Закон Гука

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

<math>F = k \Delta l.</math>

Здесь <math>F</math> — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, <math>\Delta l</math> — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а <math>k</math> — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения <math>S</math> и длины <math>L</math>) явно, записав коэффициент упругости как

<math>k = \frac{ES} L.</math>

Величина <math>E</math> называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

<math>\varepsilon = \frac{\Delta l} L</math>

и нормальное напряжение в поперечном сечении

<math>\sigma = \frac F S ,</math>

то закон Гука для относительных величин запишется как

<math>\sigma = E\varepsilon \ .</math>

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

<math>\Delta l = \frac{FL} {ES}.</math>

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга <math>C_{ijkl}</math> и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора <math>C_{ijkl}</math>, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

<math>\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl},</math>

где <math>\sigma_{ij}</math> — тензор напряжений, <math>\varepsilon_{kl},</math> — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор <math>C_{ijkl}</math> содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

<math>\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_y-\frac{\mu}{E}\sigma_z</math>

<math>\varepsilon_y=\frac{\sigma_y}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_z</math>

<math>\varepsilon_z=\frac{\sigma_z}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_y</math>

<math>\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}</math>

<math>\gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G}</math>

<math>\gamma_{xz}=\frac{\tau_{xz}}{G}</math>

где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\mu</math> — коэффициент Пуассона, <math>G=\frac{E}{2(1+\mu)}</math> — модуль сдвига.

См. также

• Модуль упругости
• Коэффициент Пуассона
• Тензор напряжений
• Тензор деформации
• Теория упругости

Отрывок, характеризующий Закон Гука

[Принцу Мюрату. Шенбрюнн, 25 брюмера 1805 г. 8 часов утра.
Я не могу найти слов чтоб выразить вам мое неудовольствие. Вы командуете только моим авангардом и не имеете права делать перемирие без моего приказания. Вы заставляете меня потерять плоды целой кампании. Немедленно разорвите перемирие и идите против неприятеля. Вы объявите ему, что генерал, подписавший эту капитуляцию, не имел на это права, и никто не имеет, исключая лишь российского императора.
Впрочем, если российский император согласится на упомянутое условие, я тоже соглашусь; но это не что иное, как хитрость. Идите, уничтожьте русскую армию… Вы можете взять ее обозы и ее артиллерию.
Генерал адъютант российского императора обманщик… Офицеры ничего не значат, когда не имеют власти полномочия; он также не имеет его… Австрийцы дали себя обмануть при переходе венского моста, а вы даете себя обмануть адъютантам императора.
Наполеон.]
Адъютант Бонапарте во всю прыть лошади скакал с этим грозным письмом к Мюрату. Сам Бонапарте, не доверяя своим генералам, со всею гвардией двигался к полю сражения, боясь упустить готовую жертву, а 4.000 ный отряд Багратиона, весело раскладывая костры, сушился, обогревался, варил в первый раз после трех дней кашу, и никто из людей отряда не знал и не думал о том, что предстояло ему.


В четвертом часу вечера князь Андрей, настояв на своей просьбе у Кутузова, приехал в Грунт и явился к Багратиону.
Адъютант Бонапарте еще не приехал в отряд Мюрата, и сражение еще не начиналось. В отряде Багратиона ничего не знали об общем ходе дел, говорили о мире, но не верили в его возможность. Говорили о сражении и тоже не верили и в близость сражения. Багратион, зная Болконского за любимого и доверенного адъютанта, принял его с особенным начальническим отличием и снисхождением, объяснил ему, что, вероятно, нынче или завтра будет сражение, и предоставил ему полную свободу находиться при нем во время сражения или в ариергарде наблюдать за порядком отступления, «что тоже было очень важно».
– Впрочем, нынче, вероятно, дела не будет, – сказал Багратион, как бы успокоивая князя Андрея.
«Ежели это один из обыкновенных штабных франтиков, посылаемых для получения крестика, то он и в ариергарде получит награду, а ежели хочет со мной быть, пускай… пригодится, коли храбрый офицер», подумал Багратион. Князь Андрей ничего не ответив, попросил позволения князя объехать позицию и узнать расположение войск с тем, чтобы в случае поручения знать, куда ехать. Дежурный офицер отряда, мужчина красивый, щеголевато одетый и с алмазным перстнем на указательном пальце, дурно, но охотно говоривший по французски, вызвался проводить князя Андрея.
Со всех сторон виднелись мокрые, с грустными лицами офицеры, чего то как будто искавшие, и солдаты, тащившие из деревни двери, лавки и заборы.
– Вот не можем, князь, избавиться от этого народа, – сказал штаб офицер, указывая на этих людей. – Распускают командиры. А вот здесь, – он указал на раскинутую палатку маркитанта, – собьются и сидят. Нынче утром всех выгнал: посмотрите, опять полна. Надо подъехать, князь, пугнуть их. Одна минута.