Закон Снеллиуса
Закон Снеллиуса (также Снелля или Снелла) описывает преломление света на границе двух прозрачных сред. Также применим и для описания преломления волн другой природы, например звуковых.
- Теоретическое объяснение закона Снеллиуса — см. в статье Преломление.
Закон был открыт в начале XVII века голландским математиком Виллебрордом Снеллиусом[1]. Несколько позднее опубликован (и, возможно, независимо переоткрыт) Рене Декартом.
Угол падения света на поверхность связан с углом преломления соотношением
- <math>n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2</math>
Здесь:
- <math>n_1</math> — показатель преломления среды, из которой свет падает на границу раздела;
- <math>\theta_1</math> — угол падения света — угол между падающим на поверхность лучом и нормалью к поверхности;
- <math>n_2</math> — показатель преломления среды, в которую свет попадает, пройдя границу раздела;
- <math>\theta_2</math> — угол преломления света — угол между прошедшим через поверхность лучом и нормалью к поверхности.
Пусть <math>\vec{k}</math> лежит в плоскости чертежа. Пусть ось <math>x</math> направлена горизонтально, ось <math>y</math> — вертикально. Из соображений симметрии следует, что <math>\vec{k}</math>, <math>\vec{k'}</math> и <math>\vec{k}</math> (для падающей, отраженной и преломленной волны, соответственно) должны лежать в одной плоскости.
Выделим из падающего луча плоскополяризованную составляющую, у которой угол между <math>\vec{E}</math> и плоскостью произволен. Тогда если выбрать начальную фазу равной нулю, то
- <math>E = E_m e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{r})} = E_m e^{\omega t - k_x x - k_y y} ; </math>
- <math>E' = E'_m e^{i(\omega' t-\vec{k'}\vec{r})} = E'_m e^{\omega' t - k'_x x - k'_y y + \alpha'} ; </math>
- <math>E = E_m e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{r})} = E_m e^{\omega t - k_x x - k_y y + \alpha} . </math>
Результирующее поле в первой и второй среде равны соответственно
- <math>E_1 = E + E' = E_m e^{\omega t - k_x x - k_y y} + E'_m e^{\omega' t - k'_x x - k'_y y + \alpha'} ; </math>
- <math>E_2 = E = E_m e^{\omega t - k_x x - k_y y + \alpha} . </math>
Очевидно, что тангенциальные составляющие <math>E_1</math> и <math>E_2</math> должны быть равны на границе раздела то есть при <math>y=0 .</math>
Тогда
- <math>E_m e^{\omega t - k_x x - k_y y} + E'_m e^{\omega' t - k'_x x - k'_y y + \alpha'} = E_m e^{\omega t - k_x x - k_y y + \alpha}</math>
Для того, чтобы последнее уравнение выполнялось для всех <math>t, </math> необходимо, чтобы <math>\omega = \omega' = \omega</math>, а для того, чтобы оно выполнялось при всех <math>x, </math> необходимо, чтобы
- <math>k_x = k'_x = k_x \Leftrightarrow k\sin{\alpha} = k'\sin{\alpha'} = k\sin{\alpha} \Leftrightarrow \cfrac {\omega} {v_1} \sin{\alpha} = \cfrac {\omega} {v_1} \sin{\alpha'} = \cfrac {\omega} {v_2} \sin{\alpha}, </math>
- где
- <math>v_1</math> и <math>v_2</math> — скорости волн в первой и второй среде соответственно.
- где
Отсюда следует, что <math>\cfrac {\sin{\alpha}} {\sin{\alpha}} = \cfrac {v_1} {v_2} = n_{12} \blacksquare</math>
Если <math>n_1 \sin \theta_1 > n_2</math>, имеет место полное внутреннее отражение (преломлённый луч отсутствует, падающий луч полностью отражается от границы раздела сред).
- Следует заметить, что в случае анизотропных сред (например, кристаллов с низкой симметрией или механически деформированных твердых тел) преломление подчиняется несколько более сложному закону. При этом возможна зависимость направления преломленного луча не только от направления падающего, но и от его поляризации (см. двойное лучепреломление).
- Также следует заметить, что закон Снеллиуса не описывает соотношение интенсивностей и поляризаций падающего, преломленного и отраженного лучей, для этого существуют более детальные формулы Френеля.
- Закон Снеллиуса хорошо определен для случая «геометрической оптики», то есть в случае, когда длина волны достаточно мала по сравнению с размерами преломляющей поверхности, вообще же говоря работает в рамках приближенного описания, каковым и является геометрическая оптика.
Векторная формула
Пусть <math>\scriptstyle \vec v_1</math> и <math>\scriptstyle\vec v_2</math> лучевые векторы падающего и преломленного световых лучей, то есть векторы, указывающие направления лучей и имеющие длины <math>\scriptstyle |\vec v_1| = n_1</math> и <math>\scriptstyle |\vec v_2| = n_2</math>, а <math>\scriptstyle \vec n</math> единичный нормальный вектор к преломляющей поверхности в точке преломления. Тогда
- <math>\vec v_2 = \vec v_1 + \left(\sqrt{\frac{n_2^2-n_1^2}{(\vec v_1 \cdot \vec n)^2} +1} - 1 \right)(\vec v_1 \cdot \vec n)\vec n</math>
Напишите отзыв о статье "Закон Снеллиуса"
Примечания
- ↑ Снеллиус — латинизированная форма оригинальной фамилии Снелл, передающейся чаще как Снелль
Ссылки
- [elementy.ru/trefil/21086 Элементы большой науки: Закон Снеллиуса]
Отрывок, характеризующий Закон Снеллиуса
На другой день после отъезда сына князь Николай Андреич позвал к себе княжну Марью.
– Ну что, довольна теперь? – сказал он ей, – поссорила с сыном! Довольна? Тебе только и нужно было! Довольна?.. Мне это больно, больно. Я стар и слаб, и тебе этого хотелось. Ну радуйся, радуйся… – И после этого княжна Марья в продолжение недели не видала своего отца. Он был болен и не выходил из кабинета.
К удивлению своему, княжна Марья заметила, что за это время болезни старый князь так же не допускал к себе и m lle Bourienne. Один Тихон ходил за ним.
Через неделю князь вышел и начал опять прежнюю жизнь, с особенной деятельностью занимаясь постройками и садами и прекратив все прежние отношения с m lle Bourienne. Вид его и холодный тон с княжной Марьей как будто говорил ей: «Вот видишь, ты выдумала на меня налгала князю Андрею про отношения мои с этой француженкой и поссорила меня с ним; а ты видишь, что мне не нужны ни ты, ни француженка».
Одну половину дня княжна Марья проводила у Николушки, следя за его уроками, сама давала ему уроки русского языка и музыки, и разговаривая с Десалем; другую часть дня она проводила в своей половине с книгами, старухой няней и с божьими людьми, которые иногда с заднего крыльца приходили к ней.
О войне княжна Марья думала так, как думают о войне женщины. Она боялась за брата, который был там, ужасалась, не понимая ее, перед людской жестокостью, заставлявшей их убивать друг друга; но не понимала значения этой войны, казавшейся ей такою же, как и все прежние войны. Она не понимала значения этой войны, несмотря на то, что Десаль, ее постоянный собеседник, страстно интересовавшийся ходом войны, старался ей растолковать свои соображения, и несмотря на то, что приходившие к ней божьи люди все по своему с ужасом говорили о народных слухах про нашествие антихриста, и несмотря на то, что Жюли, теперь княгиня Друбецкая, опять вступившая с ней в переписку, писала ей из Москвы патриотические письма.
«Я вам пишу по русски, мой добрый друг, – писала Жюли, – потому что я имею ненависть ко всем французам, равно и к языку их, который я не могу слышать говорить… Мы в Москве все восторжены через энтузиазм к нашему обожаемому императору.
Бедный муж мой переносит труды и голод в жидовских корчмах; но новости, которые я имею, еще более воодушевляют меня.
Вы слышали, верно, о героическом подвиге Раевского, обнявшего двух сыновей и сказавшего: «Погибну с ними, но не поколеблемся!И действительно, хотя неприятель был вдвое сильнее нас, мы не колебнулись. Мы проводим время, как можем; но на войне, как на войне. Княжна Алина и Sophie сидят со мною целые дни, и мы, несчастные вдовы живых мужей, за корпией делаем прекрасные разговоры; только вас, мой друг, недостает… и т. д.
Преимущественно не понимала княжна Марья всего значения этой войны потому, что старый князь никогда не говорил про нее, не признавал ее и смеялся за обедом над Десалем, говорившим об этой войне. Тон князя был так спокоен и уверен, что княжна Марья, не рассуждая, верила ему.
Весь июль месяц старый князь был чрезвычайно деятелен и даже оживлен. Он заложил еще новый сад и новый корпус, строение для дворовых. Одно, что беспокоило княжну Марью, было то, что он мало спал и, изменив свою привычку спать в кабинете, каждый день менял место своих ночлегов. То он приказывал разбить свою походную кровать в галерее, то он оставался на диване или в вольтеровском кресле в гостиной и дремал не раздеваясь, между тем как не m lle Bourienne, a мальчик Петруша читал ему; то он ночевал в столовой.
Первого августа было получено второе письмо от кня зя Андрея. В первом письме, полученном вскоре после его отъезда, князь Андрей просил с покорностью прощения у своего отца за то, что он позволил себе сказать ему, и просил его возвратить ему свою милость. На это письмо старый князь отвечал ласковым письмом и после этого письма отдалил от себя француженку. Второе письмо князя Андрея, писанное из под Витебска, после того как французы заняли его, состояло из краткого описания всей кампании с планом, нарисованным в письме, и из соображений о дальнейшем ходе кампании. В письме этом князь Андрей представлял отцу неудобства его положения вблизи от театра войны, на самой линии движения войск, и советовал ехать в Москву.
За обедом в этот день на слова Десаля, говорившего о том, что, как слышно, французы уже вступили в Витебск, старый князь вспомнил о письме князя Андрея.