Импликация

Импликация
Не больше
Основная информация
Определение	<math>x \rightarrow y</math>
Классы	T0 T1 M L S  Нет   Да   Нет   Нет   Нет
ДНФ	<math>\overline{x} + y</math>
КНФ	<math>\overline{x} + y</math>
Полином Жегалкина	<math>1 \oplus x \oplus xy</math>
Таблица истинности	<math>(1101)</math>

Импликация (лат. implicatio — связь) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

Импликация записывается как посылка <math>\Rightarrow</math> следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

• Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
• Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества <math>\{0, 1\}</math>. Результат также принадлежит множеству <math>\{0, 1\}</math>. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений <math>0, 1</math> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например <math>false, true</math> или <math>F, T</math> или «ложь», «истина».
Правило:
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация <math>A\to B</math> — это сокращённая запись для выражения <math>(\neg A)\or B</math>.
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b) (материальная импликация, материальный кондиционал)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a\to b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>

если <math>a\leqslant b</math>, то истинно (1),

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (от b к a, <math>A\or(\neg B)</math>)

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>a\leftarrow b</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>

если <math>a\geqslant b</math>, то истинно (1),
обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (<math> \lnot A \land B</math>),
разряд займа в двоичном полувычитателе,

<math>a</math>	<math>b</math>	<math>\lnot(a\leftarrow b)</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>0</math>

Импликация и следствие

Не следует путать импликацию (→) и логическое следование (⇒). Импликация как логическое выражение может сама принимать значения истины или лжи. Логическое же следование A ⇒ B утверждает, что во всех случаях, когда формула A истинна, B также будет истинно.

Синонимические импликации выражения в русском языке

1. Когда А, то B
2. В в том случае, если А
3. При А В
4. Из А следует В
5. В случае А произойдет В
6. В, так как А
7. В, потому что А
8. А — достаточное условие для В.
9. В — необходимое условие для А.

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒, и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B, тогда

                                 a ∈ A ⇒ a ∈ B.

Например, если A — множество всех квадратов, а B — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B и

                     (a — квадрат) ⇒ (a — прямоугольник)

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации A → B формуле <math>\neg A \lor B</math> (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле <math> \neg (A \land \neg B)</math>, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A→⊭, где ⊭ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:

if ( выражение_для_проверки_A ) {
   //if ( выражение_для_проверки_B ) {
      сделать_что-то_полезное;
   //}
   //else {
   //    сбой;
   //};
}
else {
   сделать_что-то_на_случай_ложности_A;
};

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором AND или &&. При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) проверка идет до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить еще один условный оператор.

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

См. также

• Закон контрапозиции
• Логический элемент
• Логическая операция
• Дизъюнкция
• Конъюнкция
• Отрицание
• Modus ponens
• Условная вероятность

Ссылки

• [www.ctc.msiu.ru/materials/Book2/ch_07_sheets/01_logic/03_implies/ Импликация и эквивалентность]

Отрывок, характеризующий Импликация

– Слава богу! – крикнул он. – Ну, слава богу! – повторял он, слушая восторженный рассказ Пети. – И чег'т тебя возьми, из за тебя не спал! – проговорил Денисов. – Ну, слава богу, тепег'ь ложись спать. Еще вздг'емнем до утг'а.
– Да… Нет, – сказал Петя. – Мне еще не хочется спать. Да я и себя знаю, ежели засну, так уж кончено. И потом я привык не спать перед сражением.
Петя посидел несколько времени в избе, радостно вспоминая подробности своей поездки и живо представляя себе то, что будет завтра. Потом, заметив, что Денисов заснул, он встал и пошел на двор.
На дворе еще было совсем темно. Дождик прошел, но капли еще падали с деревьев. Вблизи от караулки виднелись черные фигуры казачьих шалашей и связанных вместе лошадей. За избушкой чернелись две фуры, у которых стояли лошади, и в овраге краснелся догоравший огонь. Казаки и гусары не все спали: кое где слышались, вместе с звуком падающих капель и близкого звука жевания лошадей, негромкие, как бы шепчущиеся голоса.
Петя вышел из сеней, огляделся в темноте и подошел к фурам. Под фурами храпел кто то, и вокруг них стояли, жуя овес, оседланные лошади. В темноте Петя узнал свою лошадь, которую он называл Карабахом, хотя она была малороссийская лошадь, и подошел к ней.
– Ну, Карабах, завтра послужим, – сказал он, нюхая ее ноздри и целуя ее.
– Что, барин, не спите? – сказал казак, сидевший под фурой.
– Нет; а… Лихачев, кажется, тебя звать? Ведь я сейчас только приехал. Мы ездили к французам. – И Петя подробно рассказал казаку не только свою поездку, но и то, почему он ездил и почему он считает, что лучше рисковать своей жизнью, чем делать наобум Лазаря.
– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.
Что бы ни увидал теперь Петя, ничто бы не удивило его. Он был в волшебном царстве, в котором все было возможно.
Он поглядел на небо. И небо было такое же волшебное, как и земля. На небе расчищало, и над вершинами дерев быстро бежали облака, как будто открывая звезды. Иногда казалось, что на небе расчищало и показывалось черное, чистое небо. Иногда казалось, что эти черные пятна были тучки. Иногда казалось, что небо высоко, высоко поднимается над головой; иногда небо спускалось совсем, так что рукой можно было достать его.
Петя стал закрывать глаза и покачиваться.
Капли капали. Шел тихий говор. Лошади заржали и подрались. Храпел кто то.
– Ожиг, жиг, ожиг, жиг… – свистела натачиваемая сабля. И вдруг Петя услыхал стройный хор музыки, игравшей какой то неизвестный, торжественно сладкий гимн. Петя был музыкален, так же как Наташа, и больше Николая, но он никогда не учился музыке, не думал о музыке, и потому мотивы, неожиданно приходившие ему в голову, были для него особенно новы и привлекательны. Музыка играла все слышнее и слышнее. Напев разрастался, переходил из одного инструмента в другой. Происходило то, что называется фугой, хотя Петя не имел ни малейшего понятия о том, что такое фуга. Каждый инструмент, то похожий на скрипку, то на трубы – но лучше и чище, чем скрипки и трубы, – каждый инструмент играл свое и, не доиграв еще мотива, сливался с другим, начинавшим почти то же, и с третьим, и с четвертым, и все они сливались в одно и опять разбегались, и опять сливались то в торжественно церковное, то в ярко блестящее и победное.
«Ах, да, ведь это я во сне, – качнувшись наперед, сказал себе Петя. – Это у меня в ушах. А может быть, это моя музыка. Ну, опять. Валяй моя музыка! Ну!..»
Он закрыл глаза. И с разных сторон, как будто издалека, затрепетали звуки, стали слаживаться, разбегаться, сливаться, и опять все соединилось в тот же сладкий и торжественный гимн. «Ах, это прелесть что такое! Сколько хочу и как хочу», – сказал себе Петя. Он попробовал руководить этим огромным хором инструментов.