Изолированная точка множества

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение

Пусть дано топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math>, и подмножество <math>A \subset X</math>. Точка <math>x \in A</math> называется изолированной точкой множества <math>A</math>, если существует окрестность <math>U \in \mathcal{T}</math> такая, что <math>U \cap A = \{x\}.</math>

Связанные определения

• Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

Свойства

• Произвольная функция <math>f:A\subset X \to Y</math>, где <math>Y</math> — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке <math>x</math>.

Примеры

Пусть <math>A = \mathbb{R}</math> — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

• Если <math>A = \{0\} \cup [1,2]</math>, то точка <math>x = 0</math> является изолированной, а все остальные нет.
• Если <math>A = \{0\} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\},</math> то <math>x = 0</math> не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
• Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> дискретно.
• Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
• Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. также

• Предельная точка
• Точка прикосновения
• Внутренняя точка

Отрывок, характеризующий Изолированная точка множества

– Всё такой же, – отвечала Анна Михайловна, – любезен, рассыпается. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Высокое положение не вскружило ему головы нисколько.] «Я жалею, что слишком мало могу вам сделать, милая княгиня, – он мне говорит, – приказывайте». Нет, он славный человек и родной прекрасный. Но ты знаешь, Nathalieie, мою любовь к сыну. Я не знаю, чего я не сделала бы для его счастья. А обстоятельства мои до того дурны, – продолжала Анна Михайловна с грустью и понижая голос, – до того дурны, что я теперь в самом ужасном положении. Мой несчастный процесс съедает всё, что я имею, и не подвигается. У меня нет, можешь себе представить, a la lettre [буквально] нет гривенника денег, и я не знаю, на что обмундировать Бориса. – Она вынула платок и заплакала. – Мне нужно пятьсот рублей, а у меня одна двадцатипятирублевая бумажка. Я в таком положении… Одна моя надежда теперь на графа Кирилла Владимировича Безухова. Ежели он не захочет поддержать своего крестника, – ведь он крестил Борю, – и назначить ему что нибудь на содержание, то все мои хлопоты пропадут: мне не на что будет обмундировать его.
Графиня прослезилась и молча соображала что то.
– Часто думаю, может, это и грех, – сказала княгиня, – а часто думаю: вот граф Кирилл Владимирович Безухой живет один… это огромное состояние… и для чего живет? Ему жизнь в тягость, а Боре только начинать жить.
– Он, верно, оставит что нибудь Борису, – сказала графиня.
– Бог знает, chere amie! [милый друг!] Эти богачи и вельможи такие эгоисты. Но я всё таки поеду сейчас к нему с Борисом и прямо скажу, в чем дело. Пускай обо мне думают, что хотят, мне, право, всё равно, когда судьба сына зависит от этого. – Княгиня поднялась. – Теперь два часа, а в четыре часа вы обедаете. Я успею съездить.