Спор о струне

Спор о струне, спор о колеблющейся струне, спор о звучащей струне — научная дискуссия, развернувшаяся в XVIII веке между крупнейшими учёными того времени вокруг изучения колебаний струны. В спор оказались вовлечены Д’Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. Дискуссия касалась определения понятия функции и оказала решающее влияние на множество разделов математики: теорию дифференциальных уравнений в частных производных, математический анализ и теорию функций вещественного переменного, теорию тригонометрических рядов Фурье и теорию обобщенных функций и пространств Соболева.

Предпосылки к спору

Возможность теоретического изучения колебаний с точки зрения механики появилась с открытием законов Ньютона (1687) и разработкой анализа бесконечно малых, интегрального и дифференциального исчислений. Однако различные исследования велись и до этого момента Галилеем, Мерсенном, Декартом, Гюйгенсом и др. В 1625 году Мерсенном была обнаружена зависимость между частотой <math>\nu</math>, натяжением <math>T</math>, площадью поперечного сечения <math>A</math> и длиной <math>l</math> струны, выражающаяся в пропорциональности

<math>\nu \propto \frac{1}{l}\sqrt{\frac{T}{A}}</math>

Закон Мерсенна был объяснен теоретически Тейлором почти через столетие, в 1713 году. В его работе исследуется отклонение струны от начального положения, выраженное в виде функции <math>y=y(x)</math>.

Тейлор полагал, что в любой фиксированный момент времени струна должна иметь форму синусоиды <math>y=k \sin(\pi x/l)</math> (что на самом деле оказывается простейшей формой колеблющейся струны), амплитуда которой зависит от времени, и что при любом начальном условии струна стремится перейти в такое «основное» состояние (что, как оказалось, не соответствует действительности). Этот подход, иногда называемый «методом стоячих волн», был продолжен Д. Бернулли, однако получил строгое обоснование лишь в работах Фурье.

Тейлор также установил, что сила натяжения, действующая на бесконечно-малый элемент струны и направленная в сторону её отклонения, пропорциональна второй производной <math>d^2 y/dx^2</math>. В дальнейшем Д’Аламбер стал рассматривать зависимость отклонения не только от пространственной координаты <math>x</math>, но и от времени <math>t</math>. Это позволило строго применить второй закон Ньютона, что, однако, потребовало переосмысления природы производной, рассматриваемой Тейлором: она стала частной производной <math>\partial^2 y/\partial x^2</math>. Ускорение элемента описывалось другой частной производной: <math>\partial^2 y/\partial t^2</math>.

В 1747 году Д’Аламбер переформулировал закон, найденный Тейлором, в терминах дифференциальных уравнений с частными производными и записал уравнение колебания струны в современном виде, называемом волновым уравнением:

<math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. </math>

Решения Д’Аламбера и Эйлера

Д’Аламбер применяет следующий подход к решению уравнения колебания струны. Полагая <math>a=1</math>, он замечает, что при выполнении уравнения колебаний струны справедливо равенство

<math>

d\left( \frac{\partial y}{\partial x}\pm \frac{\partial y}{\partial t} \right)=\left( \frac{\partial^2y }{\partial t^2}\pm \frac{\partial^2 y}{\partial x\partial t}\right)(dt\pm dx),

</math>

и делает вывод, что коэффициент при дифференциальной форме <math>dt\pm dx</math> является функцией от <math>(t\pm x)</math> и может быть вычислен интегрированием правой части этого равенства. Это позволяет записать линейную систему на первые частные производные от <math>y\quad</math>, решение которой даёт полный дифференциал функции <math>y\quad</math>. Последняя восстанавливается повторным интегрированием. Этот метод позволяет записать решение уравнения колебания струны в виде

<math>y(t,x)=\phi(t+x)+\psi(t-x), \quad</math>

где <math>\phi\quad</math> и <math>\psi\quad</math> — некоторые произвольные функции, определяемые из начальных условий. Д’Аламбер назвал такое решение общим, подчеркивая, что оно представляет собой целое множество различных решений уравнения.

Аналогичное решение вскоре получил Эйлер, сформулировав то, что мы сейчас назвали бы задачей Коши с заданной начальной формой струны и нулевой начальной скоростью. Выведя уравнение колебания струны и рассматривая его для произвольного <math>a</math>, он получает решение

<math>y=\phi(x+at)+\psi(x-at), \quad</math>

незначительно отличающееся от решения Д’Аламбера. В 1766 году Эйлер разрабатывает новый метод, известный сейчас как метод характеристик: переходя к координатам <math>u=x+at, v=x-at\quad</math>, он записывает исходное уравнение в виде

<math>\frac{\partial^2y}{\partial u\, \partial v}=0,</math>

который легко поддается интегрированию.

Несмотря на то, что Д’Аламбер и Эйлер получили практически одинаковые по форме решения уравнения колебания, они по-разному воспринимали их смысл. Ключевая проблема состояла в том, что полученные решения содержали произвольные функции. Однако, общепринятого определения функции на тот момент не было, и среди математиков существовали разные мнения о том, какие функции допустимо рассматривать в анализе, а какие нет. Разногласия по этому вопросу между Д’Аламбером и Эйлером вылились в серию публикаций, начавших спор о струне, к которому впоследствии присоединились другие ученые.

Определение функции

В зарождающемся математическом анализе XVII—XVIII веков присутствовали два основных подхода: наглядный нестрогий механико-геометрический и формальный алгебраический. С этих двух точек зрения воспринималось и понятие функции. С механистической точки зрения, восходящей к Ньютону и Барроу, функция — это переменная величина, изменяющаяся с течением времени. Последнее в данном случае выступает в качестве аргумента. Другой подход к функции, восходящий к Ферма и Декарту, но впервые явно сформулированный Иоганном Бернулли (отцом Даниила Бернулли, о котором пойдет речь ниже), состоит в том, что «функцией переменной величины… называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных» то есть, некоторая формула, аналитическое выражение от аргумента (не обязательно являющееся аналитической функцией в современном понимании). Класс допустимых операций, с помощью которых можно было получать функции, также варьировался, однако обычно включал в себя арифметические действия, извлечение корня и переходы к пределам, что позволяло рассматривать бесконечные ряды. Первый подход доставлял более широкий класс функций, однако ни строгого определения, ни эффективных методов работы со столь общим понятием функции к середине XVIII в. математики не имели, и в анализе, а также геометрических приложениях, исследовались функции, задаваемые одной формулой.

Д’Аламбер рассматривал задачу о струне в первую очередь с позиции чистого математика, и не считал своей целью объяснение таких физических эффектов, как гармоническое звучание струны или явление обертонов. Это может показаться несколько странным, но подобный подход к задачам, изначально происходящим из физики, оказался чрезвычайно эффективным в науке XVIII века. Так, рассматривая колебание струны с закрепленными концами и нулевой начальной скоростью, Д’Аламбер записывает решение в виде

<math>y(t,x)=\frac{1}{2}(f(x-at)+f(x+at))</math>,

полагая при этом, что функция <math>f(x)</math>, определяющая положение струны в начальной момент времени, должна быть задана каким-то одним правилом, действующим для всех вещественных чисел (чтобы решение было определено для любого момента времени), но таким, чтобы она была нечетной и периодической, с периодом длины 2l (где l — длина струны), что требуется для выполнения граничных условий.

Начальное состояние струны, деформированной на небольшом интервале

анимация

Для Эйлера, напротив, было понятно, что струне в начальный момент времени можно придать форму практически произвольной кривой, начерченной «свободным влечением руки». Из физических соображений он предложил рассмотреть функцию, определенную на интервале <math>0\le x\le l</math>, а затем продолжить эту функцию, пользуясь её нечетностью и периодичностью, на все вещественные числа. Получившийся объект, однако, не был «функцией» в том смысле, который в него вкладывал Д’Аламбер (и даже сам Эйлер ранее). Впоследствии Эйлер предлагал также считать, что начальное условие (а, следовательно, и решение) может быть задано не одним аналитическим выражением, а несколькими («кусочно-аналитическое» задание), а впоследствии и вообще отказался от аналитического задания. В частности, он допускал негладкие функции c «изломами» графика — которые естественно представить себе, рассматривая струну, оттянутую в одной точке.

Начальное состояние струны, оттянутой в одной точке

анимация

Д’Аламбер отмечал, что рассматривать произвольную кривую нельзя, поскольку это «противоречит всем правилам анализа», и настаивал на том, что начальное условие обязано задаваться одной периодической, нечетной и всюду дифференцируемой функцией. Отдельной критике подверглось использование функций «с изломами». Д’Аламбер писал, что само уравнения колебания требует, чтобы решение имело как минимум вторые частные производные. Однако если начальное условие имело излом в какой-то точке, то и решение, получемое по найденным формулам, оказывалось негладким в какой-то момент времени в любой наперед заданной точке. Тем самым, оно не могло удовлетворять уравнению в точках изломов. Здесь особую роль сыграло свойство гиперболических уравнений в частных производных (к которым относится уравнение колебания струны) сохранять гладкость начального условия, а не увеличивать её (что происходит в случае эллиптических уравнений).

Основной ответ Эйлера на общие возражения состоял в том, что изучение уравнений с частными производными существенно отличается от «обычного анализа» функций одной переменной, где в основном рассматриваются преобразования отдельных аналитических выражений, и нет необходимости рассматривать «смешанные» функции. Ответ на возражения по поводу негладких решений сводился к тому, что оно будет отличаться от гладкой лишь на «бесконечно-малую» величину, и это различие можно игнорировать — что, конечно, не могло устроить Д’Аламбера. Другой аргумент состоял в том, что Эйлер предложил «забыть» об исходном уравнении, и считать, что явление описывается найденным общим решением, а не уравнением.

Взгляд физика: решение Д. Бернулли

Даниил Бернулли вступил в спор между Эйлером и Д’Аламбером, подвергнув критике их решения с точки зрения физики как чрезвычайно абстрактные. В своих публикациях он отмечал, что это замечательные математические результаты, но спрашивал: «при чём здесь звучащие струны?».

Исходя из представлений о природе колебаний, он развивает идею о важной роли «чистых колебаний» синусоидальной формы, появившуюся ещё у Тейлора. Его догадка заключалась в том, что произвольное колебание может быть представлено как «наложение» или сумма нескольких чистых колебаний (принцип суперпозиции), что соответствовало наблюдением за струной: издаваемый ею звук состоит из основного тона и множества обертонов. Бернулли нашёл решение уравнения колебания в виде суммы тригонометрического ряда и утверждал (опять же, исходя из физических соображений), что таким рядом можно представить произвольную функцию. Это предположение он не мог подтвердить математически — в частности, он не знал формулы для вычисления коэффициентов такого ряда. Тем не менее, он полагал, что его решение не только имеет бо́льший физический смысл, чем решения Д’Аламбера и Эйлера, но и является более общим.

Ряды были важным объектом изучения в то время, и многие математики (включая Ньютона) рассматривали степенные ряды (с вещественными показателями степеней) как универсальный способ записи произвольных функций. Однако, необходимого уровня понимания тригонометрического ряда на тот момент достигнуто не было, и ни Д’Аламбер, ни Эйлер не согласились с тем, что тригонометрический ряд способен описывать достаточно широкий класс функций. Это непонимание усиливалось распространенным тогда представлением, что если два аналитических выражения совпадают на каком-то участке числовой оси, то они совпадают всюду. Так, Эйлер не мог поверить в то, что тригонометрическим рядом можно описать поведение струны, возмущённой только на небольшом участке. Возражения также вызывало требование периодичности функции, представимой в виде ряда, естественно следующее из периодичности слагаемых.

Лишь в много более поздних работах Фурье (начало XIX века) было показано, что даже недоступные для описания степенным рядом (и не являющиеся аналитическими в современном понимании) функции с изломами могут быть представлены на некотором отрезке тригонометрическим рядом. Дальнейшие исследования вопросов сходимости рядов Фурье привели Кантора к построению теории множеств и, в конечном итоге, к появлению современного функционального анализа.

Обобщённые функции

Результаты Фурье ответили на один из ключевых вопросов в споре о струне: о представимости широкого класса функций тригонометрическим рядом. Однако, другой источник разногласий — парадокс, связанный с возможностью негладкости начальных условий, а, следовательно, и решений — оставался открытым не только в XVIII, но и в XIX веке. Он был разрешён только в XX веке с появлением аппарата обобщённых функций (распределений). Основы этой теории были заложены в конце 1936 года С. Л. Соболевым в результате исследования задачи Коши для гиперболических уравнений (к которым относится и уравнение колебания струны) и в дальнейшем строго развиты Лораном Шварцем в 1950-х годах.

Идея состоит в замене уравнения колебания на эквивалентное ему (в некотором смысле) интегральное уравнение, решение которого ищется уже не в классе дважды гладких функций, а в так называемых соболевских пространствах, представляющих собой пополнение пространства непрерывных функций по некоторой специальной метрике. Можно также считать, что производные негладкой функции, стоящие в левой части уравнения колебания струны, являются обобщённой функцией, и равенство справедливо в смысле обобщённых функций.

Литература

• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II, математика XVII столетия. — 300 с.
• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — Т. III, математика XVIII столетия. — 495 с.
• Стиллвелл, Дж. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований/РХД, 2004. — 530 с.
• Wheeler, G. F., Crummett W. P. The vibrating string controversy // American Journal of Physics. — American Association of Physics Teachers, 1987. — Vol. 55, № 1. — P. 33—37. — DOI:10.1119/1.15311.
• Christensen, T. [www.musictheory21.com/jae-sung/syllabus/graduate/rameau-studies/2002-1/documents/christensen-eighteenth-century-science.pdf Eighteenth-Century Science and the Corps Sonore: the Scientific Background to Rameau’s Principle of Harmony] // Journal of Music Theory. — 1987. — Vol. 31. — P. 23—50.
• Ravetz J. R. Vibrating Strings and Arbitrary Functions // The Logic of Personal Knowledge: Essays Presented to M. Polanyi on his Seventieth Birthday. — London: Routledge, 1961. — P. 71—88.
• Kleiner, I. [citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.113.6352 Evolution of the function concept: A brief survey] // The College Mathematics Journal. — 1989. — Vol. 20. — P. 282—300.
• Ларин А. А. [www.nbuv.gov.ua/portal/natural/vcpi/Ist/2008_8/aal.htm Зарождение математической физики и теории колебаний континуальных систем в «Споре о струне»] // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». История науки и техники. — 2008. — № 8.

Отрывок, характеризующий Спор о струне

– Тише, тише, разве нельзя тише? – видимо, более страдая, чем умирающий солдат, проговорил государь и отъехал прочь.
Ростов видел слезы, наполнившие глаза государя, и слышал, как он, отъезжая, по французски сказал Чарторижскому:
– Какая ужасная вещь война, какая ужасная вещь! Quelle terrible chose que la guerre!
Войска авангарда расположились впереди Вишау, в виду цепи неприятельской, уступавшей нам место при малейшей перестрелке в продолжение всего дня. Авангарду объявлена была благодарность государя, обещаны награды, и людям роздана двойная порция водки. Еще веселее, чем в прошлую ночь, трещали бивачные костры и раздавались солдатские песни.
Денисов в эту ночь праздновал производство свое в майоры, и Ростов, уже довольно выпивший в конце пирушки, предложил тост за здоровье государя, но «не государя императора, как говорят на официальных обедах, – сказал он, – а за здоровье государя, доброго, обворожительного и великого человека; пьем за его здоровье и за верную победу над французами!»
– Коли мы прежде дрались, – сказал он, – и не давали спуску французам, как под Шенграбеном, что же теперь будет, когда он впереди? Мы все умрем, с наслаждением умрем за него. Так, господа? Может быть, я не так говорю, я много выпил; да я так чувствую, и вы тоже. За здоровье Александра первого! Урра!
– Урра! – зазвучали воодушевленные голоса офицеров.
И старый ротмистр Кирстен кричал воодушевленно и не менее искренно, чем двадцатилетний Ростов.
Когда офицеры выпили и разбили свои стаканы, Кирстен налил другие и, в одной рубашке и рейтузах, с стаканом в руке подошел к солдатским кострам и в величественной позе взмахнув кверху рукой, с своими длинными седыми усами и белой грудью, видневшейся из за распахнувшейся рубашки, остановился в свете костра.
– Ребята, за здоровье государя императора, за победу над врагами, урра! – крикнул он своим молодецким, старческим, гусарским баритоном.
Гусары столпились и дружно отвечали громким криком.
Поздно ночью, когда все разошлись, Денисов потрепал своей коротенькой рукой по плечу своего любимца Ростова.
– Вот на походе не в кого влюбиться, так он в ца'я влюбился, – сказал он.
– Денисов, ты этим не шути, – крикнул Ростов, – это такое высокое, такое прекрасное чувство, такое…
– Ве'ю, ве'ю, д'ужок, и 'азделяю и одоб'яю…
– Нет, не понимаешь!
И Ростов встал и пошел бродить между костров, мечтая о том, какое было бы счастие умереть, не спасая жизнь (об этом он и не смел мечтать), а просто умереть в глазах государя. Он действительно был влюблен и в царя, и в славу русского оружия, и в надежду будущего торжества. И не он один испытывал это чувство в те памятные дни, предшествующие Аустерлицкому сражению: девять десятых людей русской армии в то время были влюблены, хотя и менее восторженно, в своего царя и в славу русского оружия.


На следующий день государь остановился в Вишау. Лейб медик Вилье несколько раз был призываем к нему. В главной квартире и в ближайших войсках распространилось известие, что государь был нездоров. Он ничего не ел и дурно спал эту ночь, как говорили приближенные. Причина этого нездоровья заключалась в сильном впечатлении, произведенном на чувствительную душу государя видом раненых и убитых.
На заре 17 го числа в Вишау был препровожден с аванпостов французский офицер, приехавший под парламентерским флагом, требуя свидания с русским императором. Офицер этот был Савари. Государь только что заснул, и потому Савари должен был дожидаться. В полдень он был допущен к государю и через час поехал вместе с князем Долгоруковым на аванпосты французской армии.
Как слышно было, цель присылки Савари состояла в предложении свидания императора Александра с Наполеоном. В личном свидании, к радости и гордости всей армии, было отказано, и вместо государя князь Долгоруков, победитель при Вишау, был отправлен вместе с Савари для переговоров с Наполеоном, ежели переговоры эти, против чаяния, имели целью действительное желание мира.
Ввечеру вернулся Долгоруков, прошел прямо к государю и долго пробыл у него наедине.
18 и 19 ноября войска прошли еще два перехода вперед, и неприятельские аванпосты после коротких перестрелок отступали. В высших сферах армии с полдня 19 го числа началось сильное хлопотливо возбужденное движение, продолжавшееся до утра следующего дня, 20 го ноября, в который дано было столь памятное Аустерлицкое сражение.
До полудня 19 числа движение, оживленные разговоры, беготня, посылки адъютантов ограничивались одной главной квартирой императоров; после полудня того же дня движение передалось в главную квартиру Кутузова и в штабы колонных начальников. Вечером через адъютантов разнеслось это движение по всем концам и частям армии, и в ночь с 19 на 20 поднялась с ночлегов, загудела говором и заколыхалась и тронулась громадным девятиверстным холстом 80 титысячная масса союзного войска.
Сосредоточенное движение, начавшееся поутру в главной квартире императоров и давшее толчок всему дальнейшему движению, было похоже на первое движение серединного колеса больших башенных часов. Медленно двинулось одно колесо, повернулось другое, третье, и всё быстрее и быстрее пошли вертеться колеса, блоки, шестерни, начали играть куранты, выскакивать фигуры, и мерно стали подвигаться стрелки, показывая результат движения.
Как в механизме часов, так и в механизме военного дела, так же неудержимо до последнего результата раз данное движение, и так же безучастно неподвижны, за момент до передачи движения, части механизма, до которых еще не дошло дело. Свистят на осях колеса, цепляясь зубьями, шипят от быстроты вертящиеся блоки, а соседнее колесо так же спокойно и неподвижно, как будто оно сотни лет готово простоять этою неподвижностью; но пришел момент – зацепил рычаг, и, покоряясь движению, трещит, поворачиваясь, колесо и сливается в одно действие, результат и цель которого ему непонятны.
Как в часах результат сложного движения бесчисленных различных колес и блоков есть только медленное и уравномеренное движение стрелки, указывающей время, так и результатом всех сложных человеческих движений этих 1000 русских и французов – всех страстей, желаний, раскаяний, унижений, страданий, порывов гордости, страха, восторга этих людей – был только проигрыш Аустерлицкого сражения, так называемого сражения трех императоров, т. е. медленное передвижение всемирно исторической стрелки на циферблате истории человечества.
Князь Андрей был в этот день дежурным и неотлучно при главнокомандующем.
В 6 м часу вечера Кутузов приехал в главную квартиру императоров и, недолго пробыв у государя, пошел к обер гофмаршалу графу Толстому.
Болконский воспользовался этим временем, чтобы зайти к Долгорукову узнать о подробностях дела. Князь Андрей чувствовал, что Кутузов чем то расстроен и недоволен, и что им недовольны в главной квартире, и что все лица императорской главной квартиры имеют с ним тон людей, знающих что то такое, чего другие не знают; и поэтому ему хотелось поговорить с Долгоруковым.
– Ну, здравствуйте, mon cher, – сказал Долгоруков, сидевший с Билибиным за чаем. – Праздник на завтра. Что ваш старик? не в духе?
– Не скажу, чтобы был не в духе, но ему, кажется, хотелось бы, чтоб его выслушали.
– Да его слушали на военном совете и будут слушать, когда он будет говорить дело; но медлить и ждать чего то теперь, когда Бонапарт боится более всего генерального сражения, – невозможно.
– Да вы его видели? – сказал князь Андрей. – Ну, что Бонапарт? Какое впечатление он произвел на вас?
– Да, видел и убедился, что он боится генерального сражения более всего на свете, – повторил Долгоруков, видимо, дорожа этим общим выводом, сделанным им из его свидания с Наполеоном. – Ежели бы он не боялся сражения, для чего бы ему было требовать этого свидания, вести переговоры и, главное, отступать, тогда как отступление так противно всей его методе ведения войны? Поверьте мне: он боится, боится генерального сражения, его час настал. Это я вам говорю.
– Но расскажите, как он, что? – еще спросил князь Андрей.
– Он человек в сером сюртуке, очень желавший, чтобы я ему говорил «ваше величество», но, к огорчению своему, не получивший от меня никакого титула. Вот это какой человек, и больше ничего, – отвечал Долгоруков, оглядываясь с улыбкой на Билибина.
– Несмотря на мое полное уважение к старому Кутузову, – продолжал он, – хороши мы были бы все, ожидая чего то и тем давая ему случай уйти или обмануть нас, тогда как теперь он верно в наших руках. Нет, не надобно забывать Суворова и его правила: не ставить себя в положение атакованного, а атаковать самому. Поверьте, на войне энергия молодых людей часто вернее указывает путь, чем вся опытность старых кунктаторов.
– Но в какой же позиции мы атакуем его? Я был на аванпостах нынче, и нельзя решить, где он именно стоит с главными силами, – сказал князь Андрей.
Ему хотелось высказать Долгорукову свой, составленный им, план атаки.
– Ах, это совершенно всё равно, – быстро заговорил Долгоруков, вставая и раскрывая карту на столе. – Все случаи предвидены: ежели он стоит у Брюнна…
И князь Долгоруков быстро и неясно рассказал план флангового движения Вейротера.
Князь Андрей стал возражать и доказывать свой план, который мог быть одинаково хорош с планом Вейротера, но имел тот недостаток, что план Вейротера уже был одобрен. Как только князь Андрей стал доказывать невыгоды того и выгоды своего, князь Долгоруков перестал его слушать и рассеянно смотрел не на карту, а на лицо князя Андрея.
– Впрочем, у Кутузова будет нынче военный совет: вы там можете всё это высказать, – сказал Долгоруков.
– Я это и сделаю, – сказал князь Андрей, отходя от карты.
– И о чем вы заботитесь, господа? – сказал Билибин, до сих пор с веселой улыбкой слушавший их разговор и теперь, видимо, собираясь пошутить. – Будет ли завтра победа или поражение, слава русского оружия застрахована. Кроме вашего Кутузова, нет ни одного русского начальника колонн. Начальники: Неrr general Wimpfen, le comte de Langeron, le prince de Lichtenstein, le prince de Hohenloe et enfin Prsch… prsch… et ainsi de suite, comme tous les noms polonais. [Вимпфен, граф Ланжерон, князь Лихтенштейн, Гогенлое и еще Пришпршипрш, как все польские имена.]
– Taisez vous, mauvaise langue, [Удержите ваше злоязычие.] – сказал Долгоруков. – Неправда, теперь уже два русских: Милорадович и Дохтуров, и был бы 3 й, граф Аракчеев, но у него нервы слабы.
– Однако Михаил Иларионович, я думаю, вышел, – сказал князь Андрей. – Желаю счастия и успеха, господа, – прибавил он и вышел, пожав руки Долгорукову и Бибилину.
Возвращаясь домой, князь Андрей не мог удержаться, чтобы не спросить молчаливо сидевшего подле него Кутузова, о том, что он думает о завтрашнем сражении?
Кутузов строго посмотрел на своего адъютанта и, помолчав, ответил:
– Я думаю, что сражение будет проиграно, и я так сказал графу Толстому и просил его передать это государю. Что же, ты думаешь, он мне ответил? Eh, mon cher general, je me mele de riz et des et cotelettes, melez vous des affaires de la guerre. [И, любезный генерал! Я занят рисом и котлетами, а вы занимайтесь военными делами.] Да… Вот что мне отвечали!


В 10 м часу вечера Вейротер с своими планами переехал на квартиру Кутузова, где и был назначен военный совет. Все начальники колонн были потребованы к главнокомандующему, и, за исключением князя Багратиона, который отказался приехать, все явились к назначенному часу.
Вейротер, бывший полным распорядителем предполагаемого сражения, представлял своею оживленностью и торопливостью резкую противоположность с недовольным и сонным Кутузовым, неохотно игравшим роль председателя и руководителя военного совета. Вейротер, очевидно, чувствовал себя во главе.движения, которое стало уже неудержимо. Он был, как запряженная лошадь, разбежавшаяся с возом под гору. Он ли вез, или его гнало, он не знал; но он несся во всю возможную быстроту, не имея времени уже обсуждать того, к чему поведет это движение. Вейротер в этот вечер был два раза для личного осмотра в цепи неприятеля и два раза у государей, русского и австрийского, для доклада и объяснений, и в своей канцелярии, где он диктовал немецкую диспозицию. Он, измученный, приехал теперь к Кутузову.
Он, видимо, так был занят, что забывал даже быть почтительным с главнокомандующим: он перебивал его, говорил быстро, неясно, не глядя в лицо собеседника, не отвечая на деланные ему вопросы, был испачкан грязью и имел вид жалкий, измученный, растерянный и вместе с тем самонадеянный и гордый.
Кутузов занимал небольшой дворянский замок около Остралиц. В большой гостиной, сделавшейся кабинетом главнокомандующего, собрались: сам Кутузов, Вейротер и члены военного совета. Они пили чай. Ожидали только князя Багратиона, чтобы приступить к военному совету. В 8 м часу приехал ординарец Багратиона с известием, что князь быть не может. Князь Андрей пришел доложить о том главнокомандующему и, пользуясь прежде данным ему Кутузовым позволением присутствовать при совете, остался в комнате.
– Так как князь Багратион не будет, то мы можем начинать, – сказал Вейротер, поспешно вставая с своего места и приближаясь к столу, на котором была разложена огромная карта окрестностей Брюнна.
Кутузов в расстегнутом мундире, из которого, как бы освободившись, выплыла на воротник его жирная шея, сидел в вольтеровском кресле, положив симметрично пухлые старческие руки на подлокотники, и почти спал. На звук голоса Вейротера он с усилием открыл единственный глаз.
– Да, да, пожалуйста, а то поздно, – проговорил он и, кивнув головой, опустил ее и опять закрыл глаза.
Ежели первое время члены совета думали, что Кутузов притворялся спящим, то звуки, которые он издавал носом во время последующего чтения, доказывали, что в эту минуту для главнокомандующего дело шло о гораздо важнейшем, чем о желании выказать свое презрение к диспозиции или к чему бы то ни было: дело шло для него о неудержимом удовлетворении человеческой потребности – .сна. Он действительно спал. Вейротер с движением человека, слишком занятого для того, чтобы терять хоть одну минуту времени, взглянул на Кутузова и, убедившись, что он спит, взял бумагу и громким однообразным тоном начал читать диспозицию будущего сражения под заглавием, которое он тоже прочел:
«Диспозиция к атаке неприятельской позиции позади Кобельница и Сокольница, 20 ноября 1805 года».
Диспозиция была очень сложная и трудная. В оригинальной диспозиции значилось:
Da der Feind mit seinerien linken Fluegel an die mit Wald bedeckten Berge lehnt und sich mit seinerien rechten Fluegel laengs Kobeinitz und Sokolienitz hinter die dort befindIichen Teiche zieht, wir im Gegentheil mit unserem linken Fluegel seinen rechten sehr debordiren, so ist es vortheilhaft letzteren Fluegel des Feindes zu attakiren, besondere wenn wir die Doerfer Sokolienitz und Kobelienitz im Besitze haben, wodurch wir dem Feind zugleich in die Flanke fallen und ihn auf der Flaeche zwischen Schlapanitz und dem Thuerassa Walde verfolgen koennen, indem wir dem Defileen von Schlapanitz und Bellowitz ausweichen, welche die feindliche Front decken. Zu dieserien Endzwecke ist es noethig… Die erste Kolonne Marieschirt… die zweite Kolonne Marieschirt… die dritte Kolonne Marieschirt… [Так как неприятель опирается левым крылом своим на покрытые лесом горы, а правым крылом тянется вдоль Кобельница и Сокольница позади находящихся там прудов, а мы, напротив, превосходим нашим левым крылом его правое, то выгодно нам атаковать сие последнее неприятельское крыло, особливо если мы займем деревни Сокольниц и Кобельниц, будучи поставлены в возможность нападать на фланг неприятеля и преследовать его в равнине между Шлапаницем и лесом Тюрасским, избегая вместе с тем дефилеи между Шлапаницем и Беловицем, которою прикрыт неприятельский фронт. Для этой цели необходимо… Первая колонна марширует… вторая колонна марширует… третья колонна марширует…] и т. д., читал Вейротер. Генералы, казалось, неохотно слушали трудную диспозицию. Белокурый высокий генерал Буксгевден стоял, прислонившись спиною к стене, и, остановив свои глаза на горевшей свече, казалось, не слушал и даже не хотел, чтобы думали, что он слушает. Прямо против Вейротера, устремив на него свои блестящие открытые глаза, в воинственной позе, оперев руки с вытянутыми наружу локтями на колени, сидел румяный Милорадович с приподнятыми усами и плечами. Он упорно молчал, глядя в лицо Вейротера, и спускал с него глаза только в то время, когда австрийский начальник штаба замолкал. В это время Милорадович значительно оглядывался на других генералов. Но по значению этого значительного взгляда нельзя было понять, был ли он согласен или несогласен, доволен или недоволен диспозицией. Ближе всех к Вейротеру сидел граф Ланжерон и с тонкой улыбкой южного французского лица, не покидавшей его во всё время чтения, глядел на свои тонкие пальцы, быстро перевертывавшие за углы золотую табакерку с портретом. В середине одного из длиннейших периодов он остановил вращательное движение табакерки, поднял голову и с неприятною учтивостью на самых концах тонких губ перебил Вейротера и хотел сказать что то; но австрийский генерал, не прерывая чтения, сердито нахмурился и замахал локтями, как бы говоря: потом, потом вы мне скажете свои мысли, теперь извольте смотреть на карту и слушать. Ланжерон поднял глаза кверху с выражением недоумения, оглянулся на Милорадовича, как бы ища объяснения, но, встретив значительный, ничего не значущий взгляд Милорадовича, грустно опустил глаза и опять принялся вертеть табакерку.
– Une lecon de geographie, [Урок из географии,] – проговорил он как бы про себя, но довольно громко, чтобы его слышали.
Пржебышевский с почтительной, но достойной учтивостью пригнул рукой ухо к Вейротеру, имея вид человека, поглощенного вниманием. Маленький ростом Дохтуров сидел прямо против Вейротера с старательным и скромным видом и, нагнувшись над разложенною картой, добросовестно изучал диспозиции и неизвестную ему местность. Он несколько раз просил Вейротера повторять нехорошо расслышанные им слова и трудные наименования деревень. Вейротер исполнял его желание, и Дохтуров записывал.