Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида <math>\scriptstyle u(t) = A \cos(\omega t+q)</math> в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний <math>\scriptstyle u'_t</math> или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной не слышимости.

Затухающие колебания пружинного маятника

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

<math>m \vec{a} = \vec{F_c} + \vec{F_y}</math>

где <math>F_c</math> — сила сопротивления, <math>F_y</math> — сила упругости

<math>F_c = -cv</math>, <math>F_y = -kx</math>, то есть <math>m a + c v + k x = 0</math>

или в дифференциальной форме

<math>\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0</math>

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения: <math> \omega_0 = \sqrt{ k \over m },\qquad \zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }. </math>

Величину <math>\omega_0</math> называют собственной частотой системы, <math>\zeta</math> — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

<math>\ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0</math>

Сделав замену <math> x = e^{\lambda t}</math>, получают характеристическое уравнение

<math>\lambda^2 + 2 \zeta \omega_0 \lambda + \omega_0^2 = 0</math>

Корни которого вычисляются по следующей формуле

<math>\lambda_\pm = \omega_0( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})</math>

Решения

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

• Апериодичность

Если <math>\scriptstyle \zeta>1</math>, то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

<math>x(t)=c_1 e^{\lambda_- \,t}+c_2 e^{\lambda_+ \,t}</math>

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

• Граница апериодичности

Если <math>\scriptstyle \zeta=1</math>, два действительных корня совпадают <math>\scriptstyle \lambda = -\omega_0</math>, и решением уравнения является:

<math>x(t)=(c_1t+c_2) e^{-\omega_o t}</math>

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

• Слабое затухание

Если <math>\scriptstyle \zeta<1</math>, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

<math>\lambda_\pm = -\omega_0\zeta \pm i \omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 })</math>

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

<math>x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t ))</math>

Где <math>\scriptstyle \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }</math> — собственная частота затухающих колебаний.

Константы <math> c_1</math> и <math> c_2</math> в каждом из случаев определяются из начальных условий: <math>\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& a \\ \dot{x}(0) &=& b \end{array}\right.</math>

См. также

• Сейсмоосциллятор
• Декремент затухания

Литература

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Затухающие колебания

– Дурак! что лезешь, когда тебя не спрашивают! – сказал Николай, быстро переменяя положение.
– От губернатора, – заспанным голосом сказал Лаврушка, – кульер приехал, письмо вам.
– Ну, хорошо, спасибо, ступай!
Николай взял два письма. Одно было от матери, другое от Сони. Он узнал их по почеркам и распечатал первое письмо Сони. Не успел он прочесть нескольких строк, как лицо его побледнело и глаза его испуганно и радостно раскрылись.
– Нет, это не может быть! – проговорил он вслух. Не в силах сидеть на месте, он с письмом в руках, читая его. стал ходить по комнате. Он пробежал письмо, потом прочел его раз, другой, и, подняв плечи и разведя руками, он остановился посреди комнаты с открытым ртом и остановившимися глазами. То, о чем он только что молился, с уверенностью, что бог исполнит его молитву, было исполнено; но Николай был удивлен этим так, как будто это было что то необыкновенное, и как будто он никогда не ожидал этого, и как будто именно то, что это так быстро совершилось, доказывало то, что это происходило не от бога, которого он просил, а от обыкновенной случайности.
Тот, казавшийся неразрешимым, узел, который связывал свободу Ростова, был разрешен этим неожиданным (как казалось Николаю), ничем не вызванным письмом Сони. Она писала, что последние несчастные обстоятельства, потеря почти всего имущества Ростовых в Москве, и не раз высказываемые желания графини о том, чтобы Николай женился на княжне Болконской, и его молчание и холодность за последнее время – все это вместе заставило ее решиться отречься от его обещаний и дать ему полную свободу.
«Мне слишком тяжело было думать, что я могу быть причиной горя или раздора в семействе, которое меня облагодетельствовало, – писала она, – и любовь моя имеет одною целью счастье тех, кого я люблю; и потому я умоляю вас, Nicolas, считать себя свободным и знать, что несмотря ни на что, никто сильнее не может вас любить, как ваша Соня».
Оба письма были из Троицы. Другое письмо было от графини. В письме этом описывались последние дни в Москве, выезд, пожар и погибель всего состояния. В письме этом, между прочим, графиня писала о том, что князь Андрей в числе раненых ехал вместе с ними. Положение его было очень опасно, но теперь доктор говорит, что есть больше надежды. Соня и Наташа, как сиделки, ухаживают за ним.
С этим письмом на другой день Николай поехал к княжне Марье. Ни Николай, ни княжна Марья ни слова не сказали о том, что могли означать слова: «Наташа ухаживает за ним»; но благодаря этому письму Николай вдруг сблизился с княжной в почти родственные отношения.
На другой день Ростов проводил княжну Марью в Ярославль и через несколько дней сам уехал в полк.


Письмо Сони к Николаю, бывшее осуществлением его молитвы, было написано из Троицы. Вот чем оно было вызвано. Мысль о женитьбе Николая на богатой невесте все больше и больше занимала старую графиню. Она знала, что Соня была главным препятствием для этого. И жизнь Сони последнее время, в особенности после письма Николая, описывавшего свою встречу в Богучарове с княжной Марьей, становилась тяжелее и тяжелее в доме графини. Графиня не пропускала ни одного случая для оскорбительного или жестокого намека Соне.
Но несколько дней перед выездом из Москвы, растроганная и взволнованная всем тем, что происходило, графиня, призвав к себе Соню, вместо упреков и требований, со слезами обратилась к ней с мольбой о том, чтобы она, пожертвовав собою, отплатила бы за все, что было для нее сделано, тем, чтобы разорвала свои связи с Николаем.