Информационная энтропия

Информацио́нная энтропи́я — мера неопределённости или непредсказуемости информации, неопределённость появления какого-либо символа первичного алфавита. При отсутствии информационных потерь численно равна количеству информации на символ передаваемого сообщения.

Например, в последовательности букв, составляющих какое-либо предложение на русском языке, разные буквы появляются с разной частотой, поэтому неопределённость появления для некоторых букв меньше, чем для других. Если же учесть, что некоторые сочетания букв (в этом случае говорят об энтропии <math>n</math>-го порядка, см. ниже) встречаются очень редко, то неопределённость уменьшается еще сильнее.

Для иллюстрации понятия информационной энтропии можно также прибегнуть к примеру из области термодинамической энтропии, получившему название демона Максвелла. Концепции информации и энтропии имеют глубокие связи друг с другом, но, несмотря на это, разработка теорий в статистической механике и теории информации заняла много лет, чтобы сделать их соответствующими друг другу.

Энтропия — это количество информации, приходящейся на одно элементарное сообщение источника, вырабатывающего статистически независимые сообщения.

Формальные определения

Информационная двоичная энтропия для независимых случайных событий <math>x</math> с <math>n</math> возможными состояниями (от <math>1</math> до <math>n</math>, <math>p</math> — функция вероятности) рассчитывается по формуле

<math>H(x)=-\sum_{i=1}^np(i)\log_2 p(i).</math>

Эта величина также называется средней энтропией сообщения. Величина <math>H_{i} = -\log_2{p(i)}</math> называется частной энтропией, характеризующей только <math>i</math>-e состояние.

Таким образом, энтропия события <math>x</math> является суммой с противоположным знаком всех относительных частот появления события <math>i</math>, умноженных на их же двоичные логарифмы. Это определение для дискретных случайных событий можно расширить для функции распределения вероятностей.

Определение по Шеннону

Клод Шеннон предположил, что прирост информации равен утраченной неопределённости, и задал требования к её измерению:

1. мера должна быть непрерывной; то есть изменение значения величины вероятности на малую величину должно вызывать малое результирующее изменение функции;
2. в случае, когда все варианты (буквы в приведённом примере) равновероятны, увеличение количества вариантов (букв) должно всегда увеличивать значение функции;
3. должна быть возможность сделать выбор (в нашем примере букв) в два шага, в которых значение функции конечного результата должно являться суммой функций промежуточных результатов.

Поэтому функция энтропии <math>H</math> должна удовлетворять условиям

1. <math>H(p_1,\;\ldots,\;p_n)</math> определена и непрерывна для всех <math>p_1,\;\ldots,\;p_n</math>, где <math>p_i\in[0,\;1]</math> для всех <math>i=1,\;\ldots,\;n</math> и <math>p_1+\ldots+p_n=1</math>. (Нетрудно видеть, что эта функция зависит только от распределения вероятностей, но не от алфавита.)
2. Для целых положительных <math>n</math>, должно выполняться следующее неравенство:

   <math>H\underbrace{\left(\frac{1}{n},\;\ldots,\;\frac{1}{n}\right)}_n<H\underbrace{\left(\frac{1}{n+1},\;\ldots,\;\frac{1}{n+1}\right)}_{n+1}.</math>

3. Для целых положительных <math>b_i</math>, где <math>b_1+\ldots+b_k=n</math>, должно выполняться равенство

   <math>H\underbrace{\left(\frac{1}{n},\;\ldots,\;\frac{1}{n}\right)}_n= H\left(\frac{b_1}{n},\;\ldots,\;\frac{b_k}{n}\right)+\sum_{i=1}^k\frac{b_i}{n}H\underbrace{\left(\frac{1}{b_i},\;\ldots,\;\frac{1}{b_i}\right)}_{b_i}.</math>

Шеннон показал, что единственная функция, удовлетворяющая этим требованиям, имеет вид

<math>-K\sum_{i=1}^np(i)\log_2 p(i),</math>

где <math>K</math> — константа (и в действительности нужна только для выбора единиц измерения; например, посредством этой константы можно изменить основание логарифма).

Шеннон определил, что измерение энтропии (<math>H=-p_1\log_2 p_1-\ldots-p_n\log_2 p_n</math>), применяемое к источнику информации, может определить требования к минимальной пропускной способности канала, требуемой для надёжной передачи информации в виде закодированных двоичных чисел. Для вывода формулы Шеннона необходимо вычислить математическое ожидание «количества информации», содержащегося в цифре из источника информации. Мера энтропии Шеннона выражает неуверенность реализации случайной переменной. Таким образом, энтропия является разницей между информацией, содержащейся в сообщении, и той частью информации, которая точно известна (или хорошо предсказуема) в сообщении. Примером этого является избыточность языка — имеются явные статистические закономерности в появлении букв, пар последовательных букв, троек и т. д. (см. цепи Маркова).

Определение энтропии Шеннона связано с понятием термодинамической энтропии. Больцман и Гиббс проделали большую работу по статистической термодинамике, которая способствовала принятию слова «энтропия» в информационную теорию. Существует связь между термодинамической и информационной энтропией. Например, демон Максвелла также противопоставляет термодинамическую энтропию информации, и получение какого-либо количества информации равно потерянной энтропии.

Определение с помощью собственной информации

Также можно определить энтропию случайной величины, введя предварительно понятия распределения случайной величины <math>X</math>, имеющей конечное число значений:

<math>P_X(x_i)=p_i,\quad p_i\geqslant 0,\;i=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>

<math>\sum_{i=1}^n p_i=1</math>

и собственной информации:

<math>I(X)=-\log P_X(X).</math>

Тогда энтропия определяется как:

<math>H(X)=E(I(X))=-\sum_{i=1}^n p(i)\log p(i).</math>

От основания логарифма зависит единица измерения количества информации и энтропии: бит, нат, трит или хартли.

Свойства

Энтропия является количеством, определённым в контексте вероятностной модели для источника данных. Например, кидание монеты имеет энтропию:

<math>-2\left(\frac{1}{2}\log_2 \frac{1}{2}\right)=-\log_2 \frac{1}{2}=\log_2 2=1</math> бит на одно кидание (при условии его независимости), а количество возможных состояний равно:<math>2^1=2</math> возможных состояния (значения) ("орёл" и "решка").

У источника, который генерирует строку, состоящую только из букв «А», энтропия равна нулю: <math>-\sum_{i=1}^\infty\log_2 1=0</math>, а количество возможных состояний равно:<math>2^0=1</math> возможное состояние (значение) («А») и от основания логарифма не зависит.
Это тоже информация, которую тоже надо учитывать. Примером запоминающих устройств в которых используются разряды с энтропией равной нулю, но с количеством информации равным 1 возможному состоянию, т.е. не равным нулю, являются разряды данных записанных в ПЗУ, в которых каждый разряд имеет только одно возможное состояние.

Так, например, опытным путём можно установить, что энтропия английского текста равна 1,5 бит на символ, что конечно будет варьироваться для разных текстов. Степень энтропии источника данных означает среднее число битов на элемент данных, требуемых для её зашифровки без потери информации, при оптимальном кодировании.

1. Некоторые биты данных могут не нести информации. Например, структуры данных часто хранят избыточную информацию, или имеют идентичные секции независимо от информации в структуре данных.
2. Количество энтропии не всегда выражается целым числом битов.

Математические свойства

1. Неотрицательность: <math>H(X)\geqslant 0</math>.
2. Ограниченность: <math>H(X) = -E(\log_2 p_i) = \sum_{i=1}^n p_i \log_2 \frac{1}{p_i} = \sum_{i=1}^n p_i f(g_i)\leqslant f\left(\sum_{i=1}^n p_i g_i\right) = \log_2 n</math>, что вытекает из неравенства Йенсена для вогнутой функции <math>f(g_i)=\log_2 g_i</math> и <math>g_i = \frac{1}{p_i}</math>. Если все <math>n</math> элементов из <math>X</math> равновероятны, <math>H(X)=\log_2 n</math>.
3. Если <math>X,\;Y</math> независимы, то <math>H(X\cdot Y)=H(X)+H(Y)</math>.
4. Энтропия — выпуклая вверх функция распределения вероятностей элементов.
5. Если <math>X,\;Y</math> имеют одинаковое распределение вероятностей элементов, то <math>H(X)=H(Y)</math>.

Эффективность

Алфавит может иметь вероятностное распределение далекое от равномерного. Если исходный алфавит содержит <math>n</math> символов, тогда его можно сравнить с «оптимизированным алфавитом», вероятностное распределение которого равномерное. Соотношение энтропии исходного и оптимизированного алфавита — это эффективность исходного алфавита, которая может быть выражена в процентах. Эффективность исходного алфавита с <math>n</math> символами может быть также определена как его <math>n</math>-арная энтропия.

Энтропия ограничивает максимально возможное сжатие без потерь (или почти без потерь), которое может быть реализовано при использовании теоретически — типичного набора или, на практике, — кодирования Хаффмана, кодирования Лемпеля — Зива — Велча или арифметического кодирования.

Вариации и обобщения

b-арная энтропия

В общем случае b-арная энтропия (где b равно 2, 3, …) источника <math>\mathcal{S}=(S,\;P)</math> с исходным алфавитом <math>S=\{a_1,\;\ldots,\;a_n\}</math> и дискретным распределением вероятности <math>P=\{p_1,\;\ldots,\;p_n\},</math> где <math>p_i</math> является вероятностью <math>a_i</math> (<math>p_i=p(a_i)</math>), определяется формулой:

<math>H_b(\mathcal{S})=-\sum_{i=1}^n p_i\log_b p_i.</math>

В частности, при <math>b=2</math>, мы получаем обычную двоичную энтропию, измеряемую в битах. При <math>b=3</math>, мы получаем тринарную энтропию, измеряемую в тритах (один трит имеет источник информации с тремя равновероятными состояниями). При <math>b=e</math>, мы получаем информацию измеряемую в натах.

Условная энтропия

Если следование символов алфавита не независимо (например, во французском языке после буквы «q» почти всегда следует «u», а после слова «передовик» в советских газетах обычно следовало слово «производства» или «труда»), количество информации, которую несёт последовательность таких символов (а, следовательно, и энтропия), очевидно, меньше. Для учёта таких фактов используется условная энтропия.

Условной энтропией первого порядка (аналогично для Марковской модели первого порядка) называется энтропия для алфавита, где известны вероятности появления одной буквы после другой (то есть, вероятности двухбуквенных сочетаний):

<math>H_1(\mathcal{S})=-\sum_i p_i\sum_j p_i (j)\log_2 p_i(j),</math>

где <math>i</math> — это состояние, зависящее от предшествующего символа, и <math>p_i(j)</math> — это вероятность <math>j</math> при условии, что <math>i</math> был предыдущим символом.

Например, для русского языка без буквы «ё» <math>H_0=5,\;H_1=4{,}358,\;H_2=3{,}52,\;H_3=3{,}01</math>.

Через частную и общую условные энтропии полностью описываются информационные потери при передаче данных в канале с помехами. Для этого применяются так называемые канальные матрицы. Для описания потерь со стороны источника (то есть известен посланный сигнал) рассматривают условную вероятность <math>p(b_j\mid a_i)</math> получения приёмником символа <math>b_j</math> при условии, что был отправлен символ <math>a_i</math>. При этом канальная матрица имеет следующий вид:

	<math>b_1</math>	<math>b_2</math>	…	<math>b_j</math>	…	<math>b_m</math>
<math>a_1</math>	<math>p(b_1\mid a_1)</math>	<math>p(b_2\mid a_1)</math>	…	<math>p(b_j\mid a_1)</math>	…	<math>p(b_m\mid a_1)</math>
<math>a_2</math>	<math>p(b_1\mid a_2)</math>	<math>p(b_2\mid a_2)</math>	…	<math>p(b_j\mid a_2)</math>	…	<math>p(b_m\mid a_2)</math>
…	…	…	…	…	…	…
<math>a_i</math>	<math>p(b_1\mid a_i)</math>	<math>p(b_2\mid a_i)</math>	…	<math>p(b_j\mid a_i)</math>	…	<math>p(b_m\mid a_i)</math>
…	…	…	…	…	…	…
<math>a_m</math>	<math>p(b_1\mid a_m)</math>	<math>p(b_2\mid a_m)</math>	…	<math>p(b_j\mid a_m)</math>	…	<math>p(b_m\mid a_m)</math>

Очевидно, вероятности, расположенные по диагонали, описывают вероятность правильного приёма, а сумма всех элементов любой строки даёт 1. Потери, приходящиеся на передаваемый сигнал <math>a_i</math>, описываются через частную условную энтропию:

<math>H(B\mid a_i)=-\sum_{j=1}^m p(b_j\mid a_i)\log_2 p(b_j\mid a_i).</math>

Для вычисления потерь при передаче всех сигналов используется общая условная энтропия:

<math>H(B\mid A)=\sum_i p(a_i)H(B\mid a_i).</math>

<math>H(B\mid A)</math> означает энтропию со стороны источника, аналогично рассматривается <math>H(A\mid B)</math> — энтропия со стороны приёмника: вместо <math>p(b_j\mid a_i)</math> всюду указывается <math>p(a_i\mid b_j)</math> (суммируя элементы строки можно получить <math>p(a_i)</math>, а элементы диагонали означают вероятность того, что был отправлен именно тот символ, который получен, то есть вероятность правильной передачи).

Взаимная энтропия

Взаимная энтропия или энтропия объединения предназначена для расчёта энтропии взаимосвязанных систем (энтропии совместного появления статистически зависимых сообщений) и обозначается <math>H(AB)</math>, где <math>A</math> характеризует передатчик, а <math>B</math> — приёмник.

Взаимосвязь переданных и полученных сигналов описывается вероятностями совместных событий <math>p(a_i b_j)</math>, и для полного описания характеристик канала требуется только одна матрица:

<math>p(a_1 b_1)</math>	<math>p(a_1 b_2)</math>	…	<math>p(a_1 b_j)</math>	…	<math>p(a_1 b_m)</math>
<math>p(a_2 b_1)</math>	<math>p(a_2 b_2)</math>	…	<math>p(a_2 b_j)</math>	…	<math>p(a_2 b_m)</math>
…	…	…	…	…	…
<math>p(a_i b_1)</math>	<math>p(a_i b_2)</math>	…	<math>p(a_i b_j)</math>	…	<math>p(a_i b_m)</math>
…	…	…	…	…	…
<math>p(a_m b_1)</math>	<math>p(a_m b_2)</math>	…	<math>p(a_m b_j)</math>	…	<math>p(a_m b_m)</math>

Для более общего случая, когда описывается не канал, а в целом взаимодействующие системы, матрица необязательно должна быть квадратной. Очевидно, сумма всех элементов столбца с номером <math>j</math> даёт <math>p(b_j)</math>, сумма строки с номером <math>i</math> есть <math>p(a_i)</math>, а сумма всех элементов матрицы равна 1. Совместная вероятность <math>p(a_ib_j)</math> событий <math>a_i</math> и <math>b_j</math> вычисляется как произведение исходной и условной вероятности:

<math>p(a_ib_j)=p(a_i)p(b_j\mid a_i)=p(b_j)p(a_i\mid b_j).</math>

Условные вероятности производятся по формуле Байеса. Таким образом, имеются все данные для вычисления энтропий источника и приёмника:

<math>H(A)=-\sum_i\left(\sum_j p(a_i b_j)\log\sum_j p(a_i b_j)\right),</math>

<math>H(B)=-\sum_j\left(\sum_i p(a_i b_j)\log\sum_i p(a_i b_j)\right).</math>

Взаимная энтропия вычисляется последовательным суммированием по строкам (или по столбцам) всех вероятностей матрицы, умноженных на их логарифм:

<math>H(AB)=-\sum_i\sum_j p(a_i b_j)\log p(a_i b_j).</math>

Единица измерения — бит/два символа, это объясняется тем, что взаимная энтропия описывает неопределённость на пару символов: отправленного и полученного. Путём несложных преобразований также получаем

<math>H(AB)=H(A)+H(B\mid A)=H(B)+H(A\mid B).</math>

Взаимная энтропия обладает свойством информационной полноты — из неё можно получить все рассматриваемые величины.

История

В 1948 году, исследуя проблему рациональной передачи информации через зашумлённый коммуникационный канал, Клод Шеннон предложил революционный вероятностный подход к пониманию коммуникаций и создал первую, истинно математическую, теорию энтропии. Его сенсационные идеи быстро послужили основой разработки двух основных направлений: теории информации, которая использует понятие вероятности и эргодическую теорию для изучения статистических характеристик данных и коммуникационных систем, и теории кодирования, в которой используются главным образом алгебраические и геометрические инструменты для разработки эффективных кодов.

Понятие энтропии, как меры случайности, введено Шенноном в его статье «Математическая теория связи» (англ. A Mathematical Theory of Communication), опубликованной в двух частях в Bell System Technical Journal в 1948 году.

См. также

• Дифференциальная энтропия (энтропия для непрерывного распределения)
• Взаимная информация
• Энтропийное кодирование
• Цепь Маркова
• Парадокс закономерности
• Расстояние Кульбака — Лейблера

Ссылки

• Shannon Claude E. [cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html A Mathematical Theory of Communication] (англ.)
• Коротаев С. М. [www.chronos.msu.ru/RREPORTS/korotaev_entropia/korotaev_entropia.htm Энтропия и информация — универсальные естественнонаучные понятия].

Литература

• Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Изд. иностр. лит., 2002.
• Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. — М.: Наука, 2006.
• Цымбал В. П. Теория информации и кодирование. — К.: Вища Школа, 2003.
• Martin, Nathaniel F.G. & England, James W. Mathematical Theory of Entropy. — Cambridge University Press, 2011. — ISBN 978-0-521-17738-2.
• Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии. — М.: Наука, 1967. — 280 с.
• Мартин Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии. — М.: Мир, 1988. — 350 с.
• Хинчин А. Я. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8203&option_lang=rus Понятие энтропии в теории вероятностей] // Успехи математических наук. — 1953. — Т. 8, вып. 3(55). — С. 3-20.
• Брюллюэн Л. Наука и теория информации. — М., 1960.
• Винер Н. Кибернетика и общество. — М., 1958.
• Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. — М., 1968.
• Петрушенко Л. А. Самодвижение материи в свете кибернетики. — М., 1974.
• Эшби У. Р. Введение в кибернетику. — М., 1965.
• Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. — М., 1973.
• Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. — М.: Наука, 1986. — 192 с.

Отрывок, характеризующий Информационная энтропия

– Вот так, важно, – радостно сказал задний, попав в ногу.
– Ваше сиятельство? А? Князь? – дрожащим голосом сказал подбежавший Тимохин, заглядывая в носилки.
Князь Андрей открыл глаза и посмотрел из за носилок, в которые глубоко ушла его голова, на того, кто говорил, и опять опустил веки.
Ополченцы принесли князя Андрея к лесу, где стояли фуры и где был перевязочный пункт. Перевязочный пункт состоял из трех раскинутых, с завороченными полами, палаток на краю березника. В березнике стояла фуры и лошади. Лошади в хребтугах ели овес, и воробьи слетали к ним и подбирали просыпанные зерна. Воронья, чуя кровь, нетерпеливо каркая, перелетали на березах. Вокруг палаток, больше чем на две десятины места, лежали, сидели, стояли окровавленные люди в различных одеждах. Вокруг раненых, с унылыми и внимательными лицами, стояли толпы солдат носильщиков, которых тщетно отгоняли от этого места распоряжавшиеся порядком офицеры. Не слушая офицеров, солдаты стояли, опираясь на носилки, и пристально, как будто пытаясь понять трудное значение зрелища, смотрели на то, что делалось перед ними. Из палаток слышались то громкие, злые вопли, то жалобные стенания. Изредка выбегали оттуда фельдшера за водой и указывали на тех, который надо было вносить. Раненые, ожидая у палатки своей очереди, хрипели, стонали, плакали, кричали, ругались, просили водки. Некоторые бредили. Князя Андрея, как полкового командира, шагая через неперевязанных раненых, пронесли ближе к одной из палаток и остановились, ожидая приказания. Князь Андрей открыл глаза и долго не мог понять того, что делалось вокруг него. Луг, полынь, пашня, черный крутящийся мячик и его страстный порыв любви к жизни вспомнились ему. В двух шагах от него, громко говоря и обращая на себя общее внимание, стоял, опершись на сук и с обвязанной головой, высокий, красивый, черноволосый унтер офицер. Он был ранен в голову и ногу пулями. Вокруг него, жадно слушая его речь, собралась толпа раненых и носильщиков.
– Мы его оттеда как долбанули, так все побросал, самого короля забрали! – блестя черными разгоряченными глазами и оглядываясь вокруг себя, кричал солдат. – Подойди только в тот самый раз лезервы, его б, братец ты мой, звания не осталось, потому верно тебе говорю…
Князь Андрей, так же как и все окружавшие рассказчика, блестящим взглядом смотрел на него и испытывал утешительное чувство. «Но разве не все равно теперь, – подумал он. – А что будет там и что такое было здесь? Отчего мне так жалко было расставаться с жизнью? Что то было в этой жизни, чего я не понимал и не понимаю».


Один из докторов, в окровавленном фартуке и с окровавленными небольшими руками, в одной из которых он между мизинцем и большим пальцем (чтобы не запачкать ее) держал сигару, вышел из палатки. Доктор этот поднял голову и стал смотреть по сторонам, но выше раненых. Он, очевидно, хотел отдохнуть немного. Поводив несколько времени головой вправо и влево, он вздохнул и опустил глаза.
– Ну, сейчас, – сказал он на слова фельдшера, указывавшего ему на князя Андрея, и велел нести его в палатку.
В толпе ожидавших раненых поднялся ропот.
– Видно, и на том свете господам одним жить, – проговорил один.
Князя Андрея внесли и положили на только что очистившийся стол, с которого фельдшер споласкивал что то. Князь Андрей не мог разобрать в отдельности того, что было в палатке. Жалобные стоны с разных сторон, мучительная боль бедра, живота и спины развлекали его. Все, что он видел вокруг себя, слилось для него в одно общее впечатление обнаженного, окровавленного человеческого тела, которое, казалось, наполняло всю низкую палатку, как несколько недель тому назад в этот жаркий, августовский день это же тело наполняло грязный пруд по Смоленской дороге. Да, это было то самое тело, та самая chair a canon [мясо для пушек], вид которой еще тогда, как бы предсказывая теперешнее, возбудил в нем ужас.
В палатке было три стола. Два были заняты, на третий положили князя Андрея. Несколько времени его оставили одного, и он невольно увидал то, что делалось на других двух столах. На ближнем столе сидел татарин, вероятно, казак – по мундиру, брошенному подле. Четверо солдат держали его. Доктор в очках что то резал в его коричневой, мускулистой спине.
– Ух, ух, ух!.. – как будто хрюкал татарин, и вдруг, подняв кверху свое скуластое черное курносое лицо, оскалив белые зубы, начинал рваться, дергаться и визжат ь пронзительно звенящим, протяжным визгом. На другом столе, около которого толпилось много народа, на спине лежал большой, полный человек с закинутой назад головой (вьющиеся волоса, их цвет и форма головы показались странно знакомы князю Андрею). Несколько человек фельдшеров навалились на грудь этому человеку и держали его. Белая большая полная нога быстро и часто, не переставая, дергалась лихорадочными трепетаниями. Человек этот судорожно рыдал и захлебывался. Два доктора молча – один был бледен и дрожал – что то делали над другой, красной ногой этого человека. Управившись с татарином, на которого накинули шинель, доктор в очках, обтирая руки, подошел к князю Андрею. Он взглянул в лицо князя Андрея и поспешно отвернулся.
– Раздеть! Что стоите? – крикнул он сердито на фельдшеров.
Самое первое далекое детство вспомнилось князю Андрею, когда фельдшер торопившимися засученными руками расстегивал ему пуговицы и снимал с него платье. Доктор низко нагнулся над раной, ощупал ее и тяжело вздохнул. Потом он сделал знак кому то. И мучительная боль внутри живота заставила князя Андрея потерять сознание. Когда он очнулся, разбитые кости бедра были вынуты, клоки мяса отрезаны, и рана перевязана. Ему прыскали в лицо водою. Как только князь Андрей открыл глаза, доктор нагнулся над ним, молча поцеловал его в губы и поспешно отошел.
После перенесенного страдания князь Андрей чувствовал блаженство, давно не испытанное им. Все лучшие, счастливейшие минуты в его жизни, в особенности самое дальнее детство, когда его раздевали и клали в кроватку, когда няня, убаюкивая, пела над ним, когда, зарывшись головой в подушки, он чувствовал себя счастливым одним сознанием жизни, – представлялись его воображению даже не как прошедшее, а как действительность.
Около того раненого, очертания головы которого казались знакомыми князю Андрею, суетились доктора; его поднимали и успокоивали.
– Покажите мне… Ооооо! о! ооооо! – слышался его прерываемый рыданиями, испуганный и покорившийся страданию стон. Слушая эти стоны, князь Андрей хотел плакать. Оттого ли, что он без славы умирал, оттого ли, что жалко ему было расставаться с жизнью, от этих ли невозвратимых детских воспоминаний, оттого ли, что он страдал, что другие страдали и так жалостно перед ним стонал этот человек, но ему хотелось плакать детскими, добрыми, почти радостными слезами.
Раненому показали в сапоге с запекшейся кровью отрезанную ногу.
– О! Ооооо! – зарыдал он, как женщина. Доктор, стоявший перед раненым, загораживая его лицо, отошел.
– Боже мой! Что это? Зачем он здесь? – сказал себе князь Андрей.
В несчастном, рыдающем, обессилевшем человеке, которому только что отняли ногу, он узнал Анатоля Курагина. Анатоля держали на руках и предлагали ему воду в стакане, края которого он не мог поймать дрожащими, распухшими губами. Анатоль тяжело всхлипывал. «Да, это он; да, этот человек чем то близко и тяжело связан со мною, – думал князь Андрей, не понимая еще ясно того, что было перед ним. – В чем состоит связь этого человека с моим детством, с моею жизнью? – спрашивал он себя, не находя ответа. И вдруг новое, неожиданное воспоминание из мира детского, чистого и любовного, представилось князю Андрею. Он вспомнил Наташу такою, какою он видел ее в первый раз на бале 1810 года, с тонкой шеей и тонкими рукамис готовым на восторг, испуганным, счастливым лицом, и любовь и нежность к ней, еще живее и сильнее, чем когда либо, проснулись в его душе. Он вспомнил теперь ту связь, которая существовала между им и этим человеком, сквозь слезы, наполнявшие распухшие глаза, мутно смотревшим на него. Князь Андрей вспомнил все, и восторженная жалость и любовь к этому человеку наполнили его счастливое сердце.
Князь Андрей не мог удерживаться более и заплакал нежными, любовными слезами над людьми, над собой и над их и своими заблуждениями.
«Сострадание, любовь к братьям, к любящим, любовь к ненавидящим нас, любовь к врагам – да, та любовь, которую проповедовал бог на земле, которой меня учила княжна Марья и которой я не понимал; вот отчего мне жалко было жизни, вот оно то, что еще оставалось мне, ежели бы я был жив. Но теперь уже поздно. Я знаю это!»


Страшный вид поля сражения, покрытого трупами и ранеными, в соединении с тяжестью головы и с известиями об убитых и раненых двадцати знакомых генералах и с сознанием бессильности своей прежде сильной руки произвели неожиданное впечатление на Наполеона, который обыкновенно любил рассматривать убитых и раненых, испытывая тем свою душевную силу (как он думал). В этот день ужасный вид поля сражения победил ту душевную силу, в которой он полагал свою заслугу и величие. Он поспешно уехал с поля сражения и возвратился к Шевардинскому кургану. Желтый, опухлый, тяжелый, с мутными глазами, красным носом и охриплым голосом, он сидел на складном стуле, невольно прислушиваясь к звукам пальбы и не поднимая глаз. Он с болезненной тоской ожидал конца того дела, которого он считал себя причиной, но которого он не мог остановить. Личное человеческое чувство на короткое мгновение взяло верх над тем искусственным призраком жизни, которому он служил так долго. Он на себя переносил те страдания и ту смерть, которые он видел на поле сражения. Тяжесть головы и груди напоминала ему о возможности и для себя страданий и смерти. Он в эту минуту не хотел для себя ни Москвы, ни победы, ни славы. (Какой нужно было ему еще славы?) Одно, чего он желал теперь, – отдыха, спокойствия и свободы. Но когда он был на Семеновской высоте, начальник артиллерии предложил ему выставить несколько батарей на эти высоты, для того чтобы усилить огонь по столпившимся перед Князьковым русским войскам. Наполеон согласился и приказал привезти ему известие о том, какое действие произведут эти батареи.
Адъютант приехал сказать, что по приказанию императора двести орудий направлены на русских, но что русские все так же стоят.
– Наш огонь рядами вырывает их, а они стоят, – сказал адъютант.
– Ils en veulent encore!.. [Им еще хочется!..] – сказал Наполеон охриплым голосом.
– Sire? [Государь?] – повторил не расслушавший адъютант.
– Ils en veulent encore, – нахмурившись, прохрипел Наполеон осиплым голосом, – donnez leur en. [Еще хочется, ну и задайте им.]
И без его приказания делалось то, чего он хотел, и он распорядился только потому, что думал, что от него ждали приказания. И он опять перенесся в свой прежний искусственный мир призраков какого то величия, и опять (как та лошадь, ходящая на покатом колесе привода, воображает себе, что она что то делает для себя) он покорно стал исполнять ту жестокую, печальную и тяжелую, нечеловеческую роль, которая ему была предназначена.
И не на один только этот час и день были помрачены ум и совесть этого человека, тяжеле всех других участников этого дела носившего на себе всю тяжесть совершавшегося; но и никогда, до конца жизни, не мог понимать он ни добра, ни красоты, ни истины, ни значения своих поступков, которые были слишком противоположны добру и правде, слишком далеки от всего человеческого, для того чтобы он мог понимать их значение. Он не мог отречься от своих поступков, восхваляемых половиной света, и потому должен был отречься от правды и добра и всего человеческого.
Не в один только этот день, объезжая поле сражения, уложенное мертвыми и изувеченными людьми (как он думал, по его воле), он, глядя на этих людей, считал, сколько приходится русских на одного француза, и, обманывая себя, находил причины радоваться, что на одного француза приходилось пять русских. Не в один только этот день он писал в письме в Париж, что le champ de bataille a ete superbe [поле сражения было великолепно], потому что на нем было пятьдесят тысяч трупов; но и на острове Св. Елены, в тиши уединения, где он говорил, что он намерен был посвятить свои досуги изложению великих дел, которые он сделал, он писал:
«La guerre de Russie eut du etre la plus populaire des temps modernes: c'etait celle du bon sens et des vrais interets, celle du repos et de la securite de tous; elle etait purement pacifique et conservatrice.
C'etait pour la grande cause, la fin des hasards elle commencement de la securite. Un nouvel horizon, de nouveaux travaux allaient se derouler, tout plein du bien etre et de la prosperite de tous. Le systeme europeen se trouvait fonde; il n'etait plus question que de l'organiser.
Satisfait sur ces grands points et tranquille partout, j'aurais eu aussi mon congres et ma sainte alliance. Ce sont des idees qu'on m'a volees. Dans cette reunion de grands souverains, nous eussions traites de nos interets en famille et compte de clerc a maitre avec les peuples.
L'Europe n'eut bientot fait de la sorte veritablement qu'un meme peuple, et chacun, en voyageant partout, se fut trouve toujours dans la patrie commune. Il eut demande toutes les rivieres navigables pour tous, la communaute des mers, et que les grandes armees permanentes fussent reduites desormais a la seule garde des souverains.
De retour en France, au sein de la patrie, grande, forte, magnifique, tranquille, glorieuse, j'eusse proclame ses limites immuables; toute guerre future, purement defensive; tout agrandissement nouveau antinational. J'eusse associe mon fils a l'Empire; ma dictature eut fini, et son regne constitutionnel eut commence…
Paris eut ete la capitale du monde, et les Francais l'envie des nations!..
Mes loisirs ensuite et mes vieux jours eussent ete consacres, en compagnie de l'imperatrice et durant l'apprentissage royal de mon fils, a visiter lentement et en vrai couple campagnard, avec nos propres chevaux, tous les recoins de l'Empire, recevant les plaintes, redressant les torts, semant de toutes parts et partout les monuments et les bienfaits.
Русская война должна бы была быть самая популярная в новейшие времена: это была война здравого смысла и настоящих выгод, война спокойствия и безопасности всех; она была чисто миролюбивая и консервативная.
Это было для великой цели, для конца случайностей и для начала спокойствия. Новый горизонт, новые труды открывались бы, полные благосостояния и благоденствия всех. Система европейская была бы основана, вопрос заключался бы уже только в ее учреждении.
Удовлетворенный в этих великих вопросах и везде спокойный, я бы тоже имел свой конгресс и свой священный союз. Это мысли, которые у меня украли. В этом собрании великих государей мы обсуживали бы наши интересы семейно и считались бы с народами, как писец с хозяином.
Европа действительно скоро составила бы таким образом один и тот же народ, и всякий, путешествуя где бы то ни было, находился бы всегда в общей родине.
Я бы выговорил, чтобы все реки были судоходны для всех, чтобы море было общее, чтобы постоянные, большие армии были уменьшены единственно до гвардии государей и т.д.
Возвратясь во Францию, на родину, великую, сильную, великолепную, спокойную, славную, я провозгласил бы границы ее неизменными; всякую будущую войну защитительной; всякое новое распространение – антинациональным; я присоединил бы своего сына к правлению империей; мое диктаторство кончилось бы, в началось бы его конституционное правление…
Париж был бы столицей мира и французы предметом зависти всех наций!..
Потом мои досуги и последние дни были бы посвящены, с помощью императрицы и во время царственного воспитывания моего сына, на то, чтобы мало помалу посещать, как настоящая деревенская чета, на собственных лошадях, все уголки государства, принимая жалобы, устраняя несправедливости, рассевая во все стороны и везде здания и благодеяния.]
Он, предназначенный провидением на печальную, несвободную роль палача народов, уверял себя, что цель его поступков была благо народов и что он мог руководить судьбами миллионов и путем власти делать благодеяния!
«Des 400000 hommes qui passerent la Vistule, – писал он дальше о русской войне, – la moitie etait Autrichiens, Prussiens, Saxons, Polonais, Bavarois, Wurtembergeois, Mecklembourgeois, Espagnols, Italiens, Napolitains. L'armee imperiale, proprement dite, etait pour un tiers composee de Hollandais, Belges, habitants des bords du Rhin, Piemontais, Suisses, Genevois, Toscans, Romains, habitants de la 32 e division militaire, Breme, Hambourg, etc.; elle comptait a peine 140000 hommes parlant francais. L'expedition do Russie couta moins de 50000 hommes a la France actuelle; l'armee russe dans la retraite de Wilna a Moscou, dans les differentes batailles, a perdu quatre fois plus que l'armee francaise; l'incendie de Moscou a coute la vie a 100000 Russes, morts de froid et de misere dans les bois; enfin dans sa marche de Moscou a l'Oder, l'armee russe fut aussi atteinte par, l'intemperie de la saison; elle ne comptait a son arrivee a Wilna que 50000 hommes, et a Kalisch moins de 18000».