Закон повторного логарифма
Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к 0, но остается в конечных пределах почти наверное.
Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году[1][2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году[3][4].
Содержание
Теорема
Пусть <math>{Y_n}</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть <math>S_n = Y_1 + \dots + Y_n</math>. Тогда почти наверное:
- <math> \limsup_{n \to \infty} \frac{S_n}{\sqrt{n \log\log n}} = \sqrt{2}</math>,
- <math> \liminf_{n \to \infty} \frac{S_n}{\sqrt{n \log\log n}} = -\sqrt 2</math>,
где <math>\log</math> — натуральный логарифм, <math>\limsup</math> — верхний предел, <math>\liminf</math> — нижний предел.
Обобщения и дополнения
Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером [5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен[6]. Им же доказано [7], что если <math> Y_n </math> - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то
- <math> \limsup_{n \to \infty} \frac{|S_n|}{\sqrt{n \log\log n}} = \infty </math>.
Взаимосвязь с другими предельными теоремами
Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы <math>S_n</math> с делителем <math>n</math> стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:
- <math>
\frac{S_n}{n}\stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} 0, \qquad
\frac{S_n}{n} \ {\longrightarrow} 0</math> почти наверное при <math>\ n\to\infty .</math>
Центральная предельная теорема утверждает, что суммы <math>S_n</math> с делителем <math>\sqrt n</math> сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.
Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:
- <math>
\frac{S_n}{\sqrt{n\log\log n}}\stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} 0 \qquad </math> и ни к чему не стремится почти наверное при <math> \ n\to\infty</math>.
Таким образом, хотя величина <math>S_n/\sqrt{n\log\log n}</math> будет меньше чем любое заданное <math>\varepsilon > 0</math> с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка <math>[-\sqrt 2, \sqrt 2]</math> почти наверное.
Напишите отзыв о статье "Закон повторного логарифма"
Примечания
- ↑ Xинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9-20;
- ↑ Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей.»,1932. [lib.mexmat.ru/books/47427]
- ↑ Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126-35;
- ↑ [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4018 Повторного логарифма закон] — статья из Математической энциклопедии
- ↑ W. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402
- ↑ V. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226
- ↑ V. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Закон повторного логарифма
Страшное известие о Бородинском сражении, о наших потерях убитыми и ранеными, а еще более страшное известие о потере Москвы были получены в Воронеже в половине сентября. Княжна Марья, узнав только из газет о ране брата и не имея о нем никаких определенных сведений, собралась ехать отыскивать князя Андрея, как слышал Николай (сам же он не видал ее).
Получив известие о Бородинском сражении и об оставлении Москвы, Ростов не то чтобы испытывал отчаяние, злобу или месть и тому подобные чувства, но ему вдруг все стало скучно, досадно в Воронеже, все как то совестно и неловко. Ему казались притворными все разговоры, которые он слышал; он не знал, как судить про все это, и чувствовал, что только в полку все ему опять станет ясно. Он торопился окончанием покупки лошадей и часто несправедливо приходил в горячность с своим слугой и вахмистром.
Несколько дней перед отъездом Ростова в соборе было назначено молебствие по случаю победы, одержанной русскими войсками, и Николай поехал к обедне. Он стал несколько позади губернатора и с служебной степенностью, размышляя о самых разнообразных предметах, выстоял службу. Когда молебствие кончилось, губернаторша подозвала его к себе.
– Ты видел княжну? – сказала она, головой указывая на даму в черном, стоявшую за клиросом.
Николай тотчас же узнал княжну Марью не столько по профилю ее, который виднелся из под шляпы, сколько по тому чувству осторожности, страха и жалости, которое тотчас же охватило его. Княжна Марья, очевидно погруженная в свои мысли, делала последние кресты перед выходом из церкви.
Николай с удивлением смотрел на ее лицо. Это было то же лицо, которое он видел прежде, то же было в нем общее выражение тонкой, внутренней, духовной работы; но теперь оно было совершенно иначе освещено. Трогательное выражение печали, мольбы и надежды было на нем. Как и прежде бывало с Николаем в ее присутствии, он, не дожидаясь совета губернаторши подойти к ней, не спрашивая себя, хорошо ли, прилично ли или нет будет его обращение к ней здесь, в церкви, подошел к ней и сказал, что он слышал о ее горе и всей душой соболезнует ему. Едва только она услыхала его голос, как вдруг яркий свет загорелся в ее лице, освещая в одно и то же время и печаль ее, и радость.
– Я одно хотел вам сказать, княжна, – сказал Ростов, – это то, что ежели бы князь Андрей Николаевич не был бы жив, то, как полковой командир, в газетах это сейчас было бы объявлено.
Княжна смотрела на него, не понимая его слов, но радуясь выражению сочувствующего страдания, которое было в его лице.
– И я столько примеров знаю, что рана осколком (в газетах сказано гранатой) бывает или смертельна сейчас же, или, напротив, очень легкая, – говорил Николай. – Надо надеяться на лучшее, и я уверен…
Княжна Марья перебила его.
– О, это было бы так ужа… – начала она и, не договорив от волнения, грациозным движением (как и все, что она делала при нем) наклонив голову и благодарно взглянув на него, пошла за теткой.
Вечером этого дня Николай никуда не поехал в гости и остался дома, с тем чтобы покончить некоторые счеты с продавцами лошадей. Когда он покончил дела, было уже поздно, чтобы ехать куда нибудь, но было еще рано, чтобы ложиться спать, и Николай долго один ходил взад и вперед по комнате, обдумывая свою жизнь, что с ним редко случалось.
Княжна Марья произвела на него приятное впечатление под Смоленском. То, что он встретил ее тогда в таких особенных условиях, и то, что именно на нее одно время его мать указывала ему как на богатую партию, сделали то, что он обратил на нее особенное внимание. В Воронеже, во время его посещения, впечатление это было не только приятное, но сильное. Николай был поражен той особенной, нравственной красотой, которую он в этот раз заметил в ней. Однако он собирался уезжать, и ему в голову не приходило пожалеть о том, что уезжая из Воронежа, он лишается случая видеть княжну. Но нынешняя встреча с княжной Марьей в церкви (Николай чувствовал это) засела ему глубже в сердце, чем он это предвидел, и глубже, чем он желал для своего спокойствия. Это бледное, тонкое, печальное лицо, этот лучистый взгляд, эти тихие, грациозные движения и главное – эта глубокая и нежная печаль, выражавшаяся во всех чертах ее, тревожили его и требовали его участия. В мужчинах Ростов терпеть не мог видеть выражение высшей, духовной жизни (оттого он не любил князя Андрея), он презрительно называл это философией, мечтательностью; но в княжне Марье, именно в этой печали, выказывавшей всю глубину этого чуждого для Николая духовного мира, он чувствовал неотразимую привлекательность.
