Sgn

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция. Обозначается <math>\sgn x</math>. Определяется следующим образом:

<math>\sgn x = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}</math>

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

<math>\sgn x = \frac{d}{dx} |x|</math>

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История

Функцию <math>\sgn x</math> ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: <math>[x]</math>. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с <math>\sgn</math>, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение <math>sgn \cdot x</math>, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.

Свойства функции

• Область определения: <math>(- \infty ; + \infty )</math>.
• Область значений: <math>\{-1; 0; +1\}</math>.
• Гладка во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка <math>x=0</math> является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны <math>+1</math> и <math>-1</math> соответственно.
• <math>|x| = \sgn x \cdot x</math> и <math>x = \sgn x \cdot |x|</math> для <math>\forall x \in \mathbb{R}</math>
• <math>\frac{d}{dx}\sgn x = 2 \cdot \delta (x)</math>, где <math>\delta (x)</math> — дельта-функция Дирака.
• <math> \sgn x \cdot \sgn y = \sgn (x \cdot y)</math>
• <math> \sgn x = \frac{2}{\pi} \int ^{\infty}_{0} \frac{\sin tx}{t} dt</math>

См. также

• Функция Хевисайда

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.

Отрывок, характеризующий Sgn

Пьер смотрел на дверь, в которую она вышла, и не понимал, отчего он вдруг один остался во всем мире.
Княжна Марья вызвала его из рассеянности, обратив его внимание на племянника, который вошел в комнату.
Лицо Николушки, похожее на отца, в минуту душевного размягчения, в котором Пьер теперь находился, так на него подействовало, что он, поцеловав Николушку, поспешно встал и, достав платок, отошел к окну. Он хотел проститься с княжной Марьей, но она удержала его.
– Нет, мы с Наташей не спим иногда до третьего часа; пожалуйста, посидите. Я велю дать ужинать. Подите вниз; мы сейчас придем.
Прежде чем Пьер вышел, княжна сказала ему:
– Это в первый раз она так говорила о нем.


Пьера провели в освещенную большую столовую; через несколько минут послышались шаги, и княжна с Наташей вошли в комнату. Наташа была спокойна, хотя строгое, без улыбки, выражение теперь опять установилось на ее лице. Княжна Марья, Наташа и Пьер одинаково испытывали то чувство неловкости, которое следует обыкновенно за оконченным серьезным и задушевным разговором. Продолжать прежний разговор невозможно; говорить о пустяках – совестно, а молчать неприятно, потому что хочется говорить, а этим молчанием как будто притворяешься. Они молча подошли к столу. Официанты отодвинули и пододвинули стулья. Пьер развернул холодную салфетку и, решившись прервать молчание, взглянул на Наташу и княжну Марью. Обе, очевидно, в то же время решились на то же: у обеих в глазах светилось довольство жизнью и признание того, что, кроме горя, есть и радости.
– Вы пьете водку, граф? – сказала княжна Марья, и эти слова вдруг разогнали тени прошедшего.
– Расскажите же про себя, – сказала княжна Марья. – Про вас рассказывают такие невероятные чудеса.
– Да, – с своей, теперь привычной, улыбкой кроткой насмешки отвечал Пьер. – Мне самому даже рассказывают про такие чудеса, каких я и во сне не видел. Марья Абрамовна приглашала меня к себе и все рассказывала мне, что со мной случилось, или должно было случиться. Степан Степаныч тоже научил меня, как мне надо рассказывать. Вообще я заметил, что быть интересным человеком очень покойно (я теперь интересный человек); меня зовут и мне рассказывают.