Инверсия кривой

В геометрии инверсия заданной кривой C — это результат применения операции инверсии к кривой C. По отношению к фиксированной окружности с центром O и радиусом k инверсия точки Q — это точка P, лежащая на луче OQ, и OP•OQ = k². Инверсия кривой C — это множество всех точек P, являющихся инверсиями точек Q, принадлежащих кривой C. Точка O в этом построении называется центром инверсии, окружность называется окружностью инверсии, а k — радиусом инверсии.

Инверсия, применённая дважды, даст тождественное преобразование, так что инверсия, применённая к инверсии кривой по отношению той же окружности, даст первоначальную кривую. Точки самой окружности переходят в себя, так что окружность инверсии при операции не меняется.

Уравнения

Инверсией точки (x, y) по отношению единичной окружности является (X, Y), где

<math>X = \frac{x}{x^2+y^2},\ Y=\frac{y}{x^2+y^2},</math>

или, что эквивалентно,

<math>x = \frac{X}{X^2+Y^2},\ y=\frac{Y}{X^2+Y^2}.</math>

Так что инверсия кривой, определённой уравнением f(x, y) = 0, по отношению к единичной окружности задаётся уравнением

<math>f\left(\frac{X}{X^2+Y^2},\ \frac{Y}{X^2+Y^2}\right)=0.</math>

Из этого уравнения ясно, что инверсия алгебраической кривой степени n по отношению к окружности даёт алгебраическую кривую степени максимум 2n.

Таким же образом, инверсией кривой, заданной параметрическими уравнениями

<math>x = x(t),\ y = y(t)</math>,

по отношению к единичной окружности будет

<math>X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2},\ Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2 + y(t)^2}.</math>

Отсюда следует, что круговая инверсия рациональной кривой является также рациональной кривой.

Обобщая, инверсией кривой, заданной уравнением f(x, y) = 0, по отношению к окружности с центром в (a, b) и радиусом k является

<math>f\left(a+\frac{k^2(X-a)}{(X-a)^2+(Y-b)^2},\ b+\frac{k^2(Y-b)}{(X-a)^2+(Y-b)^2}\right)=0.</math>

Инверсией кривой, заданной параметрически

<math>x = x(t),\ y = y(t)</math>,

по отношению к той же окружности будет

<math>X=X(t)=a+\frac{k^2(x(t)-a)}{(x(t)-a)^2 + (y(t)-b)^2},\ Y=Y(t)=b+\frac{k^2(y(t)-b)}{(x(t)-a)^2 + (y(t)-b)^2}.</math>

В полярной системе координат уравнения проще, если окружностью инверсии является единичная окружность. Инверсией точки (r, θ) по отношению к единичной окружности является (R, Θ), где

<math>R = \frac{1}{r},\ \Theta=\theta,</math>

или, что эквивалентно,

<math>r = \frac{1}{R},\ \theta=\Theta.</math>

Таким образом, инверсия кривой f(r, θ) = 0 определяется уравнением f(1/R, Θ) = 0, а инверсией кривой r = g(θ) будет r = 1/g(θ).

Примеры

Применение преобразования, приведенного выше, к лемнискате Бернулли

<math>(x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2)</math>

даст

<math>a^2(u^2-v^2) = 1,</math>

уравнение гиперболы. Поскольку инверсия является бирациональным преобразованием и гипербола является рациональной кривой, это показывает, что лемниската также является рациональной кривой, другими словами, кривая имеет род нуль. Если применить инверсию к кривой Ферма xⁿ + yⁿ = 1, где n нечётно, мы получим

<math>(u^2+v^2)^n = u^n+v^n.</math>

Любая рациональная точка на кривой Ферма имеет соответствующую рациональную точку на этой кривой, что даёт эквивалентную формулировку великой теоремы Ферма.

Частные случаи

Для простоты в качестве окружности инверсии в примерах используется единичная окружность. Результат инверсии для других окружностей можно получить путём преобразования исходной кривой.

Прямые

Если прямая проходит через начало координат, её уравнение в полярных координатах будет θ = θ₀, где θ₀ постоянна. Уравнение не меняется при инверсии.

Уравнение в полярных координатах прямой, не проходящей через начало координат,

<math>r\cos(\theta-\theta_0) = a</math>

и уравнением инверсии кривой будет

<math>r = a\cos(\theta-\theta_0)</math>

которое задаёт окружность, проходящую через начало координат. Применение инверсии уже к этой окружности показывает, что инверсией окружности, проходящей через начало координат, будет прямая.

Окружности

В полярных координатах общее уравнением окружности, не проходящей через начало координат, будет

<math>r^2 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + r_0^2 - a^2 = 0\quad(a,\ r >0,\ a \ne r_0),</math>

где a — радиус и (r₀, θ₀) — полярные координаты центра. Уравнением инверсной кривой будет

<math>1 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + (r_0^2 - a^2)r^2 = 0,</math>

или

<math>r^2 - \frac{2r_0}{r_0^2 - a^2} r\cos(\theta-\theta_0) + \frac{1}{r_0^2 - a^2} = 0.</math>

Это уравнение окружности с радиусом

<math>A = \frac{a}{|r_0^2 - a^2|}</math>

и центром, координаты которой

<math>(R_0,\ \Theta_0) = \left(\frac{r_0}{r_0^2 - a^2},\ \theta_0\right).</math>

Заметим, что R₀ может быть отрицательным.

Если исходная окружность пересекается с единичной окружностью, то центры этих двух окружностей и точка пересечения образует треугольник со сторонами 1, a, r0 и этот треугольник будет прямоугольным, если

<math>r_0^2 = a^2 + 1.</math>

Но из уравнения выше следует, что исходная окружность совпадает с её инверсией только в случае, когда

<math>r_0^2 - a^2 = 1.</math>

Таким образом, инверсия окружности совпадает с исходной окружностью тогда и только тогда, когда окружность пересекает единичную окружность под прямыми углами.

Суммируя и обобщая две секции:

1. Инверсия прямой или окружность будет прямой или окружностью.
2. Если исходная кривая является прямой, то её инверсия будет проходить через центр инверсии. Если исходная кривая проходит через центр инверсии, то инверсией будет прямая.
3. Инвертная кривая будет совпадать с исходной в точности тогда, когда кривая пересекает единичную окружность под прямыми углами.

Параболы с центром инверсии в вершине

Уравнением параболы, если повернуть её так, что ось станет горизонтальной, будет x = y². В полярных координатах это превращается в

<math>r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.</math>

Уравнением инверсной кривой тогда будет

<math>r=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \sin\theta \tan\theta</math>,

и это циссоида Диокла.

Конические сечения с центром инверсии в фокусе

Уравнением в полярных координатах конического сечения с фокусом в начале координат будет, с точностью до подобия

<math>r = \frac{1}{1 + e \cos \theta},</math>

где e — эксцентриситет. Инверсией этой кривой будет

<math>r = 1 + e \cos \theta,</math>

и это уравнение улитки Паскаля. Если e = 0, это окружность инверсии. Если 0 < e < 1, исходная кривая является эллипсом и её инверсия — это замкнутая кривая с изолированной точкой в начале координат. Если e = 1, исходная кривая является параболой и её инверсия является кардиоидой, имеющей касп в начале координат. Если e > 1, исходная кривая является гиперболой и её инверсия образует две петли с точкой пересечения в начале координат.

Эллипсы и гиперболы с центрами инверсии в вершинах

Общим уравнением эллипса или гиперболы является

<math>\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1.</math>

Преобразуя уравнение так, что начало координат станет вершиной, получим

<math>\frac{(x-a)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1</math>

и после преобразования

<math>\frac{x^2}{2a}\pm\frac{ay^2}{2b^2}=x</math>

или, заменив константы,

<math>cx^2+dy^2=x.</math>

Заметим, что парабола, рассмотренная выше, теперь попадает в эту схему, положив c = 0 и d = 1. Уравнением инверсной кривой будет

<math>\frac{cx^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{dy^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}</math>

или

<math>x(x^2+y^2) = cx^2+dy^2.</math>

Это уравнение описывает семейство кривых, называемых конхоидами Слюза. Это семейство включает, вдобавок к циссоиде Диокла, описанной выше, трисектрису Маклорена (d = −c/3) и правую строфоиду (d = −c).

Эллипсы и гиперболы с центрами инверсии в центре

Уравнение эллипса или гиперболы

<math>cx^2+dy^2=1</math>

после операции инвертирования получим

<math>(x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2</math>

и это лемниската Бута. Если d = −c, это лемниската Бернулли.

Конические сечения с произвольной точкой инверсии

Инверсия конического сечения (отличного от окружности) является циркулярной кривой третьего порядка, если центр инверсии лежит на кривой, и бициркулярной кривой четвёртого порядка в противном случае. Конические сечения являются рациональными, так что инвертированные кривые тоже рациональны. И наоборот, любая рациональная циркулярная кривая третьего порядка или рациональная бициркулярная кривая четвёртого порядка является инверсией конического сечения. Фактически любая из этих кривых должна иметь особенность, и если взять эту точку в качестве центра инверсии, инверсная кривая будет коническим сечением.

Аналлагматические кривые

Аналлагматическая кривая — это кривая, переходящая в себя при инверсии. К ним относятся окружность, овал Кассини и трисектриса Маклорена.

Смотрите также

• Инверсная геометрия

Ссылки

• J. W. Stubbs On the application of a new Method to the Geometry of Curves and Curve Surfaces // Philosophical Magazine Series 3. — 1843. — Т. 23. — С. 338–347.
• J. Dennis Lawrence A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 43–46,121. — ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/InverseCurve.html Inverse Curve] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/AnallagmaticCurve.html Anallagmatic Curve] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Inversion_dir/inversion.html "Inversion" на сайте Visual Dictionary Of Special Plane Curves]
• [www.mathcurve.com/courbes2d/inverse/inverse.shtml "Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]

Внешние ссылки

• [www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Definitions.html Определение на сайте MacTutor «Знаменитые кривые»]. Этот сайт также содержит примеры инверсных кривых и Java-апплет для просмотра инверсных кривых из списка.

Отрывок, характеризующий Инверсия кривой

Виконт был миловидный, с мягкими чертами и приемами, молодой человек, очевидно считавший себя знаменитостью, но, по благовоспитанности, скромно предоставлявший пользоваться собой тому обществу, в котором он находился. Анна Павловна, очевидно, угощала им своих гостей. Как хороший метрд`отель подает как нечто сверхъестественно прекрасное тот кусок говядины, который есть не захочется, если увидать его в грязной кухне, так в нынешний вечер Анна Павловна сервировала своим гостям сначала виконта, потом аббата, как что то сверхъестественно утонченное. В кружке Мортемара заговорили тотчас об убиении герцога Энгиенского. Виконт сказал, что герцог Энгиенский погиб от своего великодушия, и что были особенные причины озлобления Бонапарта.
– Ah! voyons. Contez nous cela, vicomte, [Расскажите нам это, виконт,] – сказала Анна Павловна, с радостью чувствуя, как чем то a la Louis XV [в стиле Людовика XV] отзывалась эта фраза, – contez nous cela, vicomte.
Виконт поклонился в знак покорности и учтиво улыбнулся. Анна Павловна сделала круг около виконта и пригласила всех слушать его рассказ.
– Le vicomte a ete personnellement connu de monseigneur, [Виконт был лично знаком с герцогом,] – шепнула Анна Павловна одному. – Le vicomte est un parfait conteur [Bиконт удивительный мастер рассказывать], – проговорила она другому. – Comme on voit l'homme de la bonne compagnie [Как сейчас виден человек хорошего общества], – сказала она третьему; и виконт был подан обществу в самом изящном и выгодном для него свете, как ростбиф на горячем блюде, посыпанный зеленью.
Виконт хотел уже начать свой рассказ и тонко улыбнулся.
– Переходите сюда, chere Helene, [милая Элен,] – сказала Анна Павловна красавице княжне, которая сидела поодаль, составляя центр другого кружка.
Княжна Элен улыбалась; она поднялась с тою же неизменяющеюся улыбкой вполне красивой женщины, с которою она вошла в гостиную. Слегка шумя своею белою бальною робой, убранною плющем и мохом, и блестя белизною плеч, глянцем волос и брильянтов, она прошла между расступившимися мужчинами и прямо, не глядя ни на кого, но всем улыбаясь и как бы любезно предоставляя каждому право любоваться красотою своего стана, полных плеч, очень открытой, по тогдашней моде, груди и спины, и как будто внося с собою блеск бала, подошла к Анне Павловне. Элен была так хороша, что не только не было в ней заметно и тени кокетства, но, напротив, ей как будто совестно было за свою несомненную и слишком сильно и победительно действующую красоту. Она как будто желала и не могла умалить действие своей красоты. Quelle belle personne! [Какая красавица!] – говорил каждый, кто ее видел.
Как будто пораженный чем то необычайным, виконт пожал плечами и о опустил глаза в то время, как она усаживалась перед ним и освещала и его всё тою же неизменною улыбкой.
– Madame, je crains pour mes moyens devant un pareil auditoire, [Я, право, опасаюсь за свои способности перед такой публикой,] сказал он, наклоняя с улыбкой голову.
Княжна облокотила свою открытую полную руку на столик и не нашла нужным что либо сказать. Она улыбаясь ждала. Во все время рассказа она сидела прямо, посматривая изредка то на свою полную красивую руку, которая от давления на стол изменила свою форму, то на еще более красивую грудь, на которой она поправляла брильянтовое ожерелье; поправляла несколько раз складки своего платья и, когда рассказ производил впечатление, оглядывалась на Анну Павловну и тотчас же принимала то самое выражение, которое было на лице фрейлины, и потом опять успокоивалась в сияющей улыбке. Вслед за Элен перешла и маленькая княгиня от чайного стола.
– Attendez moi, je vais prendre mon ouvrage, [Подождите, я возьму мою работу,] – проговорила она. – Voyons, a quoi pensez vous? – обратилась она к князю Ипполиту: – apportez moi mon ridicule. [О чем вы думаете? Принесите мой ридикюль.]
Княгиня, улыбаясь и говоря со всеми, вдруг произвела перестановку и, усевшись, весело оправилась.
– Теперь мне хорошо, – приговаривала она и, попросив начинать, принялась за работу.
Князь Ипполит перенес ей ридикюль, перешел за нею и, близко придвинув к ней кресло, сел подле нее.
Le charmant Hippolyte [Очаровательный Ипполит] поражал своим необыкновенным сходством с сестрою красавицей и еще более тем, что, несмотря на сходство, он был поразительно дурен собой. Черты его лица были те же, как и у сестры, но у той все освещалось жизнерадостною, самодовольною, молодою, неизменною улыбкой жизни и необычайною, античною красотой тела; у брата, напротив, то же лицо было отуманено идиотизмом и неизменно выражало самоуверенную брюзгливость, а тело было худощаво и слабо. Глаза, нос, рот – все сжималось как будто в одну неопределенную и скучную гримасу, а руки и ноги всегда принимали неестественное положение.
– Ce n'est pas une histoire de revenants? [Это не история о привидениях?] – сказал он, усевшись подле княгини и торопливо пристроив к глазам свой лорнет, как будто без этого инструмента он не мог начать говорить.
– Mais non, mon cher, [Вовсе нет,] – пожимая плечами, сказал удивленный рассказчик.
– C'est que je deteste les histoires de revenants, [Дело в том, что я терпеть не могу историй о привидениях,] – сказал он таким тоном, что видно было, – он сказал эти слова, а потом уже понял, что они значили.
Из за самоуверенности, с которой он говорил, никто не мог понять, очень ли умно или очень глупо то, что он сказал. Он был в темнозеленом фраке, в панталонах цвета cuisse de nymphe effrayee, [бедра испуганной нимфы,] как он сам говорил, в чулках и башмаках.
Vicomte [Виконт] рассказал очень мило о том ходившем тогда анекдоте, что герцог Энгиенский тайно ездил в Париж для свидания с m lle George, [мадмуазель Жорж,] и что там он встретился с Бонапарте, пользовавшимся тоже милостями знаменитой актрисы, и что там, встретившись с герцогом, Наполеон случайно упал в тот обморок, которому он был подвержен, и находился во власти герцога, которой герцог не воспользовался, но что Бонапарте впоследствии за это то великодушие и отмстил смертью герцогу.
Рассказ был очень мил и интересен, особенно в том месте, где соперники вдруг узнают друг друга, и дамы, казалось, были в волнении.
– Charmant, [Очаровательно,] – сказала Анна Павловна, оглядываясь вопросительно на маленькую княгиню.
– Charmant, – прошептала маленькая княгиня, втыкая иголку в работу, как будто в знак того, что интерес и прелесть рассказа мешают ей продолжать работу.
Виконт оценил эту молчаливую похвалу и, благодарно улыбнувшись, стал продолжать; но в это время Анна Павловна, все поглядывавшая на страшного для нее молодого человека, заметила, что он что то слишком горячо и громко говорит с аббатом, и поспешила на помощь к опасному месту. Действительно, Пьеру удалось завязать с аббатом разговор о политическом равновесии, и аббат, видимо заинтересованный простодушной горячностью молодого человека, развивал перед ним свою любимую идею. Оба слишком оживленно и естественно слушали и говорили, и это то не понравилось Анне Павловне.
– Средство – Европейское равновесие и droit des gens [международное право], – говорил аббат. – Стоит одному могущественному государству, как Россия, прославленному за варварство, стать бескорыстно во главе союза, имеющего целью равновесие Европы, – и она спасет мир!
– Как же вы найдете такое равновесие? – начал было Пьер; но в это время подошла Анна Павловна и, строго взглянув на Пьера, спросила итальянца о том, как он переносит здешний климат. Лицо итальянца вдруг изменилось и приняло оскорбительно притворно сладкое выражение, которое, видимо, было привычно ему в разговоре с женщинами.
– Я так очарован прелестями ума и образования общества, в особенности женского, в которое я имел счастье быть принят, что не успел еще подумать о климате, – сказал он.
Не выпуская уже аббата и Пьера, Анна Павловна для удобства наблюдения присоединила их к общему кружку.


В это время в гостиную вошло новое лицо. Новое лицо это был молодой князь Андрей Болконский, муж маленькой княгини. Князь Болконский был небольшого роста, весьма красивый молодой человек с определенными и сухими чертами. Всё в его фигуре, начиная от усталого, скучающего взгляда до тихого мерного шага, представляло самую резкую противоположность с его маленькою, оживленною женой. Ему, видимо, все бывшие в гостиной не только были знакомы, но уж надоели ему так, что и смотреть на них и слушать их ему было очень скучно. Из всех же прискучивших ему лиц, лицо его хорошенькой жены, казалось, больше всех ему надоело. С гримасой, портившею его красивое лицо, он отвернулся от нее. Он поцеловал руку Анны Павловны и, щурясь, оглядел всё общество.
– Vous vous enrolez pour la guerre, mon prince? [Вы собираетесь на войну, князь?] – сказала Анна Павловна.
– Le general Koutouzoff, – сказал Болконский, ударяя на последнем слоге zoff , как француз, – a bien voulu de moi pour aide de camp… [Генералу Кутузову угодно меня к себе в адъютанты.]
– Et Lise, votre femme? [А Лиза, ваша жена?]
– Она поедет в деревню.
– Как вам не грех лишать нас вашей прелестной жены?
– Andre, [Андрей,] – сказала его жена, обращаясь к мужу тем же кокетливым тоном, каким она обращалась к посторонним, – какую историю нам рассказал виконт о m lle Жорж и Бонапарте!