Замыкание (геометрия)

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества <math>S</math> обычно обозначается <math>\bar S.</math> Другие обозначения: <math>\operatorname{cl}(S) ,\,\operatorname{Cl}(S) ,\, S^{-1}.</math>

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть <math>S</math> есть подмножество топологического пространства <math>X.</math> Замыканием <math>S</math> в <math>X</math> называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих <math>S.</math>

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка <math>x</math> топологического пространства <math>X</math> называется точкой прикосновения множества <math>S,</math> если любая окрестность <math>x</math> содержит хотя бы одну точку множества <math>S.</math>

Множество всех точек прикосновения <math>S</math> называется замыканием <math>S.</math>

Свойства

1. Замыкание множества замкнуто.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть

   <math>S\subseteq\bar{S}.</math>

3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

   <math>S=\bar{S}.</math>

5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):

   <math>\bar{\bar{S}}=\bar{S}.</math>

6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

   <math>(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).</math>

7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

   <math>\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.</math>

8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

   <math>\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.</math>

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая <math>\mathbb{R}</math> с заданной на ней стандартной топологией.

• <math>\overline{(a,\;b)}=[a,\;b];</math>
• <math>\bar{\Q}=\R,</math> где <math>\Q</math> — множество рациональных чисел.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Замыкание (геометрия)

– Кого вам? – спросил кто то.
– Подать письмо, просьбу его величеству, – сказал Николай с дрожанием голоса.
– Просьба – к дежурному, пожалуйте сюда (ему указали на дверь внизу). Только не примут.
Услыхав этот равнодушный голос, Ростов испугался того, что он делал; мысль встретить всякую минуту государя так соблазнительна и оттого так страшна была для него, что он готов был бежать, но камер фурьер, встретивший его, отворил ему дверь в дежурную и Ростов вошел.
Невысокий полный человек лет 30, в белых панталонах, ботфортах и в одной, видно только что надетой, батистовой рубашке, стоял в этой комнате; камердинер застегивал ему сзади шитые шелком прекрасные новые помочи, которые почему то заметил Ростов. Человек этот разговаривал с кем то бывшим в другой комнате.
– Bien faite et la beaute du diable, [Хорошо сложена и красота молодости,] – говорил этот человек и увидав Ростова перестал говорить и нахмурился.
– Что вам угодно? Просьба?…
– Qu'est ce que c'est? [Что это?] – спросил кто то из другой комнаты.
– Encore un petitionnaire, [Еще один проситель,] – отвечал человек в помочах.
– Скажите ему, что после. Сейчас выйдет, надо ехать.
– После, после, завтра. Поздно…
Ростов повернулся и хотел выйти, но человек в помочах остановил его.
– От кого? Вы кто?
– От майора Денисова, – отвечал Ростов.
– Вы кто? офицер?
– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.