Золотая спираль

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Золотая спираль — в геометрии логарифмическая спираль, скорость роста которой равна φ, золотой пропорции[1].





Формула

Уравнение спирали в полярной системе координат для золотой спирали то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста b[2]:

<math>r = ae^{b\theta}</math>,

или:

<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)</math>,

где e — основание натуральных логарифмов, a — произвольная положительная вещественная константа и b соответствует θ, равному прямому углу:

<math>e^{b\theta_\mathrm{right}}\, = \varphi</math>.

Таким образом, b определяется формулой:

<math>b = {\ln{\varphi} \over \theta_\mathrm{right}}</math>.

Числовое значение b зависит от того, измеряется угол в градусах или радианах. И поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения b (то есть b может быть и отрицательным):

<math>|b| = {\ln{\varphi} \over 90} \doteq 0.0053468</math> для θ в градусах;
<math>|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} \doteq 0.3063489</math> для θ в радианах[3].

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спиралей[4]:

<math>r = ac^{\theta}</math>,

где константа c задаётся формулой:

<math>c = e^b</math>,

и для золотой спирали значение c равно:

<math>c = \varphi ^ \frac{1}{90} \doteq 1.0053611</math>

если θ измеряется в градусах, и:

<math>c = \varphi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1.358456</math>[5],

если θ измеряется в радианах.

Приближения золотой спирали

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью[6], с которой их часто путают.

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, у которого отношение между длиной и шириной равно золотой пропорции. Этот прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный прямоугольник и его, в свою очередь, разделить тем же образом. После продолжения процесса произвольное число раз, получим почти полное разложение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертинками окружностей. Полученная кривая, хотя и не является настоящей логарифмической спиралью, аппроксимирует золотую спираль.

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).

Спирали в природе

Приближение к логарифмическим спиралям встречаются в природе (например, рукава спиральных галактик[7] или листорасположение). Золотые спирали являются частным случаем логарифмических спиралей. Недавний глубокий анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что встречаются как золотые спирали, так и логарифмические спирали как у галактики M51[8]. Иногда встречаются утверждения, что спиральные галактики и раковины наутилидов чаще встречаются в форме золотой спирали потому что золотая спираль связана с золотым сечением и последовательностью Фибоначчи[9]. На самом деле спиральные галактики и раковины наутилидов (и многих других моллюсков) встречаются в виде логарифмических спиралей, обычно существенно отличных от золотой спирали[10][11][12]. Рост в виде логарифмической спирали позволяет моллюску расти не меняя формы.

См. также

Напишите отзыв о статье "Золотая спираль"

Примечания

  1. Chang, Yu-sung, «[demonstrations.wolfram.com/GoldenSpiral/ Golden Spiral]», The Wolfram Demonstrations Project.
  2. Hemenway, 2005, с. 127–129.
  3. последовательность A212225 в OEIS
  4. Mainzer, 1996, с. 45, 199–200.
  5. последовательность A212224 в OEIS
  6. Madden, 1999, с. 14–16.
  7. Gazale, 1999, с. 3.
  8. Rhee, 2015, с. 22–38.
  9. Литература, где встречаются подобные утверждения:
    • Jan C. A. Boeyens. Chemistry from First Principles. — Springer, 2009. — С. 261. — ISBN 9781402085451.
    • P D Frey. Borderlines of Identity: A Psychologist's Personal Exploration. — Xlibris Corporation, 2011. — ISBN 9781465355850.
    • Russell Howell and James Bradley. Mathematics Through the Eyes of Faith. — HarperCollins, 2011. — С. 162. — ISBN 9780062024473.
    • Charles Seife. Zéro: The Biography of a Dangerous Idea. — Penguin, 2000. — С. 40. — ISBN 9780140296471.
    • Sandra Kynes. Sea Magic: Connecting With the Ocean's Energy. — Llewellyn Worldwide, 2008. — С. 100. — ISBN 9780738713533.
    • Bruce Burger. Esoteric Anatomy: The Body as Consciousness. — North Atlantic Books, 1998. — С. 144. — ISBN 9781556432248.
  10. Darling, 2004, с. 188.
  11. Devlin, May 2007.
  12. Peterson, 2005-04-01.

Литература

  • David Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471270478.
  • Ivars Peterson Sea Shell Spirals. — Society for Science & the Public, 2005-04-01.
  • Keith Devlin The myth that will not go away. — May 2007.
  • Jerry Rhee, Talisa Mohammad Nejad , Olivier Comets, Sean Flannery, Eine Begum Gulsoy, Philip Iannaccone , Craig Foster Promoting convergence: The Phi spiral in abduction of mouse corneal behaviors // Complexity. — 2015. — Т. 20, вып. 3. — С. 22–38. — DOI:10.1002/cplx.21562.
  • Midhat Gazale. Gnomon: From Pharaohs to Fractals. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 9780691005140.
  • Charles B. Madden. Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. — High Art Press, 1999. — ISBN 0-9671727-6-4.
  • Klaus Mainzer. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. — Walter de Gruyter, 1996. — ISBN 3-11-012990-6.
  • Priya Hemenway. Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. — Sterling Publishing Co, 2005. — ISBN 1-4027-3522-7.