Идеальное число

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Идеальные числа были введены Куммером и послужили отправной точкой для определения идеалов колец, введённых позже Дедекиндом. В настоящее время этот термин не используется и заменён понятием идеала.

Идеал в кольце является главным, если он состоит из элементов, кратных некоторому элементу, иначе он неглавный. Таким образом, каждому числу кольца можно сопоставить главный идеал, при этом можно предположить существование идеальных чисел, которым бы соответствовал произвольный идеал.





Пример

Пусть y — корень уравнения y² + y + 6 = 0, тогда кольцо целых чисел поля <math>\Bbb{Q}(y)</math> — это <math>\Bbb{Z}[y]</math>, то есть все выражения вида a + by, где a и b — элементы кольца целых чисел. Пример неглавного идеала в таком кольце — 2a + yb, где a и b — целые числа; куб этого идеала — главный, группа класса — циклическая порядка 3. Соответствующее поле класса получается присоединением всех элементов w вида w³ − w − 1 = 0 к <math>\Bbb{Q}(y)</math>, что даёт <math>\Bbb{Q}(y,w)</math>. Идеальное число неглавного идеала 2a + yb — это <math>\iota = (-8-16y-18w+12w^2+10yw+yw^2)/23</math>. Так как оно удовлетворяет уравнению <math>\iota^6-2\iota^5+13\iota^4-15\iota^3+16\iota^2+28\iota+8 = 0</math>, то оно алгебраическое целое число.

Все элементы кольца целых чисел поля классов, при умножении на ι дающие <math>\Bbb{Z}[y]</math> имеют вид aα + bβ, где

<math>\alpha = (-7+9y-33w-24w^2+3yw-2yw^2)/23</math>

и

<math>\beta = (-27-8y-9w+6w^2-18yw-11yw^2)/23.</math>

Коэффициенты α и β также алгебраические целые числа, удовлетворяющие

<math>\alpha^6+7\alpha^5+8\alpha^4-15\alpha^3+26\alpha^2-8\alpha+8=0</math>

и

<math>\beta^6+4\beta^5+35\beta^4+112\beta^3+162\beta^2+108\beta+27=0</math>

соответственно. Умножая aα + bβ на идеальное число ι, получаем 2a + by, что является неглавным идеалом.

История

Куммер впервые написал о возможности неединственного разложения на множители в циклотомических (круговых) полях в 1844 году в малоизвестном журнале; статья была повторена в 1847 году в журнале Лиувилля. В дальнейших работах в 1846 году и 1847 году он опубликовал свою основную теорему о единственности разложения на (действительные и идеальные) простые множители.

Считается, что Куммер пришел к идее «идеальных комплексных чисел» при изучении Великой теоремы Ферма; рассказывают даже, что Куммер, как и Ламэ, считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Дирихле не сказал ему, что его доводы опираются на единственность факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Гензелем в 1910 и, скорее всего, произошла из ошибки в одном из источников Гензеля. Гарольд Эдвардс сказал, что «вера в то, что Куммер всерьез интересовался Последней теоремой Ферма, несомненно ошибочна».

Обобщение идей Куммера было осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с серьёзными трудностями, что привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов. Кронекер справился с трудностями, развив теорию форм (обобщение квадратичных форм) и теорию дивизоров. Работы Дедекинда легли в основу теории колец и общей алгебры, а работы Кронекера создали главный инструмент алгебраической геометрии.

См. также

Напишите отзыв о статье "Идеальное число"

Литература

  • Николя Бурбаки, Элементы истории математики. Springer-Verlag, NY, 1999.
  • Гарольд М. Эдвардс, Последняя теорма Ферма. Общее введение в теорию чисел. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
  • К. Г. Якоби, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
  • E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reprinted in Jour. de Math. 12 (1847) 185—212.
  • E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327—367.
  • Джон Стилвелл, введение в Теорию алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Great Britain, 1996.

Ссылки

  • [fermatslasttheorem.blogspot.com/2006/07/cyclotomic-integers-ideal-numbers_25.html Идеальные числа], Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет единственность факторизации для циклотомических целых чисел, в [fermatslasttheorem.blogspot.com блоге Великой теоремы Ферма].

Отрывок, характеризующий Идеальное число

– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.
– Нет, ни за что, я сама, а вы слушайте у двери, – и Наташа побежала через гостиную в залу, где на том же стуле, у клавикорд, закрыв лицо руками, сидел Денисов. Он вскочил на звук ее легких шагов.
– Натали, – сказал он, быстрыми шагами подходя к ней, – решайте мою судьбу. Она в ваших руках!
– Василий Дмитрич, мне вас так жалко!… Нет, но вы такой славный… но не надо… это… а так я вас всегда буду любить.
Денисов нагнулся над ее рукою, и она услыхала странные, непонятные для нее звуки. Она поцеловала его в черную, спутанную, курчавую голову. В это время послышался поспешный шум платья графини. Она подошла к ним.
– Василий Дмитрич, я благодарю вас за честь, – сказала графиня смущенным голосом, но который казался строгим Денисову, – но моя дочь так молода, и я думала, что вы, как друг моего сына, обратитесь прежде ко мне. В таком случае вы не поставили бы меня в необходимость отказа.
– Г'афиня, – сказал Денисов с опущенными глазами и виноватым видом, хотел сказать что то еще и запнулся.
Наташа не могла спокойно видеть его таким жалким. Она начала громко всхлипывать.
– Г'афиня, я виноват перед вами, – продолжал Денисов прерывающимся голосом, – но знайте, что я так боготво'ю вашу дочь и всё ваше семейство, что две жизни отдам… – Он посмотрел на графиню и, заметив ее строгое лицо… – Ну п'ощайте, г'афиня, – сказал он, поцеловал ее руку и, не взглянув на Наташу, быстрыми, решительными шагами вышел из комнаты.

На другой день Ростов проводил Денисова, который не хотел более ни одного дня оставаться в Москве. Денисова провожали у цыган все его московские приятели, и он не помнил, как его уложили в сани и как везли первые три станции.
После отъезда Денисова, Ростов, дожидаясь денег, которые не вдруг мог собрать старый граф, провел еще две недели в Москве, не выезжая из дому, и преимущественно в комнате барышень.
Соня была к нему нежнее и преданнее чем прежде. Она, казалось, хотела показать ему, что его проигрыш был подвиг, за который она теперь еще больше любит его; но Николай теперь считал себя недостойным ее.
Он исписал альбомы девочек стихами и нотами, и не простившись ни с кем из своих знакомых, отослав наконец все 43 тысячи и получив росписку Долохова, уехал в конце ноября догонять полк, который уже был в Польше.



После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого .внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.