Идеал (алгебра)
Поделись знанием:
Распоряжение это на левом фланге еще более заставило Пьера усумниться в его способности понять военное дело. Слушая Бенигсена и генералов, осуждавших положение войск под горою, Пьер вполне понимал их и разделял их мнение; но именно вследствие этого он не мог понять, каким образом мог тот, кто поставил их тут под горою, сделать такую очевидную и грубую ошибку.
Пьер не знал того, что войска эти были поставлены не для защиты позиции, как думал Бенигсен, а были поставлены в скрытое место для засады, то есть для того, чтобы быть незамеченными и вдруг ударить на подвигавшегося неприятеля. Бенигсен не знал этого и передвинул войска вперед по особенным соображениям, не сказав об этом главнокомандующему.
Князь Андрей в этот ясный августовский вечер 25 го числа лежал, облокотившись на руку, в разломанном сарае деревни Князькова, на краю расположения своего полка. В отверстие сломанной стены он смотрел на шедшую вдоль по забору полосу тридцатилетних берез с обрубленными нижними сучьями, на пашню с разбитыми на ней копнами овса и на кустарник, по которому виднелись дымы костров – солдатских кухонь.
Как ни тесна и никому не нужна и ни тяжка теперь казалась князю Андрею его жизнь, он так же, как и семь лет тому назад в Аустерлице накануне сражения, чувствовал себя взволнованным и раздраженным.
Приказания на завтрашнее сражение были отданы и получены им. Делать ему было больше нечего. Но мысли самые простые, ясные и потому страшные мысли не оставляли его в покое. Он знал, что завтрашнее сражение должно было быть самое страшное изо всех тех, в которых он участвовал, и возможность смерти в первый раз в его жизни, без всякого отношения к житейскому, без соображений о том, как она подействует на других, а только по отношению к нему самому, к его душе, с живостью, почти с достоверностью, просто и ужасно, представилась ему. И с высоты этого представления все, что прежде мучило и занимало его, вдруг осветилось холодным белым светом, без теней, без перспективы, без различия очертаний. Вся жизнь представилась ему волшебным фонарем, в который он долго смотрел сквозь стекло и при искусственном освещении. Теперь он увидал вдруг, без стекла, при ярком дневном свете, эти дурно намалеванные картины. «Да, да, вот они те волновавшие и восхищавшие и мучившие меня ложные образы, – говорил он себе, перебирая в своем воображении главные картины своего волшебного фонаря жизни, глядя теперь на них при этом холодном белом свете дня – ясной мысли о смерти. – Вот они, эти грубо намалеванные фигуры, которые представлялись чем то прекрасным и таинственным. Слава, общественное благо, любовь к женщине, самое отечество – как велики казались мне эти картины, какого глубокого смысла казались они исполненными! И все это так просто, бледно и грубо при холодном белом свете того утра, которое, я чувствую, поднимается для меня». Три главные горя его жизни в особенности останавливали его внимание. Его любовь к женщине, смерть его отца и французское нашествие, захватившее половину России. «Любовь!.. Эта девочка, мне казавшаяся преисполненною таинственных сил. Как же я любил ее! я делал поэтические планы о любви, о счастии с нею. О милый мальчик! – с злостью вслух проговорил он. – Как же! я верил в какую то идеальную любовь, которая должна была мне сохранить ее верность за целый год моего отсутствия! Как нежный голубок басни, она должна была зачахнуть в разлуке со мной. А все это гораздо проще… Все это ужасно просто, гадко!
Отец тоже строил в Лысых Горах и думал, что это его место, его земля, его воздух, его мужики; а пришел Наполеон и, не зная об его существовании, как щепку с дороги, столкнул его, и развалились его Лысые Горы и вся его жизнь. А княжна Марья говорит, что это испытание, посланное свыше. Для чего же испытание, когда его уже нет и не будет? никогда больше не будет! Его нет! Так кому же это испытание? Отечество, погибель Москвы! А завтра меня убьет – и не француз даже, а свой, как вчера разрядил солдат ружье около моего уха, и придут французы, возьмут меня за ноги и за голову и швырнут в яму, чтоб я не вонял им под носом, и сложатся новые условия жизни, которые будут также привычны для других, и я не буду знать про них, и меня не будет».
Он поглядел на полосу берез с их неподвижной желтизной, зеленью и белой корой, блестящих на солнце. «Умереть, чтобы меня убили завтра, чтобы меня не было… чтобы все это было, а меня бы не было». Он живо представил себе отсутствие себя в этой жизни. И эти березы с их светом и тенью, и эти курчавые облака, и этот дым костров – все вокруг преобразилось для него и показалось чем то страшным и угрожающим. Мороз пробежал по его спине. Быстро встав, он вышел из сарая и стал ходить.
За сараем послышались голоса.
– Кто там? – окликнул князь Андрей.
Красноносый капитан Тимохин, бывший ротный командир Долохова, теперь, за убылью офицеров, батальонный командир, робко вошел в сарай. За ним вошли адъютант и казначей полка.
Князь Андрей поспешно встал, выслушал то, что по службе имели передать ему офицеры, передал им еще некоторые приказания и сбирался отпустить их, когда из за сарая послышался знакомый, пришепетывающий голос.
– Que diable! [Черт возьми!] – сказал голос человека, стукнувшегося обо что то.
Князь Андрей, выглянув из сарая, увидал подходящего к нему Пьера, который споткнулся на лежавшую жердь и чуть не упал. Князю Андрею вообще неприятно было видеть людей из своего мира, в особенности же Пьера, который напоминал ему все те тяжелые минуты, которые он пережил в последний приезд в Москву.
– А, вот как! – сказал он. – Какими судьбами? Вот не ждал.
В то время как он говорил это, в глазах его и выражении всего лица было больше чем сухость – была враждебность, которую тотчас же заметил Пьер. Он подходил к сараю в самом оживленном состоянии духа, но, увидав выражение лица князя Андрея, он почувствовал себя стесненным и неловким.
– Я приехал… так… знаете… приехал… мне интересно, – сказал Пьер, уже столько раз в этот день бессмысленно повторявший это слово «интересно». – Я хотел видеть сражение.
– Да, да, а братья масоны что говорят о войне? Как предотвратить ее? – сказал князь Андрей насмешливо. – Ну что Москва? Что мои? Приехали ли наконец в Москву? – спросил он серьезно.
– Приехали. Жюли Друбецкая говорила мне. Я поехал к ним и не застал. Они уехали в подмосковную.
Офицеры хотели откланяться, но князь Андрей, как будто не желая оставаться с глазу на глаз с своим другом, предложил им посидеть и напиться чаю. Подали скамейки и чай. Офицеры не без удивления смотрели на толстую, громадную фигуру Пьера и слушали его рассказы о Москве и о расположении наших войск, которые ему удалось объездить. Князь Андрей молчал, и лицо его так было неприятно, что Пьер обращался более к добродушному батальонному командиру Тимохину, чем к Болконскому.
– Так ты понял все расположение войск? – перебил его князь Андрей.
– Да, то есть как? – сказал Пьер. – Как невоенный человек, я не могу сказать, чтобы вполне, но все таки понял общее расположение.
– Eh bien, vous etes plus avance que qui cela soit, [Ну, так ты больше знаешь, чем кто бы то ни было.] – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Пьер с недоуменьем, через очки глядя на князя Андрея. – Ну, как вы скажете насчет назначения Кутузова? – сказал он.
– Я очень рад был этому назначению, вот все, что я знаю, – сказал князь Андрей.
– Ну, а скажите, какое ваше мнение насчет Барклая де Толли? В Москве бог знает что говорили про него. Как вы судите о нем?
– Спроси вот у них, – сказал князь Андрей, указывая на офицеров.
Пьер с снисходительно вопросительной улыбкой, с которой невольно все обращались к Тимохину, посмотрел на него.
– Свет увидали, ваше сиятельство, как светлейший поступил, – робко и беспрестанно оглядываясь на своего полкового командира, сказал Тимохин.
– Отчего же так? – спросил Пьер.
– Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали…
– Так отчего же он запрещал?
Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею.
– А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец…
– Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер.
– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
– Да это невозможно, – сказал князь Андрей, как будто про давно решенное дело.
Пьер с удивлением посмотрел на него.
– Однако, – сказал он, – ведь говорят же, что война подобна шахматной игре.
– Да, – сказал князь Андрей, – только с тою маленькою разницей, что в шахматах над каждым шагом ты можешь думать сколько угодно, что ты там вне условий времени, и еще с той разницей, что конь всегда сильнее пешки и две пешки всегда сильнее одной, a на войне один батальон иногда сильнее дивизии, а иногда слабее роты. Относительная сила войск никому не может быть известна. Поверь мне, – сказал он, – что ежели бы что зависело от распоряжений штабов, то я бы был там и делал бы распоряжения, а вместо того я имею честь служить здесь, в полку вот с этими господами, и считаю, что от нас действительно будет зависеть завтрашний день, а не от них… Успех никогда не зависел и не будет зависеть ни от позиции, ни от вооружения, ни даже от числа; а уж меньше всего от позиции.
– А от чего же?
– От того чувства, которое есть во мне, в нем, – он указал на Тимохина, – в каждом солдате.
Князь Андрей взглянул на Тимохина, который испуганно и недоумевая смотрел на своего командира. В противность своей прежней сдержанной молчаливости князь Андрей казался теперь взволнованным. Он, видимо, не мог удержаться от высказывания тех мыслей, которые неожиданно приходили ему.
(перенаправлено с «Идеал (математика)»)
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел». Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.
В некотором важном классе колец (т. н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.
Содержание
Определение
Для кольца <math>R</math> идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из <math>R</math>. При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из <math>R</math>. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.
Более точно: Идеалом кольца <math>R</math> называется такое подкольцо <math>I</math> кольца <math>R</math>, что
- <math>\forall i \in I\;\forall r\in R</math> произведение <math>ir \in I</math> (условие на правые идеалы);
- <math>\forall i \in I\;\forall r\in R</math> произведение <math>ri \in I</math> (условие на левые идеалы).
Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.
Замечание
Для <math>R</math>-алгебры <math>A</math> (алгебры над кольцом <math>R</math>) идеал кольца <math>A</math> может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры <math>A</math>, так как это подкольцо необязательно будет подалгеброй, то есть ещё и подмодулем над <math>R</math>. Например, если <math>A</math> есть <math>k</math>-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца <math>A</math> совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы <math>A</math>, а множество всех идеалов алгебры <math>A</math> совпадает с множеством всех подпространств векторного <math>k</math>-пространства <math>A</math>. Однако в случае, когда <math>A</math> — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.
Связанные определения
- Для любого кольца <math>R</math> само <math>R</math> и нулевой идеал <math>0</math> являются идеалами (двусторонними). Такие идеалы называются тривиальными. Собственные идеалы — это идеалы, образующие собственное подмножество, то есть не совпадающие со всем <math>R.</math>[1][2]
- Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например:
- Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым.
- Кольцо, не имеющее нетривиальных идеалов (не обязательно двусторонних), является телом. См. также: кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.
- С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство <math>\operatorname{Spec} A</math> — спектр кольца, точками которого являются все простые идеалы кольца <math>A</math>, отличные от <math>A</math>, а замкнутые множества определяются как множества простых идеалов, содержащих какое-то множество <math>E</math> элементов кольца <math>A</math> (или, что то же, идеал <math>I</math>, порождённый этим множеством). Эта топология называется топологией Зарисского.
- Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.
Свойства
- Левые идеалы в R являются правыми идеалами в т. н. противоположном кольце <math>R^0</math> — кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определенным <math>a*b=ba</math>, и наоборот.
- Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:
- Для всякого гомоморфизма <math>f:A\to B</math> ядром <math>\operatorname{Ker}f</math> является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
- Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: <math>f(A)</math> изоморфен факторкольцу (факторалгебре) <math>A/I</math>.
- В кольце <math>\Z</math> целых чисел все идеалы главные и имеют вид <math>n\Z = \{nz |z \in \Z \}</math>, где <math>n \in \N_0</math>.
- Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным).
Типы идеалов
- Главный идеал: Идеал, порожденный одним элементом.
- Конечнопорождённый идеал
- Минимальный идеал
- Максимальный идеал: Собственный идеал I называется максимальным, если не существует собственный идеал J такой, что I — собственное подмножество J. Факторкольцо по максимальному идеалу является полем.
- Модулярный идеал
- Нильпотентный идеал
- Первичный идеал
- Примарный идеал
- Простой идеал
- Радикальный идеал: Идеал, совпадающий со своим радикалом.
Основные конструкции
- Главные идеалы. Если p принадлежит R, a k любое целое число то <math>\{pr+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}</math> — будет минимальным правым идеалом, содержащим p, а <math>\{rp+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}</math> — минимальным левым идеалом в R. Они называются, соответственно, главными правым и левым идеалом, порожденными p. В коммутативном случае эти идеалы совпадают и обозначаются также (p). Если кольцо R содержит единичный элемент, то так как <math>kp=(k*1)p=p(k*1)</math>, главные идеалы, порождённые a можно записать <math>pR = \{pr:\,r\in R\}</math> и <math>Rp = \{rp:\,r\in R\}</math> соответственно. Всякий идеал, содержащий элемент p, содержит и главный идеал, им порождённый.
- Идеал, порождённый множеством элементов. Пересечение произвольного семейства левых идеалов кольца R — левый идеал кольца R. Поэтому для всякого подмножества M кольца R существует минимальный левый идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество M. (То же верно для правых и двусторонних идеалов.) Для кольца R с единичным элементом минимальный левый идеал представляет собой множество конечных сумм вида <math>r_1m_1 + ... + r_nm_n</math>, минимальный правый идеал — множество конечных сумм вида <math>m_1r_1 + ... + m_nr_n</math>, минимальный двусторонний идеал — множество конечных сумм вида <math>r_1m_1r'_1 + ... + r_nm_nr'_n</math>, где mi — произвольные элементы множества M, а ri,r'i — произвольные элементы кольца R. Если кольцо не содержит единицы то минимальный левый идеал будет иметь вид <math>r_1m_1 + ... + r_nm_n + k_1m'_1 + ... + k_sm'_s</math>, минимальный правый <math>m_1r_1 + ... + m_nr_n+ k_1m'_1 + k_2m'_2 + ... + k_sm'_s</math>, минимальный двусторонний <math>r_1m_1r'_1 + ... + r_nm_nr'_n + k_1r_1m'_1 + ... + k_sr_sm'_s + k'_1m_1r_1 + ... +k'_tm_tr_t + k_1m_1... + k_wm'_w</math>, где все <math>k_i (k'_i)</math> — любые целые числа. Эти идеалы называются порождёнными множеством M. В коммутативном случае все они совпадают и обозначаются так: (M). Идеалы, порождённые конечным множеством, называются конечнопорождёнными.
- Сумма идеалов. Если в кольце R задано произвольное семейство идеалов <math>I_{\alpha} </math>, их суммой <math>\sum I_{\alpha}</math> называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения. (Само объединение идеалов обычно идеалом не является.) Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).
- Пересечение идеалов (как пересечение множеств) всегда является идеалом. С другой стороны, объединение двух идеалов является идеалом только тогда, когда один из них — подмножество другого. Действительно, пусть <math>\mathfrak a</math> и <math>\mathfrak b</math> — два (левых) идеала, ни один из которых не является подмножеством другого, и <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b</math> является левым идеалом. В этом случае, очевидно, <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b</math> — наименьший идеал, содержащий <math>\mathfrak a</math> и <math>\mathfrak b</math>, то есть <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b=\mathfrak a+ \mathfrak b</math>. Существует элемент <math>a\in \mathfrak a, a\notin \mathfrak b</math>. Тогда для любого <math>b\in \mathfrak b\; a+b\notin \mathfrak b</math>, так как в этом случае <math>a\in \mathfrak b</math>, следовательно, <math>a+b\in \mathfrak a</math> и <math>b\in \mathfrak a</math>, поэтому <math>\mathfrak b\subset \mathfrak a</math> — противоречие.
- Произведение идеалов. Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J. Бесконечное произведение идеалов неопределено.
- Частное идеалов. В коммутативном кольце для идеала I, отличного от нуля, и идеала J определёно их частное — идеал <math>I^{-1}J = \{x\in R\colon\, \forall i\in I\, ix\in J \}</math>. Этот идеал называется аннулятором идеала I в случае, когда J=(0), .
- Радикал идеала I — это множество <math>\sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in{I}\}</math>. Оно тоже является идеалом кольца A, если только кольцо A коммутативно. В случае, когда I=(0), этот идеал называется нильрадикалом кольца A. Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля, (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал I называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо R/I не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.
- Индуктивный предел. Если задано семейство (цепочка) идеалов <math>\{I_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, занумерованное линейно упорядоченным множеством A, так что для любых индексов <math>\alpha< \beta</math> из A идеал <math>I_{\alpha}</math> содержится в идеале <math>I_{\beta}</math>, тогда их объединение является идеалом — индуктивным пределом данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца R индуктивно упорядочено, и к нему применима лемма Цорна. Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами (см. максимальный идеал, простой идеал, кольцо главных идеалов).
- Образ идеала при гомоморфизме. Обычно образ идеала при гомоморфизме НЕ является идеалом, однако если гомоморфизм сюръективен, то тогда является. В частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.
- Прообраз идеала при гомоморфизме. Если <math>f:\, A\to B</math> — гомоморфизм колец, его ядро <math>\operatorname{Ker}f = \{a\in A:\, f(a)=0\}</math> является двусторонним идеалом. Более общо, если I — произвольный идеал в кольце B, его полный прообраз <math>f^{-1}I = \{a\in A:\, f(a)\in I\}</math> является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал I).
- Гомоморфизм факторизации по идеалу. Если I — двусторонний идеал в кольце R, по нему можно определить отношение эквивалентности на R по правилу: x ~ y тогда и только тогда, когда разность x-y принадлежит I. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определенными на множестве R/I классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца R, если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) <math>\pi:\,R\to R/I</math>, который каждому элементу a из R ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента a есть множество элементов вида a+i по всем i из идеала I, поэтому он обозначается a + I, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности [a]. Поэтому <math>\pi(a) = [a] = a+I</math>. Кольцо R/I при этом называется факторкольцом кольца R по идеалу I.
История
Идеалы были впервые введены Дедекиндом в 1876 году в третьем издании его книги «Лекции по теории чисел». Это было обобщением концепции идеальных чисел, введённых Куммером.
В дальнейшем эти идеи разрабатывались Гильбертом и особенно Нётер.
Напишите отзыв о статье "Идеал (алгебра)"
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, Т. 1—2, — М.: ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.
Примечания
Отрывок, характеризующий Идеал (алгебра)
Здесь, на крайнем левом фланге, Бенигсен много и горячо говорил и сделал, как казалось Пьеру, важное в военном отношении распоряжение. Впереди расположения войск Тучкова находилось возвышение. Это возвышение не было занято войсками. Бенигсен громко критиковал эту ошибку, говоря, что было безумно оставить незанятою командующую местностью высоту и поставить войска под нею. Некоторые генералы выражали то же мнение. Один в особенности с воинской горячностью говорил о том, что их поставили тут на убой. Бенигсен приказал своим именем передвинуть войска на высоту.Распоряжение это на левом фланге еще более заставило Пьера усумниться в его способности понять военное дело. Слушая Бенигсена и генералов, осуждавших положение войск под горою, Пьер вполне понимал их и разделял их мнение; но именно вследствие этого он не мог понять, каким образом мог тот, кто поставил их тут под горою, сделать такую очевидную и грубую ошибку.
Пьер не знал того, что войска эти были поставлены не для защиты позиции, как думал Бенигсен, а были поставлены в скрытое место для засады, то есть для того, чтобы быть незамеченными и вдруг ударить на подвигавшегося неприятеля. Бенигсен не знал этого и передвинул войска вперед по особенным соображениям, не сказав об этом главнокомандующему.
Князь Андрей в этот ясный августовский вечер 25 го числа лежал, облокотившись на руку, в разломанном сарае деревни Князькова, на краю расположения своего полка. В отверстие сломанной стены он смотрел на шедшую вдоль по забору полосу тридцатилетних берез с обрубленными нижними сучьями, на пашню с разбитыми на ней копнами овса и на кустарник, по которому виднелись дымы костров – солдатских кухонь.
Как ни тесна и никому не нужна и ни тяжка теперь казалась князю Андрею его жизнь, он так же, как и семь лет тому назад в Аустерлице накануне сражения, чувствовал себя взволнованным и раздраженным.
Приказания на завтрашнее сражение были отданы и получены им. Делать ему было больше нечего. Но мысли самые простые, ясные и потому страшные мысли не оставляли его в покое. Он знал, что завтрашнее сражение должно было быть самое страшное изо всех тех, в которых он участвовал, и возможность смерти в первый раз в его жизни, без всякого отношения к житейскому, без соображений о том, как она подействует на других, а только по отношению к нему самому, к его душе, с живостью, почти с достоверностью, просто и ужасно, представилась ему. И с высоты этого представления все, что прежде мучило и занимало его, вдруг осветилось холодным белым светом, без теней, без перспективы, без различия очертаний. Вся жизнь представилась ему волшебным фонарем, в который он долго смотрел сквозь стекло и при искусственном освещении. Теперь он увидал вдруг, без стекла, при ярком дневном свете, эти дурно намалеванные картины. «Да, да, вот они те волновавшие и восхищавшие и мучившие меня ложные образы, – говорил он себе, перебирая в своем воображении главные картины своего волшебного фонаря жизни, глядя теперь на них при этом холодном белом свете дня – ясной мысли о смерти. – Вот они, эти грубо намалеванные фигуры, которые представлялись чем то прекрасным и таинственным. Слава, общественное благо, любовь к женщине, самое отечество – как велики казались мне эти картины, какого глубокого смысла казались они исполненными! И все это так просто, бледно и грубо при холодном белом свете того утра, которое, я чувствую, поднимается для меня». Три главные горя его жизни в особенности останавливали его внимание. Его любовь к женщине, смерть его отца и французское нашествие, захватившее половину России. «Любовь!.. Эта девочка, мне казавшаяся преисполненною таинственных сил. Как же я любил ее! я делал поэтические планы о любви, о счастии с нею. О милый мальчик! – с злостью вслух проговорил он. – Как же! я верил в какую то идеальную любовь, которая должна была мне сохранить ее верность за целый год моего отсутствия! Как нежный голубок басни, она должна была зачахнуть в разлуке со мной. А все это гораздо проще… Все это ужасно просто, гадко!
Отец тоже строил в Лысых Горах и думал, что это его место, его земля, его воздух, его мужики; а пришел Наполеон и, не зная об его существовании, как щепку с дороги, столкнул его, и развалились его Лысые Горы и вся его жизнь. А княжна Марья говорит, что это испытание, посланное свыше. Для чего же испытание, когда его уже нет и не будет? никогда больше не будет! Его нет! Так кому же это испытание? Отечество, погибель Москвы! А завтра меня убьет – и не француз даже, а свой, как вчера разрядил солдат ружье около моего уха, и придут французы, возьмут меня за ноги и за голову и швырнут в яму, чтоб я не вонял им под носом, и сложатся новые условия жизни, которые будут также привычны для других, и я не буду знать про них, и меня не будет».
Он поглядел на полосу берез с их неподвижной желтизной, зеленью и белой корой, блестящих на солнце. «Умереть, чтобы меня убили завтра, чтобы меня не было… чтобы все это было, а меня бы не было». Он живо представил себе отсутствие себя в этой жизни. И эти березы с их светом и тенью, и эти курчавые облака, и этот дым костров – все вокруг преобразилось для него и показалось чем то страшным и угрожающим. Мороз пробежал по его спине. Быстро встав, он вышел из сарая и стал ходить.
За сараем послышались голоса.
– Кто там? – окликнул князь Андрей.
Красноносый капитан Тимохин, бывший ротный командир Долохова, теперь, за убылью офицеров, батальонный командир, робко вошел в сарай. За ним вошли адъютант и казначей полка.
Князь Андрей поспешно встал, выслушал то, что по службе имели передать ему офицеры, передал им еще некоторые приказания и сбирался отпустить их, когда из за сарая послышался знакомый, пришепетывающий голос.
– Que diable! [Черт возьми!] – сказал голос человека, стукнувшегося обо что то.
Князь Андрей, выглянув из сарая, увидал подходящего к нему Пьера, который споткнулся на лежавшую жердь и чуть не упал. Князю Андрею вообще неприятно было видеть людей из своего мира, в особенности же Пьера, который напоминал ему все те тяжелые минуты, которые он пережил в последний приезд в Москву.
– А, вот как! – сказал он. – Какими судьбами? Вот не ждал.
В то время как он говорил это, в глазах его и выражении всего лица было больше чем сухость – была враждебность, которую тотчас же заметил Пьер. Он подходил к сараю в самом оживленном состоянии духа, но, увидав выражение лица князя Андрея, он почувствовал себя стесненным и неловким.
– Я приехал… так… знаете… приехал… мне интересно, – сказал Пьер, уже столько раз в этот день бессмысленно повторявший это слово «интересно». – Я хотел видеть сражение.
– Да, да, а братья масоны что говорят о войне? Как предотвратить ее? – сказал князь Андрей насмешливо. – Ну что Москва? Что мои? Приехали ли наконец в Москву? – спросил он серьезно.
– Приехали. Жюли Друбецкая говорила мне. Я поехал к ним и не застал. Они уехали в подмосковную.
Офицеры хотели откланяться, но князь Андрей, как будто не желая оставаться с глазу на глаз с своим другом, предложил им посидеть и напиться чаю. Подали скамейки и чай. Офицеры не без удивления смотрели на толстую, громадную фигуру Пьера и слушали его рассказы о Москве и о расположении наших войск, которые ему удалось объездить. Князь Андрей молчал, и лицо его так было неприятно, что Пьер обращался более к добродушному батальонному командиру Тимохину, чем к Болконскому.
– Так ты понял все расположение войск? – перебил его князь Андрей.
– Да, то есть как? – сказал Пьер. – Как невоенный человек, я не могу сказать, чтобы вполне, но все таки понял общее расположение.
– Eh bien, vous etes plus avance que qui cela soit, [Ну, так ты больше знаешь, чем кто бы то ни было.] – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Пьер с недоуменьем, через очки глядя на князя Андрея. – Ну, как вы скажете насчет назначения Кутузова? – сказал он.
– Я очень рад был этому назначению, вот все, что я знаю, – сказал князь Андрей.
– Ну, а скажите, какое ваше мнение насчет Барклая де Толли? В Москве бог знает что говорили про него. Как вы судите о нем?
– Спроси вот у них, – сказал князь Андрей, указывая на офицеров.
Пьер с снисходительно вопросительной улыбкой, с которой невольно все обращались к Тимохину, посмотрел на него.
– Свет увидали, ваше сиятельство, как светлейший поступил, – робко и беспрестанно оглядываясь на своего полкового командира, сказал Тимохин.
– Отчего же так? – спросил Пьер.
– Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали…
– Так отчего же он запрещал?
Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею.
– А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец…
– Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер.
– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
– Да это невозможно, – сказал князь Андрей, как будто про давно решенное дело.
Пьер с удивлением посмотрел на него.
– Однако, – сказал он, – ведь говорят же, что война подобна шахматной игре.
– Да, – сказал князь Андрей, – только с тою маленькою разницей, что в шахматах над каждым шагом ты можешь думать сколько угодно, что ты там вне условий времени, и еще с той разницей, что конь всегда сильнее пешки и две пешки всегда сильнее одной, a на войне один батальон иногда сильнее дивизии, а иногда слабее роты. Относительная сила войск никому не может быть известна. Поверь мне, – сказал он, – что ежели бы что зависело от распоряжений штабов, то я бы был там и делал бы распоряжения, а вместо того я имею честь служить здесь, в полку вот с этими господами, и считаю, что от нас действительно будет зависеть завтрашний день, а не от них… Успех никогда не зависел и не будет зависеть ни от позиции, ни от вооружения, ни даже от числа; а уж меньше всего от позиции.
– А от чего же?
– От того чувства, которое есть во мне, в нем, – он указал на Тимохина, – в каждом солдате.
Князь Андрей взглянул на Тимохина, который испуганно и недоумевая смотрел на своего командира. В противность своей прежней сдержанной молчаливости князь Андрей казался теперь взволнованным. Он, видимо, не мог удержаться от высказывания тех мыслей, которые неожиданно приходили ему.
