Промежуток (математика)
Промежуток[1], или более точно, промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение можно записать так:
<math>X \subset \mathbb{R}</math> — промежуток, если
\forall x \forall y \forall z \biggl( (x \in X ) \wedge (z \in X ) \wedge (x <y < z) \Rightarrow y \in X \biggr)
</math>В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:
\begin{matrix} X_1 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x \leqslant 1\}, & X_2 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x < 1\}, & X_3 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x \leqslant 1\}, \\ X_4 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x < 1\}, & X_5 = \{ x \in \mathbb{R} \colon x > 0\}, & X_6 = \{ x \in \mathbb{R} \colon x < 1\},\\ X_7 = \mathbb{R}, & X_8 = \varnothing & \end{matrix}
</math>Содержание
Типы промежутков
Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между двумя числами <math>a</math> и <math>b</math> — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет[1].
Если <math>a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}</math>, то промежуток <math>\{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}</math> называется сегментом[2] или числовым отрезком, и обозначается <math>[a,b]</math>:
[a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}
</math>В случае <math>a=b</math> отрезок состоит из одной точки.
Если <math>a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}</math>, то промежуток <math>\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}</math> называется интервалом, и обозначается <math>(a,b)</math>:
(a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}
</math>Промежутки
[a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}, \quad (a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}
</math>называются полусегментами (не дополненными до сегмента) или полуинтервалами.
Длиной промежутка во всех случаях называется число <math>b-a</math>.
Бесконечные промежутки
\{x \in \mathbb{R} \colon x \geqslant a \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x > a \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x \leqslant b \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x < b \}, \quad \mathbb{R}
</math>не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа <math>+\infty, -\infty</math>, полагая, что для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> справедливы неравенства <math>x < + \infty, x > -\infty</math>. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно
[a, +\infty), \quad (a, +\infty), \quad (-\infty, b], \quad (-\infty, b), \quad (-\infty, +\infty)
</math>Пустое множество <math>\varnothing</math> также является промежутком.
Промежутки расширенной числовой прямой
Множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, дополненное элементами <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math>, называется расширенной числовой прямой и обозначается <math>\overline{\mathbb{R}}</math>, то есть
\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}
</math>При этом для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> по определению полагают выполненными неравенства
-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty
</math>Для расширенной числовой прямой также вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов[1]. В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой они могут содержать элементы <math>\pm \infty</math>. Например, <math>(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\}}</math>.
Терминология
В русском языке слова промежуток и интервал соответствуют одному английскому слову — англ. interval. В англоязычной литературе[3], и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке, используется следующая терминология:
- <math>
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \} </math> — замкнутый интервал (англ. closed interval)
- <math>
(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \} </math> — открытый интервал (англ. open interval)
- <math>
[a,b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \} </math> — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval)
- <math>
(a,b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \} </math> — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval)
То есть, различные типы интервалов.
В более старой русскоязычной литературе[4] вместо «интервал» используется слово промежуток: замкнутый промежуток, открытый промежуток, полуоткрытый (или полузамкнутый) промежуток.
Однако, особенно в учебной литературе, где наибольшее количество теорем для функций на компактных множествах, для замкнутого промежутка предпочтительно иметь отдельное название в одно слово — сегмент[2] (термин «отрезок» имеет скорее геометрический оттенок, как и «промежуток числовой прямой»). В этом случае термин «интервал» закрепляется только за открытым промежутком.
См. также открытые и замкнутые множества.
Факты
Теорема о промежуточных значениях
Известная теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции гласит: образ любого промежутка при непрерывном отображении снова есть промежуток. Как следует из обобщения этой теоремы на случай произвольных топологических пространств, эта теорема — следствие того факта, что промежутки — в точности связные подмножества <math>\mathbb{R}</math>. См. ниже связные множества.
Операции с промежутками
На практике промежуток нередко характеризует интервал возможных значений (приближённо) измеренной величины. На множестве таких промежутков можно определить арифметические операции. Тогда результату вычислений над величинами можно сопоставить соответствующие вычисления над их интервалами, задающие в итоге интервал возможных значений для результата.
Мера
Промежутки числовой прямой, прямоугольники на плоскости, прямоугольные параллелепипеды в пространстве и т. п. являются отправной точкой в теории меры, поскольку являются простейшими множествами, меру которых (длину, площадь, объем и т. п.) легко определить.
Обобщения
Связные множества
Обобщением промежутка числовой прямой является понятие связного топологического пространства. На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.
Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия линейной связности. Во множестве вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, а также в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^n</math> произвольной размерности <math>n</math> понятия связности и линейной связности совпадают.
Выпуклые множества
Другим обобщением понятия промежутка числовой прямой является понятие выпуклого множества.
Промежутки в частично упорядоченных множествах
В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено отношение порядка <math><</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "Промежуток (математика)"
Примечания
- ↑ 1 2 3 Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 64-65. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
- ↑ 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // [sci-lib.com/book000401.html Математический анализ] / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. I. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
- ↑ Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — С. 17-18. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6.
- ↑ Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. — Т. 1. — С. 35. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X.
Отрывок, характеризующий Промежуток (математика)
– Говорят даже, – сказал l'homme de beaucoup de merite, не имевший еще придворного такта, – что светлейший непременным условием поставил, чтобы сам государь не приезжал к армии.Как только он сказал это, в одно мгновение князь Василий и Анна Павловна отвернулись от него и грустно, со вздохом о его наивности, посмотрели друг на друга.
В то время как это происходило в Петербурге, французы уже прошли Смоленск и все ближе и ближе подвигались к Москве. Историк Наполеона Тьер, так же, как и другие историки Наполеона, говорит, стараясь оправдать своего героя, что Наполеон был привлечен к стенам Москвы невольно. Он прав, как и правы все историки, ищущие объяснения событий исторических в воле одного человека; он прав так же, как и русские историки, утверждающие, что Наполеон был привлечен к Москве искусством русских полководцев. Здесь, кроме закона ретроспективности (возвратности), представляющего все прошедшее приготовлением к совершившемуся факту, есть еще взаимность, путающая все дело. Хороший игрок, проигравший в шахматы, искренно убежден, что его проигрыш произошел от его ошибки, и он отыскивает эту ошибку в начале своей игры, но забывает, что в каждом его шаге, в продолжение всей игры, были такие же ошибки, что ни один его ход не был совершенен. Ошибка, на которую он обращает внимание, заметна ему только потому, что противник воспользовался ею. Насколько же сложнее этого игра войны, происходящая в известных условиях времени, и где не одна воля руководит безжизненными машинами, а где все вытекает из бесчисленного столкновения различных произволов?
После Смоленска Наполеон искал сражения за Дорогобужем у Вязьмы, потом у Царева Займища; но выходило, что по бесчисленному столкновению обстоятельств до Бородина, в ста двадцати верстах от Москвы, русские не могли принять сражения. От Вязьмы было сделано распоряжение Наполеоном для движения прямо на Москву.
Moscou, la capitale asiatique de ce grand empire, la ville sacree des peuples d'Alexandre, Moscou avec ses innombrables eglises en forme de pagodes chinoises! [Москва, азиатская столица этой великой империи, священный город народов Александра, Москва с своими бесчисленными церквами, в форме китайских пагод!] Эта Moscou не давала покоя воображению Наполеона. На переходе из Вязьмы к Цареву Займищу Наполеон верхом ехал на своем соловом энглизированном иноходчике, сопутствуемый гвардией, караулом, пажами и адъютантами. Начальник штаба Бертье отстал для того, чтобы допросить взятого кавалерией русского пленного. Он галопом, сопутствуемый переводчиком Lelorgne d'Ideville, догнал Наполеона и с веселым лицом остановил лошадь.
– Eh bien? [Ну?] – сказал Наполеон.
– Un cosaque de Platow [Платовский казак.] говорит, что корпус Платова соединяется с большой армией, что Кутузов назначен главнокомандующим. Tres intelligent et bavard! [Очень умный и болтун!]
Наполеон улыбнулся, велел дать этому казаку лошадь и привести его к себе. Он сам желал поговорить с ним. Несколько адъютантов поскакало, и через час крепостной человек Денисова, уступленный им Ростову, Лаврушка, в денщицкой куртке на французском кавалерийском седле, с плутовским и пьяным, веселым лицом подъехал к Наполеону. Наполеон велел ему ехать рядом с собой и начал спрашивать:
– Вы казак?
– Казак с, ваше благородие.
«Le cosaque ignorant la compagnie dans laquelle il se trouvait, car la simplicite de Napoleon n'avait rien qui put reveler a une imagination orientale la presence d'un souverain, s'entretint avec la plus extreme familiarite des affaires de la guerre actuelle», [Казак, не зная того общества, в котором он находился, потому что простота Наполеона не имела ничего такого, что бы могло открыть для восточного воображения присутствие государя, разговаривал с чрезвычайной фамильярностью об обстоятельствах настоящей войны.] – говорит Тьер, рассказывая этот эпизод. Действительно, Лаврушка, напившийся пьяным и оставивший барина без обеда, был высечен накануне и отправлен в деревню за курами, где он увлекся мародерством и был взят в плен французами. Лаврушка был один из тех грубых, наглых лакеев, видавших всякие виды, которые считают долгом все делать с подлостью и хитростью, которые готовы сослужить всякую службу своему барину и которые хитро угадывают барские дурные мысли, в особенности тщеславие и мелочность.
Попав в общество Наполеона, которого личность он очень хорошо и легко признал. Лаврушка нисколько не смутился и только старался от всей души заслужить новым господам.
Он очень хорошо знал, что это сам Наполеон, и присутствие Наполеона не могло смутить его больше, чем присутствие Ростова или вахмистра с розгами, потому что не было ничего у него, чего бы не мог лишить его ни вахмистр, ни Наполеон.
Он врал все, что толковалось между денщиками. Многое из этого была правда. Но когда Наполеон спросил его, как же думают русские, победят они Бонапарта или нет, Лаврушка прищурился и задумался.
Он увидал тут тонкую хитрость, как всегда во всем видят хитрость люди, подобные Лаврушке, насупился и помолчал.
– Оно значит: коли быть сраженью, – сказал он задумчиво, – и в скорости, так это так точно. Ну, а коли пройдет три дня апосля того самого числа, тогда, значит, это самое сражение в оттяжку пойдет.
Наполеону перевели это так: «Si la bataille est donnee avant trois jours, les Francais la gagneraient, mais que si elle serait donnee plus tard, Dieu seul sait ce qui en arrivrait», [«Ежели сражение произойдет прежде трех дней, то французы выиграют его, но ежели после трех дней, то бог знает что случится».] – улыбаясь передал Lelorgne d'Ideville. Наполеон не улыбнулся, хотя он, видимо, был в самом веселом расположении духа, и велел повторить себе эти слова.
Лаврушка заметил это и, чтобы развеселить его, сказал, притворяясь, что не знает, кто он.
– Знаем, у вас есть Бонапарт, он всех в мире побил, ну да об нас другая статья… – сказал он, сам не зная, как и отчего под конец проскочил в его словах хвастливый патриотизм. Переводчик передал эти слова Наполеону без окончания, и Бонапарт улыбнулся. «Le jeune Cosaque fit sourire son puissant interlocuteur», [Молодой казак заставил улыбнуться своего могущественного собеседника.] – говорит Тьер. Проехав несколько шагов молча, Наполеон обратился к Бертье и сказал, что он хочет испытать действие, которое произведет sur cet enfant du Don [на это дитя Дона] известие о том, что тот человек, с которым говорит этот enfant du Don, есть сам император, тот самый император, который написал на пирамидах бессмертно победоносное имя.
Известие было передано.
Лаврушка (поняв, что это делалось, чтобы озадачить его, и что Наполеон думает, что он испугается), чтобы угодить новым господам, тотчас же притворился изумленным, ошеломленным, выпучил глаза и сделал такое же лицо, которое ему привычно было, когда его водили сечь. «A peine l'interprete de Napoleon, – говорит Тьер, – avait il parle, que le Cosaque, saisi d'une sorte d'ebahissement, no profera plus une parole et marcha les yeux constamment attaches sur ce conquerant, dont le nom avait penetre jusqu'a lui, a travers les steppes de l'Orient. Toute sa loquacite s'etait subitement arretee, pour faire place a un sentiment d'admiration naive et silencieuse. Napoleon, apres l'avoir recompense, lui fit donner la liberte, comme a un oiseau qu'on rend aux champs qui l'ont vu naitre». [Едва переводчик Наполеона сказал это казаку, как казак, охваченный каким то остолбенением, не произнес более ни одного слова и продолжал ехать, не спуская глаз с завоевателя, имя которого достигло до него через восточные степи. Вся его разговорчивость вдруг прекратилась и заменилась наивным и молчаливым чувством восторга. Наполеон, наградив казака, приказал дать ему свободу, как птице, которую возвращают ее родным полям.]
Наполеон поехал дальше, мечтая о той Moscou, которая так занимала его воображение, a l'oiseau qu'on rendit aux champs qui l'on vu naitre [птица, возвращенная родным полям] поскакал на аванпосты, придумывая вперед все то, чего не было и что он будет рассказывать у своих. Того же, что действительно с ним было, он не хотел рассказывать именно потому, что это казалось ему недостойным рассказа. Он выехал к казакам, расспросил, где был полк, состоявший в отряде Платова, и к вечеру же нашел своего барина Николая Ростова, стоявшего в Янкове и только что севшего верхом, чтобы с Ильиным сделать прогулку по окрестным деревням. Он дал другую лошадь Лаврушке и взял его с собой.
