Стохастический интеграл
Стохастический интеграл - интеграл вида <math>\int f(t) dy(t)</math>, где <math>{y(t), t \in T}</math> - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса.
Содержание
Стохастический интеграл от детерминированной функции
Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм <math>S_N = \sum_{i=0}^N f(\tau_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]</math>. Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, переходом к пределу: <math>I = \int f(t) dy(t) = \lim S_N </math>.
Стохастический интеграл от стохастического процесса
Рассмотрим интеграл <math>\int_0^T \omega(t) d\omega(t)</math>, где <math>{\omega(t), t \in T}</math> - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал <math>[0; T]</math> точками <math>0=t_1, t_2, ..., t_N, t_{N+1}=T</math> на <math>N</math> подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: <math>I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_i)[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math>, или <math>I_1=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_{i+1})[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math>. Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: <math>E[I_1-I_0]=\lim \sum^{N}_{i=1}E\left([\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]^2\right)=T</math>. Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру <math>\lambda</math> сумму интегралов <math>I_0</math> и <math>I_1</math> следующей формулой: <math>I_\lambda=(1 - \lambda)I_0+\lambda I_1=\lim \sum^N_{i=1}[(1-\lambda)\omega(t_i)+\lambda\omega(t_{i+1})][\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]</math>, при <math>0 \leqslant \lambda \leqslant 1</math>. Интеграл <math>I_0</math> соответствует интегралу Ито, а <math>I_{0,5}</math> совпадает с интегралом Стратоновича.
Интеграл Стратоновича
Интеграл Стратоновича имеет вид: <math>I=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f\left(\frac{t_{i+1}+t_i}{2}\right)[y(t_{i+1})-y(t_i)]</math>.
Интеграл Ито
Интеграл Ито имеет вид: <math>\int f(t) dy(t)=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f(t_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]</math>. Его основные свойства: <math>E \int f(t) dy(t) = \int { E f(t) } dm(t)</math>, <math>cov [ \int f(t) dy(t), \int g(t) dy(t) ] = \int [ E f(t) g(t) ] dr(t)</math>.
Интеграл Винера
Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число <math>\alpha</math>. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции <math>x(t, \alpha)</math>. Интеграл вида <math>\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt</math> называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: <math>\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = f(1)x(1, \alpha) - \int\limits_0^1 f'(t)dx(t,\alpha)dt</math>. Его основные свойства: <math>\int\limits_0^1 d\alpha \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = 0</math>, <math>\int\limits_0^1 d\alpha \left [ \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt \right ]^{2} = \int\limits_0^1 f^{2}(t)dt</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "Стохастический интеграл"
Литература
- К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред. Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.
- Н. Винер Нелинейные задачи в теории случайных процессов, М., ИЛ, 1961.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Стохастический интеграл
Пьер был один из тех людей, которые, несмотря на свою внешнюю, так называемую слабость характера, не ищут поверенного для своего горя. Он переработывал один в себе свое горе.«Она во всем, во всем она одна виновата, – говорил он сам себе; – но что ж из этого? Зачем я себя связал с нею, зачем я ей сказал этот: „Je vous aime“, [Я вас люблю?] который был ложь и еще хуже чем ложь, говорил он сам себе. Я виноват и должен нести… Что? Позор имени, несчастие жизни? Э, всё вздор, – подумал он, – и позор имени, и честь, всё условно, всё независимо от меня.
«Людовика XVI казнили за то, что они говорили, что он был бесчестен и преступник (пришло Пьеру в голову), и они были правы с своей точки зрения, так же как правы и те, которые за него умирали мученической смертью и причисляли его к лику святых. Потом Робеспьера казнили за то, что он был деспот. Кто прав, кто виноват? Никто. А жив и живи: завтра умрешь, как мог я умереть час тому назад. И стоит ли того мучиться, когда жить остается одну секунду в сравнении с вечностью? – Но в ту минуту, как он считал себя успокоенным такого рода рассуждениями, ему вдруг представлялась она и в те минуты, когда он сильнее всего выказывал ей свою неискреннюю любовь, и он чувствовал прилив крови к сердцу, и должен был опять вставать, двигаться, и ломать, и рвать попадающиеся ему под руки вещи. «Зачем я сказал ей: „Je vous aime?“ все повторял он сам себе. И повторив 10 й раз этот вопрос, ему пришло в голову Мольерово: mais que diable allait il faire dans cette galere? [но за каким чортом понесло его на эту галеру?] и он засмеялся сам над собою.
Ночью он позвал камердинера и велел укладываться, чтоб ехать в Петербург. Он не мог оставаться с ней под одной кровлей. Он не мог представить себе, как бы он стал теперь говорить с ней. Он решил, что завтра он уедет и оставит ей письмо, в котором объявит ей свое намерение навсегда разлучиться с нею.
Утром, когда камердинер, внося кофе, вошел в кабинет, Пьер лежал на отоманке и с раскрытой книгой в руке спал.
Он очнулся и долго испуганно оглядывался не в силах понять, где он находится.
– Графиня приказала спросить, дома ли ваше сиятельство? – спросил камердинер.
Но не успел еще Пьер решиться на ответ, который он сделает, как сама графиня в белом, атласном халате, шитом серебром, и в простых волосах (две огромные косы en diademe [в виде диадемы] огибали два раза ее прелестную голову) вошла в комнату спокойно и величественно; только на мраморном несколько выпуклом лбе ее была морщинка гнева. Она с своим всёвыдерживающим спокойствием не стала говорить при камердинере. Она знала о дуэли и пришла говорить о ней. Она дождалась, пока камердинер уставил кофей и вышел. Пьер робко чрез очки посмотрел на нее, и, как заяц, окруженный собаками, прижимая уши, продолжает лежать в виду своих врагов, так и он попробовал продолжать читать: но чувствовал, что это бессмысленно и невозможно и опять робко взглянул на нее. Она не села, и с презрительной улыбкой смотрела на него, ожидая пока выйдет камердинер.