Интерполяционные формулы Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что <math>x_{i+1}-x_i=h=\mathrm{const}</math>, то есть <math>x_i=x_0+ih</math>, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

<math>P_n(x)=\sum_{m=0}^{n} C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\,C_m^k\,f(k)</math>

где <math>C_x^m</math> — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона

или первая интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд: <math>P_n(x) = y_0 + q \Delta y_0 + \frac{q(q-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \ldots + \frac{q(q-1)\ldots(q-n+1)}{n!} \Delta^n y_0,</math> где <math>q=\frac{x-x_0}h, \; y_i=f_i</math>, а выражения вида <math>\Delta^ky_0</math> — конечные разности.

• Реализация на языке C# Платформа .NET

static double Newton(double t, int n, double[] x, double[] y)
        {
            double res = y[0], F, den;
            int i, j, k;
            for (i = 1; i <= n; i++)
            {
                F = 0;
                for (j = 0; j <= i; j++)
                {
                    den = 1;
                    for (k = 0; k <= i; k++)
                    {
                        if (k != j) den *= (x[j] - x[k]);
                    }
                    F += y[j] / den;
                }
                for (k = 0; k < i; k++) F *= (t - x[k]);
                res += F; 
            }
            return res;
        }

Обратная интерполяционная формула Ньютона

или вторая интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования назад: <math>P_n(x) = y_n + q \Delta y_{n-1} + \frac{q(q+1)}{2!} \Delta^2 y_{n-2} + \ldots + \frac{q(q+1)\ldots(q+n-1)}{n!} \Delta^n y_0,</math> где <math>q=\frac{x-x_n}h</math>

См. также

• Интерполяционная формула
• Интерполяционный многочлен
• Эрмитова интерполяция

Отрывок, характеризующий Интерполяционные формулы Ньютона

– Кажется, я ничего не говорил тебе, Маша, чтоб я упрекал в чем нибудь свою жену или был недоволен ею. К чему ты всё это говоришь мне?
Княжна Марья покраснела пятнами и замолчала, как будто она чувствовала себя виноватою.
– Я ничего не говорил тебе, а тебе уж говорили . И мне это грустно.
Красные пятна еще сильнее выступили на лбу, шее и щеках княжны Марьи. Она хотела сказать что то и не могла выговорить. Брат угадал: маленькая княгиня после обеда плакала, говорила, что предчувствует несчастные роды, боится их, и жаловалась на свою судьбу, на свекра и на мужа. После слёз она заснула. Князю Андрею жалко стало сестру.
– Знай одно, Маша, я ни в чем не могу упрекнуть, не упрекал и никогда не упрекну мою жену , и сам ни в чем себя не могу упрекнуть в отношении к ней; и это всегда так будет, в каких бы я ни был обстоятельствах. Но ежели ты хочешь знать правду… хочешь знать, счастлив ли я? Нет. Счастлива ли она? Нет. Отчего это? Не знаю…
Говоря это, он встал, подошел к сестре и, нагнувшись, поцеловал ее в лоб. Прекрасные глаза его светились умным и добрым, непривычным блеском, но он смотрел не на сестру, а в темноту отворенной двери, через ее голову.
– Пойдем к ней, надо проститься. Или иди одна, разбуди ее, а я сейчас приду. Петрушка! – крикнул он камердинеру, – поди сюда, убирай. Это в сиденье, это на правую сторону.
Княжна Марья встала и направилась к двери. Она остановилась.
– Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu'il vous donne l'amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Если бы ты имел веру, то обратился бы к Богу с молитвою, чтоб Он даровал тебе любовь, которую ты не чувствуешь, и молитва твоя была бы услышана.]
– Да, разве это! – сказал князь Андрей. – Иди, Маша, я сейчас приду.
По дороге к комнате сестры, в галлерее, соединявшей один дом с другим, князь Андрей встретил мило улыбавшуюся m lle Bourienne, уже в третий раз в этот день с восторженною и наивною улыбкой попадавшуюся ему в уединенных переходах.