Интегральный логарифм

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

<math>\mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.</math>

Для устранения сингулярности при <math>x=1</math> иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

<math>\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.</math>

Эти две функции связаны соотношением:

<math>\mathrm{li}\,(x)-\mathrm{Li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots</math>

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

<math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).</math>

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке <math>\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots</math> (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего <math>\mathrm{li}\,(x)</math> и <math>\mathrm{Ei}(\ln x)</math> следует ряд:

<math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},</math>

где <math>\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots</math> — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

<math>\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.</math>

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем <math>x/\ln{x}</math>. При справедливости гипотезы Римана выполняется

<math>\pi(x)=\mathrm{Li}\,(x)+O(\sqrt{x}\ln(x)).</math>

Для не слишком больших <math>x</math> <math>\pi(x)<\mathrm{Li}\,(x)</math>, однако доказано, что при некотором достаточно большом <math>x</math> неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху <math>e^{e^{27/4}}</math>.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.

Отрывок, характеризующий Интегральный логарифм

– Запрягать надо, пора запрягать, ваше сиятельство! Ваше сиятельство, – повторил какой то голос, – запрягать надо, пора запрягать…
Это был голос берейтора, будившего Пьера. Солнце било прямо в лицо Пьера. Он взглянул на грязный постоялый двор, в середине которого у колодца солдаты поили худых лошадей, из которого в ворота выезжали подводы. Пьер с отвращением отвернулся и, закрыв глаза, поспешно повалился опять на сиденье коляски. «Нет, я не хочу этого, не хочу этого видеть и понимать, я хочу понять то, что открывалось мне во время сна. Еще одна секунда, и я все понял бы. Да что же мне делать? Сопрягать, но как сопрягать всё?» И Пьер с ужасом почувствовал, что все значение того, что он видел и думал во сне, было разрушено.
Берейтор, кучер и дворник рассказывали Пьеру, что приезжал офицер с известием, что французы подвинулись под Можайск и что наши уходят.
Пьер встал и, велев закладывать и догонять себя, пошел пешком через город.
Войска выходили и оставляли около десяти тысяч раненых. Раненые эти виднелись в дворах и в окнах домов и толпились на улицах. На улицах около телег, которые должны были увозить раненых, слышны были крики, ругательства и удары. Пьер отдал догнавшую его коляску знакомому раненому генералу и с ним вместе поехал до Москвы. Доро гой Пьер узнал про смерть своего шурина и про смерть князя Андрея.

Х
30 го числа Пьер вернулся в Москву. Почти у заставы ему встретился адъютант графа Растопчина.
– А мы вас везде ищем, – сказал адъютант. – Графу вас непременно нужно видеть. Он просит вас сейчас же приехать к нему по очень важному делу.
Пьер, не заезжая домой, взял извозчика и поехал к главнокомандующему.
Граф Растопчин только в это утро приехал в город с своей загородной дачи в Сокольниках. Прихожая и приемная в доме графа были полны чиновников, явившихся по требованию его или за приказаниями. Васильчиков и Платов уже виделись с графом и объяснили ему, что защищать Москву невозможно и что она будет сдана. Известия эти хотя и скрывались от жителей, но чиновники, начальники различных управлений знали, что Москва будет в руках неприятеля, так же, как и знал это граф Растопчин; и все они, чтобы сложить с себя ответственность, пришли к главнокомандующему с вопросами, как им поступать с вверенными им частями.