Закон нуля или единицы
Закон нуля или единицы — утверждение в теории вероятностей о том, что всякое остаточное событие, то есть событие, наступление которого определяется лишь сколь угодно удалёнными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет вероятность нуль или единица. Закон открыт Андреем Николаевичем Колмогоровым, поэтому иногда называется в его честь.
Формулировка
Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})</math> и определённая на нём последовательность независимых случайных величин <math>\{X_n\}_{n=1}^\infty</math> (не обязательно одинаково распределённых). Пусть <math>\mathcal{F}_\infty</math> — её остаточная <math>\sigma</math>-алгебра, то есть
- <math>\mathcal{F}_\infty=\sigma\left(\bigcap\limits_{m=1}^\infty\bigcup\limits_{n\geqslant m}\mathcal{F}_n\right),</math>
где <math>\mathcal{F}_n</math> есть <math>\sigma</math>-алгебра, порождённая случайной величиной <math>X_n</math>.
Тогда если <math>A\in\mathcal{F}_\infty</math>, то <math>\mathbb{P}(A)=0</math> или <math>\mathbb{P}(A)=1</math>.
Другими словами, <math>A</math> — остаточное событие, если оно измеримо относительно <math>\sigma</math>-алгебры, порождённой случайными величинами <math>\{X_n\}_{n=1}^\infty</math>, но независимо от любого конечного подмножества этих величин. Согласно теореме, такое событие имеет вероятность ноль или единица.
Пример
Пусть <math>\{X_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность независимых случайных величин. Тогда ряд
- <math>\sum\limits_{n=1}^\infty X_n</math>
сходится или расходится почти наверное, поскольку никакое конечное подмножество членов ряда не может изменить его сходимость. Если же все члены ряда считать положительными, то событие «ряд сходится к величине, меньшей 1» не является остаточным, так как оно зависит от величины первого члена ряда.
См. также
Напишите отзыв о статье "Закон нуля или единицы"
Отрывок, характеризующий Закон нуля или единицы
Маленькая княгиня лежала на подушках, в белом чепчике. (Страдания только что отпустили ее.) Черные волосы прядями вились у ее воспаленных, вспотевших щек; румяный, прелестный ротик с губкой, покрытой черными волосиками, был раскрыт, и она радостно улыбалась. Князь Андрей вошел в комнату и остановился перед ней, у изножья дивана, на котором она лежала. Блестящие глаза, смотревшие детски, испуганно и взволнованно, остановились на нем, не изменяя выражения. «Я вас всех люблю, я никому зла не делала, за что я страдаю? помогите мне», говорило ее выражение. Она видела мужа, но не понимала значения его появления теперь перед нею. Князь Андрей обошел диван и в лоб поцеловал ее.
– Душенька моя, – сказал он: слово, которое никогда не говорил ей. – Бог милостив. – Она вопросительно, детски укоризненно посмотрела на него.
– Я от тебя ждала помощи, и ничего, ничего, и ты тоже! – сказали ее глаза. Она не удивилась, что он приехал; она не поняла того, что он приехал. Его приезд не имел никакого отношения до ее страданий и облегчения их. Муки вновь начались, и Марья Богдановна посоветовала князю Андрею выйти из комнаты.
Акушер вошел в комнату. Князь Андрей вышел и, встретив княжну Марью, опять подошел к ней. Они шопотом заговорили, но всякую минуту разговор замолкал. Они ждали и прислушивались.
– Allez, mon ami, [Иди, мой друг,] – сказала княжна Марья. Князь Андрей опять пошел к жене, и в соседней комнате сел дожидаясь. Какая то женщина вышла из ее комнаты с испуганным лицом и смутилась, увидав князя Андрея. Он закрыл лицо руками и просидел так несколько минут. Жалкие, беспомощно животные стоны слышались из за двери. Князь Андрей встал, подошел к двери и хотел отворить ее. Дверь держал кто то.
– Нельзя, нельзя! – проговорил оттуда испуганный голос. – Он стал ходить по комнате. Крики замолкли, еще прошло несколько секунд. Вдруг страшный крик – не ее крик, она не могла так кричать, – раздался в соседней комнате. Князь Андрей подбежал к двери; крик замолк, послышался крик ребенка.
