, а лишь следует по геодезическим линиям формируемого вторым телом пространства-времени. Так как обычно задача двух тел рассматривается в масштабах, намного меньше космологических, то влиянием лямбда-члена на метрику можно пренебречь и гравитационное поле любого сферически-симметричного тела будет даваться решением Шварцшильда. Движение лёгкого тела, называемого в дальнейшем частицей, таким образом происходит по геодезическим пространства Шварцшильда, если пренебречь приливными силами и реакцией гравитационного излучения.

Именно в этом приближении Эйнштейном была впервые вычислена аномальная прецессия перигелия Меркурия, что послужило первым подтверждением общей теории относительности и решило одну из известнейших на тот момент проблем небесной механики. Это же приближение достаточно точно описывает отклонение света, другое знаменитое явление, предсказанное общей теорией относительности. В то же время оно не достаточно для описания процесса релятивистского сокращения орбит из-за гравитационного излучения.

Геометрическое введение

В обычной евклидовой геометрии верна теорема Пифагора, которая утверждает, что квадрат расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками в пространстве равен сумме квадратов дифференциалов координат

<math>

ds^{2} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}, \,\! </math>

где dx, dy и dz представляют собой бесконечно малые разности между координатами точек по осям x, y и z декартовой системы координат. Теперь представим себе мир, в котором это уже неверно, а расстояния задаются соотношением

<math>

ds^{2} = F(x, y, z) dx^{2} + G(x, y, z) dy^{2} + H(x, y, z)dz^{2}, \,\! </math>

где F, G и H — некоторые функции положения. Это нетрудно вообразить, так как мы живём в таком мире: поверхность Земли изогнута, так что её нельзя без искажений представить на плоской карте. Недекартовы координатные системы также могут быть примером: в сферических координатах (r, θ, φ) евклидово расстояние записывается как

<math>

ds^{2} = dr^{2} + r^{2} d\theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}. \,\! </math>

Наконец, в общем случае мы должны допустить, что линейки могут менять свою координатную длину не только при смене положения, но и при поворотах. Это приводит к появлению перекрёстных членов в выражении для длины

<math>

ds^{2} = g_{xx} dx^{2} + g_{xy} dx dy + g_{xz} dx dz + g_{yy} dy^{2} + g_{yz} dy dz + g_{zz} dz^{2} \,\! </math>

где 6 функций gxx, gxy и так далее преобразуются при смене координат как компоненты тензора, называемого метрическим (или просто метрикой), который определяет все характеристики пространства в этой обобщённой римановой геометрии. В сферических координатах, например, в метрике нет перекрёстных членов, а единственные её ненулевые компоненты — это grr = 1, gθθ = r² и gφφ = r² sin² θ.

Отметим специально, что после задания метрического тензора в какой-то системе координат вся геометрия риманова пространства оказывается жёстко заданной, и не меняется при преобразованиях координат. Проще говоря, координаты — это произвольные числа, которые лишь указывают на точку пространства, а расстояние, измеренное физической линейкой между двумя зафиксированными точками, не зависит от того, какие координаты мы им присваиваем — является инвариантом при смене координатных сеток.

В специальной теории относительности Альберт Эйнштейн показал, что расстояние ds между двумя точками в пространстве не является инвариантом, а зависит от движения наблюдателя. Это расстояние оказывается проекцией на одновременное пространство истинно инвариантной величины — интервала, не зависящей от движения наблюдателя, но включающей в себя помимо пространственных также и временную координату точек пространства-времени, называемых при этом событиями

<math>

ds^2 = c^{2} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}. \,\! </math>

Аналогично можно переписать интервал в сферических координатах

<math>

ds^2 = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}. \,\! </math>

Эта формула представляет собой естественное обобщение теоремы Пифагора и справедлива в отсутствие кривизны пространства-времени. В общей же теории относительности пространство-время искривлено, так что «расстояние» выражается общей формулой

<math>

ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}, \,\! </math>

где применено правило суммирования Эйнштейна — по индексу, встречающемуся сверху и снизу, подразумевается суммирование по всем его значениям, в данном случае — четырём (трём пространственным и одной временной координате). Точные значения компонент метрики определяются распределением гравитирующего вещества, его массы, энергии и импульса, через уравнения Эйнштейна. Эйнштейн вывел эти уравнения, исходя из известных законов сохранения энергии и импульса; однако решения этих уравнений предсказали ненаблюдавшиеся ранее явления, типа отклонения света, которые были подтверждены позже.

Метрика Шварцшильда

Единственным решением уравнений Эйнштейна (без космологической постоянной) для внешнего гравитационного поля сферически-симметрично распределённой материи (энергии-импульса) является метрика Шварцшильда

<math>

{ds}^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2} </math>

где

c — скорость света в метрах в секунду,
t — временная координата в секундах (совпадающая со временем, отсчитываемым бесконечно удалёнными неподвижными часами),
r — радиальная координата в метрах (определяемая как длина окружности — с центром в точке симметрии — делить на 2π),
θ и φ — углы в системе сферических координат в радианах,
rs — радиус Шварцшильда (в метрах), характеризующий тело массой M и равный
<math>

r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}} </math>

где G — гравитационная постоянная.[15]

Классическая теория гравитации Ньютона является предельным случаем при малых rs/r. На практике это отношение почти всегда очень маленькое. Например, для Земли радиус Шварцшильда равен примерно 9 миллиметрам, в то время как спутник на геостационарной орбите находится на <math>r\simeq42 164</math> км. Для Солнечной системы это отношение не превосходит 2 миллионных, и только для областей вблизи от чёрных дыр и нейтронных звёзд оно становися существенно бо́льшим (до нескольких десятых).

Уравнения геодезических

В соответствии с общей теорией относительности, частицы пренебрежимо малой массы движутся по геодезическим линиям пространства-времени[16]. В неискривлённом пространстве вдалеке от любых притягивающих тел эти геодезические представляют собой прямые линии. В присутствии источников гравитации это уже не так, и уравнения геодезических записываются так[17]:

<math>

\frac{d^2x^{\mu}}{d q^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d q} \frac{dx^{\lambda}}{dq} = 0 </math>

где Γ — символы Кристоффеля, а переменная q параметризует путь частицы сквозь пространство-время — её мировую линию, и называется каноническим параметром геодезической линии. Символы Кристоффеля зависят только от метрического тензора gμν, точнее от того, как он его меняется от точки к точке. Для времениподобных геодезических, по которым движутся массивные частицы, параметр q совпадает с собственным временем τ с точностью до постоянного множителя, который обычно берут равным 1. Для светоподобных мировых линий безмассовых частиц (таких как фотоны) параметр q нельзя взять равным собственному времени, так как оно равно нулю, но форма геодезических всё равно описывается этим уравнением. Кроме того, светоподобные геодезические могут быть получены как предельный случай времениподобных при стремлении массы частицы к 0 (если сохранять постоянной энергию частицы).

Можно упростить проблему, используя симметрию задачи — так мы исключим из рассмотрения одну переменную. В любом сферически-симметричном случае движение происходит в плоскости, которую можно выбрать за плоскость θ = π/2. Метрика в этой плоскости имеет вид

<math>

ds^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\varphi^{2}. </math>

Так как она не зависит от <math>\varphi</math> и <math>t</math>, то существуют два интеграла движения (см. вывод ниже)

<math>

r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m}, </math>

<math>

\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}. </math>

Подстановка этих интегралов в метрику даёт

<math>

c^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2}, </math>

так что уравнения движения для частицы становятся следующими

<math>

\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} \right). </math>

Зависимость от собственного времени можно исключить, воспользовавшись интегралом L

<math>

\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{d\tau}{d\varphi} \right)^{2} = \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{m r^{2}}{L} \right)^{2}, </math>

из-за чего уравнение орбит становится таким

<math>

\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right), </math>

где для краткости введены две характерные длины a и b

<math>

a = \frac{L}{mc}, </math>

<math>

b = \frac{cL}{E}. </math>

То же уравнение можно вывести из лагранжева подхода[18] или используя уравнение Гамильтона — Якоби[19] (см. далее). Решение уравнения орбит даётся выражением

<math>

\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}}. </math>

Приближённая формула для отклонения света

В пределе массы частицы m, стремящейся к нулю (или, эквивалентно, <math>a\rightarrow\infty</math>), уравнение орбиты переходит в

<math>

\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}}. </math>

Разлагая это выражение по степеням отношения rs/r, в первом приближении получаем отклонение δφ безмассовой частицы при пролёте мимо гравитирующего центра:

<math>

\delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}. </math>

Константу b здесь можно интерпретировать как прицельный параметр — расстояние наибольшего приближения. Приближение, использованное при выводе этой формулы, достаточно точное для большинства практических приложений, включая измерения гравитационного линзирования. Для света, проходящего вблизи солнечной поверхности, отклонение составляет около 1,75 угловой секунды.

Связь с классической механикой и прецессия эллиптических орбит

Уравнения движения частицы в поле Шварцшильда

<math>

\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - c^{2} + \frac{r_{s}c^{2}}{r} - \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} + \frac{r_{s} L^{2}}{m^{2} r^{3}} </math>

можно переписать, используя определение гравитационного радиуса rs:

<math>

\frac{1}{2} m \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \left[ \frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2} \right] + \frac{GMm}{r} - \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}} </math>

что эквивалентно движению нерелятивистской частицы с энергией <math>\frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2}</math> в одномерном эффективном потенциале

<math>

V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^{2}}{2m r^{2}} - \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}. </math>

Первые два члена соответствуют известным классическим: гравитационному потенциалу притяжения Ньютона и центробежному потенциалу отталкивания, и только третий член не имеет аналога в классической задаче Кеплера. Как показано ниже и в другой статье, такой член приводит к прецессии эллиптических орбит на угол δφ за каждый оборот

<math>

\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1- e^{2} \right)} </math>

где A — большая полуось орбиты, а e — её эксцентриситет.

Третий член имеет характер притяжения и меняет поведение потенциала при малых r — вместо того, чтобы уходить в <math>+\infty</math>, препятствуя падению частицы на центр (как это было в классической задаче Кеплера), потенциал уходит на <math>-\infty</math>, позволяя частице падать (см. подробнее падение в чёрную дыру).

Круговые орбиты и их усточивость

Эффективный потенциал V можно переписать через параметры длины a и b

<math>

V(r) = \frac{mc^{2}}{2} \left[ - \frac{r_{s}}{r} + \frac{a^{2}}{r^{2}} - \frac{r_{s} a^{2}}{r^{3}} \right]. </math>

Круговые орбиты возможны при эффективной силе, равной нулю

<math>

F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{mc^{2}}{2r^{4}} \left[ r_{s} r^{2} - 2a^{2} r + 3r_{s} a^{2} \right] = 0, </math>

то есть когда две притягивающие силы — Ньютонова гравитация (первый член) и её релятивистская поправка (третий член) — точно сбалансированы отталкивающей центробежной силой (второй член). Существуют два радиуса, на которых достигается эта компенсация

<math>

r_{\mathrm{outer}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right), </math>

<math>

r_{\mathrm{inner}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right) = \frac{3a^{2}}{r_{\mathrm{outer}}}, </math>

которые прямо выводятся из квадратного уравнения выше. Внутренний радиус rinner оказывается неустойчивым при любых значениях a, так как сила притяжения там растёт быстрее, чем сила отталкивания, поэтому любое возмущение приводит к падению частицы на центр. Орбиты внешнего радиуса устойчивы — там релятивистское притяжение невелико, и их характер почти совпадает с траекториями нерелятивистской задачи Кеплера.

Когда a много больше rs (классический случай), размеры орбит стремятся к

<math>

r_{\mathrm{outer}} \approx \frac{2a^{2}}{r_{s}}, </math>

<math>

r_{\mathrm{inner}} \approx \frac{3}{2} r_{s}. </math>

Подставляя определения a и rs в router, получаем классическую формулу для частицы на круговой орбите вокруг гравитирующего центра массой M

<math>

r_{\mathrm{outer}}^{3} \approx \frac{GM}{\omega_{\varphi}^{2}}, </math>

где ωφ — орбитальная угловая скорость частицы.

Когда a² стремится к 3rs² (сверху), внешний и внутренний радиусы смыкаются к

<math>

r_{\mathrm{outer}} \rightarrow r_{\mathrm{inner}} \rightarrow 3 r_{s}. </math>

Решение квадратного уравнения гарантирует, что router всегда больше 3rs, а rinner лежит между 32 rs и 3rs. Круговые орбиты с радиусом меньше 32 rs невозможны. Сама орбита rinner = 32 rs является предельным случаем для безмассовых частиц, когда <math>a\rightarrow\infty</math>, поэтому сферу этого радиуса иногда называют фотонной сферой.

Прецессия эллиптических орбит

Скорость прецессии орбиты можно вывести из эффективного потенциала V. Малое отклонение по радиусу от орбиты-окружности r=router будет осциллировать с частотой

<math>

\omega_{r}^{2} = \frac{1}{m} \left[ \frac{d^{2}V}{dr^{2}} \right]_{r=r_{\mathrm{outer}}} = \left( \frac{c^{2} r_{s}}{2 r_{\mathrm{outer}}^{4}} \right) \left( r_{\mathrm{outer}} - r_{\mathrm{inner}} \right) = \omega_{\varphi}^{2} \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}}. </math>

Разложение в ряд даёт

<math>

\omega_{r} = \omega_{\varphi} \left( 1 - \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} + \cdots \right). </math>

Уножение на период обращения T приводит к прецессии на одном обороте

<math>

\delta \varphi = T \left( \omega_{\varphi} - \omega_{r} \right) \approx 2\pi \left( \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} \right) = \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} r_{s}^{2}, </math>

где ωφT = 2п и использовано определение a. Подставляя rs, получаем

<math>

\delta \varphi \approx \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} \left( \frac{4G^{2} M^{2}}{c^{4}} \right) = \frac{6\pi G^{2} M^{2} m^{2}}{c^{2} L^{2}}. </math>

Используя большую полуось орбиты A и эксцентриситет e, связанные соотношением

<math>

\frac{L^{2}}{GMm^{2}} = A \left( 1 - e^{2} \right), </math>

мы приходим к наиболее известной формуле прецессии

<math>

\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1 - e^{2} \right)}. </math>

Точное решение для орбиты в эллиптических функциях

Вводя безразмерную переменную

<math>

\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} </math>

уравнение для орбиты

<math>

\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right) </math>

можно привести к упрощённому виду

<math>

\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}, </math>

где постоянные безразмерные коэффициенты g2 и g3 определены как

<math>

\begin{align} g_{2} &= \frac{1}{12} - \frac{r_{s}^{2}}{4 a^{2}},\\ g_{3} &= \frac{1}{216} + \frac{r_{s}^{2}}{24 a^{2}} - \frac{r_{s}^{2}}{16 b^{2}}. \end{align} </math>

Решение этого уравнения для орбиты задаётся в виде неопределённого интеграла

<math>

\varphi - \varphi_{0} = \int \frac{d\zeta}{\sqrt{4\zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}}}. </math>

Отсюда следует, что с точностью до фазового сдвига, <math>\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})</math>, где <math>\wp</math> — эллиптическая функция Вейерштрасса с параметрами g2 и g3, и φ0 — постоянная интегрирования (возможно комплексная).

Качественный характер возможных орбит

Полный качественный анализ возможных орбит в поле Шварцшильда впервые был проведён Ю. Хагихарой в 1931 году.

Траектории в поле Шварцшильда описываются уравнением движения

<math>

\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}. </math>

Если дискриминант <math>\Delta = g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2}</math> больше 0, то кубическое уравнение

<math>

G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 0\, </math> имеет три различных действительных корня e1, e2 и e3, которые можно упорядочить по убыванию

<math>

e_{1} > e_{2} > e_{3}. </math>

В таком случае решение <math>\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})</math> является эллиптической функцией с двумя полупериодами, одним чисто действительным

<math>

\omega_{1} = \int_{e_{1}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}, </math>

и вторым — чисто мнимым

<math>

\omega_{3} = i \int_{-e_{3}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}. </math>

Оставшийся промежуточный корень определяет комплексный полупериод ω2 = -ω1 — ω3. Эти величины связаны с соответствующими корнями через уравнения <math>\wp(\omega_{i}) = e_{i}</math> (i= 1, 2, 3). Следовательно, при <math>\varphi-\varphi_0=n\omega_i</math> (n — целое число) производная ζ обращается в 0, то есть траектория достигает периастра или апоастра — точки максимального приближения и удаления, соответственно:

<math>

\frac{d\zeta}{d\phi} = 0 \ \mathrm{when} \ \zeta = \wp(-\omega_{i}) = e_{i} </math>

так как

<math>

\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right). </math>


Качественный характер орбиты зависит от выбора φ0. Решения с φ0 = ω2 соответствуют либо орбитам, колеблющимся от ζ=e2 до ζ=e3, либо траекториям, уходящим на бесконечность (ζ=-1/12). Наоборот, решения с φ0, равным ω1 или любому другому действительному числу, описывают орбиты, сходящиеся к центру, так как действительное ζ не может быть меньше e1 и поэтому будет неотвратимо расти до бесконечности.

Квази-эллиптические орбиты

Решения <math>\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})</math>, в которых φ0 = ω2, дают действительные значения ζ при условии, что энергия E удовлетворяет неравенству E2 < m2c4. В таком случае ζ принимает значения в интервале e3ζe2. Если оба корня больше −112, то ζ не может принять этого значения, соответствующего уходу частицы на бесконечность, поэтому тело будет совершать финитное движение, которое можно представить как движение по прецессирующему эллипсу. Радиальная координата тела будет бесконечно колебаться между

<math>

r_{min} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{2}} </math>

и

<math>

r_{max} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{1}}, </math>

которые соответствуют экстремальным значениям ζ. Действительный период эллиптической функции Вейерштрасса составляет 2ω1; таким образом, частица возвращается к тому же радиусу, когда угловая координата возрастает на 2ω1, что, вообще говоря, отличается от 2π. Поэтому орбита как правило прецессирует, однако при <math>r_{min}\ll r_g</math> угол прецессии за один оборот (2ω1 − 2π) довольно мал.

Стабильные круговые орбиты

Специальный случай 2e2 = 2e3 = −e3 соответствует решению с ζ = const = e2 = e3. Получается круговая орбита с r = router, не меньшим 3rs. Такие орбиты устойчивы, так как малые возмущения параметров приводят к расщеплению корней, приводя к квази-эллиптическим орбитам. Например, если частицу чуть «подтолкнуть» в радиальном направлении, то она станет колебаться около невозмущённого радиуса, описывая прецессирующий эллипс.

Инфинитные орбиты

При r, стремящемся к бесконечности, ζ стремится к −112. Поэтому орбиты, неограниченно удаляющиеся или приближающиеся из бесконечности к центральному телу, соответствуют периодическим решениям, в которых −112 попадает в доступный ζ интервал, то есть при e3 ≤ −112ζe2.

Асимптотически круговые орбиты

Другой специальный случай соответствует −e3 = 2e2 = 2e1, то есть два корня G(ζ) положительны и равны друг другу, а третий — отрицателен. Орбиты в таком случае представляют собой спирали, скручивающиеся или накручивающиеся при стремлении φ к бесконечности (не важно, положительной или отрицательной) на окружность радиуса r, определяемого соотношением

<math>

\frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} = e. </math>

Обозначив повторяющийся корень e = n²/3, получаем уравнение орбиты, которое легко проверить непосредственной подстановкой:

<math>

\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} = e - \frac{n^{2}}{\cosh^{2} n\varphi}. </math>

В таких случаях радиальная координата частицы заключена между 2rs и 3rs.

Уравнение таких орбит можно получить из выражения эллиптической функции Вейерштрасса через эллиптические функции Якоби

<math>

\zeta = \wp(\phi - \phi_{0}) = e_{1} + \left(e_{1} - e_{3}\right) \frac{\mathrm{cn}^{2} w}{\mathrm{sn}^{2} w}, </math>

где <math>w = (\phi - \phi_{0})\sqrt{e_{1} - e_{3}}</math> и модуль

<math>

k = \sqrt{\frac{e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}. </math>

В пределе совпадающих e2 и e1, модуль стремится к единице, а w переходит в n(φ − φ0). Выбирая φ0 мнимым, равным <math>iK^{\prime}</math> (четверть периода), приходим к приведённой выше формуле.

Падение на центр

В действительных решениях <math>\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})</math>, в которых φ0 равняется ω1 или некоторым другим действительным числам, ζ не может стать меньше e1. Из-за уравнений движения

<math>

\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right) </math>

ζ безгранично возрастает, что соответствует падению на центр r = 0 после бесконечного числа оборотов вокруг него.

Вывод уравнения орбит

Из уравнения Гамильтона — Якоби

Преимущество этого вывода состоит в том, что он применим и к движению частиц, и к распространению волн, что легко приводит к выражению для отклонения света в гравитационном поле при использовании принципа Ферма. Основная идея состоит в том, что благодаря гравитационному замедлению времени части волнового фронта, которые находятся ближе к гравитирующей массе, двигаются медленнее чем те, которые находятся дальше, что приводит к искривлению распространения волнового фронта.

В силу общей ковариантности уравнение Гамильтона — Якоби для одной частицы в произвольных координатах можно записать в виде

<math>

g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\nu}} = m^{2} c^{2}. </math>

В метрике Шварцшильда это уравнение примет вид

<math>

\frac{1}{c^{2} \left(1 - \frac{r_{s}}{r} \right)} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^{2} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{\partial S}{\partial r} \right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \right)^{2} = m^{2} c^{2}, </math>

где плоскость отсчёта <math>\theta</math> сферической системы координат расположена в плоскости орбиты. Время t и долгота φ — циклические координаты, поэтому решение для функции действия S запишется в виде

<math>

S = -Et + L\varphi + S_{r}(r) \,, </math>

где E и L представляют энергию частицы и её угловой момент, соответственно. Уравнение Гамильтона — Якоби приводит к интегральному решению для радиальной части Sr(r)

<math>

S_{r}(r) = \int \frac{L dr}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}. </math>

Дифференцируя функцию S обычным образом

<math>

\frac{\partial S}{\partial L} = \varphi + \frac{\partial S_{r}}{\partial L} = \mathrm{constant}, </math>

приходим к уравнению орбиты, полученному ранее

<math>

\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right). </math>

Этот подход можно использовать для элегантного вывода скорости прецессии орбиты[20].

В пределе нулевой массы m (или, что эквивалентно, бесконечного a), радиальная часть действия S становится равной

<math>

S_{r}(r) = \frac{E}{c} \int dr \sqrt{\frac{r^{2}}{\left( r - r_{s} \right)^{2}} - \frac{b^{2}}{r \left( r - r_{s} \right)}}, </math>

из этого выражения выводится уравнение для отклонения луча света[20].

Из уравнений Лагранжа

В общей теории относительности свободные частицы с пренебрежимо малой массой m, подчиняясь принципу эквивалентности, двигаются по геодезическим в пространстве-времени, создаваемом тяготеющими массами. Геодезические пространства-времени определяются как кривые, малые вариации которых — при фиксированных начальной и конечной точках — не изменяют их длину s. Это можно выразить математически с помощью вариационного исчисления

<math>

0 = \delta s = \delta \int ds = \delta \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} } d\tau = \delta \int \sqrt{2T} d\tau, </math>

где τ — собственное время, s= — длина в пространстве-времени, и величина T определена как

<math>

2T = c^{2} = \left( \frac{ds}{d\tau} \right)^{2} = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2}, </math>

по аналогии с кинетической энергией. Если производную по собственному времени для краткости обозначить точкой

<math>

\dot{x}^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}, </math>

то T можно записать в виде

<math>

2T = c^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \dot{t} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \dot{r} \right)^{2} - r^{2} \left( \dot{\varphi} \right)^{2}. </math>

Постоянные величины, такие как c или корень квадратный из двух, не влияют на ответ вариационной задачи, и таким образом, перенося вариацию под интеграл, приходим к вариационному принципу Гамильтона

<math>

0 = \delta \int \sqrt{2T} d\tau = \int \frac{\delta T}{\sqrt{2T}} d\tau = \frac{1}{c} \delta \int T d\tau. </math>

Решение вариационной задачи даётся уравнениями Лагранжа

<math>

\frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\sigma}} \right) = \frac{\partial T}{\partial x^{\sigma}}. </math>

Когда они применяются к t и φ, эти уравнения приводят к существованию сохраняющихся величин

<math>

\frac{d}{d\tau} \left[ r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0, </math>

<math>

\frac{d}{d\tau} \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0, </math>

что можно переписать как уравнения для L и E

<math>

r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m}, </math>

<math>

\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}. </math>

Как показано выше, подстановка этих уравнений в определение метрики Шварцшильда приводит к уравнению орбит.

Из принципа Гамильтона

Интеграл действия для частицы в гравитационном поле имеет вид

<math>

S = \int{ - m c^2 d\tau} = - m c \int{ c \frac{d\tau}{dq} dq} = - m c \int{ \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} } dq}, </math>

где τ — собственное время и q — гладкая параметризация мировой линии частицы. Если применить вариационное исчисление, то из этого выражения немедленно следуют уравнения для геодезических. Вычисления можно упростить, если взять вариацию от квадрата подынтегрального выражения. В поле Шварцшильда этот квадрат равен

<math>

\left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2}. </math>

Посчитав вариацию, получим

<math>

\delta \left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = 2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = \delta \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \right]. </math>

Взяв вариацию только по долготе φ

<math>

2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = - 2 r^{2} \frac{d\varphi}{dq} \delta \frac{d\varphi}{dq} </math>

поделим на <math>2 c \frac{d\tau}{dq}</math>, чтобы получить вариацию подынтегрального выражения

<math>

c \, \delta \frac{d\tau}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \frac{d\varphi}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq}. </math>

Таким образом

<math>

0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \delta \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} dq }, </math>

и интегрирование по частям приводит к

<math>

0 = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \varphi - \int { \frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] \delta \varphi dq }. </math>

Вариация по долготе исчезает в граничных точках и первое слагаемое зануляется. Интеграл можно сделать равным нулю при произвольном выборе δφ только если другие множители под интегралом всегда равны нулю. Таким образом мы приходим к уравнению движения

<math>

\frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0. </math>

При вариации по времени t получим

<math>

2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \frac{dt}{dq} \delta \frac{dt}{dq}, </math>

что после деления на <math>2 c \frac{d\tau}{dq}</math> даёт вариацию подынтегрального выражения

<math>

c \delta \frac{d\tau}{dq} = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta \frac{dt}{dq} = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq}. </math>

Отсюда

<math>

0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} dq } </math>

и снова интегрирование по частям приводит к выражению

<math>

0 = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta t - \int { \frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] \delta t dq }, </math>

из которого следует уравнение движения

<math>

\frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0. </math>

Если проинтегрировать эти уравнения движения и определить постоянные интегрирования, мы снова придём к уравнениям

<math>

r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m}, </math>

<math>

\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}. </math>

Эти два уравнения для интегралов движения L и E можно совместить в одно, которое будет работать даже для фотона и других безмассовых частиц, для которых собственное время вдоль геодезической равно нулю:

<math>

\frac{r^{2}}{bc} \frac{d\varphi}{dt} = 1 - \frac{r_{s}}{r}. </math>

Постньютоновские подходы

Так как в реальных задачах приближение пробного тела иногда имеет недостаточную точность, то существуют уточняющие его подходы, одним из которых является применение постньютоновского формализма (ПН-формализма), развитого в трудах Эддингтона, Фока, Дамура и других учёных-релятивистов. Несколько утрируя, можно сказать, что в этом подходе происходит разложение уравнений движения тел, получаемых из уравнений Эйнштейна, в ряды по малому ПН-параметру <math>1/c^2</math>, и учёт членов лишь до определённой степени этого параметра. Уже применение 2,5ПН уровня <math>(1/c^5)</math> приводит к предсказанию гравитационного излучения и соответствующего уменьшения периода обращения гравитационно связанной системы. Поправки более высокого порядка также проявляются в движении объектов, например, двойных пульсаров. Движение планет и их спутников, астероидов, а также космических аппаратов в Солнечной системе сейчас рассчитывается в первом ПН-приближении.

Поправки к геодезическому решению

Излучение гравитационных волн и потеря энергии и момента импульса

Согласно общей теории относительности, два тела, обращающихся друг вокруг друга, испускают гравитационные волны, что приводит к отличию орбит от геодезических, рассчитанных выше. Для планет Солнечной системы этот эффект чрезвычайно мал, но он может играть существенную роль в эволюции тесных двойных звёзд.

Изменение орбит наблюдается в нескольких системах, самой знаменитой из них является двойной пульсар, известный под названием PSR B1913+16, за исследования которого Алан Халс и Джозеф Тейлор получили Нобелевскую премию по физике 1993 года. Две нейтронные звезды в этой системе находятся очень близко друг от друга и совершают оборот за 465 минут. Их орбита представляет собой вытянутый эллипс с эксцентриситетом 0.62 (62 %). Согласно общей теории относительности короткий период обращения и высокий эксцентриситет делает систему прекрасным источником гравитационных волн, что приводит к потерям энергии и уменьшению периода обращения. Наблюдаемые изменения периода на протяжении тридцати лет хорошо согласуются с предсказаниями общей теории относительности с наилучшей достижимой сейчас точностью (около 0,2 % по состоянию на 2009 год). Общая теория относительности предсказывает, что через 300 миллионов лет эта двойная звезда сольётся в одну.

Формула, описывающая потерю энергии и углового момента благодаря гравитационному излучению от двух тел в задаче Кеплера, была получена в 1963 году[21]. Скорость потери энергии (усреднённая по периоду) задаётся в виде[22]

<math>

-\left\langle \frac{dE}{dt} \right\rangle = \frac{32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1} + m_{2}\right)}{5c^{5} a^{5} \left( 1 - e^{2} \right)^{7/2}} \left( 1 + \frac{73}{24} e^{2} + \frac{37}{96} e^{4} \right), </math>

где e — эксцентриситет, а a — большая полуось эллиптической орбиты. Угловые скобки в левой части выражения обозначают усреднение по одной орбите. Аналогично для потери углового момента можно записать

<math>

-\left\langle \frac{dL_{z}}{dt} \right\rangle = \frac{32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\sqrt{m_{1} + m_{2}}}{5c^{5} a^{7/2} \left( 1 - e^{2} \right)^{2}} \left( 1 + \frac{7}{8} e^{2} \right). </math>

Потери энергии и углового момента значительно возрастают, если эксцентриситет стремится к 1, то есть если эллипс является сильно вытянутым. Интенсивность излучения также увеличивается при уменьшении размера a орбиты. Потеря момента импульса при излучении такова, что со временем эксцентриситет орбиты уменьшается, и она стремится к круговой с постоянно уменьшающимся радиусом.

Численная относительность

Если тела являются настолько компактными, что могут двигаться раздельно, даже когда орбитальная скорость доходит до существенной доли скорости света, постньютоновское разложение перестаёт работать надёжно. Это возможно на последних стадиях эволюции двойных систем, состоящих из нейтронных звёзд или чёрных дыр — из-за гравитационного излучения компоненты опускаются всё ближе и ближе друг к другу, и в конце-концов сливаются. В данном случае тела уже невозможно представлять точечными или сферически-симметричными, и требуется применять методы точного трёхмерного численного решения уравнений Эйнштейна и, в случае нейтронных звёзд — релятивистской магнитогидродинамики, носящие наименование численной относительности. Первой экспериментальной проверкой, с точностью до 94 % подтвердившей предсказания общей теории относительности и методов численной относительности, стало открытие гравитационных волн в сентябре 2015 года.

См. также

Напишите отзыв о статье "Задача Кеплера в общей теории относительности"

Примечания и ссылки

  1. 1 2 Роузвер Н. Т. [bourabai.kz/articles/roseveare/ Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна] = Roseveare N. T. Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein / Пер. с англ. А. С. Расторгуева под ред. В. К. Абалакина. — Москва: Мир, 1985. — 246 с. — 10 000 экз.
  2. Le Verrier, U. J. J. (1859). «[www.archive.org/stream/comptesrendusheb49acad#page/379/mode/1up Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète]». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 49: 379–383.
  3. 1 2 3 Pais 1982
  4. Мари-Антуанетт Тоннела ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ МОСКВА: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1962. Глава II, § 1.2.
  5. 1 2 А. Ф. Богородский Всемирное тяготение Киев: Наукова думка, 1971. Глава 2.
  6. P. S. Laplасе Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805.
  7. Цитируется по книге: Борис Николаевич Воронцов-Вельяминов Лаплас Москва: Жургазоб'единение, 1937.
  8. Фейнман разбирает эту проблему в 6 томе Фейнмановских лекций по физике, глава 21, § 1.
  9. А. Ф. Богородский Ibid. Глава 5, параграф 15.
  10. Тредер Г.-Ю. Глава I // Относительность инерции = Hans-Jürgen Treder. Die Relativität der Trägheit. Berlin, 1972 / Пер. с нем. К. А. Бронникова. Под редакцией проф. К. П. Станюковича. — М.: Атомиздат, 1975. — 128 с. — 6600 экз.
  11. Zenneck, J. (1903). «[dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514 Gravitation]» (German). Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen 5: 25–67.
  12. 1 2 Визгин В. П. Глава I, раздел 2. // Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование. 1900—1915 гг.). — Москва: Наука, 1981. — 352 с. — 2000 экз.
  13. Walter, S. (2007), [www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/ Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910], in Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer) . — Т. 3: 193–252 
  14. Ньютоновскую теорию тяготения можно сформулировать как искривление этой связи, см. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/MiznerTornUiler_t1_1977ru.djvu Том 1.] Глава 12.
  15. Landau 1975.
  16. Это справедливо для частиц пылевидной материи и для не слишком быстро вращающихся тел, как показано в §§ 4 и 7 IV главы книги Дж. Л. Синга Общая теория относительности, Москва, ИЛ, 1963.
  17. Weinberg 1972.
  18. Whittaker 1937.
  19. Landau and Lifshitz (1975), pp. 306—309.
  20. 1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. — 8-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II). § 101.
  21. Peters PC, Mathews J (1963). «Unknown title». Physical Review 131: 435–?. DOI:10.1103/PhysRev.131.435.
  22. Landau and Lifshitz, p. 356—357.

Литература

  • Adler R. Introduction to General Relativity. — New York: McGraw-Hill Book Company, 1965. — P. pp. 177–193. — ISBN 978-0-07-000420-7.
  • Einstein A. The Meaning of Relativity. — 5th. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1956. — P. pp. 92–97. — ISBN 978-0-691-02352-6.
  • Hagihara, Y (1931). «Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild». Japanese Journal of Astronomy and Geophysics 8: 67–176. ISSN [worldcat.org/issn/0368-346X 0368-346X].
  • Lanczos C. The Variational Principles of Mechanics. — 4th. — New York: Dover Publications, 1986. — P. pp. 330–338. — ISBN 978-0-486-65067-8.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля.. — 8-е изд., стереот.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — ISBN 5-9221-0056-4. — § 101.
  • Misner CW. Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — P. Chapter 25 (pp. 636–687), §33.5 (pp. 897–901), and §40.5 (pp. 1110–1116). — ISBN 978-0-7167-0344-0. (See Gravitation (book).)
  • Pais A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. — Oxford University Press, 1982. — P. pp. 253–256. — ISBN 0-19-520438-7.
  • Pauli W. Theory of Relativity. — New York: Dover Publications, 1958. — P. pp. 40–41, 166–169. — ISBN 978-0-486-64152-2.
  • Rindler W. Essential Relativity: Special, General, and Cosmological. — revised 2nd. — New York: Springer Verlag, 1977. — P. pp. 143–149. — ISBN 978-0-387-10090-6.
  • Роузвер Н. Т. [bourabai.kz/articles/roseveare/ Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна] = Roseveare N. T. Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein / Пер. с англ. А. С. Расторгуева под ред. В. К. Абалакина. — Москва: Мир, 1985. — 246 с. — 10 000 экз.
  • Synge JL. Relativity: The General Theory. — Amsterdam: North-Holland Publishing, 1960. — P. pp. 289–298. — ISBN 978-0-7204-0066-3.
  • Wald RM. General Relativity. — Chicago: The University of Chicago Press, 1984. — P. pp. 136–146. — ISBN 978-0-226-87032-8.
  • Walter, S. [www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/ Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910] // The Genesis of General Relativity / Renn, J.. — Berlin: Springer, 2007. — Vol. 3. — P. 193–252.
  • Weinberg S. Gravitation and Cosmology. — New York: John Wiley and Sons, 1972. — P. pp. 185–201. — ISBN 978-0-471-92567-5.
  • Whittaker ET. [www.archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies]. — 4th. — New York: Dover Publications, 1937. — P. pp. 389–393. — ISBN 978-1-114-28944-4.

Отрывок, характеризующий Задача Кеплера в общей теории относительности

Илагин, чтобы загладить вину своего охотника, настоятельно просил Ростова пройти в его угорь, который был в версте, который он берег для себя и в котором было, по его словам, насыпано зайцев. Николай согласился, и охота, еще вдвое увеличившаяся, тронулась дальше.
Итти до Илагинского угоря надо было полями. Охотники разровнялись. Господа ехали вместе. Дядюшка, Ростов, Илагин поглядывали тайком на чужих собак, стараясь, чтобы другие этого не замечали, и с беспокойством отыскивали между этими собаками соперниц своим собакам.
Ростова особенно поразила своей красотой небольшая чистопсовая, узенькая, но с стальными мышцами, тоненьким щипцом (мордой) и на выкате черными глазами, краснопегая сучка в своре Илагина. Он слыхал про резвость Илагинских собак, и в этой красавице сучке видел соперницу своей Милке.
В середине степенного разговора об урожае нынешнего года, который завел Илагин, Николай указал ему на его краснопегую суку.
– Хороша у вас эта сучка! – сказал он небрежным тоном. – Резва?
– Эта? Да, эта – добрая собака, ловит, – равнодушным голосом сказал Илагин про свою краснопегую Ерзу, за которую он год тому назад отдал соседу три семьи дворовых. – Так и у вас, граф, умолотом не хвалятся? – продолжал он начатый разговор. И считая учтивым отплатить молодому графу тем же, Илагин осмотрел его собак и выбрал Милку, бросившуюся ему в глаза своей шириной.
– Хороша у вас эта чернопегая – ладна! – сказал он.
– Да, ничего, скачет, – отвечал Николай. «Вот только бы побежал в поле матёрый русак, я бы тебе показал, какая эта собака!» подумал он, и обернувшись к стремянному сказал, что он дает рубль тому, кто подозрит, т. е. найдет лежачего зайца.
– Я не понимаю, – продолжал Илагин, – как другие охотники завистливы на зверя и на собак. Я вам скажу про себя, граф. Меня веселит, знаете, проехаться; вот съедешься с такой компанией… уже чего же лучше (он снял опять свой бобровый картуз перед Наташей); а это, чтобы шкуры считать, сколько привез – мне всё равно!
– Ну да.
– Или чтоб мне обидно было, что чужая собака поймает, а не моя – мне только бы полюбоваться на травлю, не так ли, граф? Потом я сужу…
– Ату – его, – послышался в это время протяжный крик одного из остановившихся борзятников. Он стоял на полубугре жнивья, подняв арапник, и еще раз повторил протяжно: – А – ту – его! (Звук этот и поднятый арапник означали то, что он видит перед собой лежащего зайца.)
– А, подозрил, кажется, – сказал небрежно Илагин. – Что же, потравим, граф!
– Да, подъехать надо… да – что ж, вместе? – отвечал Николай, вглядываясь в Ерзу и в красного Ругая дядюшки, в двух своих соперников, с которыми еще ни разу ему не удалось поровнять своих собак. «Ну что как с ушей оборвут мою Милку!» думал он, рядом с дядюшкой и Илагиным подвигаясь к зайцу.
– Матёрый? – спрашивал Илагин, подвигаясь к подозрившему охотнику, и не без волнения оглядываясь и подсвистывая Ерзу…
– А вы, Михаил Никанорыч? – обратился он к дядюшке.
Дядюшка ехал насупившись.
– Что мне соваться, ведь ваши – чистое дело марш! – по деревне за собаку плачены, ваши тысячные. Вы померяйте своих, а я посмотрю!
– Ругай! На, на, – крикнул он. – Ругаюшка! – прибавил он, невольно этим уменьшительным выражая свою нежность и надежду, возлагаемую на этого красного кобеля. Наташа видела и чувствовала скрываемое этими двумя стариками и ее братом волнение и сама волновалась.
Охотник на полугорке стоял с поднятым арапником, господа шагом подъезжали к нему; гончие, шедшие на самом горизонте, заворачивали прочь от зайца; охотники, не господа, тоже отъезжали. Всё двигалось медленно и степенно.
– Куда головой лежит? – спросил Николай, подъезжая шагов на сто к подозрившему охотнику. Но не успел еще охотник отвечать, как русак, чуя мороз к завтрашнему утру, не вылежал и вскочил. Стая гончих на смычках, с ревом, понеслась под гору за зайцем; со всех сторон борзые, не бывшие на сворах, бросились на гончих и к зайцу. Все эти медленно двигавшиеся охотники выжлятники с криком: стой! сбивая собак, борзятники с криком: ату! направляя собак – поскакали по полю. Спокойный Илагин, Николай, Наташа и дядюшка летели, сами не зная как и куда, видя только собак и зайца, и боясь только потерять хоть на мгновение из вида ход травли. Заяц попался матёрый и резвый. Вскочив, он не тотчас же поскакал, а повел ушами, прислушиваясь к крику и топоту, раздавшемуся вдруг со всех сторон. Он прыгнул раз десять не быстро, подпуская к себе собак, и наконец, выбрав направление и поняв опасность, приложил уши и понесся во все ноги. Он лежал на жнивьях, но впереди были зеленя, по которым было топко. Две собаки подозрившего охотника, бывшие ближе всех, первые воззрились и заложились за зайцем; но еще далеко не подвинулись к нему, как из за них вылетела Илагинская краснопегая Ерза, приблизилась на собаку расстояния, с страшной быстротой наддала, нацелившись на хвост зайца и думая, что она схватила его, покатилась кубарем. Заяц выгнул спину и наддал еще шибче. Из за Ерзы вынеслась широкозадая, чернопегая Милка и быстро стала спеть к зайцу.
– Милушка! матушка! – послышался торжествующий крик Николая. Казалось, сейчас ударит Милка и подхватит зайца, но она догнала и пронеслась. Русак отсел. Опять насела красавица Ерза и над самым хвостом русака повисла, как будто примеряясь как бы не ошибиться теперь, схватить за заднюю ляжку.
– Ерзанька! сестрица! – послышался плачущий, не свой голос Илагина. Ерза не вняла его мольбам. В тот самый момент, как надо было ждать, что она схватит русака, он вихнул и выкатил на рубеж между зеленями и жнивьем. Опять Ерза и Милка, как дышловая пара, выровнялись и стали спеть к зайцу; на рубеже русаку было легче, собаки не так быстро приближались к нему.
– Ругай! Ругаюшка! Чистое дело марш! – закричал в это время еще новый голос, и Ругай, красный, горбатый кобель дядюшки, вытягиваясь и выгибая спину, сравнялся с первыми двумя собаками, выдвинулся из за них, наддал с страшным самоотвержением уже над самым зайцем, сбил его с рубежа на зеленя, еще злей наддал другой раз по грязным зеленям, утопая по колена, и только видно было, как он кубарем, пачкая спину в грязь, покатился с зайцем. Звезда собак окружила его. Через минуту все стояли около столпившихся собак. Один счастливый дядюшка слез и отпазанчил. Потряхивая зайца, чтобы стекала кровь, он тревожно оглядывался, бегая глазами, не находя положения рукам и ногам, и говорил, сам не зная с кем и что.
«Вот это дело марш… вот собака… вот вытянул всех, и тысячных и рублевых – чистое дело марш!» говорил он, задыхаясь и злобно оглядываясь, как будто ругая кого то, как будто все были его враги, все его обижали, и только теперь наконец ему удалось оправдаться. «Вот вам и тысячные – чистое дело марш!»
– Ругай, на пазанку! – говорил он, кидая отрезанную лапку с налипшей землей; – заслужил – чистое дело марш!
– Она вымахалась, три угонки дала одна, – говорил Николай, тоже не слушая никого, и не заботясь о том, слушают ли его, или нет.
– Да это что же в поперечь! – говорил Илагинский стремянный.
– Да, как осеклась, так с угонки всякая дворняшка поймает, – говорил в то же время Илагин, красный, насилу переводивший дух от скачки и волнения. В то же время Наташа, не переводя духа, радостно и восторженно визжала так пронзительно, что в ушах звенело. Она этим визгом выражала всё то, что выражали и другие охотники своим единовременным разговором. И визг этот был так странен, что она сама должна бы была стыдиться этого дикого визга и все бы должны были удивиться ему, ежели бы это было в другое время.
Дядюшка сам второчил русака, ловко и бойко перекинул его через зад лошади, как бы упрекая всех этим перекидыванием, и с таким видом, что он и говорить ни с кем не хочет, сел на своего каураго и поехал прочь. Все, кроме его, грустные и оскорбленные, разъехались и только долго после могли притти в прежнее притворство равнодушия. Долго еще они поглядывали на красного Ругая, который с испачканной грязью, горбатой спиной, побрякивая железкой, с спокойным видом победителя шел за ногами лошади дядюшки.
«Что ж я такой же, как и все, когда дело не коснется до травли. Ну, а уж тут держись!» казалось Николаю, что говорил вид этой собаки.
Когда, долго после, дядюшка подъехал к Николаю и заговорил с ним, Николай был польщен тем, что дядюшка после всего, что было, еще удостоивает говорить с ним.


Когда ввечеру Илагин распростился с Николаем, Николай оказался на таком далеком расстоянии от дома, что он принял предложение дядюшки оставить охоту ночевать у него (у дядюшки), в его деревеньке Михайловке.
– И если бы заехали ко мне – чистое дело марш! – сказал дядюшка, еще бы того лучше; видите, погода мокрая, говорил дядюшка, отдохнули бы, графинечку бы отвезли в дрожках. – Предложение дядюшки было принято, за дрожками послали охотника в Отрадное; а Николай с Наташей и Петей поехали к дядюшке.
Человек пять, больших и малых, дворовых мужчин выбежало на парадное крыльцо встречать барина. Десятки женщин, старых, больших и малых, высунулись с заднего крыльца смотреть на подъезжавших охотников. Присутствие Наташи, женщины, барыни верхом, довело любопытство дворовых дядюшки до тех пределов, что многие, не стесняясь ее присутствием, подходили к ней, заглядывали ей в глаза и при ней делали о ней свои замечания, как о показываемом чуде, которое не человек, и не может слышать и понимать, что говорят о нем.
– Аринка, глянь ка, на бочькю сидит! Сама сидит, а подол болтается… Вишь рожок!
– Батюшки светы, ножик то…
– Вишь татарка!
– Как же ты не перекувыркнулась то? – говорила самая смелая, прямо уж обращаясь к Наташе.
Дядюшка слез с лошади у крыльца своего деревянного заросшего садом домика и оглянув своих домочадцев, крикнул повелительно, чтобы лишние отошли и чтобы было сделано всё нужное для приема гостей и охоты.
Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
– Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.
– Что же вы не служите, дядюшка?
– Служил, да бросил. Не гожусь, чистое дело марш, я ничего не разберу. Это ваше дело, а у меня ума не хватит. Вот насчет охоты другое дело, это чистое дело марш! Отворите ка дверь то, – крикнул он. – Что ж затворили! – Дверь в конце коридора (который дядюшка называл колидор) вела в холостую охотническую: так называлась людская для охотников. Босые ноги быстро зашлепали и невидимая рука отворила дверь в охотническую. Из коридора ясно стали слышны звуки балалайки, на которой играл очевидно какой нибудь мастер этого дела. Наташа уже давно прислушивалась к этим звукам и теперь вышла в коридор, чтобы слышать их яснее.
– Это у меня мой Митька кучер… Я ему купил хорошую балалайку, люблю, – сказал дядюшка. – У дядюшки было заведено, чтобы, когда он приезжает с охоты, в холостой охотнической Митька играл на балалайке. Дядюшка любил слушать эту музыку.
– Как хорошо, право отлично, – сказал Николай с некоторым невольным пренебрежением, как будто ему совестно было признаться в том, что ему очень были приятны эти звуки.
– Как отлично? – с упреком сказала Наташа, чувствуя тон, которым сказал это брат. – Не отлично, а это прелесть, что такое! – Ей так же как и грибки, мед и наливки дядюшки казались лучшими в мире, так и эта песня казалась ей в эту минуту верхом музыкальной прелести.
– Еще, пожалуйста, еще, – сказала Наташа в дверь, как только замолкла балалайка. Митька настроил и опять молодецки задребезжал Барыню с переборами и перехватами. Дядюшка сидел и слушал, склонив голову на бок с чуть заметной улыбкой. Мотив Барыни повторился раз сто. Несколько раз балалайку настраивали и опять дребезжали те же звуки, и слушателям не наскучивало, а только хотелось еще и еще слышать эту игру. Анисья Федоровна вошла и прислонилась своим тучным телом к притолке.
– Изволите слушать, – сказала она Наташе, с улыбкой чрезвычайно похожей на улыбку дядюшки. – Он у нас славно играет, – сказала она.
– Вот в этом колене не то делает, – вдруг с энергическим жестом сказал дядюшка. – Тут рассыпать надо – чистое дело марш – рассыпать…
– А вы разве умеете? – спросила Наташа. – Дядюшка не отвечая улыбнулся.
– Посмотри ка, Анисьюшка, что струны то целы что ль, на гитаре то? Давно уж в руки не брал, – чистое дело марш! забросил.
Анисья Федоровна охотно пошла своей легкой поступью исполнить поручение своего господина и принесла гитару.
Дядюшка ни на кого не глядя сдунул пыль, костлявыми пальцами стукнул по крышке гитары, настроил и поправился на кресле. Он взял (несколько театральным жестом, отставив локоть левой руки) гитару повыше шейки и подмигнув Анисье Федоровне, начал не Барыню, а взял один звучный, чистый аккорд, и мерно, спокойно, но твердо начал весьма тихим темпом отделывать известную песню: По у ли и ице мостовой. В раз, в такт с тем степенным весельем (тем самым, которым дышало всё существо Анисьи Федоровны), запел в душе у Николая и Наташи мотив песни. Анисья Федоровна закраснелась и закрывшись платочком, смеясь вышла из комнаты. Дядюшка продолжал чисто, старательно и энергически твердо отделывать песню, изменившимся вдохновенным взглядом глядя на то место, с которого ушла Анисья Федоровна. Чуть чуть что то смеялось в его лице с одной стороны под седым усом, особенно смеялось тогда, когда дальше расходилась песня, ускорялся такт и в местах переборов отрывалось что то.
– Прелесть, прелесть, дядюшка; еще, еще, – закричала Наташа, как только он кончил. Она, вскочивши с места, обняла дядюшку и поцеловала его. – Николенька, Николенька! – говорила она, оглядываясь на брата и как бы спрашивая его: что же это такое?
Николаю тоже очень нравилась игра дядюшки. Дядюшка второй раз заиграл песню. Улыбающееся лицо Анисьи Федоровны явилось опять в дверях и из за ней еще другие лица… «За холодной ключевой, кричит: девица постой!» играл дядюшка, сделал опять ловкий перебор, оторвал и шевельнул плечами.
– Ну, ну, голубчик, дядюшка, – таким умоляющим голосом застонала Наташа, как будто жизнь ее зависела от этого. Дядюшка встал и как будто в нем было два человека, – один из них серьезно улыбнулся над весельчаком, а весельчак сделал наивную и аккуратную выходку перед пляской.
– Ну, племянница! – крикнул дядюшка взмахнув к Наташе рукой, оторвавшей аккорд.
Наташа сбросила с себя платок, который был накинут на ней, забежала вперед дядюшки и, подперши руки в боки, сделала движение плечами и стала.
Где, как, когда всосала в себя из того русского воздуха, которым она дышала – эта графинечка, воспитанная эмигранткой француженкой, этот дух, откуда взяла она эти приемы, которые pas de chale давно бы должны были вытеснить? Но дух и приемы эти были те самые, неподражаемые, не изучаемые, русские, которых и ждал от нее дядюшка. Как только она стала, улыбнулась торжественно, гордо и хитро весело, первый страх, который охватил было Николая и всех присутствующих, страх, что она не то сделает, прошел и они уже любовались ею.
Она сделала то самое и так точно, так вполне точно это сделала, что Анисья Федоровна, которая тотчас подала ей необходимый для ее дела платок, сквозь смех прослезилась, глядя на эту тоненькую, грациозную, такую чужую ей, в шелку и в бархате воспитанную графиню, которая умела понять всё то, что было и в Анисье, и в отце Анисьи, и в тетке, и в матери, и во всяком русском человеке.
– Ну, графинечка – чистое дело марш, – радостно смеясь, сказал дядюшка, окончив пляску. – Ай да племянница! Вот только бы муженька тебе молодца выбрать, – чистое дело марш!
– Уж выбран, – сказал улыбаясь Николай.
– О? – сказал удивленно дядюшка, глядя вопросительно на Наташу. Наташа с счастливой улыбкой утвердительно кивнула головой.
– Еще какой! – сказала она. Но как только она сказала это, другой, новый строй мыслей и чувств поднялся в ней. Что значила улыбка Николая, когда он сказал: «уж выбран»? Рад он этому или не рад? Он как будто думает, что мой Болконский не одобрил бы, не понял бы этой нашей радости. Нет, он бы всё понял. Где он теперь? подумала Наташа и лицо ее вдруг стало серьезно. Но это продолжалось только одну секунду. – Не думать, не сметь думать об этом, сказала она себе и улыбаясь, подсела опять к дядюшке, прося его сыграть еще что нибудь.
Дядюшка сыграл еще песню и вальс; потом, помолчав, прокашлялся и запел свою любимую охотническую песню.
Как со вечера пороша
Выпадала хороша…
Дядюшка пел так, как поет народ, с тем полным и наивным убеждением, что в песне все значение заключается только в словах, что напев сам собой приходит и что отдельного напева не бывает, а что напев – так только, для складу. От этого то этот бессознательный напев, как бывает напев птицы, и у дядюшки был необыкновенно хорош. Наташа была в восторге от пения дядюшки. Она решила, что не будет больше учиться на арфе, а будет играть только на гитаре. Она попросила у дядюшки гитару и тотчас же подобрала аккорды к песне.
В десятом часу за Наташей и Петей приехали линейка, дрожки и трое верховых, посланных отыскивать их. Граф и графиня не знали где они и крепко беспокоились, как сказал посланный.
Петю снесли и положили как мертвое тело в линейку; Наташа с Николаем сели в дрожки. Дядюшка укутывал Наташу и прощался с ней с совершенно новой нежностью. Он пешком проводил их до моста, который надо было объехать в брод, и велел с фонарями ехать вперед охотникам.
– Прощай, племянница дорогая, – крикнул из темноты его голос, не тот, который знала прежде Наташа, а тот, который пел: «Как со вечера пороша».
В деревне, которую проезжали, были красные огоньки и весело пахло дымом.
– Что за прелесть этот дядюшка! – сказала Наташа, когда они выехали на большую дорогу.
– Да, – сказал Николай. – Тебе не холодно?
– Нет, мне отлично, отлично. Мне так хорошо, – с недоумением даже cказала Наташа. Они долго молчали.
Ночь была темная и сырая. Лошади не видны были; только слышно было, как они шлепали по невидной грязи.
Что делалось в этой детской, восприимчивой душе, так жадно ловившей и усвоивавшей все разнообразнейшие впечатления жизни? Как это всё укладывалось в ней? Но она была очень счастлива. Уже подъезжая к дому, она вдруг запела мотив песни: «Как со вечера пороша», мотив, который она ловила всю дорогу и наконец поймала.
– Поймала? – сказал Николай.
– Ты об чем думал теперь, Николенька? – спросила Наташа. – Они любили это спрашивать друг у друга.
– Я? – сказал Николай вспоминая; – вот видишь ли, сначала я думал, что Ругай, красный кобель, похож на дядюшку и что ежели бы он был человек, то он дядюшку всё бы еще держал у себя, ежели не за скачку, так за лады, всё бы держал. Как он ладен, дядюшка! Не правда ли? – Ну а ты?
– Я? Постой, постой. Да, я думала сначала, что вот мы едем и думаем, что мы едем домой, а мы Бог знает куда едем в этой темноте и вдруг приедем и увидим, что мы не в Отрадном, а в волшебном царстве. А потом еще я думала… Нет, ничего больше.
– Знаю, верно про него думала, – сказал Николай улыбаясь, как узнала Наташа по звуку его голоса.
– Нет, – отвечала Наташа, хотя действительно она вместе с тем думала и про князя Андрея, и про то, как бы ему понравился дядюшка. – А еще я всё повторяю, всю дорогу повторяю: как Анисьюшка хорошо выступала, хорошо… – сказала Наташа. И Николай услыхал ее звонкий, беспричинный, счастливый смех.
– А знаешь, – вдруг сказала она, – я знаю, что никогда уже я не буду так счастлива, спокойна, как теперь.
– Вот вздор, глупости, вранье – сказал Николай и подумал: «Что за прелесть эта моя Наташа! Такого другого друга у меня нет и не будет. Зачем ей выходить замуж, всё бы с ней ездили!»
«Экая прелесть этот Николай!» думала Наташа. – А! еще огонь в гостиной, – сказала она, указывая на окна дома, красиво блестевшие в мокрой, бархатной темноте ночи.


Граф Илья Андреич вышел из предводителей, потому что эта должность была сопряжена с слишком большими расходами. Но дела его всё не поправлялись. Часто Наташа и Николай видели тайные, беспокойные переговоры родителей и слышали толки о продаже богатого, родового Ростовского дома и подмосковной. Без предводительства не нужно было иметь такого большого приема, и отрадненская жизнь велась тише, чем в прежние годы; но огромный дом и флигеля всё таки были полны народом, за стол всё так же садилось больше человек. Всё это были свои, обжившиеся в доме люди, почти члены семейства или такие, которые, казалось, необходимо должны были жить в доме графа. Таковы были Диммлер – музыкант с женой, Иогель – танцовальный учитель с семейством, старушка барышня Белова, жившая в доме, и еще многие другие: учителя Пети, бывшая гувернантка барышень и просто люди, которым лучше или выгоднее было жить у графа, чем дома. Не было такого большого приезда как прежде, но ход жизни велся тот же, без которого не могли граф с графиней представить себе жизни. Та же была, еще увеличенная Николаем, охота, те же 50 лошадей и 15 кучеров на конюшне, те же дорогие подарки в именины, и торжественные на весь уезд обеды; те же графские висты и бостоны, за которыми он, распуская всем на вид карты, давал себя каждый день на сотни обыгрывать соседям, смотревшим на право составлять партию графа Ильи Андреича, как на самую выгодную аренду.
Граф, как в огромных тенетах, ходил в своих делах, стараясь не верить тому, что он запутался и с каждым шагом всё более и более запутываясь и чувствуя себя не в силах ни разорвать сети, опутавшие его, ни осторожно, терпеливо приняться распутывать их. Графиня любящим сердцем чувствовала, что дети ее разоряются, что граф не виноват, что он не может быть не таким, каким он есть, что он сам страдает (хотя и скрывает это) от сознания своего и детского разорения, и искала средств помочь делу. С ее женской точки зрения представлялось только одно средство – женитьба Николая на богатой невесте. Она чувствовала, что это была последняя надежда, и что если Николай откажется от партии, которую она нашла ему, надо будет навсегда проститься с возможностью поправить дела. Партия эта была Жюли Карагина, дочь прекрасных, добродетельных матери и отца, с детства известная Ростовым, и теперь богатая невеста по случаю смерти последнего из ее братьев.
Графиня писала прямо к Карагиной в Москву, предлагая ей брак ее дочери с своим сыном и получила от нее благоприятный ответ. Карагина отвечала, что она с своей стороны согласна, что всё будет зависеть от склонности ее дочери. Карагина приглашала Николая приехать в Москву.
Несколько раз, со слезами на глазах, графиня говорила сыну, что теперь, когда обе дочери ее пристроены – ее единственное желание состоит в том, чтобы видеть его женатым. Она говорила, что легла бы в гроб спокойной, ежели бы это было. Потом говорила, что у нее есть прекрасная девушка на примете и выпытывала его мнение о женитьбе.
В других разговорах она хвалила Жюли и советовала Николаю съездить в Москву на праздники повеселиться. Николай догадывался к чему клонились разговоры его матери, и в один из таких разговоров вызвал ее на полную откровенность. Она высказала ему, что вся надежда поправления дел основана теперь на его женитьбе на Карагиной.
– Что ж, если бы я любил девушку без состояния, неужели вы потребовали бы, maman, чтобы я пожертвовал чувством и честью для состояния? – спросил он у матери, не понимая жестокости своего вопроса и желая только выказать свое благородство.
– Нет, ты меня не понял, – сказала мать, не зная, как оправдаться. – Ты меня не понял, Николинька. Я желаю твоего счастья, – прибавила она и почувствовала, что она говорит неправду, что она запуталась. – Она заплакала.
– Маменька, не плачьте, а только скажите мне, что вы этого хотите, и вы знаете, что я всю жизнь свою, всё отдам для того, чтобы вы были спокойны, – сказал Николай. Я всем пожертвую для вас, даже своим чувством.
Но графиня не так хотела поставить вопрос: она не хотела жертвы от своего сына, она сама бы хотела жертвовать ему.
– Нет, ты меня не понял, не будем говорить, – сказала она, утирая слезы.
«Да, может быть, я и люблю бедную девушку, говорил сам себе Николай, что ж, мне пожертвовать чувством и честью для состояния? Удивляюсь, как маменька могла мне сказать это. Оттого что Соня бедна, то я и не могу любить ее, думал он, – не могу отвечать на ее верную, преданную любовь. А уж наверное с ней я буду счастливее, чем с какой нибудь куклой Жюли. Пожертвовать своим чувством я всегда могу для блага своих родных, говорил он сам себе, но приказывать своему чувству я не могу. Ежели я люблю Соню, то чувство мое сильнее и выше всего для меня».
Николай не поехал в Москву, графиня не возобновляла с ним разговора о женитьбе и с грустью, а иногда и озлоблением видела признаки всё большего и большего сближения между своим сыном и бесприданной Соней. Она упрекала себя за то, но не могла не ворчать, не придираться к Соне, часто без причины останавливая ее, называя ее «вы», и «моя милая». Более всего добрая графиня за то и сердилась на Соню, что эта бедная, черноглазая племянница была так кротка, так добра, так преданно благодарна своим благодетелям, и так верно, неизменно, с самоотвержением влюблена в Николая, что нельзя было ни в чем упрекнуть ее.
Николай доживал у родных свой срок отпуска. От жениха князя Андрея получено было 4 е письмо, из Рима, в котором он писал, что он уже давно бы был на пути в Россию, ежели бы неожиданно в теплом климате не открылась его рана, что заставляет его отложить свой отъезд до начала будущего года. Наташа была так же влюблена в своего жениха, так же успокоена этой любовью и так же восприимчива ко всем радостям жизни; но в конце четвертого месяца разлуки с ним, на нее начинали находить минуты грусти, против которой она не могла бороться. Ей жалко было самое себя, жалко было, что она так даром, ни для кого, пропадала всё это время, в продолжение которого она чувствовала себя столь способной любить и быть любимой.
В доме Ростовых было невесело.


Пришли святки, и кроме парадной обедни, кроме торжественных и скучных поздравлений соседей и дворовых, кроме на всех надетых новых платьев, не было ничего особенного, ознаменовывающего святки, а в безветренном 20 ти градусном морозе, в ярком ослепляющем солнце днем и в звездном зимнем свете ночью, чувствовалась потребность какого нибудь ознаменования этого времени.
На третий день праздника после обеда все домашние разошлись по своим комнатам. Было самое скучное время дня. Николай, ездивший утром к соседям, заснул в диванной. Старый граф отдыхал в своем кабинете. В гостиной за круглым столом сидела Соня, срисовывая узор. Графиня раскладывала карты. Настасья Ивановна шут с печальным лицом сидел у окна с двумя старушками. Наташа вошла в комнату, подошла к Соне, посмотрела, что она делает, потом подошла к матери и молча остановилась.
– Что ты ходишь, как бесприютная? – сказала ей мать. – Что тебе надо?
– Его мне надо… сейчас, сию минуту мне его надо, – сказала Наташа, блестя глазами и не улыбаясь. – Графиня подняла голову и пристально посмотрела на дочь.
– Не смотрите на меня. Мама, не смотрите, я сейчас заплачу.
– Садись, посиди со мной, – сказала графиня.
– Мама, мне его надо. За что я так пропадаю, мама?… – Голос ее оборвался, слезы брызнули из глаз, и она, чтобы скрыть их, быстро повернулась и вышла из комнаты. Она вышла в диванную, постояла, подумала и пошла в девичью. Там старая горничная ворчала на молодую девушку, запыхавшуюся, с холода прибежавшую с дворни.
– Будет играть то, – говорила старуха. – На всё время есть.
– Пусти ее, Кондратьевна, – сказала Наташа. – Иди, Мавруша, иди.
И отпустив Маврушу, Наташа через залу пошла в переднюю. Старик и два молодые лакея играли в карты. Они прервали игру и встали при входе барышни. «Что бы мне с ними сделать?» подумала Наташа. – Да, Никита, сходи пожалуста… куда бы мне его послать? – Да, сходи на дворню и принеси пожалуста петуха; да, а ты, Миша, принеси овса.
– Немного овса прикажете? – весело и охотно сказал Миша.
– Иди, иди скорее, – подтвердил старик.
– Федор, а ты мелу мне достань.
Проходя мимо буфета, она велела подавать самовар, хотя это было вовсе не время.
Буфетчик Фока был самый сердитый человек из всего дома. Наташа над ним любила пробовать свою власть. Он не поверил ей и пошел спросить, правда ли?
– Уж эта барышня! – сказал Фока, притворно хмурясь на Наташу.
Никто в доме не рассылал столько людей и не давал им столько работы, как Наташа. Она не могла равнодушно видеть людей, чтобы не послать их куда нибудь. Она как будто пробовала, не рассердится ли, не надуется ли на нее кто из них, но ничьих приказаний люди не любили так исполнять, как Наташиных. «Что бы мне сделать? Куда бы мне пойти?» думала Наташа, медленно идя по коридору.
– Настасья Ивановна, что от меня родится? – спросила она шута, который в своей куцавейке шел навстречу ей.
– От тебя блохи, стрекозы, кузнецы, – отвечал шут.
– Боже мой, Боже мой, всё одно и то же. Ах, куда бы мне деваться? Что бы мне с собой сделать? – И она быстро, застучав ногами, побежала по лестнице к Фогелю, который с женой жил в верхнем этаже. У Фогеля сидели две гувернантки, на столе стояли тарелки с изюмом, грецкими и миндальными орехами. Гувернантки разговаривали о том, где дешевле жить, в Москве или в Одессе. Наташа присела, послушала их разговор с серьезным задумчивым лицом и встала. – Остров Мадагаскар, – проговорила она. – Ма да гас кар, – повторила она отчетливо каждый слог и не отвечая на вопросы m me Schoss о том, что она говорит, вышла из комнаты. Петя, брат ее, был тоже наверху: он с своим дядькой устраивал фейерверк, который намеревался пустить ночью. – Петя! Петька! – закричала она ему, – вези меня вниз. с – Петя подбежал к ней и подставил спину. Она вскочила на него, обхватив его шею руками и он подпрыгивая побежал с ней. – Нет не надо – остров Мадагаскар, – проговорила она и, соскочив с него, пошла вниз.
Как будто обойдя свое царство, испытав свою власть и убедившись, что все покорны, но что всё таки скучно, Наташа пошла в залу, взяла гитару, села в темный угол за шкапчик и стала в басу перебирать струны, выделывая фразу, которую она запомнила из одной оперы, слышанной в Петербурге вместе с князем Андреем. Для посторонних слушателей у ней на гитаре выходило что то, не имевшее никакого смысла, но в ее воображении из за этих звуков воскресал целый ряд воспоминаний. Она сидела за шкапчиком, устремив глаза на полосу света, падавшую из буфетной двери, слушала себя и вспоминала. Она находилась в состоянии воспоминания.
Соня прошла в буфет с рюмкой через залу. Наташа взглянула на нее, на щель в буфетной двери и ей показалось, что она вспоминает то, что из буфетной двери в щель падал свет и что Соня прошла с рюмкой. «Да и это было точь в точь также», подумала Наташа. – Соня, что это? – крикнула Наташа, перебирая пальцами на толстой струне.
– Ах, ты тут! – вздрогнув, сказала Соня, подошла и прислушалась. – Не знаю. Буря? – сказала она робко, боясь ошибиться.
«Ну вот точно так же она вздрогнула, точно так же подошла и робко улыбнулась тогда, когда это уж было», подумала Наташа, «и точно так же… я подумала, что в ней чего то недостает».
– Нет, это хор из Водоноса, слышишь! – И Наташа допела мотив хора, чтобы дать его понять Соне.
– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его , дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.
После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.


– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.
Соня не помнила многого из того, что они вспоминали, а и то, что она помнила, не возбуждало в ней того поэтического чувства, которое они испытывали. Она только наслаждалась их радостью, стараясь подделаться под нее.
Она приняла участие только в том, когда они вспоминали первый приезд Сони. Соня рассказала, как она боялась Николая, потому что у него на курточке были снурки, и ей няня сказала, что и ее в снурки зашьют.
– А я помню: мне сказали, что ты под капустою родилась, – сказала Наташа, – и помню, что я тогда не смела не поверить, но знала, что это не правда, и так мне неловко было.
Во время этого разговора из задней двери диванной высунулась голова горничной. – Барышня, петуха принесли, – шопотом сказала девушка.
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.
В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
Диммлер, подсев к графине и закрыв глаза, слушал.
– Нет, графиня, – сказал он наконец, – это талант европейский, ей учиться нечего, этой мягкости, нежности, силы…
– Ах! как я боюсь за нее, как я боюсь, – сказала графиня, не помня, с кем она говорит. Ее материнское чутье говорило ей, что чего то слишком много в Наташе, и что от этого она не будет счастлива. Наташа не кончила еще петь, как в комнату вбежал восторженный четырнадцатилетний Петя с известием, что пришли ряженые.
Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.
Через полчаса в зале между другими ряжеными появилась еще старая барыня в фижмах – это был Николай. Турчанка был Петя. Паяс – это был Диммлер, гусар – Наташа и черкес – Соня, с нарисованными пробочными усами и бровями.
После снисходительного удивления, неузнавания и похвал со стороны не наряженных, молодые люди нашли, что костюмы так хороши, что надо было их показать еще кому нибудь.
Николай, которому хотелось по отличной дороге прокатить всех на своей тройке, предложил, взяв с собой из дворовых человек десять наряженных, ехать к дядюшке.
– Нет, ну что вы его, старика, расстроите! – сказала графиня, – да и негде повернуться у него. Уж ехать, так к Мелюковым.
Мелюкова была вдова с детьми разнообразного возраста, также с гувернантками и гувернерами, жившая в четырех верстах от Ростовых.
– Вот, ma chere, умно, – подхватил расшевелившийся старый граф. – Давай сейчас наряжусь и поеду с вами. Уж я Пашету расшевелю.
Но графиня не согласилась отпустить графа: у него все эти дни болела нога. Решили, что Илье Андреевичу ехать нельзя, а что ежели Луиза Ивановна (m me Schoss) поедет, то барышням можно ехать к Мелюковой. Соня, всегда робкая и застенчивая, настоятельнее всех стала упрашивать Луизу Ивановну не отказать им.
Наряд Сони был лучше всех. Ее усы и брови необыкновенно шли к ней. Все говорили ей, что она очень хороша, и она находилась в несвойственном ей оживленно энергическом настроении. Какой то внутренний голос говорил ей, что нынче или никогда решится ее судьба, и она в своем мужском платье казалась совсем другим человеком. Луиза Ивановна согласилась, и через полчаса четыре тройки с колокольчиками и бубенчиками, визжа и свистя подрезами по морозному снегу, подъехали к крыльцу.
Наташа первая дала тон святочного веселья, и это веселье, отражаясь от одного к другому, всё более и более усиливалось и дошло до высшей степени в то время, когда все вышли на мороз, и переговариваясь, перекликаясь, смеясь и крича, расселись в сани.
Две тройки были разгонные, третья тройка старого графа с орловским рысаком в корню; четвертая собственная Николая с его низеньким, вороным, косматым коренником. Николай в своем старушечьем наряде, на который он надел гусарский, подпоясанный плащ, стоял в середине своих саней, подобрав вожжи.
Было так светло, что он видел отблескивающие на месячном свете бляхи и глаза лошадей, испуганно оглядывавшихся на седоков, шумевших под темным навесом подъезда.
В сани Николая сели Наташа, Соня, m me Schoss и две девушки. В сани старого графа сели Диммлер с женой и Петя; в остальные расселись наряженные дворовые.
– Пошел вперед, Захар! – крикнул Николай кучеру отца, чтобы иметь случай перегнать его на дороге.
Тройка старого графа, в которую сел Диммлер и другие ряженые, визжа полозьями, как будто примерзая к снегу, и побрякивая густым колокольцом, тронулась вперед. Пристяжные жались на оглобли и увязали, выворачивая как сахар крепкий и блестящий снег.
Николай тронулся за первой тройкой; сзади зашумели и завизжали остальные. Сначала ехали маленькой рысью по узкой дороге. Пока ехали мимо сада, тени от оголенных деревьев ложились часто поперек дороги и скрывали яркий свет луны, но как только выехали за ограду, алмазно блестящая, с сизым отблеском, снежная равнина, вся облитая месячным сиянием и неподвижная, открылась со всех сторон. Раз, раз, толконул ухаб в передних санях; точно так же толконуло следующие сани и следующие и, дерзко нарушая закованную тишину, одни за другими стали растягиваться сани.