Интеграл

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т. п., а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и т. д.; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана , Лебега, Стилтьеса и др.

Интеграл функции одной переменной

Неопределённый интеграл

Пусть дана <math>f(x)</math> — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции <math>f(x)</math> или её первообразной называется такая функция <math>F(x)</math>, производная которой равна <math>f(x)</math>, то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Обозначается это так:

<math>F(x) = \int f(x) dx</math>

В этой записи <math>\int</math> — знак интеграла, <math>f(x)</math> называется подынтегральной функцией, а <math>dx</math> — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную <math>C</math>, например

<math>\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C, \qquad \int \cos(x) dx = \sin(x) + C</math>

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

<math>\frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x), \qquad \int \frac{d f(x)}{dx} dx = f(x) + C</math>

Определённый интеграл

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, ординатами <math>x=a</math> и <math>x=b</math> и графиком функции <math>y=f(x)</math>, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок <math>[a; b]</math> на меньшие отрезки точками <math>x_i</math>, такими что <math>a = x_1 < ... < x_i < x_{i+1} < ... < x_{n+1} = b</math>, а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками <math>[x_i; x_{i+1}]</math>. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке <math>\xi_i \in [x_i;x_{i+1}]</math>. Ввиду того, что длина <math>i</math>-го отрезка <math>\Delta x_i = x_{i+1}-x_i</math> мала, будем считать значение функции <math>f(x)</math> на нём примерно постоянным и равным <math>y_i = f(\xi_i)</math>. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равно площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

<math> S \approx \sum_{i=1}^n y_i \Delta x_i \qquad (*)</math>

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (<math>\max \Delta x_i \to 0</math>), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек <math>\xi_i</math>, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел назывется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции <math>f(x)</math> по отрезку <math>[a; b]</math> и обозначается

<math> \int_a^b f(x) dx </math>

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке <math>[a; b]</math>. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

• непрерывные функции
• функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
• монотонные функции.

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при <math>x</math> рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в <math>{\mathbb R}</math>, выбором точек <math>\xi_i</math> можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до <math>b-a</math>.

Между определённым и неопредённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

<math> F(x) = \int f(x) dx</math>

то

<math> \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>

Эта равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Интеграл в пространствах большей размерности

Двойные и кратные интегралы

Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим некоторую двумерную фигуру <math>D</math> на плоскости <math>XY</math> и заданную на ней функцию двух переменных <math>f(x,y)</math>. Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахожении объёма получившегося тела (см. рисунок). По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру <math>D</math> на достаточно малые области <math>d_i</math>, возьмём в каждой по точке <math>\xi_i = (x_i,y_i)</math> и составим интегральную сумму

<math>\sum_{i} f(x_i,y_i) S(d_i)</math>

где <math>S(d_i)</math> — площадь области <math>d_i</math>. Если существует, независимо от выбора разбиения и точек <math>\xi_i</math>, предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом (в смысле Римана) от функции <math>f(x,y)</math> по области <math>D</math> и обозначается

<math> \int_D f(x,y) dS </math>, <math> \int_D f(x,y) dx dy </math>, или <math> \iint_D f(x,y) dx dy </math>

Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.

Применение

К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела. Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью <math>\rho(x)</math> даётся интегралом

<math> M = \int \rho(x) dx </math>

в аналогичном случае плоской фигуры

<math> M = \iint \rho(x,y) dx dy </math>

и для трёхмерного тела

<math> M = \iiint \rho(x,y,z) dx dy dz </math>

Обобщения

Интеграл Лебега

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие <math>\sigma</math>-аддитивной меры. Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в <math>{\mathbb R}^2</math>, в <math>{\mathbb R}^3)</math>.

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество <math>X</math>, на котором задана <math>\sigma</math>-аддитивная мера <math>\mu</math>, и функция <math>f: X \to {\mathbb R}</math>. При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, то есть такие, для которых множества

<math> E_a = \{x \in X: f(x) < a\} </math>

измеримы для любого <math>a \in {\mathbb R}</math> (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений <math>a_i</math>:

<math> \int_X f d\mu = \sum_i a_i \mu(f^{-1}(a_i)) </math>

где <math>f^{-1}(a_i)</math> — полный прообраз точки <math>a_i</math>; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию <math>f</math> назовём интегрируемой в смысле Лебега. Далее, назовём произвольную функцию <math>f</math> интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций <math>f_n</math>, равномерно сходящаяся к <math>f</math>. При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции <math>f</math> по мере <math>\mu</math>:

<math> \int_X f d\mu = \lim \int_X f_n d\mu </math>

Если рассматривать функции на <math>{\mathbb R}^n</math> и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега. Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду). Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.

Историческая справка

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века. Лейбницу принадлежит обозначение интеграла <math>\int y dx</math>, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ <math>\int</math>, от буквы ſ («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма). Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде <math>\int_a^b</math> введено Фурье в 1820 году.

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).

См. также

• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций

Литература

• Виноградов И.М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Integral.html Integral] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [integrals.wolfram.com Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы Mathematica
• [youintegral.ru/ Аналог Wolfram Integrator с подробным решением интегралов]
• «[ru.yasno.tv/article/math/42-chto-takoe-integral-eto-umnozhenie Интеграл как умножение]» — перевод статьи [betterexplained.com/articles/a-calculus-analogy-integrals-as-multiplication/ A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | BetterExplained]  (англ.)

Отрывок, характеризующий Интеграл

Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.
Опять всё замолкло, но князь Андрей знал, что она всё еще сидит тут, он слышал иногда тихое шевеленье, иногда вздохи.
– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.


На другой день простившись только с одним графом, не дождавшись выхода дам, князь Андрей поехал домой.
Уже было начало июня, когда князь Андрей, возвращаясь домой, въехал опять в ту березовую рощу, в которой этот старый, корявый дуб так странно и памятно поразил его. Бубенчики еще глуше звенели в лесу, чем полтора месяца тому назад; всё было полно, тенисто и густо; и молодые ели, рассыпанные по лесу, не нарушали общей красоты и, подделываясь под общий характер, нежно зеленели пушистыми молодыми побегами.
Целый день был жаркий, где то собиралась гроза, но только небольшая тучка брызнула на пыль дороги и на сочные листья. Левая сторона леса была темна, в тени; правая мокрая, глянцовитая блестела на солнце, чуть колыхаясь от ветра. Всё было в цвету; соловьи трещали и перекатывались то близко, то далеко.
«Да, здесь, в этом лесу был этот дуб, с которым мы были согласны», подумал князь Андрей. «Да где он», подумал опять князь Андрей, глядя на левую сторону дороги и сам того не зная, не узнавая его, любовался тем дубом, которого он искал. Старый дуб, весь преображенный, раскинувшись шатром сочной, темной зелени, млел, чуть колыхаясь в лучах вечернего солнца. Ни корявых пальцев, ни болячек, ни старого недоверия и горя, – ничего не было видно. Сквозь жесткую, столетнюю кору пробились без сучков сочные, молодые листья, так что верить нельзя было, что этот старик произвел их. «Да, это тот самый дуб», подумал князь Андрей, и на него вдруг нашло беспричинное, весеннее чувство радости и обновления. Все лучшие минуты его жизни вдруг в одно и то же время вспомнились ему. И Аустерлиц с высоким небом, и мертвое, укоризненное лицо жены, и Пьер на пароме, и девочка, взволнованная красотою ночи, и эта ночь, и луна, – и всё это вдруг вспомнилось ему.
«Нет, жизнь не кончена в 31 год, вдруг окончательно, беспеременно решил князь Андрей. Мало того, что я знаю всё то, что есть во мне, надо, чтобы и все знали это: и Пьер, и эта девочка, которая хотела улететь в небо, надо, чтобы все знали меня, чтобы не для одного меня шла моя жизнь, чтоб не жили они так независимо от моей жизни, чтоб на всех она отражалась и чтобы все они жили со мною вместе!»

Возвратившись из своей поездки, князь Андрей решился осенью ехать в Петербург и придумал разные причины этого решенья. Целый ряд разумных, логических доводов, почему ему необходимо ехать в Петербург и даже служить, ежеминутно был готов к его услугам. Он даже теперь не понимал, как мог он когда нибудь сомневаться в необходимости принять деятельное участие в жизни, точно так же как месяц тому назад он не понимал, как могла бы ему притти мысль уехать из деревни. Ему казалось ясно, что все его опыты жизни должны были пропасть даром и быть бессмыслицей, ежели бы он не приложил их к делу и не принял опять деятельного участия в жизни. Он даже не понимал того, как на основании таких же бедных разумных доводов прежде очевидно было, что он бы унизился, ежели бы теперь после своих уроков жизни опять бы поверил в возможность приносить пользу и в возможность счастия и любви. Теперь разум подсказывал совсем другое. После этой поездки князь Андрей стал скучать в деревне, прежние занятия не интересовали его, и часто, сидя один в своем кабинете, он вставал, подходил к зеркалу и долго смотрел на свое лицо. Потом он отворачивался и смотрел на портрет покойницы Лизы, которая с взбитыми a la grecque [по гречески] буклями нежно и весело смотрела на него из золотой рамки. Она уже не говорила мужу прежних страшных слов, она просто и весело с любопытством смотрела на него. И князь Андрей, заложив назад руки, долго ходил по комнате, то хмурясь, то улыбаясь, передумывая те неразумные, невыразимые словом, тайные как преступление мысли, связанные с Пьером, с славой, с девушкой на окне, с дубом, с женской красотой и любовью, которые изменили всю его жизнь. И в эти то минуты, когда кто входил к нему, он бывал особенно сух, строго решителен и в особенности неприятно логичен.
– Mon cher, [Дорогой мой,] – бывало скажет входя в такую минуту княжна Марья, – Николушке нельзя нынче гулять: очень холодно.
– Ежели бы было тепло, – в такие минуты особенно сухо отвечал князь Андрей своей сестре, – то он бы пошел в одной рубашке, а так как холодно, надо надеть на него теплую одежду, которая для этого и выдумана. Вот что следует из того, что холодно, а не то чтобы оставаться дома, когда ребенку нужен воздух, – говорил он с особенной логичностью, как бы наказывая кого то за всю эту тайную, нелогичную, происходившую в нем, внутреннюю работу. Княжна Марья думала в этих случаях о том, как сушит мужчин эта умственная работа.


Князь Андрей приехал в Петербург в августе 1809 года. Это было время апогея славы молодого Сперанского и энергии совершаемых им переворотов. В этом самом августе, государь, ехав в коляске, был вывален, повредил себе ногу, и оставался в Петергофе три недели, видаясь ежедневно и исключительно со Сперанским. В это время готовились не только два столь знаменитые и встревожившие общество указа об уничтожении придворных чинов и об экзаменах на чины коллежских асессоров и статских советников, но и целая государственная конституция, долженствовавшая изменить существующий судебный, административный и финансовый порядок управления России от государственного совета до волостного правления. Теперь осуществлялись и воплощались те неясные, либеральные мечтания, с которыми вступил на престол император Александр, и которые он стремился осуществить с помощью своих помощников Чарторижского, Новосильцева, Кочубея и Строгонова, которых он сам шутя называл comite du salut publique. [комитет общественного спасения.]
Теперь всех вместе заменил Сперанский по гражданской части и Аракчеев по военной. Князь Андрей вскоре после приезда своего, как камергер, явился ко двору и на выход. Государь два раза, встретив его, не удостоил его ни одним словом. Князю Андрею всегда еще прежде казалось, что он антипатичен государю, что государю неприятно его лицо и всё существо его. В сухом, отдаляющем взгляде, которым посмотрел на него государь, князь Андрей еще более чем прежде нашел подтверждение этому предположению. Придворные объяснили князю Андрею невнимание к нему государя тем, что Его Величество был недоволен тем, что Болконский не служил с 1805 года.
«Я сам знаю, как мы не властны в своих симпатиях и антипатиях, думал князь Андрей, и потому нечего думать о том, чтобы представить лично мою записку о военном уставе государю, но дело будет говорить само за себя». Он передал о своей записке старому фельдмаршалу, другу отца. Фельдмаршал, назначив ему час, ласково принял его и обещался доложить государю. Через несколько дней было объявлено князю Андрею, что он имеет явиться к военному министру, графу Аракчееву.
В девять часов утра, в назначенный день, князь Андрей явился в приемную к графу Аракчееву.
Лично князь Андрей не знал Аракчеева и никогда не видал его, но всё, что он знал о нем, мало внушало ему уважения к этому человеку.
«Он – военный министр, доверенное лицо государя императора; никому не должно быть дела до его личных свойств; ему поручено рассмотреть мою записку, следовательно он один и может дать ход ей», думал князь Андрей, дожидаясь в числе многих важных и неважных лиц в приемной графа Аракчеева.
Князь Андрей во время своей, большей частью адъютантской, службы много видел приемных важных лиц и различные характеры этих приемных были для него очень ясны. У графа Аракчеева был совершенно особенный характер приемной. На неважных лицах, ожидающих очереди аудиенции в приемной графа Аракчеева, написано было чувство пристыженности и покорности; на более чиновных лицах выражалось одно общее чувство неловкости, скрытое под личиной развязности и насмешки над собою, над своим положением и над ожидаемым лицом. Иные задумчиво ходили взад и вперед, иные шепчась смеялись, и князь Андрей слышал sobriquet [насмешливое прозвище] Силы Андреича и слова: «дядя задаст», относившиеся к графу Аракчееву. Один генерал (важное лицо) видимо оскорбленный тем, что должен был так долго ждать, сидел перекладывая ноги и презрительно сам с собой улыбаясь.
Но как только растворялась дверь, на всех лицах выражалось мгновенно только одно – страх. Князь Андрей попросил дежурного другой раз доложить о себе, но на него посмотрели с насмешкой и сказали, что его черед придет в свое время. После нескольких лиц, введенных и выведенных адъютантом из кабинета министра, в страшную дверь был впущен офицер, поразивший князя Андрея своим униженным и испуганным видом. Аудиенция офицера продолжалась долго. Вдруг послышались из за двери раскаты неприятного голоса, и бледный офицер, с трясущимися губами, вышел оттуда, и схватив себя за голову, прошел через приемную.
Вслед за тем князь Андрей был подведен к двери, и дежурный шопотом сказал: «направо, к окну».
Князь Андрей вошел в небогатый опрятный кабинет и у стола увидал cорокалетнего человека с длинной талией, с длинной, коротко обстриженной головой и толстыми морщинами, с нахмуренными бровями над каре зелеными тупыми глазами и висячим красным носом. Аракчеев поворотил к нему голову, не глядя на него.
– Вы чего просите? – спросил Аракчеев.
– Я ничего не… прошу, ваше сиятельство, – тихо проговорил князь Андрей. Глаза Аракчеева обратились на него.
– Садитесь, – сказал Аракчеев, – князь Болконский?
– Я ничего не прошу, а государь император изволил переслать к вашему сиятельству поданную мною записку…
– Изволите видеть, мой любезнейший, записку я вашу читал, – перебил Аракчеев, только первые слова сказав ласково, опять не глядя ему в лицо и впадая всё более и более в ворчливо презрительный тон. – Новые законы военные предлагаете? Законов много, исполнять некому старых. Нынче все законы пишут, писать легче, чем делать.