Стохастический интеграл

Стохастический интеграл - интеграл вида <math>\int f(t) dy(t)</math>, где <math>{y(t), t \in T}</math> - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм <math>S_N = \sum_{i=0}^N f(\tau_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]</math>. Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, переходом к пределу: <math>I = \int f(t) dy(t) = \lim S_N </math>.

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл <math>\int_0^T \omega(t) d\omega(t)</math>, где <math>{\omega(t), t \in T}</math> - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал <math>[0; T]</math> точками <math>0=t_1, t_2, ..., t_N, t_{N+1}=T</math> на <math>N</math> подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: <math>I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_i)[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math>, или <math>I_1=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_{i+1})[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math>. Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: <math>E[I_1-I_0]=\lim \sum^{N}_{i=1}E\left([\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]^2\right)=T</math>. Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру <math>\lambda</math> сумму интегралов <math>I_0</math> и <math>I_1</math> следующей формулой: <math>I_\lambda=(1 - \lambda)I_0+\lambda I_1=\lim \sum^N_{i=1}[(1-\lambda)\omega(t_i)+\lambda\omega(t_{i+1})][\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math>, при <math>0 \leqslant \lambda \leqslant 1</math>. Интеграл <math>I_0</math> соответствует интегралу Ито, а <math>I_{0,5}</math> совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид: <math>I=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f\left(\frac{t_{i+1}+t_i}{2}\right)[y(t_{i+1})-y(t_i)]</math>.

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид: <math>\int f(t) dy(t)=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f(t_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]</math>. Его основные свойства: <math>E \int f(t) dy(t) = \int { E f(t) } dm(t)</math>, <math>cov [ \int f(t) dy(t), \int g(t) dy(t) ] = \int [ E f(t) g(t) ] dr(t)</math>.

Интеграл Винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число <math>\alpha</math>. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции <math>x(t, \alpha)</math>. Интеграл вида <math>\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt</math> называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: <math>\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = f(1)x(1, \alpha) - \int\limits_0^1 f'(t)dx(t,\alpha)dt</math>. Его основные свойства: <math>\int\limits_0^1 d\alpha \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = 0</math>, <math>\int\limits_0^1 d\alpha \left [ \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt \right ]^{2} = \int\limits_0^1 f^{2}(t)dt</math>.

См. также

• Винеровский процесс
• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Литература

• К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред. Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.
• Н. Винер Нелинейные задачи в теории случайных процессов, М., ИЛ, 1961.

Отрывок, характеризующий Стохастический интеграл

Пьер был один из тех людей, которые, несмотря на свою внешнюю, так называемую слабость характера, не ищут поверенного для своего горя. Он переработывал один в себе свое горе.
«Она во всем, во всем она одна виновата, – говорил он сам себе; – но что ж из этого? Зачем я себя связал с нею, зачем я ей сказал этот: „Je vous aime“, [Я вас люблю?] который был ложь и еще хуже чем ложь, говорил он сам себе. Я виноват и должен нести… Что? Позор имени, несчастие жизни? Э, всё вздор, – подумал он, – и позор имени, и честь, всё условно, всё независимо от меня.
«Людовика XVI казнили за то, что они говорили, что он был бесчестен и преступник (пришло Пьеру в голову), и они были правы с своей точки зрения, так же как правы и те, которые за него умирали мученической смертью и причисляли его к лику святых. Потом Робеспьера казнили за то, что он был деспот. Кто прав, кто виноват? Никто. А жив и живи: завтра умрешь, как мог я умереть час тому назад. И стоит ли того мучиться, когда жить остается одну секунду в сравнении с вечностью? – Но в ту минуту, как он считал себя успокоенным такого рода рассуждениями, ему вдруг представлялась она и в те минуты, когда он сильнее всего выказывал ей свою неискреннюю любовь, и он чувствовал прилив крови к сердцу, и должен был опять вставать, двигаться, и ломать, и рвать попадающиеся ему под руки вещи. «Зачем я сказал ей: „Je vous aime?“ все повторял он сам себе. И повторив 10 й раз этот вопрос, ему пришло в голову Мольерово: mais que diable allait il faire dans cette galere? [но за каким чортом понесло его на эту галеру?] и он засмеялся сам над собою.
Ночью он позвал камердинера и велел укладываться, чтоб ехать в Петербург. Он не мог оставаться с ней под одной кровлей. Он не мог представить себе, как бы он стал теперь говорить с ней. Он решил, что завтра он уедет и оставит ей письмо, в котором объявит ей свое намерение навсегда разлучиться с нею.
Утром, когда камердинер, внося кофе, вошел в кабинет, Пьер лежал на отоманке и с раскрытой книгой в руке спал.
Он очнулся и долго испуганно оглядывался не в силах понять, где он находится.
– Графиня приказала спросить, дома ли ваше сиятельство? – спросил камердинер.
Но не успел еще Пьер решиться на ответ, который он сделает, как сама графиня в белом, атласном халате, шитом серебром, и в простых волосах (две огромные косы en diademe [в виде диадемы] огибали два раза ее прелестную голову) вошла в комнату спокойно и величественно; только на мраморном несколько выпуклом лбе ее была морщинка гнева. Она с своим всёвыдерживающим спокойствием не стала говорить при камердинере. Она знала о дуэли и пришла говорить о ней. Она дождалась, пока камердинер уставил кофей и вышел. Пьер робко чрез очки посмотрел на нее, и, как заяц, окруженный собаками, прижимая уши, продолжает лежать в виду своих врагов, так и он попробовал продолжать читать: но чувствовал, что это бессмысленно и невозможно и опять робко взглянул на нее. Она не села, и с презрительной улыбкой смотрела на него, ожидая пока выйдет камердинер.