История математических обозначений
История математических обозначений — история разработки символов, используемых для компактной записи математических уравнений и формул.
Помимо индо-арабских цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.
Хорошо продуманные обозначения, отражающие свойства изучаемых объектов, помогают избежать ошибок или неправильной трактовки, переносят часть исследования на технический уровень, нередко «подсказывают» правильный путь к решению задачи. По словам Альфреда Уайтхеда, удачное обозначение освобождает мозг от ненужной работы, тем самым позволяя ему сосредоточиться на более важных задачах[1].
Первоначально (например, в «Началах» Евклида) математические утверждения формулировались словесно. Такая запись была громоздкой, часто неоднозначной, а алгебраические преобразования требовали незаурядной квалификации. Большой вклад в развитие обозначений внёс Франсуа Виет (XVI век); в частности, он начал использовать буквенные обозначения вместо конкретных чисел. Постепенно практически все слова в математических формулах (обозначения операций, отношений сравнения и т. д.) были заменены специальными символами — математика обрела собственный язык, не требующий перевода, язык с чётко определённым смыслом «слов» и строгой грамматикой, позволяющий выводить из истинных утверждений другие, столь же истинные.
Содержание
Роль символических обозначений в математике
Преимуществами символических обозначений являются компактность, однозначность толкования, лёгкость преобразований. Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал[2]:
Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления.
Немецкий историк Йозеф Петер Тройтляйн (Josef Peter Treutlein, 1845—1912) заметил по поводу символики, что нигде интеллектуальное содержание не связано с формой его представления так тесно, как в математике, так что для развития и углубления содержания часто необходимо усовершенствовать форму[3].
Другой историк математики, Мориц Кантор, указывает требования к математическому обозначению[4]:
- Оно должно ясно и однозначно отражать то понятие или операцию, для которой предназначено.
- Оно должно быть кратким и удобным (лёгким для написания и печати).
- Оно должно обладать достаточной гибкостью, чтобы допускать при необходимости распространение своего смысла на более широкие области.
Эти высказывания поясняют, в каком направлении исторически развивалась система математических обозначений.
Древние числовые системы и зарождение математической символики
В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является нумерация (запись чисел). По способу образования чисел из базовых знаков (цифр) древние системы нумерации делятся на три типа[5]
- Аддитивная (от лат. additio — сложение). Пример: римское число XXX, которое состоит из трёх римских символов «десять» и изображает значение 30.
- Субтрактивная (от лат. subtractio — вычитание). Пример: римское число IX, где символ единицы стоит слева от десятки и поэтому вычитается из неё.
- Мультипликативная (от лат. multiplicatio — умножение). Пример — китайская система записи чисел, см. ниже).
Позднее появилась позиционная система счисления, в которой числовое значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции в записи числа. Знаки операций, отношения и другие символические обозначения также появились позже, первоначально алгоритмы и формулы излагались словесно.
Древний Египет
- См. также: Математика в Древнем Египте
Древнеегипетская нумерация поначалу была аналогична более поздней римской: в ней были отдельные знаки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, но младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал современному. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для каждой цифры от 1 до 9 и сокращённые знаки для разных десятков, сотен и тысяч[6].
Особые знаки обозначали дроби вида <math>\frac{1}{n}</math>, а также практически важную дробь <math>\frac{2}{3}</math>. Общего понятия дроби <math>\frac{m}{n}</math> у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы[6].
Примеры изображения часто встречающихся дробей <math> 1/2 </math> <math> 1/3 </math> <math> 2/3 </math> <math> 1/4 </math> <math> 1/5</math> 
Пример записи дробей из Папируса Ринда[7]:
5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (значение: 5 5⁄7)
Для обозначения операций сложения и вычитания использовался один из иероглифов:
или
Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Для умножения и деления специальных обозначений не было[8].
Вавилон
- См. также: Вавилонская математика
Шумеры и вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления. Писали они, как и европейцы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр клинописью была своеобразной. Знаков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной шестидесятеричной системе, а его шестидесятиричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные знаки[9].
При описании алгоритмов решения уравнений знаки для неизвестных были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти знаки употреблялись как краткие обозначения неизвестных в современной алгебре[10].
Китай
-
Китайские цифры обозначались специальными иероглифами, которые появились во 2-м тысячелетии до н. э., а их начертание окончательно установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске суаньпань, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для умножения и деления на счётной доске были разработаны эффективные алгоритмы, описанные в руководствах словесно[11].
В III веке н. э. под влиянием традиционной в Китае десятичной системы мер появились и десятичные дроби. В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[12].
Древняя Греция
- См. также: Математика в Древней Греции и Аттическая система счисления
Греческая нумерация, как египетская и римская, была аддитивной, то есть числовые значения символов складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные знаки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Особый дырявый камешек обозначал нуль. Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — из 24 букв греческого алфавита первые 9 обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10 000[13]. Древнегреческие учёные первыми стали записывать дроби вертикально — правда, числитель у них стоял не выше, а ниже знаменателя, а черты дроби не было[14].
Алгебраической символики у греков сначала не было. Единственным исключением можно считать краткие обозначения буквами геометрических точек, а также отрезков прямых или дуг окружности по их конечным точкам.
Вершиной античной алгебры стали труды Диофанта Александрийского (III век н. э.). Намного обогнав своё время, он ввёл буквенную символику — пока только для неизвестной величины, которую он обозначает буквой <math>\zeta</math> (дзета). Диофант использовал особые символы также для степеней неизвестной, вплоть до шестой, и им обратных величин. Специальный символ (перевёрнутая буква <math>\psi</math>) означал вычитание следующего за ним числа. Буква <math>\iota</math> (иота, от греч. ἴσος ‘равный’) играла роль знака равенства. Все эти нововведения позволили в общем виде записать, например, правила умножения степеней (в том числе отрицательных), правило знаков при умножении на отрицательное число, способы решения неопределённых уравнений в целых числах[15][16].
Индия
- См. также: История математики в Индии
Уже в древнеиндийских текстах на санскрите были предусмотрены средства для именования чисел в десятичной системе счисления[17], вплоть до <math>10^{53}</math>.
Индийская нумерация вошла в историю по двум причинам. Около VI века до н. э. в Индии появились отдельные знаки для цифр от 1 до 9, ставшие прообразом современных европейских цифр; автор их неизвестен, но первые три обозначения совпадают с китайскими. Примерно в 500 году н. э. индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами или с шестидесятеричными числами. Для целей новой системы потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно[18].
Индийские математики продолжили развитие математической символики, хотя пошли по собственному пути. Сократив соответствующие санскритские термины до одного слога, они использовали их как символы неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений. Например, умножение обозначалось знаком гу (от слова гунита, умноженный). Вычитание указывалось точкой над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если неизвестных было несколько, им для определённости присваивали условные цвета. Квадратный корень обозначался слогом «му», сокращением от мула (корень). Для именования степеней использовались сокращения терминов «варга» (квадрат) и «гхава» (куб)[19]:
Степень <math>x^2</math> <math>x^3</math> <math>x^4</math> <math>x^5</math> <math>x^6</math> <math>x^7</math> <math>x^8</math> <math>x^9</math> Название ва гха ва ва ва гха гхата ва гха ва ва гха гхата ва ва ва гха гха Запись дробей, в отличие от греков, оформлялась по современным правилам: числитель над знаменателем, хотя целую часть смешанной дроби было принято записывать не левее, а над числителем. Сложение и умножение дробей обозначались одинаково — обе дроби просто записывались рядом; тип операции приходилось распознавать из текстовых пояснений. Знака равенства не было, правую часть уравнения записывали под левой, подравнивая одночлены по одинаковым степеням неизвестной[20].
Русь
Кириллическая система счисления («славянская нумерация») на Руси появилась вместе с кириллицей (IX век) и переняла греческий обычай обозначать цифры с помощью помеченных специальным значком букв. Использовались буквы, аналогичные греческим, а специфически-славянские (Б, Ж, Ш и др.) числовых значений не получили. Исключение было сделано для букв Ч и Ц, перенявших числовые значения архаичных греческих букв «коппа» и «сампи». Числа записывались как в римско-греческой системе — аддитивно: например, МГ обозначало 40+3. Для больших чисел (начиная с 1000) использовались особые пометки[21]. Кириллическая система счисления использовалась у восточных славян до XVIII века, после чего всюду, за исключением церковной литературы, была заменена на современную.
Другие народы
Системам нумерации других народов посвящены статьи:
- Арабские цифры
- Армянская система счисления
- Еврейские цифры
- Кипу
- Римские цифры
- Цифры майя
- Японские числительные
Историческое развитие символики
Средневековье
Математики арабских стран в период примерно с VII по XIII век внесли свой вклад в развитие античных и индийских знаний. В числе прочего они переняли индийскую десятичную позиционную нумерацию и освоили (видимо, независимо от китайцев) десятичные дроби. Первым правила работы с десятичными дробями описал в X веке Ал-Уклидиси, целая часть дроби у него отделялась от дробной апострофом. Подробное описание десятичной арифметики опубликовал аль-Каши в XV веке, но и тогда широкого распространения в исламском мире десятичные дроби не получили. Для отделения дробной части числа аль-Каши использовал вертикальную черту или чернила другого цвета. Хотя термин «алгебра» имеет арабское происхождение, символическая алгебра в исламских странах отсутствовала, все формулы излагались словесно; исключением стали труды испано-мавританского математика ал-Каласади (1486) и его учеников. Ал-Каласади придумал знаки для неизвестного, его квадрата, квадратного корня и знака равенства, однако распространения они не получили[22].
Начиная с XII века, античные и арабские труды стали проникать в Европу и переводиться на латинский язык. Одновременно, особенно в торговой среде, быстро распространяются индийские цифры и правила действий с ними. В первых сочинениях европейских математиков все формулы по-прежнему излагаются словесно. Первый (не слишком удобный) набросок алгебраической символики дал Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века. Он ввёл в общее употребление обозначения <math>\tilde{p}</math> для операции сложения и <math>\tilde{m}</math> для вычитания (от итал. piu, meno), вполне аналогичные позднейшим плюсу и минусу. Для квадратного корня Пачоли использовал предложенные ещё Фибоначчи стилизованные буквы <math>R_x</math>, от слова Radix (корень), с пометкой для корней степени выше второй. Пример записи Пачоли[23]:
- <math>R_x .6.\tilde{m}.R_x.2.</math> современная запись: <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}.</math>
Пачоли предложил краткие слоговые обозначения для неизвестной и её степеней, напоминающие индийскую систему, но в 1484 году Николя Шюке опубликовал более удобный проект; например, современный одночлен <math>12x^3</math> Шюке записывал просто как <math>12^3.</math> Среди других перспективных идей Шюке — использование минуса <math>\tilde{m}</math> в качестве признака отрицательных чисел и подчёркивание сложных выражений вместо современных скобок[24][25].
Ещё один важный шаг сделала немецкая алгебраическая школа XV века, называвшая себя коссистами (Пачоли называл неизвестную величину cosa, вещь). В учебнике арифметики Иоганна Видмана (1489) символы сложения и вычитания Пачоли были заменены современными плюсом и минусом. Степени неизвестного коссисты обозначали комбинацией готических букв, эти «коссические знаки» получили некоторое распространение (их влияние заметно даже в «Арифметике» Магницкого, 1703)[26].
XVI век. Симон Стевин и Франсуа Виет
Спустя столетие после аль-Каши вышла книга Симона Стевина «Десятая» (1585), с которой начинается повсеместное применение десятичных дробей в Европе. Стевин для наглядности указывал над десятичными разрядами их номера в кружках (см. рисунок). Этими же средствами он записывал алгебраические выражения; цифра в кружке обозначала номер переменной, перед ней, если надо, указывалась степень этой переменной: sec (квадрат) или ter (куб). В качестве знаков умножения и деления Стевин использовал буквы M и D соответственно. Стевин свободно использовал дробные показатели степени, также заключаемые им в кружки[27].
Из других устоявшихся обозначений, появившихся в XVI веке, можно назвать знак равенства (1557, Роберт Рекорд) и десятичную запятую (Джованни Маджини, 1592). Немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов заменил обозначение Пачоли для квадратного корня на современный знак радикала (1525)[28]. Необычная судьба постигла открытые в XVI веке комплексные числа — введенные поначалу как условные, бессодержательные символы, они два века спустя обрели ясный смысл и доказали огромную практическую пользу в качестве легального математического объекта.
В конце XVI века были опубликованы труды французского математика Франсуа Виета, произведшие революцию в алгебре. Виет поставил целью разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной, общностью и доказательной силой. В своих исследованиях Виет сразу решает задачи в общем виде и только потом приводит числовые примеры. Он обозначал буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). До Виета обозначение буквенными символами операндов алгебраических законов и исходных данных уравнений эпизодически встречалось у Региомонтана, Кристофа Рудольфа, Адама Ризе, Джероламо Кардано и Михаэля Штифеля, но только Виет сумел верно оценить возможности такого подхода и положить его в основу своей алгебры[29][30].
Виет использовал для именования переменных только заглавные буквы (как в античной геометрии) — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Из знаков операций он использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось латинским предлогом in. Вместо скобок он, следуя Шюке, надчёркивал сверху выделяемое выражение (в нескольких случаях Виет использовал фигурные скобки). Показатели степени у Виета ещё записываются словесно. Например, в трактате «Об анализе и совершенствовании уравнений» записано уравнение[29]:
- <math>A\ cubus + B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2</math>
- В современной записи: <math>x^3+3bx=2z^3</math>
Новая система, несмотря на её громоздкость и ограниченность, позволяла достаточно просто и ясно описать общие законы арифметики и расчётные алгоритмы, с её помощью Виет совершил немало математических открытий. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию; в первую очередь это касалось знаков операций, включая возведение в степень и извлечение корня.
XVII век
Алгебраическая символика
В XVII веке продолжателем дела создания символической алгебры после Виета стал английский математик Томас Хэрриот, его главный труд был издан посмертно в 1631 году. Хэрриот упростил символику Виета и сократил запись формул — вместо заглавных букв он использовал строчные, поддержал знак равенства Рекорда, степени заменял умножением: <math>aaa</math> вместо современного <math>a^3</math>. Большим достижением стало введение Хэрриотом знаков сравнения <math><\ \ ></math> (раньше писали словами: меньше, больше). Вариант символов нестрогого сравнения <math>\leqslant\ \ \geqslant</math> предложил Валлис в 1670 году[31]. Коэффициенты Хэрриот отделял от букв точкой, так что это точка фактически играла роль знака умножения, например: <math>aaa-3.baa+3.bba</math> (современная запись: <math>a^3-3ba^2+3b^2a).</math> Следует отметить, что он первым стал систематически переносить все выражения в левую часть уравнения[32].
Свои усовершенствования ввели Альбер Жирар (1626) и Уильям Отред (1631). У Жирара появились круглые скобки и знак плюс-минус. Квадратный корень к этому времени уже имел очертания, похожие на современные; Жирар предложил записывать показатель кубического и других корней высоких степеней над знаком радикала, и эта конструкция осталась в математике[28][33][34].
Заслугой Отреда является введение следующих символов[35][36]: знака умножения (косой крестик <math>\times</math>), знака деления (косая черта <math>/</math>) и символа параллельности <math>\|</math>. Историки подсчитали, что Отред использовал около 150 различных математических обозначений, своих и чужих. Однако бо́льшая часть из них не выдержала испытания временем — например, конструкции <math>Aq, Aqq</math> для <math>A^2, A^3</math> соответственно или <math>{\sqrt { } }c</math> для кубического корня были заменены на более удачные символы[37].
В XVII веке многие ведущие математики пришли к выводу, что показатель степени должен быть выражен явным числом, а не закодирован обозначением основания (как у коссистов) или словесным сокращением вроде Q (квадрат) или C (куб), потому что иначе невозможно записать такие правила действий со степенями, как <math>a^ma^n=a^{m+n}</math>, а алгебраические преобразования требуют излишних умственных усилий. Варианты оформления записи показателя предложили Жирар, Эригон и другие математики[38].
Практически современный вид алгебраический язык получил в середине XVII века у Декарта. Он предложил использовать для известных параметров начальные буквы алфавита: <math>a,b,c\dots,</math> а для неизвестных — последние буквы: <math>x,y,z.</math> Декарт сформировал современную запись степеней: <math>x^3,</math> с показателем степени правее и выше переменной; ближе к концу века Ньютон распространил эту запись на дробные и отрицательные показатели. Ф. Кэджори характеризует декартовскую запись степеней как самую удачную и гибкую символику во всей алгебре — она не только облегчает преобразования, но стимулировала расширение понятия возведения в степень на отрицательные, дробные и даже комплексные показатели, а также появление в математике степенной и показательной функции; все эти достижения трудно было бы осуществить при использовании обозначений XVI века[39]
Алгебраическая символика Декарта почти полностью была принята последующими поколениями учёных, лишь необычный декартовский знак равенства, получивший некоторое распространение во Франции и Голландии, был заменён на более удачный символ Роберта Рекорда; кроме того, были сняты ограничения на коэффициенты, которые Декарт считал всегда неотрицательными, а исключения из этого правила отражал специальным значком[40]. Нидерландский математик Иоганн Худде уже в 1657 году позволил буквенным переменным принимать значения любого знака[41]. В монографии Ньютона «Универсальная арифметика» (1707), выдержавшей пять переизданий, не считая переводов, используются обозначения Декарта и знак равенства Рекорда. Унификация алгебраических обозначений к концу XVII века в основном завершилась[40].
Cимволика математического анализа
Когда в конце XVII века Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц создали обширный новый раздел математики — математический анализ, — встал вопрос о разработке для него удобной системы обозначений. Ньютон этим почти не занимался, и из предложенных им обозначений в математическом анализе осталась только манера обозначать производную по времени точкой, расположенной над символом функции, например: <math>\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}.</math> Это обозначение неудобно для производных высших порядков (более второго). Ньютон также способствовал закреплению в науке символов бесконечно малых («O» большое и «o» малое), которые ранее предложил шотландский математик Джеймс Грегори. В области символики Ньютону принадлежит также идея использования индексов для именования отдельных объектов из оговоренного множества: <math>x_1, x_2\dots</math>[42][43].
Ньютон не предложил символа для интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией, а также символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Даже в Англии эти варианты не получили распространения, из крупных математиков их использовал только ученик Ньютона Брук Тейлор (1715). В своих «Началах» Ньютон в ряде мест обозначал сами функции заглавными буквами, а их производные (скорости) — теми же, но строчными[44].
Лейбниц отнёсся к делу разработки обозначений более внимательно. На протяжении нескольких лет он тщательно и терпеливо продумывал различные варианты терминов и обозначений, обсуждал с коллегами, затем отобрал лучшие, свёл их в единую систему и активно популяризировал. Лейбниц является автором современных обозначений дифференциала, производной (в том числе высших порядков) и интеграла. Почти все его нововведения в этой области укоренились в науке, потому что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, наглядно отражала оперативные особенности методов анализа[45][46].
Пример — известная формула замены переменной в интеграле <math>x=\varphi (t)</math>:
- <math>\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot {d\varphi (t) \over dt} dt</math>
Она наглядно показывает, почему Лейбниц указывает под интегралом не саму переменную интегрирования, а её дифференциал — только в этом случае правильная формула получается чисто алгебраически, «без лишних усилий мысли»[47].
XVIII век
Леонард Эйлер, ведущий математик XVIII века, внёс значительный вклад в систему обозначений. Эйлер дал имена трём фундаментальным числовым объектам — e для «числа Эйлера», <math>\pi</math> для
отношения длины окружности к её диаметру и i для мнимой единицы[48]. У него появились также символ двойного интеграла по произвольной плоской области (1769), знак суммы <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> (1755)[49], знак <math>\ne</math> («не равно»)[50].
Симон Люилье в 1787 году предложил один из важнейших символов анализа — обозначение предела, «шлифовка» которого разными математиками продолжалась до конца XIX века[51].
XIX век
Весомый вклад в систему обозначений внёс в начале XIX века Карл Фридрих Гаусс. Он является автором общепринятых символов функции «целая часть»: <math>[x]</math> и функции Эйлера, знака произведения: <math>\boldsymbol{\Pi}</math> (1812) и символики сравнений по модулю[52].
В XIX веке продолжалось формирование символики математического анализа. У Вейерштрасса в 1841 году появился символ абсолютной величины. Символ ∂ стал обозначать частную производную[43][53]. Утвердилось современное оформление для границ определённого интеграла (Фурье, 1816), а также для криволинейного, поверхностного и объёмного интегралов[54]. К концу века в основном утвердились стандартные обозначения для важнейших функций анализа.
В XIX веке появилось немало новых разделов математики, потребовавших разработки для них специфических удобных обозначений. В частности, в линейной алгебре возникло общепринятое оформление матриц, определителей и действий с ними. С этой деятельностью смыкается создание и начало широкого применения векторного исчисления и векторного анализа, что вызвало появление богатой символики для обозначения векторов, тензоров и операций с ними[55].
В XIX веке было положено начало длительной работе по формализации математической логики, которая была продолжена в XX веке. Первые символы, заменяющие союзы «следовательно» и «потому что», предложил Иоганн Ран ещё в XVII веке. Лейбниц в своих работах по основаниям математической логики не предложил какой-либо новой символики[56]. Развёрнутые системы логических обозначений одновременно опубликовали английские математики Август де Морган и Джордж Буль в 1847 году. Символика де Моргана была далека от современной, местами громоздка, а Буль старался не изобретать новых символов (он использовал обычные арифметические знаки операций, которым придал логический смысл), но фактически он определил символы для базовых логических операций — конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Тем самым был создан первый набросок алгебры для логических объектов («Булевой алгебры») и разработаны правила логических преобразований[57].
В конце XIX века в трудах Георга Кантора появились первые символы теории множеств, они касались в основном мощности основных множеств математики и операций со знаками мощности. Новым идейным этапом в математической логике стали две монографии Готлоба Фреге (1879 и 1893 годы), но разработанная Фреге логическая символика была неудачной, и, кроме общих идей и «знака выводимости» <math>\vdash</math>, мало что из неё осталось в науке. Почти одновременно вышли в свет работы Эрнста Шрёдера (1877 и 1890) и Джузеппе Пеано (1895 и 1897) с оригинальными символами, часть которых (в частности, квантор существования ∃, символы «содержит» ∋ и «содержится» ∈) остались в науке.
В работе 1895 года Пеано уверенно заявил: можно изменить форму обозначений, можно некоторые убрать и добавить другие, но «мы теперь в состоянии выразить все математические утверждения с помощью небольшого числа знаков, которые имеют точный смысл и подчиняются чётко определённым правилам»[58].
XX век
В XX веке были стандартизованы обозначения для интервала вещественных чисел: <math>(a,b),\ [a,b]</math>[59].
Часть аксиом логики из «Principia Mathematica» в обозначениях 1-го издания (символ ⊃ обозначал импликацию, сейчас чаще используется символ <math>\rightarrow</math>)✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p.
✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q.
✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p.
✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .⊃. q ∨ ( p ∨ r ).
✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r.
Как уже сказано выше, двум новым разделам математики, возникшим на рубеже XIX—XX веков — математической логике и теории множеств, — понадобился обширный комплект новых символов для логических и теоретико-множественных операций. Математики предложили более десятка таких систем обозначений, из которых время отобрало наиболее простые варианты[60]. Фундаментальный труд «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела значительно продвинул как теорию, так и символику математической логики; за основу были приняты обозначения Пеано в улучшенном начертании. Кроме логических обозначений, Уайтхед и Рассел в своей книге используют во многом родственную ей символику теории множеств, частично охваченную ещё в работах Пеано. Авторы перечислили цели интенсивного использования формальной символики в этой книге[61];
- Необходимо обеспечить однозначное понимание читателем материала высокой степени абстрактности.
- Хорошо продуманный формализм помогает человеческой интуиции понять тематические идейные мотивы и связи.
- Краткость символической записи облегчает её зрительное восприятие.
- С помощью символики логическое рассуждение может быть расширено на области, которые обычно предполагались недоступными для математического рассмотрения.
Во второй половине XX века обширная работа по созданию новой символики понадобилась при разработке языков программирования. Проблема в том, что алфавиты этих языков не содержат многих оформительских средств, привычных в математике — в частности, нет надстрочных и подстрочных символов, диакритических знаков, многих специальных символов (знак корня, плюс-минус) и т. п. Например, декартова запись возведения в степень оказалась очень удачной с алгебраической точки зрения, но отсутствие в ней явного знака операции вынуждает реализовывать это важное средство в языке программирования иным способом, причём в разных языках это делается по-разному; несколько примеров записи выражения <math>x^y:</math>
-
x ** y— Фортран, Ада, Кобол, Perl, PL/I, Python -
x ^ y— Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, Lua -
x ⋆ y— APL -
x ↑ y— Алгол, некоторые диалекты Бейсика
Многие языки (Си, Паскаль, JavaScript и другие) не содержат символа операции возведения в степень и используют для этой цели библиотечные функции.
Аналогичная ситуация с другими практически важными символами: индексы элементов массива (обычно заключаются в квадратные или круглые скобки), операция получения остатка от деления нацело целых чисел, логические и битовые операции и т. п. Отсутствие унификации таких обозначений пока что является общей практикой.
История отдельных символов
Алгебра
Объекты
<math>0123456789</math>
Для обозначения цифр в странах с иероглифической письменностью (Древний Египет, Китай) использовались особые иероглифы, а в странах с фонетическим алфавитом для этого вначале обычно использовались буквы, часто со специальной пометкой. Построенные таким образом римские цифры иногда используются до сих пор. В Индии с VI века до н. э. были введены особые знаки для каждой цифры от 1 до 9. Несколько видоизменившись, эти знаки стали современными цифрами[62].
В связи с изобретением десятичной позиционной системы записи чисел (около 500 года н. э.) понадобился новый знак для нуля. Первый код нуля, имеющий вид привычного нам кружка, в само́й Индии найден на надписи 876 года из Гвалиора[63]. Более ранние надписи с изображением нуля обнаружены в Юго-Восточной Азии: относящаяся к 683 году надпись на каменной табличке из развалин храма времён древнекхмерского царства Ченла (по современному административному делению — округ Самбоур[en] в камбоджийской провинции Кратьэх), и датируемая тем же (или следующим) годом надпись из окрестностей Палембанга (Суматра, Индонезия), который в те времена был столицей древнемалайского царства Шривиджая; в первом случае нуль изображён как жирная точка, во втором — как маленький кружок[64][65].
Учёные и любители предлагали десятки объяснений, почему цифры приняли именно такую форму; одна из таких гипотез известна в изложении А. С. Пушкина[66]. Ф. Кэджори в результате анализа этих объяснений приходит к выводу, что все они представляют собой псевдонаучные фантазии[67].
<math>\ \frac {7}{12}</math>
«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель они записывали над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489)[14].
<math>3{,}62</math>
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань)[68]. Персидский математик Джамшид аль-Каши объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[69]. В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе. Первые десятичные дроби в Европе описал Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)[70]. Для наглядности (а также из-за отсутствия общепризнанного десятичного разделителя) Стевин указывал явно номер каждого десятичного разряда — например, число <math>0{,}3759</math> он изображал в следующем виде: <math>3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)}</math>. Столь сложное оформление нашло немногих последователей (например, Озанама), большинство математиков сочло его излишним[71].
Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Дж. А. Маджини (1592) и Непером (1617, впрочем, Непер использовал и точку). Ранее вместо запятой ставили иные символы — Виет использовал вертикальную черту: 3|62 или записывал дробную часть более мелкими цифрами[72]; среди других вариантов — ноль в скобках: 3 (0) 62 или двоеточие. Некоторые авторы, следуя аль-Каши, употребляли чернила разного цвета[14][73]. В Англии вместо запятой предпочли использовать предложенную Клавиусом в 1593 году точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения Лейбница[74]. Отсутствие унификации символа десятичного разделителя вызвало появление в XVIII—XIX веках множества новых предложений, ни одно из которых не стало общепринятым[75]. Новым фактором во второй половине XX века стало то, что запись числовых констант в большинстве языков программирования допускает в качестве разделителя только англо-американскую точку.
<math>706.510.941{,}252</math>
Группировка цифр длинных чисел удобна для их быстрой оценки и сравнения. Рекомендацию на этот счёт сделал уже Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в первом издании своей «Книги абака» (1202); он советовал помечать сотни, сотни тысяч и т. д. штрихом сверху, и одновременно помечать тысячи, миллионы и т. д. штрихом снизу. Во втором издании «Книги абака» (1228) Фибоначчи дал другую рекомендацию: помечать тройки цифр скобкой сверху[76], например: <math>\widehat{678}\ \widehat{935}\ \widehat{784}\ \widehat{105}\ 296.</math>
В XIII веке Сакробоско предложил отделять тысячи точками. Лука Пачоли и часть немецких математиков вместо разделительных точек использовали подстрочные, причём число точек соответствовало номеру группы цифр, а Отред употреблял вертикальные чёрточки. В конце концов в большинстве стран победила простая схема Сакробоско, только в Великобритании и США, где точка является десятичным разделителем, она заменена на запятую[76]. В печатных изданиях, по рекомендациям Международного бюро мер и весов и ISO[77][78], преобладает нейтральный вариант, восходящий к Пачоли, в котором тройки цифр разделяются неразрывными пробелами: 678 935 784 105 296.
<math>-273</math>
С признанием практической ценности отрицательных чисел встал вопрос о способе их записи. Николя Шюке в 1484 году предложил ставить перед ними обозначение <math>\tilde{m},</math> использовавшееся тогда как знак вычитания. С появлением современных символов плюса и минуса (1489) многие математики стали ставить перед отрицательными числами минус, но часть математиков запротестовала, указывая, что не следует использовать один и тот же символ и как знак числа, и как знак операции вычитания, тем более что минус в роли знака числа легко спутать с тире. Предлагались проекты другой символики для знака числа, например, уголки или изображение убывающей/растущей Луны (см. рисунок). Фаркаш Бойяи предложил использовать для знаков чисел плюс и минус, но выделять их особым начертанием (его плюс походил на мальтийский крест). Всё же двойное употребление минуса закрепилось в науке[79] [80].
<math>x,\ y,\ z</math>
<math>a,\ b,\ c</math>Особые знаки (только для неизвестных величин) использовали ещё вавилонские математики, а среди античных греков — Диофант. Виет первым предложил записывать законы и формулы арифметики в общем, символическом виде, заменяя конкретные числа (не только неизвестные, но и разного рода коэффициенты) буквами (1591 год). Виет обозначал неизвестные величины заглавными буквами гласных (A, E, I, O, U, Y), а известные — заглавными согласными[81].
Другие математики (в частности, Иоганн Ран) предлагали использовать в тех же целях различие заглавных и строчных букв. Декарт в 1637 году предложил более удобную систему: для неизвестных величин используются последние буквы алфавита (x, y, z), а для известных — первые (a, b, c…), причём не заглавные, а строчные. Ту же тройку <math>x,y,z</math> Декарт использовал в качестве символов координат при построении графиков; сам Декарт, впрочем, ограничился плоскими кривыми, активное использование пространственных координат начал позднее Клеро. Это соглашение укоренилось в науке. О причинах выбора Декартом именно букв x, y, z для неизвестных высказывалось множество догадок, ничем, однако, не подтверждённых[82][83].
<math>\boldsymbol{i}</math>
Букву i как код мнимой единицы: <math>i=\sqrt{-1}</math> предложил Эйлер в статье De formulis differentialibus secundi gradus, quae integrationem admittunt; статья, написанная в 1777 году, была опубликована (посмертно) в 1794-м. По общему мнению, Эйлер взял для символа мнимой единицы первую букву латинского слова imaginarius (мнимый)[48]. Символ был поддержан Гауссом (1801) и быстро стал общепринятым, хотя многие математики ещё долго продолжали употреблять явную запись радикала: <math>\sqrt{-1}.</math> Некоторое недоразумение возникло, когда физики стали обозначать буквой <math>i</math> величину электрического тока; вскоре в электродинамике переменного тока обнаружилась надобность в комплексных числах (для описания колебаний), и во избежание путаницы физики стали обозначать мнимую единицу буквой <math>j</math>[84].
0123456789ABCDEFНеобходимость в обозначениях шестнадцатеричных цифр возникла в 1950-е годы, когда появились ЭВМ с восьмибитовым явно адресуемым байтом; его содержимое было наиболее удобно изображать в виде двух шестнадцатеричных цифр. Для обозначения цифр от 0 до 9 использовались те же символы, что и в десятичной системе, а для шестнадцатеричных цифр от 10 до 15 предлагались разные варианты — цифры от 0 до 5 с чёрточкой (макроном) сверху, буквы от U до Z (компьютеры Bendix G-15, 1956); современная кодировка буквами от A до F появилась в серии IBM System/360 (1964)[85].
Операции
<math>\boldsymbol{+\;-}</math>
Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев» (нем. Behend und hübsch Rechnung uff allen Kauffmanschafften), изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus), сверху эти буквы часто помечались тильдой. У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки купли и продажи. Некоторые математики XVI—XVII веков использовали латинский или мальтийский крест как вариации плюса, а вместо минуса предлагали тильду или обелюс. Тем не менее плюс и минус получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения,[86][87][88].
<math>\boldsymbol{\times \; \cdot}</math>
Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия). До него использовали чаще всего букву M, предложенную в 1545 году Михаэлем Штифелем и поддержанную Стевиным. Позднее предлагались и другие обозначения: латинское слово in (Франсуа Виет), символ прямоугольника <math>\Box</math> в начале произведения и запятую в конце (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659), буква x (Валлис, 1655, возможно, это типографская ошибка, так как на одной странице у Валлиса встречаются и буква x, и крестик)[35][73][89].
Причиной выбора косого крестика в качестве знака умножения стала, скорее всего, распространённая в те годы схема перекрёстного умножения коротких чисел[90]; это тем более вероятно, что до Отреда косой крестик использовался для обозначения других операций, связанных с разного рода перекрёстными вычислениями[91].
Лейбниц, поэкспериментировав с несколькими разными символами, в конце концов решил заменить крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и Томаса Хэрриота. Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд: <math>ab=a\cdot b;</math> особенно удобной эта компактная запись оказалась для преобразования буквенных выражений[89] [35].
<math>\boldsymbol{/ \; : \; \div}</math>
Герон, Диофант и исламские авторы в качестве знака деления использовали горизонтальную черту дроби. В средневековой Европе деление часто обозначали буквой D. Отред предпочитал косую черту или (иногда) знак правой круглой скобки, последняя встречается и у Штифеля: конструкции <math>8)24</math> или <math>8)24(</math> означали деление <math>24</math> на <math>8.</math> Двоеточием деление стал обозначать с 1684 года Лейбниц[92].
В Англии и США получил распространение символ <math>\div</math> (обелюс), который предложил в 1659 году Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла, ранее Жирар использовал этот символ как синоним минуса)[93][94]. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (англ. National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной[95].
<math>([\{\}])</math>
Круглые скобки появились у Тартальи (1556) для подкоренного выражения, позднее они были поддержаны Клавиусом и Жираром[28][96]. Бомбелли (1560) использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же, отражённого относительно вертикали (см. рисунок)[C 1]; такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593)[28].
Большинство математиков до XVIII века (включая Ньютона) предпочитали вместо скобок надчёркивать (или подчёркивать) выделяемое выражение. Поскольку это усложняло типографский набор, появились и другие способы. Валлис (1655) вместо скобок использовал двоеточия или двоеточие в начале и точку в конце выражения, например: <math>\sqrt{}:ad-a^2:</math> вместо современного <math>\sqrt{ad-a^2}.</math> Предлагались также различные ограничительные конструкции из точек или запятых, неудобные уже потому, что эти символы широко использовались в иных целях. В общее употребление скобки ввели Лейбниц (примерно с 1708 года) и Эйлер[97][98].
<math>\boldsymbol{\pm}</math>
Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Жирар сформировал этот символ следующим образом[33]: знак плюс, под ним слово «или» (фр. ou), а ещё ниже — минус: <math>\boldsymbol{\underset{-}\overset{+}{\operatorname{\scriptscriptstyle ou}}\ \ }.</math> Ньютон предложил собственный символ: <math>\perp</math> («половина плюса»), не получивший распространения[99].
<math>\boldsymbol{a^n}\ \boldsymbol{a^x}</math>
Возведение в степень. В Европе сначала степень записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, <math>x^4</math> изображалось как <math>xxxx.</math> Отред записывал <math>x^5-15 x^4</math> следующим образом: <math>1qc-15qq</math> (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[100]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.
В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[94]; например, <math>(2)2+1(2)</math> у него означало <math>2^2+x^2</math>. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали <math>x^4</math> в виде <math>x4</math> и <math>x^{IV}</math> соответственно[38].
Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[38][101][102].
</math>}}<math>\boldsymbol{\sqrt{x
Средневековые математики (например, Пачоли и Кардано) обозначали квадратный корень символом <math>R</math> или стилизованной комбинацией <math>R_x</math> (от лат. Radix, корень)[103]. Некоторую путаницу вносило то, что в XVI веке сокращения <math>R</math> и <math>R_x</math> часто обозначали не только квадратный корень, но и корень уравнения, то есть искомое значение неизвестной; тем не менее эти обозначения были в употреблении у некоторых итальянских и испанских математиков до конца XVII века[104].
Современное обозначение знака корня впервые употребил в 1525 году немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов[28]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением (vinculum) вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня[34].
</math>}}<math>\boldsymbol{\sqrt[3]{x
Кубический корень в XVI веке мог обозначаться следующим образом: Rx.u.cu (от лат. Radix universalis cubica), были и другие варианты[103]. С появлением современного знака радикала корни степени выше второй некоторое время обозначалась замысловатыми зигзагами, состоящими из «склеенных» соответствующее число раз знаков радикала, или пометкой после радикала — например, <math>\sqrt[3]{x}</math> мог обозначаться <math>\sqrt{C x}</math>, где буква С означала «кубический», или <math>\sqrt{3:x}.</math> Современное обозначение корня произвольной степени с показателем слева вверху начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу[34][105].
<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>
Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году[49].
<math>\boldsymbol{\Pi}</math>
Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году[52].
<math>
Обозначение для абсолютной величины и для модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора[106].
Отношения
<math>\boldsymbol=</math>
В качестве знака равенства математики предлагали самые разные обозначения: подстрочное тире, пробел, слово est, сокращения слова «равно» (aequantur, faciunt) и т. п. Современный символ предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Первоначально размер символа Рекорда был переменным — знак могли удлинять, чтобы записанный после него результат попал в нужную колонку на листе с расчётом[53] [107].
Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В Англии в 1630-е годы символ Рекорда приняли почти все крупные математики, от Хэрриота до Ньютона, но Виет и Жирар этот же символ использовали вместо минуса, а Декарт — как признак, что переменная может иметь любой знак. Декарт предложил для равенства другой символ, напоминающий появившийся в тот же период символ бесконечности Валлиса: <math>\infty.</math> Довольно экзотический знак равенства из трёх символов: <math>2|2</math> отстаивал Эригон (1644); он же предложил ещё один вариант знака: <math>\mathcal{t}</math>. Всё это отдалило унификацию столь важного символа; тем не менее во второй половине XVII века символ Рекорда начал вытеснять конкурентов и в континентальной Европе[107] (решающее значение получила поддержка Лейбница и братьев Бернулли) и окончательно утвердился в течение XVIII века[108].
Многие языки программирования используют знак равенства в качестве символа оператора присваивания.
<math>\approx </math>
Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик Зигмунд Гюнтер в 1882 году[53][109]. Похожий по смыслу и по начертанию символ <math>\cong,</math> состоящий из знака равенства и тильды над ним, использовал ранее (1777) И. Хезелер[de][110].
<math>\ne</math>
Знак «не равно» впервые встречается, вероятно, у Эйлера; во всяком случае, он это обозначение активно использовал[50].
<math>\equiv </math>
Автор знака «тождественно равно» — Бернхард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности[111].
<math><\ \ ></math>
Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше[112][49].
<math>\leqslant\ \ \geqslant</math>
Символы нестрогого сравнения первым предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид[112].
<math>A:B = C:D</math>
Обозначений для пропорции предлагалось множество — Декарт использовал запись <math>a|b||c|d,</math> Отред писал <math>A.B :: C.D</math> и др. В конечном счёте победу одержала современная символика, предложенная Лейбницем в 1708 году[113].
<math>\ll \; \gg</math>
Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше»[112].
Геометрия
<math>\angle\ \ \perp</math>
Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок <math><</math>; современную форму, во избежание путаницы с ранее введенным знаком «меньше», ему придали английские математики Сет Уорд (1654) и Уильям Отред (1657). Прямой угол нередко обозначался буквой d (от фр. droit ‘прямой’)[114][115].
<math>\
Символ параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала этот символ выглядел как нынешний знак равенства, но с появлением последнего — во избежание путаницы — Отред (1677), Керси (1673) и другие математики XVII века придали образующим символ линиям вертикальное направление[36][116].
<math>30^\circ 40' 50</math>
Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: gradus, minutes, secundae (полностью или сокращённо). Вновь символ градуса использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье; в следующем десятилетии Эразм Рейнгольд, Тихо Браге и Хуан Карамуэль уже используют все три угловых обозначения, после чего эти знаки быстро вошли в общее употребление[117].
Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин радиан придумал в 1873 году Джеймс Томсон (James Thomson), брат известного физика лорда Кельвина. Некоторые авторы предлагали помечать радианные значения буквами <math>\rho</math> или надстрочной <math>R,</math> но эти предложения не нашли поддержки, хотя в трудах по геодезии буква <math>\rho</math> иногда используется[117].
<math>\widehat{ab}, \widehat{abc}</math>
Общепринятые ныне обозначения дуг окружности или иной кривой впервые в Европе использовал в своём «Трактате о геометрии» еврейский математик XII века Авраам бар-Хия (Савасорда); этот труд сразу перевёл на латинский Платон из Тиволи[115].
<math>\pi</math>
Джон Валлис использовал для отношения длины окружности к диаметру символ квадрата <math>\Box</math> (намекая на квадратуру круга) или еврейскую букву מ («мем»), тоже похожую на квадрат. Уильям Отред и Исаак Барроу обозначали это число следующим образом: <math>\pi / \delta</math>: здесь <math>\pi</math> обозначает первую букву греческого слова περιφέρεια, ‘окружность’, <math>\delta</math> — аналогично для диаметра, так что вся запись есть сокращение для «отношения длины окружности к диаметру»[118].
Общепринятое обозначение <math>\pi</math> впервые образовал Уильям Джонс в своём трактате «Synopsis Palmariorum Matheseos» (1706 год), он также имел в виду первую букву греческого названия окружности. Это же сокращение позднее решил использовать Эйлер (в ранних трудах он колебался между буквами c и p). Труды Эйлера в 1740-е годы закрепили обозначение окончательно[119].
<math>\sim\ \cong</math>
Символы для обозначения подобия или конгруэнтности геометрических фигур предложил Лейбниц в начале XVIII века. У символа конгруэнтности Лейбница, в отличие от современного, была только одна прямая чёрточка под тильдой; современная форма появилась позже сразу у нескольких математиков[120].
<math>\phi</math>
Обозначение <math>\phi</math> для отношения золотого сечения (используют также начертание <math>\varphi</math>) предложил американский математик Марк Барр (около 1909). Обозначение восходит к первой букве имени древнегреческого скульптора Фидия (др.-греч. Φειδίας), который, по утверждениям некоторых историков архитектуры, систематически использовал золотое сечение в своих творениях (эти утверждения в настоящее время поставлены под сомнение). В профессиональной математической литературе данное отношение часто обозначают <math>\tau</math> (от греч. τομή ‘сечение’)[121][122].
Теория чисел
<math>a \equiv b \pmod m</math>
Символику сравнения по модулю разработал Гаусс, опубликована в 1801 году в его «Арифметических исследованиях». Педантичный Гаусс ставил после кода «mod» точку, поскольку это сокращение от лат. modulo, но его последователи сочли точку излишней[123].
<math>\varphi(n)</math>
Функция Эйлера, играющая важнейшую роль в теории чисел и общей алгебре, появилась у Эйлера в 1760 году, он тогда обозначил её <math>\pi D,</math> современное обозначение предложил Гаусс (1801)[124].
<math>n!\ </math>
Символ факториала предложил Кристиан Крамп (1808); ранее (у Гаусса, Якоби и других) встречались[125] обозначения <math>\Pi(n)</math> и <math>\Pi_n</math>.
<math>[x]</math>
Символ «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром[126].
<math>\lfloor x \rfloor, \; \lceil x \rceil</math>
Две пары символов-уголков, означающие округление вещественного числа до целого в меньшую или бо́льшую сторону соответственно, ввёл Кеннет Айверсон в 1962 году[127].
<math>\left(\frac{a}{p}\right)</math>
Лежандр ввёл для простого числа <math>p</math> символ, получивший его имя, в своей монографии по теории чисел (1791). Аналогичный по начертанию, но определённый для любого нечётного числа символ опубликовал Якоби (1837)[128].
Функции
<math>f(x) </math>
Первые общие обозначения функций использовал Иоганн Бернулли в 1718 году. Долгое время математики задавали аргументы без скобок: <math>fx</math>, скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи <math>\sin x, \lg x</math> и др. Но постепенно (у Эйлера — с 1734 года, у Даламбера — с 1754-го) использование скобок стало общим правилом[129] [130] [131].
Элементарные функции
<math>\log_a b, \; \lg, \; \ln</math>
Сокращения <math>\log, \operatorname{Log}, \operatorname{L}</math> появились ещё в XVII веке, однако до конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было — основание ɑ указывалось то левее и выше символа <math>\log</math>, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа <math>\log</math>. Символ <math>\ln</math> для натурального логарифма впервые появляется у Ирвинга Стрингхема (1893)[132].
<math>\sin, \operatorname{tg}\ (\tan ), \sec</math>
Первым сокращённые обозначения для синуса, тангенса и секанса предложил Томас Финке (1583), который писал: sin., tan., sec. Обозначения этих же функций без точки ввёл Уильям Отред (1632); впрочем, многие авторы вплоть до середины XIX века продолжали ставить точку при обозначениях тригонометрических функций[133][134]. Леонард Эйлер в 1748 году использует написание с точкой (sin., tang., sec), а в 1753 году от точки отказывается (причём наряду с tang у него появляется и обозначение tg, используемое в русскоязычной литературе)[135].
<math>\cos, \operatorname{ctg}\ (\cot ), \operatorname{cosec}\ (\csc )</math>
Финке обозначал косинус, котангенс и косеканс через sin. com., tan. com., sec. com (где com — сокращение для лат. complement ‘дополнение’). Среди многочисленных обозначений, предлагавшихся позднее различными авторами, находим у Джонаса Мура[en] (1674) Cos и Cot., а у Сэмюэла Джейка[en] в его изданном в 1696 трактате — cos., cot., cosec. Написание cos (без точки) встречается у Эйлера в 1729 году (систематически — с 1753 года); Авраам Кестнер (1758) последовательно применяет обозначения cos, cot, cosec[134][136]. Согласно Ф. Кэджори, используемое в современной западной литературе обозначение csc для косеканса появляется в «Трактате по тригонометрии» Оливера, Уэйта и Джонса (1881), а закрепившееся в русскоязычной литературе обозначение ctg для котангенса впервые встречается у Артура Шёнфлиса (1886)[137].
<math>\arcsin</math>
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc- (от лат. arcus ‘дуга’) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}</math>, но они не прижились[138].
<math>\operatorname{sh}\ (\sinh ), \operatorname{ch}\ (\cosh )</math>
Гиперболический синус и косинус были введены в употребление Винченцо Риккати (1757), обозначавшим их Sh и Ch. Современный вариант записи (sh и ch), а также th для гиперболического тангенса мы находим у Уильяма Клиффорда (1878). Распространённые в англоязычных странах обозначения sinh и cosh восходят к Иоганну Ламберту (1768)[139]. Среди других предлагавшихся обозначений были также sinhyp и coshyp (которые использованы, например, в энциклопедии Брокгауза и Ефрона); ныне эти два обозначения вышли из употребления[140].
<math>\operatorname{sgn} (x)</math>
Полезную во многих случаях функцию sgn(x) (от лат. signum ‘знак’) начал использовать в своих лекциях Кронекер (1884), но с другим обозначением: [x]. Современный символ sgn ввёл Пеано (1908)[141][142].
Специальные функции
<math>\Gamma(a), \operatorname{\Beta}(a,b)</math>
Современные обозначения <math>\Gamma(a)</math> и <math>\operatorname{\Beta}(a,b)</math> для введённых Эйлером (соответственно, в 1729 и 1730 году) эйлеровых интегралов 2-го и 1-го рода предложены: Адриеном Мари Лежандром (1811) для интеграла 2-го рода и Жаком Филиппом Мари Бине (1839) для интеграла 1-го рода. После этого получили широкое распространение термины «Гамма-функция» и «Бета-функция»[143][144].
<math>\mathrm{li}, \mathrm{Si}, \mathrm{Ci}, \mathrm{Ei}</math>
Автором обозначения li для интегрального логарифма является Иоганн фон Зольднер (1809). В 1843 году Карл Антон Бретшнайдер ввёл si и ci для интегрального синуса и интегрального косинуса. Оскар Шлёмильх (1846) видоизменил данные обозначения в Si и Ci, а также ввёл обозначение Ei для интегральной показательной функции[145].
<math>\operatorname{\zeta}(s)</math>
Обозначение <math>\operatorname{\zeta}(s)</math> для дзета-функции Римана (изучавшейся ещё Эйлером, а позднее П. Л. Чебышёвым), которая играет важнейшую роль в теории чисел, предложил Бернхард Риман в 1857 году[146].
<math>F(\varphi, k), \;\, E(\varphi, k), \;\, \Pi(\varphi, n, k)</math>
Обозначения <math>F(\varphi, k),</math> <math>E(\varphi, k),</math> <math>\Pi(\varphi, n, k)</math> для эллиптических интегралов 1-го, 2-го и 3-го рода (неполных) в нормальной форме Лежандра введены, по существу, самим Лежандром (1825); единственное отличие его нотации от современной — в том, что модуль эллиптического интеграла он обозначал через <math>c</math> (современное обозначение <math>k</math> впервые применил Карл Якоби в 1829 году), а переменную <math>\varphi</math> в списке аргументов ставил на последнее место[147].
<math>\operatorname{am} u</math>
Понятие об амплитуде эллиптического интеграла как о функции, обратной для эллиптического интеграла 1-го рода, и обозначение <math>\varphi = \operatorname{am} u</math> для неё ввёл Карл Якоби (1829)[148].
<math>\operatorname{sn} u, \; \operatorname{cn} u, \; \operatorname{dn} u</math>
Основные эллиптические функции Якоби — синус амплитуды sn, косинус амплитуды cn и дельта амплитуды dn — ввёл Якоби (1829), обозначавший их как sin am u, cos am u и Δ am u (буква Δ заменяет выражение <math>\sqrt {1-k^2 \sin^2 \varphi},</math> что предложил ещё Лежандр в 1825 году). Более компактные обозначения sn, cn и dn введены Кристофом Гудерманом (1838). В 1882 году Джеймс Глейшер ввёл обозначения ещё для девяти эллиптических функций: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd и cd[149].
<math>\vartheta_0(v), \; \dots, \; \vartheta_3(v)</math>
Для эффективного вычисления эллиптических функций Якоби предложил выражать их как отношения тета-функций[en], для которых он получил представления в виде быстро сходящихся функциональных рядов. Якоби первоначально обозначал тета-функции <math>\operatorname{\Theta}(v),</math> <math>\operatorname{\Eta}(v),</math> <math>\operatorname{\Eta_1}(v),</math> <math>\operatorname{\Theta_1}(v);</math> в 1862 году Карл Вейерштрасс, модифицировавший определения Якоби, ввёл современные обозначения <math>\vartheta_0(v), \; \dots, \; \vartheta_3(v)</math>[149].
<math>\wp(z), \; \operatorname{\zeta}(z), \; \operatorname{\sigma}(z)</math>
Эллиптическую функцию Вейерштрасса <math>\wp(z)</math> (читается: «пэ-функция»; здесь <math>\wp</math> — знак Вейерштрасса, представляющий собой стилизованную букву P) и тесно связанные с ней дзета-функцию Вейерштрасса <math>\operatorname{\zeta}(z)</math> и сигма-функцию Вейерштрасса <math>\operatorname{\sigma}(z)</math> ввёл (вместе с соответствующими обозначениями) Карл Вейерштрасс, который положил их в основу своей общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 года на лекциях в Берлинском университете[150].
<math>J_\nu(x), \; Y_\nu(x), \; H_{\nu}^{(1)}(x), \; H_{\nu}^{(2)}(x)</math>
Ставшее ныне общепринятым обозначение <math>J_\nu(x)</math> для функций Бесселя 1-го рода впервые встречается у Айзека Тодхантера (1875)[151]. Обозначение <math>Y_\nu(x)</math> для функций Бесселя 2-го рода (функций Вебера) ввёл Герман Ганкель (1869), а обозначения <math>H_{\nu}^{(1)}(x)</math> и <math>H_{\nu}^{(2)}(x)</math> для функций Бесселя 3-го рода (функций Ганкеля) принадлежат Нильсу Нильсену[en] (1902)[152].
<math>I_\nu(x), \; K_\nu(x)</math>
Обозначение <math>I_\nu(x)</math> для модифицированных функций Бесселя 1-го рода предложил Альфред Бассет[en] (1886), а для модифицированных функций Бесселя 2-го рода (функций Макдональда) сохраняется обозначение <math>K_\nu(x),</math> под которым их в 1899 году ввёл Гектор Макдональд[152].
<math>\operatorname{Ai}(x), \; \operatorname{Bi}(x)</math>
Обозначение Ai для функции Эйри 1-го рода предложил в 1828 году Гарольд Джеффрис[153]; он использовал первые две буквы фамилии Джорджа Эйри (англ. George Airy), который в 1838 году впервые исследовал уравнение Эйри[154]. В 1946 году Джеффри Миллер[en] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным[155].
<math>B_{i,m}(x)</math>
Обозначение <math>B_{i,m}(x)</math> читается как «B-сплайн степени m с номером i» (предполагается, что этот сплайн построен по узлам Xi, …, Xi+m+1 некоторой сетки). Общее определение B-сплайнов для сетки с произвольно распределёнными узлами дано Хаскеллом Карри и Исааком Шёнбергом (1947), которые в своей статье[156] назвали их «базисными сплайнами» и использовали букву N вместо B. Сам термин «B-сплайн» введён Шёнбергом в 1967 году, после чего изменилось и обозначение[157][158][159].
<math>\operatorname{up}(x)</math>
Функция up (читается «ап-функция»), которая стала исторически первым и важнейшим примером атомарных функций (представляющих собой бесконечно дифференцируемые аналоги полиномиальных сплайнов[160]), введена с данным обозначением в 1971 году в статье[161] В. Л. Рвачёва и В. А. Рвачёва[162][163].
<math>\delta(x)</math>
Дельта-функция Дирака δ(x), ставшая первым примером обобщённой функции, введена Полем Дираком в его статьях[164][165] 1927 года[166][167]. Впрочем, ясное представление об этой функции и её основных свойствах имел уже Хевисайд (1893), у которого она появилась как производная от единичной функции Хевисайда, но специального обозначения не получила[168].
Линейная алгебра
<math>\bar a, \vec a, \mathbf a, \mathfrak A, \mathfrak a</math>
Понятие вектора ввёл в науку в 1847 году[169] Уильям Роуэн Гамильтон в рамках своей теории кватернионов (назвав вектором кватернион с нулевой скалярной частью); он обозначал векторы греческими буквами, а скаляры — латинскими. Впрочем, ещё в 1803 году Лазар Карно пользовался понятием геометрического количества, понимая под ним в основном направленные отрезки и обозначая отрезок с началом в точке A и концом в точке B при помощи чёрточки наверху: AB; Август Фердинанд Мёбиус в 1827 году предложил представлять такой отрезок в виде разности B−A. Джеймс Клерк Максвелл предпочитал обозначать векторы готическими буквами, основоположники векторного анализа Оливер Хевисайд и Джозайя Уиллард Гиббс — жирным шрифтом. Почти все эти виды символики встречаются до сих пор, особенно часто используются жирный шрифт, чёрточка или стрелка над буквой[55][170].
<math>(\mathbf a,\mathbf b)\ \left[ \mathbf a, \mathbf b \right]</math>
Понятия и обозначения операций над векторами формировались в XIX веке многими математиками, и унификация обозначений до сих пор не достигнута. Грассман записывал векторное произведение в виде <math>\left[ \mathbf a \mathbf b \right]</math> (1844), а скалярное произведение обозначал <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> (1846) или <math>\left[ \mathbf a | \mathbf b \right]</math> (1862); последний вариант неожиданно возродился в XX веке в виде бра-кет символики, введённой Дираком (1939) и используемой в квантовой механике[171][172]. Хевисайд предпочитал для скалярного произведения простейшую запись в виде <math>\mathbf a \mathbf b,</math> в то время как Гиббс между операндами скалярного произведения добавлял нижнюю точку, а векторное записывал как <math>\mathbf a \times \mathbf b.</math> У Хендрика Лоренца скалярное и векторное произведения выглядели так: <math>\mathbf a . \mathbf b</math> и <math>\left[ \mathbf a . \mathbf b \right].</math> Запись <math>(\mathbf a,\mathbf b)</math> впервые встречается у Олауса Хенрици (1903). Обозначения современных авторов чаще всего варьируют приведённые варианты[171].
<math>\left\
Обозначение <math>\left\| \bar a \right\|</math> для нормы вектора <math>\bar a</math> впервые появилось у Эрхарда Шмидта (1908) в частном случае нормы в пространстве <math>\ell_2</math>. Общее определение нормы в абстрактном векторном пространстве дал Стефан Банах в статье «Об операциях над абстрактными множествами…»[173] (1922), где он также пользовался данным обозначением[174].
<math>\begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix}\ \begin{Vmatrix} a & b\\c & d \end{Vmatrix} \ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}</math>
Окаймление матриц двумя вертикальными чёрточками ввёл Кэли около 1843 года; сейчас вместо них часто используются круглые или квадратные скобки. Определитель современные учебники заключают в одиночные чёрточки, также следуя Кэли. Круглые скобки для матриц первым, вероятно, употребил английский математик Каллис (Cuthbert Edmund Cullis) в 1913 году[175][176].
<math>\Gamma^{k}_{ij}</math> или <math>\{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}</math>
Символы Кристоффеля, лежащие в основе тензорного анализа и общей теории относительности, были введены Элвином Бруно Кристоффелем в статье 1869 года, где использовался формат записи <math>\{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}</math>; вариант <math>\Gamma^{k}_{ij}</math> предложил в 1923 году Джордж Биркгоф[177][178].
<math>\delta^{r_1\dots r_n}_{s_1\dots s_n}</math>
Символ Кронекера, играющий большую роль в тензорном исчислении, Кронекер определил для случае <math>n=1</math> в статье 1866 года; в 1924 году Френсис Мурнаган описал его обобщение до тензора произвольного ранга[178].
Математический анализ
<math>(a,b)\ [a,b]</math>
Обозначение интервала вещественных чисел впервые употребил в 1909 году немецкий математик Герхард Ковалевский[de]; если граничная точка включалась в интервал, то вместо круглых скобок использовались угловые. В 1921 году Ханс Хан заменил угловые скобки на квадратные, и эта символика укоренилась в науке[59].
<math>e</math>
Стандартное обозначение числа Эйлера e = 2,7182818… впервые отмечено у Эйлера в неопубликованной рукописи 1728 года, вторично оно встречается в его «Механике» (1736 год) и во многих последующих трудах. Позднее были другие предложения: буква c (Д’Аламбер, 1747), <math>\epsilon</math> (Август де Морган, 1842), а Бенджамин Пирс предложил для констант <math>e, \pi</math> замысловатые значки, по форме напоминающие скрепку (1859); эти варианты не получили распространения[179].
<math>\Delta x</math>
Обозначение приращения буквой <math>\Delta</math> впервые употребили Иоганн Бернулли (который, впрочем, не проводил чёткого различия между приращением и дифференциалом) и Эйлер (1755)[180][181].
<math>o, O</math>
Символы бесконечно малых использовал шотландский математик Джеймс Грегори. У него обозначение «о малое» перенял Ньютон[182]. Заглавный вариант символа в современном значении («о большое») появился во втором томе книги Пауля Бахмана «Аналитическая теория чисел» (1894). Оба символа популяризировал Эдмунд Ландау в работе 1909 года[183], в связи с чем их нередко называют «символы Ландау»[184].
<math>dx\quad\frac{dy}{dx}\quad\frac{d^ny}{dx^n}</math>
Обозначения dx и dy для дифференциалов аргумента и функции введены Лейбницем в мемуаре «Новый метод максимумов и минимумов…»[185] (1684), после чего естественным образом появилось и обозначение производной в виде отношения дифференциалов. В мемуаре «Ответ господину Бернарду Ньивентейту…»[186] (1695) Лейбниц рассматривает и дифференциалы высших порядков, вводя для них вполне современные обозначения[187][188].
<math>\dot x</math>
Традиция обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691)[43].
<math>f'(x) </math>
Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу, у которого базовым понятием анализа, в отличие от Лейбница, стал не дифференциал, а производная[189].
<math>\frac{\partial}{\partial x}</math>
До середины XVIII века запись символа частной производной ничем не выделялась. Эйлер в 1755 году предложил заключать частные производные в скобки; этот символизм имел некоторое распространение. Современное обозначение впервые встретилось в статьях Кондорсе (1770) и Лежандра (1786), однако не закрепилось даже у этих авторов. Лагранж пробовал различные варианты — например, индексировать производные: <math>F'_{1}</math> или указывать в скобках, по какой переменной идёт дифференцирование: <math>F'(y),</math> но эта символика была явно неудачной. В нескольких статьях Уильяма Гамильтона встречается близкий к современному символ <math>\frac{\delta f}{\delta x}</math>. Общеупотребительной современную запись сделал Карл Якоби (1841)[190].
<math>\int\ \iint\ \iiint</math>
В ранних заметках Лейбниц использовал в качестве символа интеграла обозначение omn. (от лат. de omnium, 'всего' — это сокращение было введено Кавальери для вычисления площадей «методом неделимых»). Современное обозначение интеграла, образованное Лейбницем от стилизованной начальной буквы слова «Сумма» (лат. Summa), впервые найдено в неопубликованной рукописи, датированной 29 октября 1675 года, а в печати оно появилось в мемуаре «О скрытой геометрии и анализе неделимых…» (1686); правда, типография для облегчения своей работы заменила в этой первой статье символ интеграла на букву <math>\mathit{f}</math>. Иоганн Бернулли в переписке с Лейбницем вначале предлагал в качестве символа интеграла букву <math>I,</math> но позже согласился принять знак Лейбница[191][192][193]. В первых статьях Лейбниц часто надчёркивал выражения для интеграла и дифференциала, возможно, желая показать, что это целостные символы, но позднее отказался от этой практики[194].
Двойной интеграл по произвольной плоской области ввёл Эйлер (1769), тройной (по объёму) вскоре начал использовать Лагранж[195].
<math>\lim_{x \to a} f(x)\ \ \lim_{x \to a+0} f(x)\ \ \varlimsup_{n \to \infty} x_n</math>
Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье в следующем формате: <math>\operatorname{lim.}x:a;</math> это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла[51].
Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: <math>\operatorname{Lim} _{x=a}</math>[196]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков[197].
Обозначения для одностороннего предела первым предложил Дирихле (1837) в виде: <math>f(a+0), f(a-0).</math> Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: <math>\lim \sup</math> и <math>\lim \inf</math> соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: <math>\varlimsup_{n \to \infty} x_n,\ \varliminf_{n \to \infty} x_n,</math> введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году[198].
<math>\int\limits_a^b f(x)\, dx</math>
Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье, который использовал его с 1816 года. До него пределы сначала указывались словесно; Эйлер в 1768 году записывал их после интеграла в квадратных скобках, в две строки (от/до)[199][54].
<math>\oint</math>
Обозначение с кружком для криволинейного интеграла по замкнутому контуру предложил в 1923 году Крамерс[195].
<math>f * g</math>
Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[200].
<math>\nabla</math>
Символ этого дифференциального оператора придумал Уильям Роуэн Гамильтон (1853), а название «набла» предложил в шутку один из друзей шотландского математика Тэта, друга Гамильтона, заметив, что форма этого знака напоминает ассирийскую арфу с таким (древнегреческим) названием (1892). Используется также термин «оператор Гамильтона»[201].
<math>\Delta</math>
Распространённый в математической физике символ оператора Лапласа («лапласиан») появился в 1833 году у английского физика и математика Роберта Мёрфи (Robert Murphy, 1806–1843)[109]. До него вместо <math>\Delta\Phi</math> иногда использовался предложенный Фурье[202] символ <math>D \Phi.</math>
<math>\mathrm{grad}, \mathrm{div}, \mathrm{rot}</math>
Символика классических дифференциальных операторов векторного анализа формировалась постепенно на рубеже XIX—XX веков. Понятие градиента ввёл Уильям Гамильтон ещё в 1846 году, но название и общепринятое обозначение термина появилось около 1900 года в немецкой школе, возможно, благодаря Генриху Веберу. Понятия дивергенции и ротора введены Максвеллом в его работах по теории электромагнитного поля; термины и обозначения предложил Клиффорд (1878)[203].
<math>\gamma \ C</math>
Постоянная Эйлера — Маскерони была введена в 1735 году Леонардом Эйлером. Эйлер обозначал её буквой <math>C</math>, а Маскерони[128] — <math>A;</math> сейчас часто используется предложенное Бретшнайдером обозначение <math>\gamma,</math> поскольку эта константа связана с гамма-функцией[204].
Математическая логика и теория множеств
В математической логике предложено большое число символов логических операций, причём различные авторы часто пользовались для одной и той же операции различными обозначениями. Значительно бо́льшая степень унификации характерна для символики теории множеств[205].
<math>\land\ \&\ \lor\ \lor\lor</math>
Джордж Буль (1854) использовал для логических операций конъюнкции и дизъюнкции обычные знаки умножения и сложения. Близкие к современным обозначения <math>\land, \ \lor</math> предложил Джузеппе Пеано (1895); они были по сравнению с ныне употребляемыми вариантами более «сглаженными», в виде дуг окружности. Современный символ дизъюнкции <math>\lor</math> впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов»[206] Бертрана Рассела (1908), в то время как конъюнкция обозначена там точкой на линии строки (знак дизъюнкции образован от лат. vel ‘или’; позднее возникла традиция двойным знаком дизъюнкции обозначать операцию строгой дизъюнкции[207]). Современный символ конъюнкции <math>\land</math> (перевёрнутый знак дизъюнкции) предложен Арендом Гейтингом (1930); распространённой альтернативой для него остаётся знак амперсанда &[60][208].
В языках программирования для конъюнкции, дизъюнкции и строгой дизъюнкции применяются обычно другие обозначения (например, в языке Ада используются зарезервированные слова
and,orиxor[209], а в языках C и C++ — обозначения&,|,^для побитовых операций и&&,||для логических операций[210]).
<math>\sim\ \lnot</math>
Логическое отрицание Джузеппе Пеано в 1897 году обозначил символом <math>\sim</math> (тильда), похожим на минус; сейчас стандартным является близкий к нему символ <math>\lnot</math>, предложенный Гейтингом в 1930 году[60][208]. Используют для обозначения отрицания и горизонтальную черту над выражением, встречавшуюся ещё у Буля и Чарльза Пирса (1867)[211]. В языках программирования для отрицания применяют и другие обозначения (так, в языке Ада используется зарезервированное слово
not[209], а в языках C и C++ — обозначения~для побитовой операции и!для логического отрицания[210]).
<math>\to\ \supset\ \equiv\ \leftrightarrow</math>
Первый логический символ, имеющий смысл «следовательно», предложил Иоганн Ран в 1659 году, он состоял из трёх точек: <math>\dot{.\ .}</math>. Отред (1677) изображал следствие двумя надстрочными точками. Перевёрнутый символ: <math>\dot{ }\, .\dot{\ \,}</math> в XIX веке иногда заменял союз «потому что» в англоязычных странах[56].
Знак <math>\to</math> для обозначения импликации предложил Давид Гильберт (1922). Не менее распространён и знак ⊃, употреблявшийся в этом значении ещё Джузеппе Пеано (1898) и сменивший более раннее начертание ɔ данного знака (которое Пеано применял начиная с 1891 года). Для обозначения эквиваленции используют как символ тождества <math>\equiv</math> (так поступал Рассел в уже упоминавшейся работе 1908 года), так и знак <math>\leftrightarrow</math>, предложенный Альбрехтом Беккером (1933)[208][212].
<math>\mid\ \downarrow</math>
Штрих Шеффера <math>\mid</math> для обозначения операции антиконъюнкции ввёл Генри Шеффер, обосновавший в своей статье «Набор пяти независимых постулатов…»[213] (1913) возможность построения логики высказываний на основе единственной логической операции — антиконъюнкции[214]. Результаты Шеффера, впрочем, предвосхитил Чарльз Пирс (1880), который в неопубликованной при его жизни работе «Булева алгебра с одной константой» фактически осуществил такое построение на основе другой операции — антидизъюнкции, для обозначения которой обычно используют знак <math>\downarrow</math> (стрелка Пирса)[215][216].
<math>\forall\ \exists</math>
Первые символы для кванторов появились в 1879 году в книге Готлоба Фреге «Исчисление понятий»; обозначения Фреге основывались на громоздкой двумерной нотации и в дальнейшем широкого распространения не получили. Впоследствии были предложены более удачные обозначения; например, Оскар Митчелл в 1883 году и Чарльз Пирс в 1885 году использовали заглавные греческие буквы <math>\Pi</math> и <math>\Sigma</math> (сам термин «квантор» также предложил Пирс)[217]. Общепринятым для квантора существования стало обозначение <math>\exists</math> (Джузеппе Пеано, 1897), а для квантора общности — символ <math>\forall</math>, образованный Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом Пеано; эти символы представляют собой перевёрнутые первые буквы английских слов Exists ‘существует’ и All ‘все’[218][219].
<math>\vdash</math>
Знак выводимости[en] (турникет) введён, по существу, Фреге (1879) в уже упоминавшейся книге «Исчисление понятий»[220]. В современном начертании встречается у Бертрана Рассела (1908)[206].
<math>\lambda x.E</math>
Выражение <math>\lambda x.E</math> означает «функция, сопоставляющая каждому значению аргумента <math>x</math> соответствующее значение выражения <math>E</math>» (где <math>E</math> в общем случае зависит от <math>x</math>). Оператор λ-абстракции и основанное на его использовании λ-исчисление предложены Алонзо Чёрчем в конце 1920-х годов (первая публикация — его статья[221] 1932 года, в которой Чёрч, правда, ещё писал <math>\lambda x[E]</math>; современный стандартный вид нотация приняла к 1941 году)[222].
<math>\in\ \cap\ \cup\ \subset\ \supset</math>
На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символика математической логики. Знак принадлежности <math>\in</math> (по происхождению — стилизованная буква ε в греч. εστι ‘быть’) был введён Джузеппе Пеано (1889) в работе «Основания арифметики, изложенные новым способом»[223]. Он же является автором символов пересечения и объединения множеств (1888). Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у Эрнста Шрёдера[208][224].
<math>\aleph \ \omega \ c</math>
В 1880-е годы Георг Кантор открыл иерархию бесконечных множеств и упорядочил их по мощности. Наименьшую из них — мощность натурального ряда — он обозначил первой буквой еврейского алфавита «алеф» с нулевым индексом: <math>\aleph_0.</math> Порядковое число натурального ряда Кантор обозначил буквой <math>\omega,</math> последней буквой греческого алфавита. Мощность множества вещественных чисел принято обозначать буквой <math>c</math> (от слова continuum ‘непрерывность’)[225][226].
<math>\varnothing</math>
Знак <math>\varnothing</math> для обозначения пустого множества предложил в 1939 году Андре Вейль в ходе работы группы Бурбаки над подготовкой к изданию книги «Теория множеств. Сводка результатов» трактата «Элементы математики» (в качестве прототипа знака была использована буква норвежского алфавита с тем же начертанием)[227].
<math>f\colon X \rightarrow Y</math>
Обозначение <math>f\colon X \rightarrow Y</math> для отображения множества X в множество Y впервые появилось в 1940 году в лекциях Витольда Гуревича по относительным гомотопическим группам[228].
Другие обозначения
%
Символ процента появился в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше[229].
<math>C_n^k\ {n\choose k}\ A_n^k</math>
Обозначение <math>C_n^k</math> для числа сочетаний (или, что то же самое, для биномиальных коэффициентов) появилось в 1880 году у английского математика Роберта Поттса (Robert Potts, 1805—1885), оно происходит от лат. combinatio — сочетание. При этом в обозначении Поттса верхний символ <math>k</math> располагался слева, а не справа от буквы C. В западной литературе распространён второй вариант обозначения: <math>{n\choose k},</math> предложенный Эйлером, но и он вначале отличался от современного: <math>n, k</math> у Эйлера были переставлены и разделены горизонтальной чертой, как у дроби. Принятые сейчас обозначения стандартизовал немецкий математик Андреас фон Эттингсгаузен в 1827 году. Обозначение <math>A_n^k</math> для числа размещений предложил в 1904 году другой немецкий математик Ойген Нетто, по аналогии с числом сочетаний[230].
<math>\infty\ +\infty\ -\infty</math>
Символ бесконечности придумал Джон Валлис, опубликован в 1655 году[28]. У Вейерштрасса появились (1876) и нашли широкое применение в анализе две модификации этого символа: плюс-бесконечность и минус-бесконечность[226].
<math>x_n</math>
Индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде ввёл Ньютон (1717). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне. Двойные индексы (для элементов матриц) ввёл в общее пользование Якоби (1835)[231].
<math>\cancel{0}\ \cancel{O}</math>
В инженерной практике перечёркнутый кружок используется для обозначения диаметра (символ Unicode-8960)[232]. При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О одно время действовала рекомендация (особо актуальная при записи программ на бланках кодирования) нуль перечёркивать[233]: <math>\cancel{0}</math> (иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль[234]). В эпоху персональных компьютеров, работавших под управлением MS-DOS, в текстовом режиме работы дисплея и на многих матричных принтерах нуль также выводился в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)[235][236]. В современных компьютерных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.
См. также
- Математические обозначения
- Таблица математических символов
- Таблица обозначений абстрактной алгебры
- Категория:Математические знаки
Напишите отзыв о статье "История математических обозначений"
Примечания
- Комментарии
- ↑ В книге Н. В. Александровой конечный уголок изображён неверно, см. фотокопию страницы книги Бомбелли в книге: Cajori F., vol. 1, § 144.
- Источники
- ↑ Mazur J., 2014, Chapter 20. Rendezvous in the Mind.
- ↑ Юшкевич А. П. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8686&option_lang=rus Лейбниц и основание исчисления бесконечно малых] // Успехи математических наук. — 1948. — Т. 3, № 1(23). — С. 155—156.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §199.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §639.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 12—13.
- ↑ 1 2 История математики, том I, 1970, с. 21.
- ↑ Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §200.
- ↑ O'Connor J. J., Robertson E. F. [www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html An overview of Babylonian mathematics]. Проверено 23 декабря 2015.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 42.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 157—161.
- ↑ Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. — Springer, 1997. — P. 197—200. — ISBN 3-540-33782-2.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 62—64.
- ↑ 1 2 3 Александрова Н. В., 2008, с. 48—50.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 144—145.
- ↑ Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972 (репринт М.: ЛКИ, 2007). — 68 с.
- ↑ Володарский А. И. Математика в древней Индии // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 289.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 181—183.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 188—189.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 185—186, 189.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 252.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 212—214, 227.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §134, 135.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 286—290.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §122, 130.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 290—291.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 301—304, 306.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Математическая энциклопедия, 1979.
- ↑ 1 2 История математики, том I, 1970, с. 308—311.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §176.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 22—23.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §188.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 127.
- ↑ 1 2 3 История математики, том II, 1970, с. 41.
- ↑ 1 2 3 Александрова Н. В., 2008, с. 141.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 123.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §185.
- ↑ 1 2 3 Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §315.
- ↑ 1 2 История математики, том II, 1970, с. 40—46.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §392.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 234—237, 266.
- ↑ 1 2 3 Александрова Н. В., 2008, с. 142—143.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §622.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 255—257, 266.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 45—46.
- ↑ Mazur J., 2014, Chapter 18. The Symbol Master.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 54.
- ↑ 1 2 3 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
- ↑ 1 2 Rouse Ball W. W. [books.google.ru/books?id=Tfa7AQAAQBAJ&pg=PA242&lpg=PA242&dq=not+equal+sign+employed+if+not+invented+by,+Euler&source=bl&ots=MQ5WzBM0Gd&sig=7t6TWyaNIoNqhdFLSXkioHC68R0&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwj90---8-DJAhXnl3IKHbXrApgQ6AEIHDAA#v=onepage&q=not%20equal%20sign%20employed%20if%20not%20invented%20by%2C%20Euler&f=false A Short Account of the History of Mathematics. 4th ed]. — Dover Publications, 2010. — 522 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486206301. — P. 242.
- ↑ 1 2 Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 78—79 (§451).
- ↑ 1 2 3 Александрова Н. В., 2008, с. 150—151.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 63.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 22—23.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §667—670.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §677—678.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §685—691.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 67.
- ↑ 1 2 3 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 281—314.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §695.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 214—215.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 114.
- ↑ Chrisomalis S. [books.google.ru/books?id=kXZhBAAAQBAJ&pg=PA195&lpg=PA195&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false Numerical Notation: A Comparative History]. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010. — ix + 486 p. — ISBN 978-0-521-87818-0. — P. 195.
- ↑ Joseph G. G. [books.google.ru/books?id=c-xT0KNJp0cC&pg=PA339&lpg=PA339&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3rd edition]. — Princeton: Princeton University Press, 2011. — xxvii + 561 p. — ISBN 978-0-691-13526-7. — P. 339.
- ↑ Пушкин А. С. [feb-web.ru/feb/pushkin/texts/push17/vol12/y12-156-.htm Полное собрание сочинений]. — М.: Правда, 1954. — Т. 5. — С. 286.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §96.
- ↑ Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. — Springer, 1997. — ISBN 3-540-33782-2.
- ↑ Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джон Непер, 1550—1617. — М.: Наука, 1980. — 226 с. — (Научно-биографическая литература). — С. 197—204.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §276—277.
- ↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 136.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.
- ↑ Глейзер Г. И., 1981, с. 43.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §286—288.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §91.
- ↑ [www.bipm.org/en/publications/si-brochure/section5-3-4.html The International System of Units (SI)]. Проверено 30 декабря 2015.: «Following the 9th CGPM (1948, Resolution 7) and the 22nd CGPM (2003, Resolution 10), for numbers with many digits the digits may be divided into groups of three by a thin space, in order to facilitate reading. Neither dots nor commas are inserted in the spaces between groups of three».
- ↑ Part 0: General principles, Sect. 3.3 // International standard ISO 31-0: Quantities and units. — Geneva: International Organization for Standardization, 1992.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §212.
- ↑ Mazur J., 2014, Chapter 17. A Catalogue of Symbols.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 42, 144—145, 308—310.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 22, 40—41.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §340—341.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §498—500.
- ↑ [www.cs.mcgill.ca/~rwest/link-suggestion/wpcd_2008-09_augmented/wp/h/Hexadecimal.htm Hexadecimal]. Проверено 21 февраля 2016.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §201—209.
- ↑ [www.ms.uky.edu/~sohum/ma330/files/eqns_2.pdf Cardano's Ars Magna, page 4]. Проверено 8 октября 2013.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 126—127.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.
- ↑ [matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1856&Itemid=28 Приёмы ускоренного умножения] (2 марта 2008). Проверено 12 января 2016.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §218—230.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §235—239.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 40.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.
- ↑ [www.pballew.net/arithme6.html Divide symbols] (англ.). Проверено 22 августа 2015.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §161.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 170—171.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §195, 342—350.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §210.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.
- ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 59—60.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.
- ↑ 1 2 Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI—XVII вв. — М.: Наука, 1979. — 208 с. — (История науки и техники). — С. 81.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §318—321.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §328—333.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 22—23, 106, 218.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §260—268.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, p. 139.
- ↑ 1 2 Math4school.
- ↑ Ben-Menahem A., 2007, p. 5503.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 173, 183.
- ↑ 1 2 3 Александрова Н. В., 2008, с. 111—112.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 144.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 120, 190.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §359.
- ↑ [jeff560.tripod.com/geometry.html Earliest Uses of Symbols from Geometry] (англ.). Проверено 22 августа 2015.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §514—515.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 124—125.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §396—397.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §372.
- ↑ Livio M. [books.google.ru/books?id=bUARfgWRH14C&pg=PA5&lg=PA6&hl=ru&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number]. — NY: Broadway Books, 2002. — viii + 294 p. — ISBN 0-7679-0815-5. — P. 5—6, 72—75.
- ↑ Sen S. K., Agarwal R. P. [www.sciencedirect.com/science/article/pii/S089812210800031X Golden ratio in science, as random sequence source, its computation and beyond] // Computers & Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 56, no. 2. — P. 469—498. — DOI:10.1016/j.camwa.2007.06.030.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §408.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §409.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 199—200.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 14.
- ↑ Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — 735 с. — С. 68.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §407.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §643—646.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 204—205.
- ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей, 1977, с. 82.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §469—471.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 150, 158, 170.
- ↑ 1 2 [jeff560.tripod.com/trigonometry.html Earliest Uses of Symbols for Trigonometric and Hyperbolic Functions]. Проверено 7 января 2016.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 166.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 150, 163, 166.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 170.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 210—211.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 172—174.
- ↑ Гиперболические функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §211.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 168.
- ↑ Ben-Menahem A., 2007, p. 5503—5504.
- ↑ [jeff560.tripod.com/functions.html Earliest Uses of Function Symbols]. Проверено 8 января 2016.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 280—281.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 278.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 272—275.
- ↑ Соломенцев Е. Д. Амплитуда эллиптического интеграла // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu Математическая энциклопедия. Т. 1] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 243.
- ↑ 1 2 Соломенцев Е. Д. Якоби эллиптические функции // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu Математическая энциклопедия. Т. 5] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 1054—1058.
- ↑ Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса эллиптические функции // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu Математическая энциклопедия. Т. 1] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 621—624.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 279.
- ↑ 1 2 Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. — М.: ИИЛ, 1949. — 798 с. — С. 70—71, 88, 92.
- ↑ Vallée O., Soares M. [books.google.ru/books?id=Rms5FnMuKEgC&pg=PA4&lpg=PA4&hl=ru#v=onepage&q&f=false Airy Functions and Applications to Physics]. — London: Imperial College Press, 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7. — P. 4.
- ↑ Федорюк М. В. Эйри функции // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu Математическая энциклопедия. Т. 5] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 939—941.
- ↑ [functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAi/introductions/Airys/ShowAll.html Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions]. // The Wolfram Functions Site. Проверено 5 февраля 2016.
- ↑ Curry H. B., Schoenberg I. J. On spline distributions and their limits: The Pólya distribution functions // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1947. — Vol. 53, no. 11. — P. 1114.
- ↑ Тихомиров В. М., 1987, с. 190.
- ↑ Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с. — С. 46—47.
- ↑ Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с. — С. 86—87, 91.
- ↑ Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 510 с. — ISBN 5-93108-019-8. — С. 272.
- ↑ Рвачов В. Л., Рвачов В. О. Про одну фінітну функцію // ДАН УРСР. Сер. А. — 1971. — № 8. — С. 705—707.
- ↑ Тихомиров В. М., 1987, с. 202—203.
- ↑ Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики / Отв. ред. В. И. Моссаковский. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с. — С. 46.
- ↑ Dirac P. A. M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society. Ser. A. — 1927. — Vol. 113. — P. 621—641.
- ↑ Dirac P. A. M. [hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Dirac_QED_1927.pdf The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation] // Proceedings of the Royal Society. Ser. A. — 1927. — Vol. 114. — P. 243—265.
- ↑ Егоров Ю. В. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=4781&option_lang=rus К теории обобщённых функций] // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45, вып. 5. — С. 3—40.
- ↑ Bernstein J. [books.google.ru/books?id=7wi3CgAAQBAJ&pg=PA70&lpg=PA71&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false A Chorus of Bells and Other Scientific Inquiries]. — Singapore: World Scientific, 2014. — xii + 274 p. — ISBN 978-9-81-457894-3. — P. 70—71.
- ↑ Lützen J. [books.google.ru/books?id=zy3jBwAAQBAJ&pg=PA115&lpg=PA116&hl=ru&source=bl#v=onepage&q&f=false The Prehistory of the Theory of Distributions]. — NY: Springer Science & Business Media, 2012. — viii + 232 p. — (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7. — P. 115—116.
- ↑ Боголюбов А. Н. [www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/BMM.djvu Математики. Механики. Биографический справочник]. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с. — С. 118.
- ↑ Глейзер Г. И., 1983, с. 91.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §506, 509.
- ↑ Hall B. C. [books.google.ru/books?id=bYJDAAAAQBAJ&pg=PA85&lpg=PA85&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false Quantum Theory for Mathematicians]. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xvi + 553 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8. — P. 85.
- ↑ Banach S. [matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales] // Fundamenta Mathematicae. — 1922. — Vol. 3. — P. 133—181.
- ↑ Megginson R. E. [books.google.ru/books?id=AwHrBwAAQBAJ&pg=PR9&lpg=PR10&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false An Introduction to Banach Space Theory]. — NY: Springer Science & Business Media, 2012. — xix + 598 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183). — ISBN 978-1-4612-0603-3. — P. ix—x.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 97.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §462.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §510.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 168.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §400—401.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 45, 153.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §572.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 234, подстрочное примечание 2.
- ↑ Landau E. [quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABV2766.0002.001/330?rgn=full+text;view=pdf Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen]. — Leipzig: Teubner, 1909. — xviii + 961 S. — S. 883.
- ↑ Narkiewicz W. [books.google.ru/books?id=2gf9CAAAQBAJ&pg=PR10&lpg=PR10&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood]. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xii + 449 p. — ISBN 978-3-662-13157-2. — P. xi.
- ↑ Leibniz G. W. [books.google.ru/books?id=FSM1AAAAIAAJ&pg=PA220&lg=PA220&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus] // Acta Eruditorum. — 1684. — Vol. 3. — P. 467—473.
- ↑ Leibniz G. W. [books.google.ru/books?id=FSM1AAAAIAAJ&pg=PA320&lg=PA320&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas] // Acta Eruditorum. — 1695. — P. 310—316.
- ↑ Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. — М.: Издательство МГУ, 1974. — 456 с. — С. 182—183.
- ↑ Bos H. J. M. [www.tau.ac.il/~corry/teaching/toldot/download/Bos1974.pdf Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus] // Archive for History of Exact Sciences. — 1974. — Vol. 14, no. 1. — P. 1—90.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §575.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §593—611.
- ↑ Leibniz G. W. [books.google.ru/books?id=FSM1AAAAIAAJ&pg=PA226&lg=PA226&redir_esc=y#v=onepage&f=false De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum] // Acta Eruditorum. — 1686. — Vol. 5. — P. 292—300.
- ↑ Дуран, Антонио Х. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 86. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 14). — ISBN 978-5-9774-0708-3.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, § 620.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §539—541.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 58—59.
- ↑ Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 133—135.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §631—637.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §626.
- ↑ Domínguez A. [pulse.embs.org/january-2015/history-convolution-operation/ A History of the Convolution Operation] // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 107—108.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §592.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 37, 44, 158.
- ↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 October 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1837. — Vol. 17. — P. 257—285.
- ↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 534—540.
- ↑ 1 2 Russell B. [www.jstor.org/stable/2369948 Mathematical Logic as Based on the Theory of Types] // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30, no. 3. — P. 222—262.
- ↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 150.
- ↑ 1 2 3 4 [jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic].
- ↑ 1 2 Вегнер П. Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.
- ↑ 1 2 Эллис М., Строуструп Б. Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 291.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 299, 301.
- ↑ Sheffer H. M. [www.ams.org/journals/tran/1913-014-04/S0002-9947-1913-1500960-1/S0002-9947-1913-1500960-1.pdf A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants] // Transactions of the American Mathematical Society. — 1913. — Vol. 14. — P. 481—488.
- ↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 43, 672—673.
- ↑ Стяжкин Н. И., 1967, с. 443—444.
- ↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 42, 571.
- ↑ Стяжкин Н. И., 1967, с. 357, 429—430, 438.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 72.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 293—314.
- ↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 102.
- ↑ Church A. A Set of Postulates for the Foundation of Logic // Annals of Mathematics. Series 2. — 1932. — Vol. 33, no. 2. — P. 346—366.
- ↑ Seldin J. P. [books.google.ru/books?id=IMgg0Uc00I4C&pg=PA819&lpg=PA874&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false The Logic of Church and Curry] // Logic from Russell to Church / Ed. by D. M. Gabbay & J. Woods. — Amsterdam: North-Holland, 2009. — xii + 1055 p. — (Handbook of the History of Logic. Vol. 5). — ISBN 978-0-444-51620-6. — P. 819—874.
- ↑ Marciszewski W., Murawski R. [books.google.ru/books?id=U1S_GUgdPO0C&pg=PA162&lg=PA162&hl=ru&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false Mechanization of Reasoning in a Historical Perspective]. — Amsterdam: Rodopi, 1995. — 267 p. — (Poznań Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities, vol. 43). — ISBN 90-5183-790-9. — P. 162—163.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 294.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 104—106.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §421.
- ↑ Weil A. [books.google.ru/books?id=73REHmJ9JNUC&pg=PA114&lg=PA114&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false The Apprenticeship of a Mathematician]. — Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. — 197 p. — ISBN 3-7643-2650-6. — P. 114.
- ↑ MacLane S. [books.google.ru/books?id=6KPSBwAAQBAJ&pg=PA29&lpg=PA29&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false Categories for the Working Mathematician]. — NY: Springer-Verlag, 1971. — ix + 261 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5). — ISBN 978-0-387-90036-0. — P. 29.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 148.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 74—75.
- ↑ Александрова Н. В., 2008, с. 56—57.
- ↑ Большаков В. П., Тозик В. Т., Чагина А. В. [books.google.ru/books?id=CfFl3xjdWQ4C&pg=PA90&lpg=PA90&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false Инженерная и компьютерная графика]. — СПб.: БХВ-Петербург, 2013. — 288 с. — ISBN 978-5-9775-0422-5. — С. 90.
- ↑ Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
- ↑ Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.
- ↑ Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.
- ↑ Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.
Литература
- Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- Переиздание 2015 года: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1.
- Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — 64 с. — (Математика, кибернетика, № 9 (1979)).
- Вилейтнер Г. [www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/vileitner.djvu История математики от Декарта до середины XIX столетия]. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с. — С. 13—17.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. IV — VI классы. — М.: Просвещение, 1981. — 239 с.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. VII — VIII классы. — М.: Просвещение, 1982. — 240 с.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. IX — X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
- Депман И. Я. [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm История арифметики. Пособие для учителей. 2-е изд]. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с. — С. 208—212.
- [bse.sci-lib.com/article047636.html Знаки математические] // Большая советская энциклопедия. — Изд. 3-е. — Т. 9.
- Знаки математические // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu Математическая энциклопедия. Т. 2] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — 1104 стб. — Стб. 457—463.
- Знаки математические // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с. — С. 114—116.
- История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах:
- [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm История математики. Т. I. С древнейших времён до начала Нового времени] / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
- [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm История математики. Т. II. Математика XVII столетия] / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 301 с.
- [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm История математики. Т. III. Математика XVIII столетия] / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — 496 с.
- Кондаков Н. И. [www.runivers.ru/upload/iblock/443/logichesky%20slovar.pdf Логический словарь-справочник. 2-е изд]. — М.: Наука, 1975. — 720 с.
- Кэджори Ф. [www.mathesis.ru/book/cajori История элементарной математики. 2-е изд] / Пер. с англ. под ред. И. Ю. Тимченко. — Одесса: Mathesis, 1910. — x + 368 с.
- Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с.
- Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — 272 с. — С. 103—260.
- Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
- Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — 224 с.
- Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.-Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
- Ben-Menahem A. [books.google.ru/books?id=9tUrarQYhKMC&pg=PA5500&lpg=PA5505&source=bl&hl=ru&sa=X#v=onepage&q&f=false Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Vol. 1]. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — cxxix + 5985 p. — ISBN 978-3-540-68831-0.
- Cajori F. [books.google.ru/books?id=rhEh8jPGQOcC&printsec=frontcover&hl=ru#v=onepage&q&f=false A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint)]. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
- Cajori F. [books.google.ru/books?id=RUz1Us2UDh4C&printsec=frontcover&hl=ru#v=onepage&q&f=false A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint)]. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xii + 392 p. — ISBN 978-1-60206-713-4.
- Mazur J. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton: Princeton University Press, 2014. — 312 p. — ISBN 978-0-69115-463-3.
Ссылки
- [math4school.ru/sign.html Математические знаки]. Проверено 30 декабря 2015.
- Čižmár, Ján. [math.unipa.it/~grim/mathnotation.pdf The origins and development of mathematical notation (A historical outline)] (англ.). Проверено 4 февраля 2016.
- [jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols] (англ.). Проверено 17 декабря 2015.
- Michon, Gérard P. [www.numericana.com/answer/symbol.htm Scientific Symbols and Icons] (англ.). Проверено 17 декабря 2015.
- Weaver D., Smith A. D. [archive.is/LOpnR The History of Mathematical Symbols] (англ.). Проверено 23 января 2016.
Страны и эпохи Древний Египет • Вавилон • Древний Китай • Древняя Греция • Индия • Армения • Империя инков • Страны ислама • Россия
Тематические
разделыАлгебра • Аналитическая геометрия • Арифметика • Геометрия • Дифференциальная геометрия и топология • Комбинаторика • Криптография • Линейная алгебра • Логарифмы • Математический анализ • Неевклидова геометрия • Теория вероятностей • Теория множеств • Топология • Тригонометрия • Функциональный анализ
См. также Бесконечно малые • Вещественные числа • Иррациональные числа • Комплексные числа • Математические обозначения • Непрерывные дроби • Отрицательные числа • Функции
Эта статья входит в число избранных статей русскоязычного раздела Википедии. Отрывок, характеризующий История математических обозначений
– И видно оттуда?.. Ежели бы вы…
Но доктор перебил его и подвинулся к бричке.
– Я бы вас проводил, да, ей богу, – вот (доктор показал на горло) скачу к корпусному командиру. Ведь у нас как?.. Вы знаете, граф, завтра сражение: на сто тысяч войска малым числом двадцать тысяч раненых считать надо; а у нас ни носилок, ни коек, ни фельдшеров, ни лекарей на шесть тысяч нет. Десять тысяч телег есть, да ведь нужно и другое; как хочешь, так и делай.
Та странная мысль, что из числа тех тысяч людей живых, здоровых, молодых и старых, которые с веселым удивлением смотрели на его шляпу, было, наверное, двадцать тысяч обреченных на раны и смерть (может быть, те самые, которых он видел), – поразила Пьера.
Они, может быть, умрут завтра, зачем они думают о чем нибудь другом, кроме смерти? И ему вдруг по какой то тайной связи мыслей живо представился спуск с Можайской горы, телеги с ранеными, трезвон, косые лучи солнца и песня кавалеристов.
«Кавалеристы идут на сраженье, и встречают раненых, и ни на минуту не задумываются над тем, что их ждет, а идут мимо и подмигивают раненым. А из этих всех двадцать тысяч обречены на смерть, а они удивляются на мою шляпу! Странно!» – думал Пьер, направляясь дальше к Татариновой.
У помещичьего дома, на левой стороне дороги, стояли экипажи, фургоны, толпы денщиков и часовые. Тут стоял светлейший. Но в то время, как приехал Пьер, его не было, и почти никого не было из штабных. Все были на молебствии. Пьер поехал вперед к Горкам.
Въехав на гору и выехав в небольшую улицу деревни, Пьер увидал в первый раз мужиков ополченцев с крестами на шапках и в белых рубашках, которые с громким говором и хохотом, оживленные и потные, что то работали направо от дороги, на огромном кургане, обросшем травою.
Одни из них копали лопатами гору, другие возили по доскам землю в тачках, третьи стояли, ничего не делая.
Два офицера стояли на кургане, распоряжаясь ими. Увидав этих мужиков, очевидно, забавляющихся еще своим новым, военным положением, Пьер опять вспомнил раненых солдат в Можайске, и ему понятно стало то, что хотел выразить солдат, говоривший о том, что всем народом навалиться хотят. Вид этих работающих на поле сражения бородатых мужиков с их странными неуклюжими сапогами, с их потными шеями и кое у кого расстегнутыми косыми воротами рубах, из под которых виднелись загорелые кости ключиц, подействовал на Пьера сильнее всего того, что он видел и слышал до сих пор о торжественности и значительности настоящей минуты.
Пьер вышел из экипажа и мимо работающих ополченцев взошел на тот курган, с которого, как сказал ему доктор, было видно поле сражения.
Было часов одиннадцать утра. Солнце стояло несколько влево и сзади Пьера и ярко освещало сквозь чистый, редкий воздух огромную, амфитеатром по поднимающейся местности открывшуюся перед ним панораму.
Вверх и влево по этому амфитеатру, разрезывая его, вилась большая Смоленская дорога, шедшая через село с белой церковью, лежавшее в пятистах шагах впереди кургана и ниже его (это было Бородино). Дорога переходила под деревней через мост и через спуски и подъемы вилась все выше и выше к видневшемуся верст за шесть селению Валуеву (в нем стоял теперь Наполеон). За Валуевым дорога скрывалась в желтевшем лесу на горизонте. В лесу этом, березовом и еловом, вправо от направления дороги, блестел на солнце дальний крест и колокольня Колоцкого монастыря. По всей этой синей дали, вправо и влево от леса и дороги, в разных местах виднелись дымящиеся костры и неопределенные массы войск наших и неприятельских. Направо, по течению рек Колочи и Москвы, местность была ущелиста и гориста. Между ущельями их вдали виднелись деревни Беззубово, Захарьино. Налево местность была ровнее, были поля с хлебом, и виднелась одна дымящаяся, сожженная деревня – Семеновская.
Все, что видел Пьер направо и налево, было так неопределенно, что ни левая, ни правая сторона поля не удовлетворяла вполне его представлению. Везде было не доле сражения, которое он ожидал видеть, а поля, поляны, войска, леса, дымы костров, деревни, курганы, ручьи; и сколько ни разбирал Пьер, он в этой живой местности не мог найти позиции и не мог даже отличить ваших войск от неприятельских.
«Надо спросить у знающего», – подумал он и обратился к офицеру, с любопытством смотревшему на его невоенную огромную фигуру.
– Позвольте спросить, – обратился Пьер к офицеру, – это какая деревня впереди?
– Бурдино или как? – сказал офицер, с вопросом обращаясь к своему товарищу.
– Бородино, – поправляя, отвечал другой.
Офицер, видимо, довольный случаем поговорить, подвинулся к Пьеру.
– Там наши? – спросил Пьер.
– Да, а вон подальше и французы, – сказал офицер. – Вон они, вон видны.
– Где? где? – спросил Пьер.
– Простым глазом видно. Да вот, вот! – Офицер показал рукой на дымы, видневшиеся влево за рекой, и на лице его показалось то строгое и серьезное выражение, которое Пьер видел на многих лицах, встречавшихся ему.
– Ах, это французы! А там?.. – Пьер показал влево на курган, около которого виднелись войска.
– Это наши.
– Ах, наши! А там?.. – Пьер показал на другой далекий курган с большим деревом, подле деревни, видневшейся в ущелье, у которой тоже дымились костры и чернелось что то.
– Это опять он, – сказал офицер. (Это был Шевардинский редут.) – Вчера было наше, а теперь его.
– Так как же наша позиция?
– Позиция? – сказал офицер с улыбкой удовольствия. – Я это могу рассказать вам ясно, потому что я почти все укрепления наши строил. Вот, видите ли, центр наш в Бородине, вот тут. – Он указал на деревню с белой церковью, бывшей впереди. – Тут переправа через Колочу. Вот тут, видите, где еще в низочке ряды скошенного сена лежат, вот тут и мост. Это наш центр. Правый фланг наш вот где (он указал круто направо, далеко в ущелье), там Москва река, и там мы три редута построили очень сильные. Левый фланг… – и тут офицер остановился. – Видите ли, это трудно вам объяснить… Вчера левый фланг наш был вот там, в Шевардине, вон, видите, где дуб; а теперь мы отнесли назад левое крыло, теперь вон, вон – видите деревню и дым? – это Семеновское, да вот здесь, – он указал на курган Раевского. – Только вряд ли будет тут сраженье. Что он перевел сюда войска, это обман; он, верно, обойдет справа от Москвы. Ну, да где бы ни было, многих завтра не досчитаемся! – сказал офицер.
Старый унтер офицер, подошедший к офицеру во время его рассказа, молча ожидал конца речи своего начальника; но в этом месте он, очевидно, недовольный словами офицера, перебил его.
– За турами ехать надо, – сказал он строго.
Офицер как будто смутился, как будто он понял, что можно думать о том, сколь многих не досчитаются завтра, но не следует говорить об этом.
– Ну да, посылай третью роту опять, – поспешно сказал офицер.
– А вы кто же, не из докторов?
– Нет, я так, – отвечал Пьер. И Пьер пошел под гору опять мимо ополченцев.
– Ах, проклятые! – проговорил следовавший за ним офицер, зажимая нос и пробегая мимо работающих.
– Вон они!.. Несут, идут… Вон они… сейчас войдут… – послышались вдруг голоса, и офицеры, солдаты и ополченцы побежали вперед по дороге.
Из под горы от Бородина поднималось церковное шествие. Впереди всех по пыльной дороге стройно шла пехота с снятыми киверами и ружьями, опущенными книзу. Позади пехоты слышалось церковное пение.
Обгоняя Пьера, без шапок бежали навстречу идущим солдаты и ополченцы.
– Матушку несут! Заступницу!.. Иверскую!..
– Смоленскую матушку, – поправил другой.
Ополченцы – и те, которые были в деревне, и те, которые работали на батарее, – побросав лопаты, побежали навстречу церковному шествию. За батальоном, шедшим по пыльной дороге, шли в ризах священники, один старичок в клобуке с причтом и певчпми. За ними солдаты и офицеры несли большую, с черным ликом в окладе, икону. Это была икона, вывезенная из Смоленска и с того времени возимая за армией. За иконой, кругом ее, впереди ее, со всех сторон шли, бежали и кланялись в землю с обнаженными головами толпы военных.
Взойдя на гору, икона остановилась; державшие на полотенцах икону люди переменились, дьячки зажгли вновь кадила, и начался молебен. Жаркие лучи солнца били отвесно сверху; слабый, свежий ветерок играл волосами открытых голов и лентами, которыми была убрана икона; пение негромко раздавалось под открытым небом. Огромная толпа с открытыми головами офицеров, солдат, ополченцев окружала икону. Позади священника и дьячка, на очищенном месте, стояли чиновные люди. Один плешивый генерал с Георгием на шее стоял прямо за спиной священника и, не крестясь (очевидно, пемец), терпеливо дожидался конца молебна, который он считал нужным выслушать, вероятно, для возбуждения патриотизма русского народа. Другой генерал стоял в воинственной позе и потряхивал рукой перед грудью, оглядываясь вокруг себя. Между этим чиновным кружком Пьер, стоявший в толпе мужиков, узнал некоторых знакомых; но он не смотрел на них: все внимание его было поглощено серьезным выражением лиц в этой толпе солдат и оиолченцев, однообразно жадно смотревших на икону. Как только уставшие дьячки (певшие двадцатый молебен) начинали лениво и привычно петь: «Спаси от бед рабы твоя, богородице», и священник и дьякон подхватывали: «Яко вси по бозе к тебе прибегаем, яко нерушимой стене и предстательству», – на всех лицах вспыхивало опять то же выражение сознания торжественности наступающей минуты, которое он видел под горой в Можайске и урывками на многих и многих лицах, встреченных им в это утро; и чаще опускались головы, встряхивались волоса и слышались вздохи и удары крестов по грудям.
Толпа, окружавшая икону, вдруг раскрылась и надавила Пьера. Кто то, вероятно, очень важное лицо, судя по поспешности, с которой перед ним сторонились, подходил к иконе.
Это был Кутузов, объезжавший позицию. Он, возвращаясь к Татариновой, подошел к молебну. Пьер тотчас же узнал Кутузова по его особенной, отличавшейся от всех фигуре.
В длинном сюртуке на огромном толщиной теле, с сутуловатой спиной, с открытой белой головой и с вытекшим, белым глазом на оплывшем лице, Кутузов вошел своей ныряющей, раскачивающейся походкой в круг и остановился позади священника. Он перекрестился привычным жестом, достал рукой до земли и, тяжело вздохнув, опустил свою седую голову. За Кутузовым был Бенигсен и свита. Несмотря на присутствие главнокомандующего, обратившего на себя внимание всех высших чинов, ополченцы и солдаты, не глядя на него, продолжали молиться.
Когда кончился молебен, Кутузов подошел к иконе, тяжело опустился на колена, кланяясь в землю, и долго пытался и не мог встать от тяжести и слабости. Седая голова его подергивалась от усилий. Наконец он встал и с детски наивным вытягиванием губ приложился к иконе и опять поклонился, дотронувшись рукой до земли. Генералитет последовал его примеру; потом офицеры, и за ними, давя друг друга, топчась, пыхтя и толкаясь, с взволнованными лицами, полезли солдаты и ополченцы.
Покачиваясь от давки, охватившей его, Пьер оглядывался вокруг себя.
– Граф, Петр Кирилыч! Вы как здесь? – сказал чей то голос. Пьер оглянулся.
Борис Друбецкой, обчищая рукой коленки, которые он запачкал (вероятно, тоже прикладываясь к иконе), улыбаясь подходил к Пьеру. Борис был одет элегантно, с оттенком походной воинственности. На нем был длинный сюртук и плеть через плечо, так же, как у Кутузова.
Кутузов между тем подошел к деревне и сел в тени ближайшего дома на лавку, которую бегом принес один казак, а другой поспешно покрыл ковриком. Огромная блестящая свита окружила главнокомандующего.
Икона тронулась дальше, сопутствуемая толпой. Пьер шагах в тридцати от Кутузова остановился, разговаривая с Борисом.
Пьер объяснил свое намерение участвовать в сражении и осмотреть позицию.
– Вот как сделайте, – сказал Борис. – Je vous ferai les honneurs du camp. [Я вас буду угощать лагерем.] Лучше всего вы увидите все оттуда, где будет граф Бенигсен. Я ведь при нем состою. Я ему доложу. А если хотите объехать позицию, то поедемте с нами: мы сейчас едем на левый фланг. А потом вернемся, и милости прошу у меня ночевать, и партию составим. Вы ведь знакомы с Дмитрием Сергеичем? Он вот тут стоит, – он указал третий дом в Горках.
– Но мне бы хотелось видеть правый фланг; говорят, он очень силен, – сказал Пьер. – Я бы хотел проехать от Москвы реки и всю позицию.
– Ну, это после можете, а главный – левый фланг…
– Да, да. А где полк князя Болконского, не можете вы указать мне? – спросил Пьер.
– Андрея Николаевича? мы мимо проедем, я вас проведу к нему.
– Что ж левый фланг? – спросил Пьер.
– По правде вам сказать, entre nous, [между нами,] левый фланг наш бог знает в каком положении, – сказал Борис, доверчиво понижая голос, – граф Бенигсен совсем не то предполагал. Он предполагал укрепить вон тот курган, совсем не так… но, – Борис пожал плечами. – Светлейший не захотел, или ему наговорили. Ведь… – И Борис не договорил, потому что в это время к Пьеру подошел Кайсаров, адъютант Кутузова. – А! Паисий Сергеич, – сказал Борис, с свободной улыбкой обращаясь к Кайсарову, – А я вот стараюсь объяснить графу позицию. Удивительно, как мог светлейший так верно угадать замыслы французов!
– Вы про левый фланг? – сказал Кайсаров.
– Да, да, именно. Левый фланг наш теперь очень, очень силен.
Несмотря на то, что Кутузов выгонял всех лишних из штаба, Борис после перемен, произведенных Кутузовым, сумел удержаться при главной квартире. Борис пристроился к графу Бенигсену. Граф Бенигсен, как и все люди, при которых находился Борис, считал молодого князя Друбецкого неоцененным человеком.
В начальствовании армией были две резкие, определенные партии: партия Кутузова и партия Бенигсена, начальника штаба. Борис находился при этой последней партии, и никто так, как он, не умел, воздавая раболепное уважение Кутузову, давать чувствовать, что старик плох и что все дело ведется Бенигсеном. Теперь наступила решительная минута сражения, которая должна была или уничтожить Кутузова и передать власть Бенигсену, или, ежели бы даже Кутузов выиграл сражение, дать почувствовать, что все сделано Бенигсеном. Во всяком случае, за завтрашний день должны были быть розданы большие награды и выдвинуты вперед новые люди. И вследствие этого Борис находился в раздраженном оживлении весь этот день.
За Кайсаровым к Пьеру еще подошли другие из его знакомых, и он не успевал отвечать на расспросы о Москве, которыми они засыпали его, и не успевал выслушивать рассказов, которые ему делали. На всех лицах выражались оживление и тревога. Но Пьеру казалось, что причина возбуждения, выражавшегося на некоторых из этих лиц, лежала больше в вопросах личного успеха, и у него не выходило из головы то другое выражение возбуждения, которое он видел на других лицах и которое говорило о вопросах не личных, а общих, вопросах жизни и смерти. Кутузов заметил фигуру Пьера и группу, собравшуюся около него.
– Позовите его ко мне, – сказал Кутузов. Адъютант передал желание светлейшего, и Пьер направился к скамейке. Но еще прежде него к Кутузову подошел рядовой ополченец. Это был Долохов.
– Этот как тут? – спросил Пьер.
– Это такая бестия, везде пролезет! – отвечали Пьеру. – Ведь он разжалован. Теперь ему выскочить надо. Какие то проекты подавал и в цепь неприятельскую ночью лазил… но молодец!..
Пьер, сняв шляпу, почтительно наклонился перед Кутузовым.
– Я решил, что, ежели я доложу вашей светлости, вы можете прогнать меня или сказать, что вам известно то, что я докладываю, и тогда меня не убудет… – говорил Долохов.
– Так, так.
– А ежели я прав, то я принесу пользу отечеству, для которого я готов умереть.
– Так… так…
– И ежели вашей светлости понадобится человек, который бы не жалел своей шкуры, то извольте вспомнить обо мне… Может быть, я пригожусь вашей светлости.
– Так… так… – повторил Кутузов, смеющимся, суживающимся глазом глядя на Пьера.
В это время Борис, с своей придворной ловкостью, выдвинулся рядом с Пьером в близость начальства и с самым естественным видом и не громко, как бы продолжая начатый разговор, сказал Пьеру:
– Ополченцы – те прямо надели чистые, белые рубахи, чтобы приготовиться к смерти. Какое геройство, граф!
Борис сказал это Пьеру, очевидно, для того, чтобы быть услышанным светлейшим. Он знал, что Кутузов обратит внимание на эти слова, и действительно светлейший обратился к нему:
– Ты что говоришь про ополченье? – сказал он Борису.
– Они, ваша светлость, готовясь к завтрашнему дню, к смерти, надели белые рубахи.
– А!.. Чудесный, бесподобный народ! – сказал Кутузов и, закрыв глаза, покачал головой. – Бесподобный народ! – повторил он со вздохом.
– Хотите пороху понюхать? – сказал он Пьеру. – Да, приятный запах. Имею честь быть обожателем супруги вашей, здорова она? Мой привал к вашим услугам. – И, как это часто бывает с старыми людьми, Кутузов стал рассеянно оглядываться, как будто забыв все, что ему нужно было сказать или сделать.
Очевидно, вспомнив то, что он искал, он подманил к себе Андрея Сергеича Кайсарова, брата своего адъютанта.
– Как, как, как стихи то Марина, как стихи, как? Что на Геракова написал: «Будешь в корпусе учитель… Скажи, скажи, – заговорил Кутузов, очевидно, собираясь посмеяться. Кайсаров прочел… Кутузов, улыбаясь, кивал головой в такт стихов.
Когда Пьер отошел от Кутузова, Долохов, подвинувшись к нему, взял его за руку.
– Очень рад встретить вас здесь, граф, – сказал он ему громко и не стесняясь присутствием посторонних, с особенной решительностью и торжественностью. – Накануне дня, в который бог знает кому из нас суждено остаться в живых, я рад случаю сказать вам, что я жалею о тех недоразумениях, которые были между нами, и желал бы, чтобы вы не имели против меня ничего. Прошу вас простить меня.
Пьер, улыбаясь, глядел на Долохова, не зная, что сказать ему. Долохов со слезами, выступившими ему на глаза, обнял и поцеловал Пьера.
Борис что то сказал своему генералу, и граф Бенигсен обратился к Пьеру и предложил ехать с собою вместе по линии.
– Вам это будет интересно, – сказал он.
– Да, очень интересно, – сказал Пьер.
Через полчаса Кутузов уехал в Татаринову, и Бенигсен со свитой, в числе которой был и Пьер, поехал по линии.
Бенигсен от Горок спустился по большой дороге к мосту, на который Пьеру указывал офицер с кургана как на центр позиции и у которого на берегу лежали ряды скошенной, пахнувшей сеном травы. Через мост они проехали в село Бородино, оттуда повернули влево и мимо огромного количества войск и пушек выехали к высокому кургану, на котором копали землю ополченцы. Это был редут, еще не имевший названия, потом получивший название редута Раевского, или курганной батареи.
Пьер не обратил особенного внимания на этот редут. Он не знал, что это место будет для него памятнее всех мест Бородинского поля. Потом они поехали через овраг к Семеновскому, в котором солдаты растаскивали последние бревна изб и овинов. Потом под гору и на гору они проехали вперед через поломанную, выбитую, как градом, рожь, по вновь проложенной артиллерией по колчам пашни дороге на флеши [род укрепления. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ], тоже тогда еще копаемые.
Бенигсен остановился на флешах и стал смотреть вперед на (бывший еще вчера нашим) Шевардинский редут, на котором виднелось несколько всадников. Офицеры говорили, что там был Наполеон или Мюрат. И все жадно смотрели на эту кучку всадников. Пьер тоже смотрел туда, стараясь угадать, который из этих чуть видневшихся людей был Наполеон. Наконец всадники съехали с кургана и скрылись.
Бенигсен обратился к подошедшему к нему генералу и стал пояснять все положение наших войск. Пьер слушал слова Бенигсена, напрягая все свои умственные силы к тому, чтоб понять сущность предстоящего сражения, но с огорчением чувствовал, что умственные способности его для этого были недостаточны. Он ничего не понимал. Бенигсен перестал говорить, и заметив фигуру прислушивавшегося Пьера, сказал вдруг, обращаясь к нему:
– Вам, я думаю, неинтересно?
– Ах, напротив, очень интересно, – повторил Пьер не совсем правдиво.
С флеш они поехали еще левее дорогою, вьющеюся по частому, невысокому березовому лесу. В середине этого
леса выскочил перед ними на дорогу коричневый с белыми ногами заяц и, испуганный топотом большого количества лошадей, так растерялся, что долго прыгал по дороге впереди их, возбуждая общее внимание и смех, и, только когда в несколько голосов крикнули на него, бросился в сторону и скрылся в чаще. Проехав версты две по лесу, они выехали на поляну, на которой стояли войска корпуса Тучкова, долженствовавшего защищать левый фланг.
Здесь, на крайнем левом фланге, Бенигсен много и горячо говорил и сделал, как казалось Пьеру, важное в военном отношении распоряжение. Впереди расположения войск Тучкова находилось возвышение. Это возвышение не было занято войсками. Бенигсен громко критиковал эту ошибку, говоря, что было безумно оставить незанятою командующую местностью высоту и поставить войска под нею. Некоторые генералы выражали то же мнение. Один в особенности с воинской горячностью говорил о том, что их поставили тут на убой. Бенигсен приказал своим именем передвинуть войска на высоту.
Распоряжение это на левом фланге еще более заставило Пьера усумниться в его способности понять военное дело. Слушая Бенигсена и генералов, осуждавших положение войск под горою, Пьер вполне понимал их и разделял их мнение; но именно вследствие этого он не мог понять, каким образом мог тот, кто поставил их тут под горою, сделать такую очевидную и грубую ошибку.
Пьер не знал того, что войска эти были поставлены не для защиты позиции, как думал Бенигсен, а были поставлены в скрытое место для засады, то есть для того, чтобы быть незамеченными и вдруг ударить на подвигавшегося неприятеля. Бенигсен не знал этого и передвинул войска вперед по особенным соображениям, не сказав об этом главнокомандующему.
Князь Андрей в этот ясный августовский вечер 25 го числа лежал, облокотившись на руку, в разломанном сарае деревни Князькова, на краю расположения своего полка. В отверстие сломанной стены он смотрел на шедшую вдоль по забору полосу тридцатилетних берез с обрубленными нижними сучьями, на пашню с разбитыми на ней копнами овса и на кустарник, по которому виднелись дымы костров – солдатских кухонь.
Как ни тесна и никому не нужна и ни тяжка теперь казалась князю Андрею его жизнь, он так же, как и семь лет тому назад в Аустерлице накануне сражения, чувствовал себя взволнованным и раздраженным.
Приказания на завтрашнее сражение были отданы и получены им. Делать ему было больше нечего. Но мысли самые простые, ясные и потому страшные мысли не оставляли его в покое. Он знал, что завтрашнее сражение должно было быть самое страшное изо всех тех, в которых он участвовал, и возможность смерти в первый раз в его жизни, без всякого отношения к житейскому, без соображений о том, как она подействует на других, а только по отношению к нему самому, к его душе, с живостью, почти с достоверностью, просто и ужасно, представилась ему. И с высоты этого представления все, что прежде мучило и занимало его, вдруг осветилось холодным белым светом, без теней, без перспективы, без различия очертаний. Вся жизнь представилась ему волшебным фонарем, в который он долго смотрел сквозь стекло и при искусственном освещении. Теперь он увидал вдруг, без стекла, при ярком дневном свете, эти дурно намалеванные картины. «Да, да, вот они те волновавшие и восхищавшие и мучившие меня ложные образы, – говорил он себе, перебирая в своем воображении главные картины своего волшебного фонаря жизни, глядя теперь на них при этом холодном белом свете дня – ясной мысли о смерти. – Вот они, эти грубо намалеванные фигуры, которые представлялись чем то прекрасным и таинственным. Слава, общественное благо, любовь к женщине, самое отечество – как велики казались мне эти картины, какого глубокого смысла казались они исполненными! И все это так просто, бледно и грубо при холодном белом свете того утра, которое, я чувствую, поднимается для меня». Три главные горя его жизни в особенности останавливали его внимание. Его любовь к женщине, смерть его отца и французское нашествие, захватившее половину России. «Любовь!.. Эта девочка, мне казавшаяся преисполненною таинственных сил. Как же я любил ее! я делал поэтические планы о любви, о счастии с нею. О милый мальчик! – с злостью вслух проговорил он. – Как же! я верил в какую то идеальную любовь, которая должна была мне сохранить ее верность за целый год моего отсутствия! Как нежный голубок басни, она должна была зачахнуть в разлуке со мной. А все это гораздо проще… Все это ужасно просто, гадко!
Отец тоже строил в Лысых Горах и думал, что это его место, его земля, его воздух, его мужики; а пришел Наполеон и, не зная об его существовании, как щепку с дороги, столкнул его, и развалились его Лысые Горы и вся его жизнь. А княжна Марья говорит, что это испытание, посланное свыше. Для чего же испытание, когда его уже нет и не будет? никогда больше не будет! Его нет! Так кому же это испытание? Отечество, погибель Москвы! А завтра меня убьет – и не француз даже, а свой, как вчера разрядил солдат ружье около моего уха, и придут французы, возьмут меня за ноги и за голову и швырнут в яму, чтоб я не вонял им под носом, и сложатся новые условия жизни, которые будут также привычны для других, и я не буду знать про них, и меня не будет».
Он поглядел на полосу берез с их неподвижной желтизной, зеленью и белой корой, блестящих на солнце. «Умереть, чтобы меня убили завтра, чтобы меня не было… чтобы все это было, а меня бы не было». Он живо представил себе отсутствие себя в этой жизни. И эти березы с их светом и тенью, и эти курчавые облака, и этот дым костров – все вокруг преобразилось для него и показалось чем то страшным и угрожающим. Мороз пробежал по его спине. Быстро встав, он вышел из сарая и стал ходить.
За сараем послышались голоса.
– Кто там? – окликнул князь Андрей.
Красноносый капитан Тимохин, бывший ротный командир Долохова, теперь, за убылью офицеров, батальонный командир, робко вошел в сарай. За ним вошли адъютант и казначей полка.
Князь Андрей поспешно встал, выслушал то, что по службе имели передать ему офицеры, передал им еще некоторые приказания и сбирался отпустить их, когда из за сарая послышался знакомый, пришепетывающий голос.
– Que diable! [Черт возьми!] – сказал голос человека, стукнувшегося обо что то.
Князь Андрей, выглянув из сарая, увидал подходящего к нему Пьера, который споткнулся на лежавшую жердь и чуть не упал. Князю Андрею вообще неприятно было видеть людей из своего мира, в особенности же Пьера, который напоминал ему все те тяжелые минуты, которые он пережил в последний приезд в Москву.
– А, вот как! – сказал он. – Какими судьбами? Вот не ждал.
В то время как он говорил это, в глазах его и выражении всего лица было больше чем сухость – была враждебность, которую тотчас же заметил Пьер. Он подходил к сараю в самом оживленном состоянии духа, но, увидав выражение лица князя Андрея, он почувствовал себя стесненным и неловким.
– Я приехал… так… знаете… приехал… мне интересно, – сказал Пьер, уже столько раз в этот день бессмысленно повторявший это слово «интересно». – Я хотел видеть сражение.
– Да, да, а братья масоны что говорят о войне? Как предотвратить ее? – сказал князь Андрей насмешливо. – Ну что Москва? Что мои? Приехали ли наконец в Москву? – спросил он серьезно.
– Приехали. Жюли Друбецкая говорила мне. Я поехал к ним и не застал. Они уехали в подмосковную.
Офицеры хотели откланяться, но князь Андрей, как будто не желая оставаться с глазу на глаз с своим другом, предложил им посидеть и напиться чаю. Подали скамейки и чай. Офицеры не без удивления смотрели на толстую, громадную фигуру Пьера и слушали его рассказы о Москве и о расположении наших войск, которые ему удалось объездить. Князь Андрей молчал, и лицо его так было неприятно, что Пьер обращался более к добродушному батальонному командиру Тимохину, чем к Болконскому.
– Так ты понял все расположение войск? – перебил его князь Андрей.
– Да, то есть как? – сказал Пьер. – Как невоенный человек, я не могу сказать, чтобы вполне, но все таки понял общее расположение.
– Eh bien, vous etes plus avance que qui cela soit, [Ну, так ты больше знаешь, чем кто бы то ни было.] – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Пьер с недоуменьем, через очки глядя на князя Андрея. – Ну, как вы скажете насчет назначения Кутузова? – сказал он.
– Я очень рад был этому назначению, вот все, что я знаю, – сказал князь Андрей.
– Ну, а скажите, какое ваше мнение насчет Барклая де Толли? В Москве бог знает что говорили про него. Как вы судите о нем?
– Спроси вот у них, – сказал князь Андрей, указывая на офицеров.
Пьер с снисходительно вопросительной улыбкой, с которой невольно все обращались к Тимохину, посмотрел на него.
– Свет увидали, ваше сиятельство, как светлейший поступил, – робко и беспрестанно оглядываясь на своего полкового командира, сказал Тимохин.
– Отчего же так? – спросил Пьер.
– Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали…
– Так отчего же он запрещал?
Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею.
– А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец…
– Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер.
– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
– Да это невозможно, – сказал князь Андрей, как будто про давно решенное дело.
Пьер с удивлением посмотрел на него.
– Однако, – сказал он, – ведь говорят же, что война подобна шахматной игре.
– Да, – сказал князь Андрей, – только с тою маленькою разницей, что в шахматах над каждым шагом ты можешь думать сколько угодно, что ты там вне условий времени, и еще с той разницей, что конь всегда сильнее пешки и две пешки всегда сильнее одной, a на войне один батальон иногда сильнее дивизии, а иногда слабее роты. Относительная сила войск никому не может быть известна. Поверь мне, – сказал он, – что ежели бы что зависело от распоряжений штабов, то я бы был там и делал бы распоряжения, а вместо того я имею честь служить здесь, в полку вот с этими господами, и считаю, что от нас действительно будет зависеть завтрашний день, а не от них… Успех никогда не зависел и не будет зависеть ни от позиции, ни от вооружения, ни даже от числа; а уж меньше всего от позиции.
– А от чего же?
– От того чувства, которое есть во мне, в нем, – он указал на Тимохина, – в каждом солдате.
Князь Андрей взглянул на Тимохина, который испуганно и недоумевая смотрел на своего командира. В противность своей прежней сдержанной молчаливости князь Андрей казался теперь взволнованным. Он, видимо, не мог удержаться от высказывания тех мыслей, которые неожиданно приходили ему.
– Сражение выиграет тот, кто твердо решил его выиграть. Отчего мы под Аустерлицем проиграли сражение? У нас потеря была почти равная с французами, но мы сказали себе очень рано, что мы проиграли сражение, – и проиграли. А сказали мы это потому, что нам там незачем было драться: поскорее хотелось уйти с поля сражения. «Проиграли – ну так бежать!» – мы и побежали. Ежели бы до вечера мы не говорили этого, бог знает что бы было. А завтра мы этого не скажем. Ты говоришь: наша позиция, левый фланг слаб, правый фланг растянут, – продолжал он, – все это вздор, ничего этого нет. А что нам предстоит завтра? Сто миллионов самых разнообразных случайностей, которые будут решаться мгновенно тем, что побежали или побегут они или наши, что убьют того, убьют другого; а то, что делается теперь, – все это забава. Дело в том, что те, с кем ты ездил по позиции, не только не содействуют общему ходу дел, но мешают ему. Они заняты только своими маленькими интересами.
– В такую минуту? – укоризненно сказал Пьер.
– В такую минуту, – повторил князь Андрей, – для них это только такая минута, в которую можно подкопаться под врага и получить лишний крестик или ленточку. Для меня на завтра вот что: стотысячное русское и стотысячное французское войска сошлись драться, и факт в том, что эти двести тысяч дерутся, и кто будет злей драться и себя меньше жалеть, тот победит. И хочешь, я тебе скажу, что, что бы там ни было, что бы ни путали там вверху, мы выиграем сражение завтра. Завтра, что бы там ни было, мы выиграем сражение!
– Вот, ваше сиятельство, правда, правда истинная, – проговорил Тимохин. – Что себя жалеть теперь! Солдаты в моем батальоне, поверите ли, не стали водку, пить: не такой день, говорят. – Все помолчали.
Офицеры поднялись. Князь Андрей вышел с ними за сарай, отдавая последние приказания адъютанту. Когда офицеры ушли, Пьер подошел к князю Андрею и только что хотел начать разговор, как по дороге недалеко от сарая застучали копыта трех лошадей, и, взглянув по этому направлению, князь Андрей узнал Вольцогена с Клаузевицем, сопутствуемых казаком. Они близко проехали, продолжая разговаривать, и Пьер с Андреем невольно услыхали следующие фразы:
– Der Krieg muss im Raum verlegt werden. Der Ansicht kann ich nicht genug Preis geben, [Война должна быть перенесена в пространство. Это воззрение я не могу достаточно восхвалить (нем.) ] – говорил один.
– O ja, – сказал другой голос, – da der Zweck ist nur den Feind zu schwachen, so kann man gewiss nicht den Verlust der Privatpersonen in Achtung nehmen. [О да, так как цель состоит в том, чтобы ослабить неприятеля, то нельзя принимать во внимание потери частных лиц (нем.) ]
– O ja, [О да (нем.) ] – подтвердил первый голос.
– Да, im Raum verlegen, [перенести в пространство (нем.) ] – повторил, злобно фыркая носом, князь Андрей, когда они проехали. – Im Raum то [В пространстве (нем.) ] у меня остался отец, и сын, и сестра в Лысых Горах. Ему это все равно. Вот оно то, что я тебе говорил, – эти господа немцы завтра не выиграют сражение, а только нагадят, сколько их сил будет, потому что в его немецкой голове только рассуждения, не стоящие выеденного яйца, а в сердце нет того, что одно только и нужно на завтра, – то, что есть в Тимохине. Они всю Европу отдали ему и приехали нас учить – славные учители! – опять взвизгнул его голос.
– Так вы думаете, что завтрашнее сражение будет выиграно? – сказал Пьер.
– Да, да, – рассеянно сказал князь Андрей. – Одно, что бы я сделал, ежели бы имел власть, – начал он опять, – я не брал бы пленных. Что такое пленные? Это рыцарство. Французы разорили мой дом и идут разорить Москву, и оскорбили и оскорбляют меня всякую секунду. Они враги мои, они преступники все, по моим понятиям. И так же думает Тимохин и вся армия. Надо их казнить. Ежели они враги мои, то не могут быть друзьями, как бы они там ни разговаривали в Тильзите.
– Да, да, – проговорил Пьер, блестящими глазами глядя на князя Андрея, – я совершенно, совершенно согласен с вами!
Тот вопрос, который с Можайской горы и во весь этот день тревожил Пьера, теперь представился ему совершенно ясным и вполне разрешенным. Он понял теперь весь смысл и все значение этой войны и предстоящего сражения. Все, что он видел в этот день, все значительные, строгие выражения лиц, которые он мельком видел, осветились для него новым светом. Он понял ту скрытую (latente), как говорится в физике, теплоту патриотизма, которая была во всех тех людях, которых он видел, и которая объясняла ему то, зачем все эти люди спокойно и как будто легкомысленно готовились к смерти.
– Не брать пленных, – продолжал князь Андрей. – Это одно изменило бы всю войну и сделало бы ее менее жестокой. А то мы играли в войну – вот что скверно, мы великодушничаем и тому подобное. Это великодушничанье и чувствительность – вроде великодушия и чувствительности барыни, с которой делается дурнота, когда она видит убиваемого теленка; она так добра, что не может видеть кровь, но она с аппетитом кушает этого теленка под соусом. Нам толкуют о правах войны, о рыцарстве, о парламентерстве, щадить несчастных и так далее. Все вздор. Я видел в 1805 году рыцарство, парламентерство: нас надули, мы надули. Грабят чужие дома, пускают фальшивые ассигнации, да хуже всего – убивают моих детей, моего отца и говорят о правилах войны и великодушии к врагам. Не брать пленных, а убивать и идти на смерть! Кто дошел до этого так, как я, теми же страданиями…
Князь Андрей, думавший, что ему было все равно, возьмут ли или не возьмут Москву так, как взяли Смоленск, внезапно остановился в своей речи от неожиданной судороги, схватившей его за горло. Он прошелся несколько раз молча, но тлаза его лихорадочно блестели, и губа дрожала, когда он опять стал говорить:
– Ежели бы не было великодушничанья на войне, то мы шли бы только тогда, когда стоит того идти на верную смерть, как теперь. Тогда не было бы войны за то, что Павел Иваныч обидел Михаила Иваныча. А ежели война как теперь, так война. И тогда интенсивность войск была бы не та, как теперь. Тогда бы все эти вестфальцы и гессенцы, которых ведет Наполеон, не пошли бы за ним в Россию, и мы бы не ходили драться в Австрию и в Пруссию, сами не зная зачем. Война не любезность, а самое гадкое дело в жизни, и надо понимать это и не играть в войну. Надо принимать строго и серьезно эту страшную необходимость. Всё в этом: откинуть ложь, и война так война, а не игрушка. А то война – это любимая забава праздных и легкомысленных людей… Военное сословие самое почетное. А что такое война, что нужно для успеха в военном деле, какие нравы военного общества? Цель войны – убийство, орудия войны – шпионство, измена и поощрение ее, разорение жителей, ограбление их или воровство для продовольствия армии; обман и ложь, называемые военными хитростями; нравы военного сословия – отсутствие свободы, то есть дисциплина, праздность, невежество, жестокость, разврат, пьянство. И несмотря на то – это высшее сословие, почитаемое всеми. Все цари, кроме китайского, носят военный мундир, и тому, кто больше убил народа, дают большую награду… Сойдутся, как завтра, на убийство друг друга, перебьют, перекалечат десятки тысяч людей, а потом будут служить благодарственные молебны за то, что побили много люден (которых число еще прибавляют), и провозглашают победу, полагая, что чем больше побито людей, тем больше заслуга. Как бог оттуда смотрит и слушает их! – тонким, пискливым голосом прокричал князь Андрей. – Ах, душа моя, последнее время мне стало тяжело жить. Я вижу, что стал понимать слишком много. А не годится человеку вкушать от древа познания добра и зла… Ну, да не надолго! – прибавил он. – Однако ты спишь, да и мне пера, поезжай в Горки, – вдруг сказал князь Андрей.
– О нет! – отвечал Пьер, испуганно соболезнующими глазами глядя на князя Андрея.
– Поезжай, поезжай: перед сраженьем нужно выспаться, – повторил князь Андрей. Он быстро подошел к Пьеру, обнял его и поцеловал. – Прощай, ступай, – прокричал он. – Увидимся ли, нет… – и он, поспешно повернувшись, ушел в сарай.
Было уже темно, и Пьер не мог разобрать того выражения, которое было на лице князя Андрея, было ли оно злобно или нежно.
Пьер постоял несколько времени молча, раздумывая, пойти ли за ним или ехать домой. «Нет, ему не нужно! – решил сам собой Пьер, – и я знаю, что это наше последнее свидание». Он тяжело вздохнул и поехал назад в Горки.
Князь Андрей, вернувшись в сарай, лег на ковер, но не мог спать.
Он закрыл глаза. Одни образы сменялись другими. На одном он долго, радостно остановился. Он живо вспомнил один вечер в Петербурге. Наташа с оживленным, взволнованным лицом рассказывала ему, как она в прошлое лето, ходя за грибами, заблудилась в большом лесу. Она несвязно описывала ему и глушь леса, и свои чувства, и разговоры с пчельником, которого она встретила, и, всякую минуту прерываясь в своем рассказе, говорила: «Нет, не могу, я не так рассказываю; нет, вы не понимаете», – несмотря на то, что князь Андрей успокоивал ее, говоря, что он понимает, и действительно понимал все, что она хотела сказать. Наташа была недовольна своими словами, – она чувствовала, что не выходило то страстно поэтическое ощущение, которое она испытала в этот день и которое она хотела выворотить наружу. «Это такая прелесть был этот старик, и темно так в лесу… и такие добрые у него… нет, я не умею рассказать», – говорила она, краснея и волнуясь. Князь Андрей улыбнулся теперь той же радостной улыбкой, которой он улыбался тогда, глядя ей в глаза. «Я понимал ее, – думал князь Андрей. – Не только понимал, но эту то душевную силу, эту искренность, эту открытость душевную, эту то душу ее, которую как будто связывало тело, эту то душу я и любил в ней… так сильно, так счастливо любил…» И вдруг он вспомнил о том, чем кончилась его любовь. «Ему ничего этого не нужно было. Он ничего этого не видел и не понимал. Он видел в ней хорошенькую и свеженькую девочку, с которой он не удостоил связать свою судьбу. А я? И до сих пор он жив и весел».
Князь Андрей, как будто кто нибудь обжег его, вскочил и стал опять ходить перед сараем.
25 го августа, накануне Бородинского сражения, префект дворца императора французов m r de Beausset и полковник Fabvier приехали, первый из Парижа, второй из Мадрида, к императору Наполеону в его стоянку у Валуева.
Переодевшись в придворный мундир, m r de Beausset приказал нести впереди себя привезенную им императору посылку и вошел в первое отделение палатки Наполеона, где, переговариваясь с окружавшими его адъютантами Наполеона, занялся раскупориванием ящика.
Fabvier, не входя в палатку, остановился, разговорясь с знакомыми генералами, у входа в нее.
Император Наполеон еще не выходил из своей спальни и оканчивал свой туалет. Он, пофыркивая и покряхтывая, поворачивался то толстой спиной, то обросшей жирной грудью под щетку, которою камердинер растирал его тело. Другой камердинер, придерживая пальцем склянку, брызгал одеколоном на выхоленное тело императора с таким выражением, которое говорило, что он один мог знать, сколько и куда надо брызнуть одеколону. Короткие волосы Наполеона были мокры и спутаны на лоб. Но лицо его, хоть опухшее и желтое, выражало физическое удовольствие: «Allez ferme, allez toujours…» [Ну еще, крепче…] – приговаривал он, пожимаясь и покряхтывая, растиравшему камердинеру. Адъютант, вошедший в спальню с тем, чтобы доложить императору о том, сколько было во вчерашнем деле взято пленных, передав то, что нужно было, стоял у двери, ожидая позволения уйти. Наполеон, сморщась, взглянул исподлобья на адъютанта.
– Point de prisonniers, – повторил он слова адъютанта. – Il se font demolir. Tant pis pour l'armee russe, – сказал он. – Allez toujours, allez ferme, [Нет пленных. Они заставляют истреблять себя. Тем хуже для русской армии. Ну еще, ну крепче…] – проговорил он, горбатясь и подставляя свои жирные плечи.
– C'est bien! Faites entrer monsieur de Beausset, ainsi que Fabvier, [Хорошо! Пускай войдет де Боссе, и Фабвье тоже.] – сказал он адъютанту, кивнув головой.
– Oui, Sire, [Слушаю, государь.] – и адъютант исчез в дверь палатки. Два камердинера быстро одели его величество, и он, в гвардейском синем мундире, твердыми, быстрыми шагами вышел в приемную.
Боссе в это время торопился руками, устанавливая привезенный им подарок от императрицы на двух стульях, прямо перед входом императора. Но император так неожиданно скоро оделся и вышел, что он не успел вполне приготовить сюрприза.
Наполеон тотчас заметил то, что они делали, и догадался, что они были еще не готовы. Он не захотел лишить их удовольствия сделать ему сюрприз. Он притворился, что не видит господина Боссе, и подозвал к себе Фабвье. Наполеон слушал, строго нахмурившись и молча, то, что говорил Фабвье ему о храбрости и преданности его войск, дравшихся при Саламанке на другом конце Европы и имевших только одну мысль – быть достойными своего императора, и один страх – не угодить ему. Результат сражения был печальный. Наполеон делал иронические замечания во время рассказа Fabvier, как будто он не предполагал, чтобы дело могло идти иначе в его отсутствие.
– Я должен поправить это в Москве, – сказал Наполеон. – A tantot, [До свиданья.] – прибавил он и подозвал де Боссе, который в это время уже успел приготовить сюрприз, уставив что то на стульях, и накрыл что то покрывалом.
Де Боссе низко поклонился тем придворным французским поклоном, которым умели кланяться только старые слуги Бурбонов, и подошел, подавая конверт.
Наполеон весело обратился к нему и подрал его за ухо.
– Вы поспешили, очень рад. Ну, что говорит Париж? – сказал он, вдруг изменяя свое прежде строгое выражение на самое ласковое.
– Sire, tout Paris regrette votre absence, [Государь, весь Париж сожалеет о вашем отсутствии.] – как и должно, ответил де Боссе. Но хотя Наполеон знал, что Боссе должен сказать это или тому подобное, хотя он в свои ясные минуты знал, что это было неправда, ему приятно было это слышать от де Боссе. Он опять удостоил его прикосновения за ухо.
– Je suis fache, de vous avoir fait faire tant de chemin, [Очень сожалею, что заставил вас проехаться так далеко.] – сказал он.
– Sire! Je ne m'attendais pas a moins qu'a vous trouver aux portes de Moscou, [Я ожидал не менее того, как найти вас, государь, у ворот Москвы.] – сказал Боссе.
Наполеон улыбнулся и, рассеянно подняв голову, оглянулся направо. Адъютант плывущим шагом подошел с золотой табакеркой и подставил ее. Наполеон взял ее.
– Да, хорошо случилось для вас, – сказал он, приставляя раскрытую табакерку к носу, – вы любите путешествовать, через три дня вы увидите Москву. Вы, верно, не ждали увидать азиатскую столицу. Вы сделаете приятное путешествие.
Боссе поклонился с благодарностью за эту внимательность к его (неизвестной ему до сей поры) склонности путешествовать.
– А! это что? – сказал Наполеон, заметив, что все придворные смотрели на что то, покрытое покрывалом. Боссе с придворной ловкостью, не показывая спины, сделал вполуоборот два шага назад и в одно и то же время сдернул покрывало и проговорил:
– Подарок вашему величеству от императрицы.
Это был яркими красками написанный Жераром портрет мальчика, рожденного от Наполеона и дочери австрийского императора, которого почему то все называли королем Рима.
Весьма красивый курчавый мальчик, со взглядом, похожим на взгляд Христа в Сикстинской мадонне, изображен был играющим в бильбоке. Шар представлял земной шар, а палочка в другой руке изображала скипетр.
Хотя и не совсем ясно было, что именно хотел выразить живописец, представив так называемого короля Рима протыкающим земной шар палочкой, но аллегория эта, так же как и всем видевшим картину в Париже, так и Наполеону, очевидно, показалась ясною и весьма понравилась.
– Roi de Rome, [Римский король.] – сказал он, грациозным жестом руки указывая на портрет. – Admirable! [Чудесно!] – С свойственной итальянцам способностью изменять произвольно выражение лица, он подошел к портрету и сделал вид задумчивой нежности. Он чувствовал, что то, что он скажет и сделает теперь, – есть история. И ему казалось, что лучшее, что он может сделать теперь, – это то, чтобы он с своим величием, вследствие которого сын его в бильбоке играл земным шаром, чтобы он выказал, в противоположность этого величия, самую простую отеческую нежность. Глаза его отуманились, он подвинулся, оглянулся на стул (стул подскочил под него) и сел на него против портрета. Один жест его – и все на цыпочках вышли, предоставляя самому себе и его чувству великого человека.
Посидев несколько времени и дотронувшись, сам не зная для чего, рукой до шероховатости блика портрета, он встал и опять позвал Боссе и дежурного. Он приказал вынести портрет перед палатку, с тем, чтобы не лишить старую гвардию, стоявшую около его палатки, счастья видеть римского короля, сына и наследника их обожаемого государя.
Как он и ожидал, в то время как он завтракал с господином Боссе, удостоившимся этой чести, перед палаткой слышались восторженные клики сбежавшихся к портрету офицеров и солдат старой гвардии.
– Vive l'Empereur! Vive le Roi de Rome! Vive l'Empereur! [Да здравствует император! Да здравствует римский король!] – слышались восторженные голоса.
После завтрака Наполеон, в присутствии Боссе, продиктовал свой приказ по армии.
– Courte et energique! [Короткий и энергический!] – проговорил Наполеон, когда он прочел сам сразу без поправок написанную прокламацию. В приказе было:
«Воины! Вот сражение, которого вы столько желали. Победа зависит от вас. Она необходима для нас; она доставит нам все нужное: удобные квартиры и скорое возвращение в отечество. Действуйте так, как вы действовали при Аустерлице, Фридланде, Витебске и Смоленске. Пусть позднейшее потомство с гордостью вспомнит о ваших подвигах в сей день. Да скажут о каждом из вас: он был в великой битве под Москвою!»
– De la Moskowa! [Под Москвою!] – повторил Наполеон, и, пригласив к своей прогулке господина Боссе, любившего путешествовать, он вышел из палатки к оседланным лошадям.
– Votre Majeste a trop de bonte, [Вы слишком добры, ваше величество,] – сказал Боссе на приглашение сопутствовать императору: ему хотелось спать и он не умел и боялся ездить верхом.
Но Наполеон кивнул головой путешественнику, и Боссе должен был ехать. Когда Наполеон вышел из палатки, крики гвардейцев пред портретом его сына еще более усилились. Наполеон нахмурился.
– Снимите его, – сказал он, грациозно величественным жестом указывая на портрет. – Ему еще рано видеть поле сражения.
Боссе, закрыв глаза и склонив голову, глубоко вздохнул, этим жестом показывая, как он умел ценить и понимать слова императора.
Весь этот день 25 августа, как говорят его историки, Наполеон провел на коне, осматривая местность, обсуживая планы, представляемые ему его маршалами, и отдавая лично приказания своим генералам.
Первоначальная линия расположения русских войск по Ко лоче была переломлена, и часть этой линии, именно левый фланг русских, вследствие взятия Шевардинского редута 24 го числа, была отнесена назад. Эта часть линии была не укреплена, не защищена более рекою, и перед нею одною было более открытое и ровное место. Очевидно было для всякого военного и невоенного, что эту часть линии и должно было атаковать французам. Казалось, что для этого не нужно было много соображений, не нужно было такой заботливости и хлопотливости императора и его маршалов и вовсе не нужно той особенной высшей способности, называемой гениальностью, которую так любят приписывать Наполеону; но историки, впоследствии описывавшие это событие, и люди, тогда окружавшие Наполеона, и он сам думали иначе.
Наполеон ездил по полю, глубокомысленно вглядывался в местность, сам с собой одобрительно или недоверчиво качал головой и, не сообщая окружавшим его генералам того глубокомысленного хода, который руководил его решеньями, передавал им только окончательные выводы в форме приказаний. Выслушав предложение Даву, называемого герцогом Экмюльским, о том, чтобы обойти левый фланг русских, Наполеон сказал, что этого не нужно делать, не объясняя, почему это было не нужно. На предложение же генерала Компана (который должен был атаковать флеши), провести свою дивизию лесом, Наполеон изъявил свое согласие, несмотря на то, что так называемый герцог Эльхингенский, то есть Ней, позволил себе заметить, что движение по лесу опасно и может расстроить дивизию.
Осмотрев местность против Шевардинского редута, Наполеон подумал несколько времени молча и указал на места, на которых должны были быть устроены к завтрему две батареи для действия против русских укреплений, и места, где рядом с ними должна была выстроиться полевая артиллерия.
Отдав эти и другие приказания, он вернулся в свою ставку, и под его диктовку была написана диспозиция сражения.
Диспозиция эта, про которую с восторгом говорят французские историки и с глубоким уважением другие историки, была следующая:
«С рассветом две новые батареи, устроенные в ночи, на равнине, занимаемой принцем Экмюльским, откроют огонь по двум противостоящим батареям неприятельским.
В это же время начальник артиллерии 1 го корпуса, генерал Пернетти, с 30 ю орудиями дивизии Компана и всеми гаубицами дивизии Дессе и Фриана, двинется вперед, откроет огонь и засыплет гранатами неприятельскую батарею, против которой будут действовать!
24 орудия гвардейской артиллерии,
30 орудий дивизии Компана
и 8 орудий дивизии Фриана и Дессе,
Всего – 62 орудия.
Начальник артиллерии 3 го корпуса, генерал Фуше, поставит все гаубицы 3 го и 8 го корпусов, всего 16, по флангам батареи, которая назначена обстреливать левое укрепление, что составит против него вообще 40 орудий.
Генерал Сорбье должен быть готов по первому приказанию вынестись со всеми гаубицами гвардейской артиллерии против одного либо другого укрепления.
В продолжение канонады князь Понятовский направится на деревню, в лес и обойдет неприятельскую позицию.
Генерал Компан двинется чрез лес, чтобы овладеть первым укреплением.
По вступлении таким образом в бой будут даны приказания соответственно действиям неприятеля.
Канонада на левом фланге начнется, как только будет услышана канонада правого крыла. Стрелки дивизии Морана и дивизии вице короля откроют сильный огонь, увидя начало атаки правого крыла.
Вице король овладеет деревней [Бородиным] и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Морана и Жерара, которые, под его предводительством, направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками армии.
Все это должно быть исполнено в порядке (le tout se fera avec ordre et methode), сохраняя по возможности войска в резерве.
В императорском лагере, близ Можайска, 6 го сентября, 1812 года».
Диспозиция эта, весьма неясно и спутанно написанная, – ежели позволить себе без религиозного ужаса к гениальности Наполеона относиться к распоряжениям его, – заключала в себе четыре пункта – четыре распоряжения. Ни одно из этих распоряжений не могло быть и не было исполнено.
В диспозиции сказано, первое: чтобы устроенные на выбранном Наполеоном месте батареи с имеющими выравняться с ними орудиями Пернетти и Фуше, всего сто два орудия, открыли огонь и засыпали русские флеши и редут снарядами. Это не могло быть сделано, так как с назначенных Наполеоном мест снаряды не долетали до русских работ, и эти сто два орудия стреляли по пустому до тех пор, пока ближайший начальник, противно приказанию Наполеона, не выдвинул их вперед.
Второе распоряжение состояло в том, чтобы Понятовский, направясь на деревню в лес, обошел левое крыло русских. Это не могло быть и не было сделано потому, что Понятовский, направясь на деревню в лес, встретил там загораживающего ему дорогу Тучкова и не мог обойти и не обошел русской позиции.
Третье распоряжение: Генерал Компан двинется в лес, чтоб овладеть первым укреплением. Дивизия Компана не овладела первым укреплением, а была отбита, потому что, выходя из леса, она должна была строиться под картечным огнем, чего не знал Наполеон.
Четвертое: Вице король овладеет деревнею (Бородиным) и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Марана и Фриана (о которых не сказано: куда и когда они будут двигаться), которые под его предводительством направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками.
Сколько можно понять – если не из бестолкового периода этого, то из тех попыток, которые деланы были вице королем исполнить данные ему приказания, – он должен был двинуться через Бородино слева на редут, дивизии же Морана и Фриана должны были двинуться одновременно с фронта.
Все это, так же как и другие пункты диспозиции, не было и не могло быть исполнено. Пройдя Бородино, вице король был отбит на Колоче и не мог пройти дальше; дивизии же Морана и Фриана не взяли редута, а были отбиты, и редут уже в конце сражения был захвачен кавалерией (вероятно, непредвиденное дело для Наполеона и неслыханное). Итак, ни одно из распоряжений диспозиции не было и не могло быть исполнено. Но в диспозиции сказано, что по вступлении таким образом в бой будут даны приказания, соответственные действиям неприятеля, и потому могло бы казаться, что во время сражения будут сделаны Наполеоном все нужные распоряжения; но этого не было и не могло быть потому, что во все время сражения Наполеон находился так далеко от него, что (как это и оказалось впоследствии) ход сражения ему не мог быть известен и ни одно распоряжение его во время сражения не могло быть исполнено.
Многие историки говорят, что Бородинское сражение не выиграно французами потому, что у Наполеона был насморк, что ежели бы у него не было насморка, то распоряжения его до и во время сражения были бы еще гениальнее, и Россия бы погибла, et la face du monde eut ete changee. [и облик мира изменился бы.] Для историков, признающих то, что Россия образовалась по воле одного человека – Петра Великого, и Франция из республики сложилась в империю, и французские войска пошли в Россию по воле одного человека – Наполеона, такое рассуждение, что Россия осталась могущественна потому, что у Наполеона был большой насморк 26 го числа, такое рассуждение для таких историков неизбежно последовательно.
Ежели от воли Наполеона зависело дать или не дать Бородинское сражение и от его воли зависело сделать такое или другое распоряжение, то очевидно, что насморк, имевший влияние на проявление его воли, мог быть причиной спасения России и что поэтому тот камердинер, который забыл подать Наполеону 24 го числа непромокаемые сапоги, был спасителем России. На этом пути мысли вывод этот несомненен, – так же несомненен, как тот вывод, который, шутя (сам не зная над чем), делал Вольтер, говоря, что Варфоломеевская ночь произошла от расстройства желудка Карла IX. Но для людей, не допускающих того, чтобы Россия образовалась по воле одного человека – Петра I, и чтобы Французская империя сложилась и война с Россией началась по воле одного человека – Наполеона, рассуждение это не только представляется неверным, неразумным, но и противным всему существу человеческому. На вопрос о том, что составляет причину исторических событий, представляется другой ответ, заключающийся в том, что ход мировых событий предопределен свыше, зависит от совпадения всех произволов людей, участвующих в этих событиях, и что влияние Наполеонов на ход этих событий есть только внешнее и фиктивное.
Как ни странно кажется с первого взгляда предположение, что Варфоломеевская ночь, приказанье на которую отдано Карлом IX, произошла не по его воле, а что ему только казалось, что он велел это сделать, и что Бородинское побоище восьмидесяти тысяч человек произошло не по воле Наполеона (несмотря на то, что он отдавал приказания о начале и ходе сражения), а что ему казалось только, что он это велел, – как ни странно кажется это предположение, но человеческое достоинство, говорящее мне, что всякий из нас ежели не больше, то никак не меньше человек, чем великий Наполеон, велит допустить это решение вопроса, и исторические исследования обильно подтверждают это предположение.
В Бородинском сражении Наполеон ни в кого не стрелял и никого не убил. Все это делали солдаты. Стало быть, не он убивал людей.
Солдаты французской армии шли убивать русских солдат в Бородинском сражении не вследствие приказания Наполеона, но по собственному желанию. Вся армия: французы, итальянцы, немцы, поляки – голодные, оборванные и измученные походом, – в виду армии, загораживавшей от них Москву, чувствовали, что le vin est tire et qu'il faut le boire. [вино откупорено и надо выпить его.] Ежели бы Наполеон запретил им теперь драться с русскими, они бы его убили и пошли бы драться с русскими, потому что это было им необходимо.
Когда они слушали приказ Наполеона, представлявшего им за их увечья и смерть в утешение слова потомства о том, что и они были в битве под Москвою, они кричали «Vive l'Empereur!» точно так же, как они кричали «Vive l'Empereur!» при виде изображения мальчика, протыкающего земной шар палочкой от бильбоке; точно так же, как бы они кричали «Vive l'Empereur!» при всякой бессмыслице, которую бы им сказали. Им ничего больше не оставалось делать, как кричать «Vive l'Empereur!» и идти драться, чтобы найти пищу и отдых победителей в Москве. Стало быть, не вследствие приказания Наполеона они убивали себе подобных.
И не Наполеон распоряжался ходом сраженья, потому что из диспозиции его ничего не было исполнено и во время сражения он не знал про то, что происходило впереди его. Стало быть, и то, каким образом эти люди убивали друг друга, происходило не по воле Наполеона, а шло независимо от него, по воле сотен тысяч людей, участвовавших в общем деле. Наполеону казалось только, что все дело происходило по воле его. И потому вопрос о том, был ли или не был у Наполеона насморк, не имеет для истории большего интереса, чем вопрос о насморке последнего фурштатского солдата.
Тем более 26 го августа насморк Наполеона не имел значения, что показания писателей о том, будто вследствие насморка Наполеона его диспозиция и распоряжения во время сражения были не так хороши, как прежние, – совершенно несправедливы.
Выписанная здесь диспозиция нисколько не была хуже, а даже лучше всех прежних диспозиций, по которым выигрывались сражения. Мнимые распоряжения во время сражения были тоже не хуже прежних, а точно такие же, как и всегда. Но диспозиция и распоряжения эти кажутся только хуже прежних потому, что Бородинское сражение было первое, которого не выиграл Наполеон. Все самые прекрасные и глубокомысленные диспозиции и распоряжения кажутся очень дурными, и каждый ученый военный с значительным видом критикует их, когда сражение по ним не выиграно, и самью плохие диспозиции и распоряжения кажутся очень хорошими, и серьезные люди в целых томах доказывают достоинства плохих распоряжений, когда по ним выиграно сражение.
Диспозиция, составленная Вейротером в Аустерлицком сражении, была образец совершенства в сочинениях этого рода, но ее все таки осудили, осудили за ее совершенство, за слишком большую подробность.
Наполеон в Бородинском сражении исполнял свое дело представителя власти так же хорошо, и еще лучше, чем в других сражениях. Он не сделал ничего вредного для хода сражения; он склонялся на мнения более благоразумные; он не путал, не противоречил сам себе, не испугался и не убежал с поля сражения, а с своим большим тактом и опытом войны спокойно и достойно исполнял свою роль кажущегося начальствованья.
Вернувшись после второй озабоченной поездки по линии, Наполеон сказал:
– Шахматы поставлены, игра начнется завтра.
Велев подать себе пуншу и призвав Боссе, он начал с ним разговор о Париже, о некоторых изменениях, которые он намерен был сделать в maison de l'imperatrice [в придворном штате императрицы], удивляя префекта своею памятливостью ко всем мелким подробностям придворных отношений.
Он интересовался пустяками, шутил о любви к путешествиям Боссе и небрежно болтал так, как это делает знаменитый, уверенный и знающий свое дело оператор, в то время как он засучивает рукава и надевает фартук, а больного привязывают к койке: «Дело все в моих руках и в голове, ясно и определенно. Когда надо будет приступить к делу, я сделаю его, как никто другой, а теперь могу шутить, и чем больше я шучу и спокоен, тем больше вы должны быть уверены, спокойны и удивлены моему гению».
Окончив свой второй стакан пунша, Наполеон пошел отдохнуть пред серьезным делом, которое, как ему казалось, предстояло ему назавтра.
Он так интересовался этим предстоящим ему делом, что не мог спать и, несмотря на усилившийся от вечерней сырости насморк, в три часа ночи, громко сморкаясь, вышел в большое отделение палатки. Он спросил о том, не ушли ли русские? Ему отвечали, что неприятельские огни всё на тех же местах. Он одобрительно кивнул головой.
Дежурный адъютант вошел в палатку.
– Eh bien, Rapp, croyez vous, que nous ferons do bonnes affaires aujourd'hui? [Ну, Рапп, как вы думаете: хороши ли будут нынче наши дела?] – обратился он к нему.
– Sans aucun doute, Sire, [Без всякого сомнения, государь,] – отвечал Рапп.
Наполеон посмотрел на него.
– Vous rappelez vous, Sire, ce que vous m'avez fait l'honneur de dire a Smolensk, – сказал Рапп, – le vin est tire, il faut le boire. [Вы помните ли, сударь, те слова, которые вы изволили сказать мне в Смоленске, вино откупорено, надо его пить.]
Наполеон нахмурился и долго молча сидел, опустив голову на руку.
– Cette pauvre armee, – сказал он вдруг, – elle a bien diminue depuis Smolensk. La fortune est une franche courtisane, Rapp; je le disais toujours, et je commence a l'eprouver. Mais la garde, Rapp, la garde est intacte? [Бедная армия! она очень уменьшилась от Смоленска. Фортуна настоящая распутница, Рапп. Я всегда это говорил и начинаю испытывать. Но гвардия, Рапп, гвардия цела?] – вопросительно сказал он.
– Oui, Sire, [Да, государь.] – отвечал Рапп.
Наполеон взял пастильку, положил ее в рот и посмотрел на часы. Спать ему не хотелось, до утра было еще далеко; а чтобы убить время, распоряжений никаких нельзя уже было делать, потому что все были сделаны и приводились теперь в исполнение.
– A t on distribue les biscuits et le riz aux regiments de la garde? [Роздали ли сухари и рис гвардейцам?] – строго спросил Наполеон.
– Oui, Sire. [Да, государь.]
– Mais le riz? [Но рис?]
Рапп отвечал, что он передал приказанья государя о рисе, но Наполеон недовольно покачал головой, как будто он не верил, чтобы приказание его было исполнено. Слуга вошел с пуншем. Наполеон велел подать другой стакан Раппу и молча отпивал глотки из своего.
– У меня нет ни вкуса, ни обоняния, – сказал он, принюхиваясь к стакану. – Этот насморк надоел мне. Они толкуют про медицину. Какая медицина, когда они не могут вылечить насморка? Корвизар дал мне эти пастильки, но они ничего не помогают. Что они могут лечить? Лечить нельзя. Notre corps est une machine a vivre. Il est organise pour cela, c'est sa nature; laissez y la vie a son aise, qu'elle s'y defende elle meme: elle fera plus que si vous la paralysiez en l'encombrant de remedes. Notre corps est comme une montre parfaite qui doit aller un certain temps; l'horloger n'a pas la faculte de l'ouvrir, il ne peut la manier qu'a tatons et les yeux bandes. Notre corps est une machine a vivre, voila tout. [Наше тело есть машина для жизни. Оно для этого устроено. Оставьте в нем жизнь в покое, пускай она сама защищается, она больше сделает одна, чем когда вы ей будете мешать лекарствами. Наше тело подобно часам, которые должны идти известное время; часовщик не может открыть их и только ощупью и с завязанными глазами может управлять ими. Наше тело есть машина для жизни. Вот и все.] – И как будто вступив на путь определений, definitions, которые любил Наполеон, он неожиданно сделал новое определение. – Вы знаете ли, Рапп, что такое военное искусство? – спросил он. – Искусство быть сильнее неприятеля в известный момент. Voila tout. [Вот и все.]
Рапп ничего не ответил.
– Demainnous allons avoir affaire a Koutouzoff! [Завтра мы будем иметь дело с Кутузовым!] – сказал Наполеон. – Посмотрим! Помните, в Браунау он командовал армией и ни разу в три недели не сел на лошадь, чтобы осмотреть укрепления. Посмотрим!
Он поглядел на часы. Было еще только четыре часа. Спать не хотелось, пунш был допит, и делать все таки было нечего. Он встал, прошелся взад и вперед, надел теплый сюртук и шляпу и вышел из палатки. Ночь была темная и сырая; чуть слышная сырость падала сверху. Костры не ярко горели вблизи, во французской гвардии, и далеко сквозь дым блестели по русской линии. Везде было тихо, и ясно слышались шорох и топот начавшегося уже движения французских войск для занятия позиции.
Наполеон прошелся перед палаткой, посмотрел на огни, прислушался к топоту и, проходя мимо высокого гвардейца в мохнатой шапке, стоявшего часовым у его палатки и, как черный столб, вытянувшегося при появлении императора, остановился против него.
– С которого года в службе? – спросил он с той привычной аффектацией грубой и ласковой воинственности, с которой он всегда обращался с солдатами. Солдат отвечал ему.
– Ah! un des vieux! [А! из стариков!] Получили рис в полк?
– Получили, ваше величество.
Наполеон кивнул головой и отошел от него.
В половине шестого Наполеон верхом ехал к деревне Шевардину.
Начинало светать, небо расчистило, только одна туча лежала на востоке. Покинутые костры догорали в слабом свете утра.
Вправо раздался густой одинокий пушечный выстрел, пронесся и замер среди общей тишины. Прошло несколько минут. Раздался второй, третий выстрел, заколебался воздух; четвертый, пятый раздались близко и торжественно где то справа.
Еще не отзвучали первые выстрелы, как раздались еще другие, еще и еще, сливаясь и перебивая один другой.
Наполеон подъехал со свитой к Шевардинскому редуту и слез с лошади. Игра началась.
Вернувшись от князя Андрея в Горки, Пьер, приказав берейтору приготовить лошадей и рано утром разбудить его, тотчас же заснул за перегородкой, в уголке, который Борис уступил ему.
Когда Пьер совсем очнулся на другое утро, в избе уже никого не было. Стекла дребезжали в маленьких окнах. Берейтор стоял, расталкивая его.
– Ваше сиятельство, ваше сиятельство, ваше сиятельство… – упорно, не глядя на Пьера и, видимо, потеряв надежду разбудить его, раскачивая его за плечо, приговаривал берейтор.
– Что? Началось? Пора? – заговорил Пьер, проснувшись.
– Изволите слышать пальбу, – сказал берейтор, отставной солдат, – уже все господа повышли, сами светлейшие давно проехали.
Пьер поспешно оделся и выбежал на крыльцо. На дворе было ясно, свежо, росисто и весело. Солнце, только что вырвавшись из за тучи, заслонявшей его, брызнуло до половины переломленными тучей лучами через крыши противоположной улицы, на покрытую росой пыль дороги, на стены домов, на окна забора и на лошадей Пьера, стоявших у избы. Гул пушек яснее слышался на дворе. По улице прорысил адъютант с казаком.
– Пора, граф, пора! – прокричал адъютант.
Приказав вести за собой лошадь, Пьер пошел по улице к кургану, с которого он вчера смотрел на поле сражения. На кургане этом была толпа военных, и слышался французский говор штабных, и виднелась седая голова Кутузова с его белой с красным околышем фуражкой и седым затылком, утонувшим в плечи. Кутузов смотрел в трубу вперед по большой дороге.
Войдя по ступенькам входа на курган, Пьер взглянул впереди себя и замер от восхищенья перед красотою зрелища. Это была та же панорама, которою он любовался вчера с этого кургана; но теперь вся эта местность была покрыта войсками и дымами выстрелов, и косые лучи яркого солнца, поднимавшегося сзади, левее Пьера, кидали на нее в чистом утреннем воздухе пронизывающий с золотым и розовым оттенком свет и темные, длинные тени. Дальние леса, заканчивающие панораму, точно высеченные из какого то драгоценного желто зеленого камня, виднелись своей изогнутой чертой вершин на горизонте, и между ними за Валуевым прорезывалась большая Смоленская дорога, вся покрытая войсками. Ближе блестели золотые поля и перелески. Везде – спереди, справа и слева – виднелись войска. Все это было оживленно, величественно и неожиданно; но то, что более всего поразило Пьера, – это был вид самого поля сражения, Бородина и лощины над Колочею по обеим сторонам ее.
Над Колочею, в Бородине и по обеим сторонам его, особенно влево, там, где в болотистых берегах Во йна впадает в Колочу, стоял тот туман, который тает, расплывается и просвечивает при выходе яркого солнца и волшебно окрашивает и очерчивает все виднеющееся сквозь него. К этому туману присоединялся дым выстрелов, и по этому туману и дыму везде блестели молнии утреннего света – то по воде, то по росе, то по штыкам войск, толпившихся по берегам и в Бородине. Сквозь туман этот виднелась белая церковь, кое где крыши изб Бородина, кое где сплошные массы солдат, кое где зеленые ящики, пушки. И все это двигалось или казалось движущимся, потому что туман и дым тянулись по всему этому пространству. Как в этой местности низов около Бородина, покрытых туманом, так и вне его, выше и особенно левее по всей линии, по лесам, по полям, в низах, на вершинах возвышений, зарождались беспрестанно сами собой, из ничего, пушечные, то одинокие, то гуртовые, то редкие, то частые клубы дымов, которые, распухая, разрастаясь, клубясь, сливаясь, виднелись по всему этому пространству.
Эти дымы выстрелов и, странно сказать, звуки их производили главную красоту зрелища.
Пуфф! – вдруг виднелся круглый, плотный, играющий лиловым, серым и молочно белым цветами дым, и бумм! – раздавался через секунду звук этого дыма.
«Пуф пуф» – поднимались два дыма, толкаясь и сливаясь; и «бум бум» – подтверждали звуки то, что видел глаз.
Пьер оглядывался на первый дым, который он оставил округлым плотным мячиком, и уже на месте его были шары дыма, тянущегося в сторону, и пуф… (с остановкой) пуф пуф – зарождались еще три, еще четыре, и на каждый, с теми же расстановками, бум… бум бум бум – отвечали красивые, твердые, верные звуки. Казалось то, что дымы эти бежали, то, что они стояли, и мимо них бежали леса, поля и блестящие штыки. С левой стороны, по полям и кустам, беспрестанно зарождались эти большие дымы с своими торжественными отголосками, и ближе еще, по низам и лесам, вспыхивали маленькие, не успевавшие округляться дымки ружей и точно так же давали свои маленькие отголоски. Трах та та тах – трещали ружья хотя и часто, но неправильно и бедно в сравнении с орудийными выстрелами.
Пьеру захотелось быть там, где были эти дымы, эти блестящие штыки и пушки, это движение, эти звуки. Он оглянулся на Кутузова и на его свиту, чтобы сверить свое впечатление с другими. Все точно так же, как и он, и, как ему казалось, с тем же чувством смотрели вперед, на поле сражения. На всех лицах светилась теперь та скрытая теплота (chaleur latente) чувства, которое Пьер замечал вчера и которое он понял совершенно после своего разговора с князем Андреем.
– Поезжай, голубчик, поезжай, Христос с тобой, – говорил Кутузов, не спуская глаз с поля сражения, генералу, стоявшему подле него.
Выслушав приказание, генерал этот прошел мимо Пьера, к сходу с кургана.
– К переправе! – холодно и строго сказал генерал в ответ на вопрос одного из штабных, куда он едет. «И я, и я», – подумал Пьер и пошел по направлению за генералом.
Генерал садился на лошадь, которую подал ему казак. Пьер подошел к своему берейтору, державшему лошадей. Спросив, которая посмирнее, Пьер взлез на лошадь, схватился за гриву, прижал каблуки вывернутых ног к животу лошади и, чувствуя, что очки его спадают и что он не в силах отвести рук от гривы и поводьев, поскакал за генералом, возбуждая улыбки штабных, с кургана смотревших на него.
Генерал, за которым скакал Пьер, спустившись под гору, круто повернул влево, и Пьер, потеряв его из вида, вскакал в ряды пехотных солдат, шедших впереди его. Он пытался выехать из них то вправо, то влево; но везде были солдаты, с одинаково озабоченными лицами, занятыми каким то невидным, но, очевидно, важным делом. Все с одинаково недовольно вопросительным взглядом смотрели на этого толстого человека в белой шляпе, неизвестно для чего топчущего их своею лошадью.
– Чего ездит посерёд батальона! – крикнул на него один. Другой толконул прикладом его лошадь, и Пьер, прижавшись к луке и едва удерживая шарахнувшуюся лошадь, выскакал вперед солдат, где было просторнее.
Впереди его был мост, а у моста, стреляя, стояли другие солдаты. Пьер подъехал к ним. Сам того не зная, Пьер заехал к мосту через Колочу, который был между Горками и Бородиным и который в первом действии сражения (заняв Бородино) атаковали французы. Пьер видел, что впереди его был мост и что с обеих сторон моста и на лугу, в тех рядах лежащего сена, которые он заметил вчера, в дыму что то делали солдаты; но, несмотря на неумолкающую стрельбу, происходившую в этом месте, он никак не думал, что тут то и было поле сражения. Он не слыхал звуков пуль, визжавших со всех сторон, и снарядов, перелетавших через него, не видал неприятеля, бывшего на той стороне реки, и долго не видал убитых и раненых, хотя многие падали недалеко от него. С улыбкой, не сходившей с его лица, он оглядывался вокруг себя.
– Что ездит этот перед линией? – опять крикнул на него кто то.
– Влево, вправо возьми, – кричали ему. Пьер взял вправо и неожиданно съехался с знакомым ему адъютантом генерала Раевского. Адъютант этот сердито взглянул на Пьера, очевидно, сбираясь тоже крикнуть на него, но, узнав его, кивнул ему головой.
– Вы как тут? – проговорил он и поскакал дальше.
Пьер, чувствуя себя не на своем месте и без дела, боясь опять помешать кому нибудь, поскакал за адъютантом.
– Это здесь, что же? Можно мне с вами? – спрашивал он.
– Сейчас, сейчас, – отвечал адъютант и, подскакав к толстому полковнику, стоявшему на лугу, что то передал ему и тогда уже обратился к Пьеру.
– Вы зачем сюда попали, граф? – сказал он ему с улыбкой. – Все любопытствуете?
– Да, да, – сказал Пьер. Но адъютант, повернув лошадь, ехал дальше.
– Здесь то слава богу, – сказал адъютант, – но на левом фланге у Багратиона ужасная жарня идет.
– Неужели? – спросил Пьер. – Это где же?
– Да вот поедемте со мной на курган, от нас видно. А у нас на батарее еще сносно, – сказал адъютант. – Что ж, едете?
– Да, я с вами, – сказал Пьер, глядя вокруг себя и отыскивая глазами своего берейтора. Тут только в первый раз Пьер увидал раненых, бредущих пешком и несомых на носилках. На том самом лужке с пахучими рядами сена, по которому он проезжал вчера, поперек рядов, неловко подвернув голову, неподвижно лежал один солдат с свалившимся кивером. – А этого отчего не подняли? – начал было Пьер; но, увидав строгое лицо адъютанта, оглянувшегося в ту же сторону, он замолчал.
Пьер не нашел своего берейтора и вместе с адъютантом низом поехал по лощине к кургану Раевского. Лошадь Пьера отставала от адъютанта и равномерно встряхивала его.
– Вы, видно, не привыкли верхом ездить, граф? – спросил адъютант.
– Нет, ничего, но что то она прыгает очень, – с недоуменьем сказал Пьер.
– Ээ!.. да она ранена, – сказал адъютант, – правая передняя, выше колена. Пуля, должно быть. Поздравляю, граф, – сказал он, – le bapteme de feu [крещение огнем].
Проехав в дыму по шестому корпусу, позади артиллерии, которая, выдвинутая вперед, стреляла, оглушая своими выстрелами, они приехали к небольшому лесу. В лесу было прохладно, тихо и пахло осенью. Пьер и адъютант слезли с лошадей и пешком вошли на гору.
– Здесь генерал? – спросил адъютант, подходя к кургану.
– Сейчас были, поехали сюда, – указывая вправо, отвечали ему.
Адъютант оглянулся на Пьера, как бы не зная, что ему теперь с ним делать.
– Не беспокойтесь, – сказал Пьер. – Я пойду на курган, можно?
– Да пойдите, оттуда все видно и не так опасно. А я заеду за вами.
Пьер пошел на батарею, и адъютант поехал дальше. Больше они не видались, и уже гораздо после Пьер узнал, что этому адъютанту в этот день оторвало руку.
Курган, на который вошел Пьер, был то знаменитое (потом известное у русских под именем курганной батареи, или батареи Раевского, а у французов под именем la grande redoute, la fatale redoute, la redoute du centre [большого редута, рокового редута, центрального редута] место, вокруг которого положены десятки тысяч людей и которое французы считали важнейшим пунктом позиции.
Редут этот состоял из кургана, на котором с трех сторон были выкопаны канавы. В окопанном канавами место стояли десять стрелявших пушек, высунутых в отверстие валов.
В линию с курганом стояли с обеих сторон пушки, тоже беспрестанно стрелявшие. Немного позади пушек стояли пехотные войска. Входя на этот курган, Пьер никак не думал, что это окопанное небольшими канавами место, на котором стояло и стреляло несколько пушек, было самое важное место в сражении.
Пьеру, напротив, казалось, что это место (именно потому, что он находился на нем) было одно из самых незначительных мест сражения.
Войдя на курган, Пьер сел в конце канавы, окружающей батарею, и с бессознательно радостной улыбкой смотрел на то, что делалось вокруг него. Изредка Пьер все с той же улыбкой вставал и, стараясь не помешать солдатам, заряжавшим и накатывавшим орудия, беспрестанно пробегавшим мимо него с сумками и зарядами, прохаживался по батарее. Пушки с этой батареи беспрестанно одна за другой стреляли, оглушая своими звуками и застилая всю окрестность пороховым дымом.
В противность той жуткости, которая чувствовалась между пехотными солдатами прикрытия, здесь, на батарее, где небольшое количество людей, занятых делом, бело ограничено, отделено от других канавой, – здесь чувствовалось одинаковое и общее всем, как бы семейное оживление.
Появление невоенной фигуры Пьера в белой шляпе сначала неприятно поразило этих людей. Солдаты, проходя мимо его, удивленно и даже испуганно косились на его фигуру. Старший артиллерийский офицер, высокий, с длинными ногами, рябой человек, как будто для того, чтобы посмотреть на действие крайнего орудия, подошел к Пьеру и любопытно посмотрел на него.
Молоденький круглолицый офицерик, еще совершенный ребенок, очевидно, только что выпущенный из корпуса, распоряжаясь весьма старательно порученными ему двумя пушками, строго обратился к Пьеру.
– Господин, позвольте вас попросить с дороги, – сказал он ему, – здесь нельзя.
Солдаты неодобрительно покачивали головами, глядя на Пьера. Но когда все убедились, что этот человек в белой шляпе не только не делал ничего дурного, но или смирно сидел на откосе вала, или с робкой улыбкой, учтиво сторонясь перед солдатами, прохаживался по батарее под выстрелами так же спокойно, как по бульвару, тогда понемногу чувство недоброжелательного недоуменья к нему стало переходить в ласковое и шутливое участие, подобное тому, которое солдаты имеют к своим животным: собакам, петухам, козлам и вообще животным, живущим при воинских командах. Солдаты эти сейчас же мысленно приняли Пьера в свою семью, присвоили себе и дали ему прозвище. «Наш барин» прозвали его и про него ласково смеялись между собой.
Одно ядро взрыло землю в двух шагах от Пьера. Он, обчищая взбрызнутую ядром землю с платья, с улыбкой оглянулся вокруг себя.
– И как это вы не боитесь, барин, право! – обратился к Пьеру краснорожий широкий солдат, оскаливая крепкие белые зубы.
– А ты разве боишься? – спросил Пьер.
– А то как же? – отвечал солдат. – Ведь она не помилует. Она шмякнет, так кишки вон. Нельзя не бояться, – сказал он, смеясь.
Несколько солдат с веселыми и ласковыми лицами остановились подле Пьера. Они как будто не ожидали того, чтобы он говорил, как все, и это открытие обрадовало их.
– Наше дело солдатское. А вот барин, так удивительно. Вот так барин!
– По местам! – крикнул молоденький офицер на собравшихся вокруг Пьера солдат. Молоденький офицер этот, видимо, исполнял свою должность в первый или во второй раз и потому с особенной отчетливостью и форменностью обращался и с солдатами и с начальником.
Перекатная пальба пушек и ружей усиливалась по всему полю, в особенности влево, там, где были флеши Багратиона, но из за дыма выстрелов с того места, где был Пьер, нельзя было почти ничего видеть. Притом, наблюдения за тем, как бы семейным (отделенным от всех других) кружком людей, находившихся на батарее, поглощали все внимание Пьера. Первое его бессознательно радостное возбуждение, произведенное видом и звуками поля сражения, заменилось теперь, в особенности после вида этого одиноко лежащего солдата на лугу, другим чувством. Сидя теперь на откосе канавы, он наблюдал окружавшие его лица.
К десяти часам уже человек двадцать унесли с батареи; два орудия были разбиты, чаще и чаще на батарею попадали снаряды и залетали, жужжа и свистя, дальние пули. Но люди, бывшие на батарее, как будто не замечали этого; со всех сторон слышался веселый говор и шутки.
– Чиненка! – кричал солдат на приближающуюся, летевшую со свистом гранату. – Не сюда! К пехотным! – с хохотом прибавлял другой, заметив, что граната перелетела и попала в ряды прикрытия.
– Что, знакомая? – смеялся другой солдат на присевшего мужика под пролетевшим ядром.
Несколько солдат собрались у вала, разглядывая то, что делалось впереди.
– И цепь сняли, видишь, назад прошли, – говорили они, указывая через вал.
– Свое дело гляди, – крикнул на них старый унтер офицер. – Назад прошли, значит, назади дело есть. – И унтер офицер, взяв за плечо одного из солдат, толкнул его коленкой. Послышался хохот.
– К пятому орудию накатывай! – кричали с одной стороны.
– Разом, дружнее, по бурлацки, – слышались веселые крики переменявших пушку.
– Ай, нашему барину чуть шляпку не сбила, – показывая зубы, смеялся на Пьера краснорожий шутник. – Эх, нескладная, – укоризненно прибавил он на ядро, попавшее в колесо и ногу человека.
– Ну вы, лисицы! – смеялся другой на изгибающихся ополченцев, входивших на батарею за раненым.
– Аль не вкусна каша? Ах, вороны, заколянились! – кричали на ополченцев, замявшихся перед солдатом с оторванной ногой.
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.
Грозовая туча надвинулась, и ярко во всех лицах горел тот огонь, за разгоранием которого следил Пьер. Он стоял подле старшего офицера. Молоденький офицерик подбежал, с рукой к киверу, к старшему.
– Имею честь доложить, господин полковник, зарядов имеется только восемь, прикажете ли продолжать огонь? – спросил он.
– Картечь! – не отвечая, крикнул старший офицер, смотревший через вал.
Вдруг что то случилось; офицерик ахнул и, свернувшись, сел на землю, как на лету подстреленная птица. Все сделалось странно, неясно и пасмурно в глазах Пьера.
Одно за другим свистели ядра и бились в бруствер, в солдат, в пушки. Пьер, прежде не слыхавший этих звуков, теперь только слышал одни эти звуки. Сбоку батареи, справа, с криком «ура» бежали солдаты не вперед, а назад, как показалось Пьеру.
Ядро ударило в самый край вала, перед которым стоял Пьер, ссыпало землю, и в глазах его мелькнул черный мячик, и в то же мгновенье шлепнуло во что то. Ополченцы, вошедшие было на батарею, побежали назад.
– Все картечью! – кричал офицер.
Унтер офицер подбежал к старшему офицеру и испуганным шепотом (как за обедом докладывает дворецкий хозяину, что нет больше требуемого вина) сказал, что зарядов больше не было.
– Разбойники, что делают! – закричал офицер, оборачиваясь к Пьеру. Лицо старшего офицера было красно и потно, нахмуренные глаза блестели. – Беги к резервам, приводи ящики! – крикнул он, сердито обходя взглядом Пьера и обращаясь к своему солдату.
– Я пойду, – сказал Пьер. Офицер, не отвечая ему, большими шагами пошел в другую сторону.
– Не стрелять… Выжидай! – кричал он.
Солдат, которому приказано было идти за зарядами, столкнулся с Пьером.
– Эх, барин, не место тебе тут, – сказал он и побежал вниз. Пьер побежал за солдатом, обходя то место, на котором сидел молоденький офицерик.
Одно, другое, третье ядро пролетало над ним, ударялось впереди, с боков, сзади. Пьер сбежал вниз. «Куда я?» – вдруг вспомнил он, уже подбегая к зеленым ящикам. Он остановился в нерешительности, идти ему назад или вперед. Вдруг страшный толчок откинул его назад, на землю. В то же мгновенье блеск большого огня осветил его, и в то же мгновенье раздался оглушающий, зазвеневший в ушах гром, треск и свист.
Пьер, очнувшись, сидел на заду, опираясь руками о землю; ящика, около которого он был, не было; только валялись зеленые обожженные доски и тряпки на выжженной траве, и лошадь, трепля обломками оглобель, проскакала от него, а другая, так же как и сам Пьер, лежала на земле и пронзительно, протяжно визжала.
Пьер, не помня себя от страха, вскочил и побежал назад на батарею, как на единственное убежище от всех ужасов, окружавших его.
В то время как Пьер входил в окоп, он заметил, что на батарее выстрелов не слышно было, но какие то люди что то делали там. Пьер не успел понять того, какие это были люди. Он увидел старшего полковника, задом к нему лежащего на валу, как будто рассматривающего что то внизу, и видел одного, замеченного им, солдата, который, прорываясь вперед от людей, державших его за руку, кричал: «Братцы!» – и видел еще что то странное.
Но он не успел еще сообразить того, что полковник был убит, что кричавший «братцы!» был пленный, что в глазах его был заколон штыком в спину другой солдат. Едва он вбежал в окоп, как худощавый, желтый, с потным лицом человек в синем мундире, со шпагой в руке, набежал на него, крича что то. Пьер, инстинктивно обороняясь от толчка, так как они, не видав, разбежались друг против друга, выставил руки и схватил этого человека (это был французский офицер) одной рукой за плечо, другой за гордо. Офицер, выпустив шпагу, схватил Пьера за шиворот.
Несколько секунд они оба испуганными глазами смотрели на чуждые друг другу лица, и оба были в недоумении о том, что они сделали и что им делать. «Я ли взят в плен или он взят в плен мною? – думал каждый из них. Но, очевидно, французский офицер более склонялся к мысли, что в плен взят он, потому что сильная рука Пьера, движимая невольным страхом, все крепче и крепче сжимала его горло. Француз что то хотел сказать, как вдруг над самой головой их низко и страшно просвистело ядро, и Пьеру показалось, что голова французского офицера оторвана: так быстро он согнул ее.
Пьер тоже нагнул голову и отпустил руки. Не думая более о том, кто кого взял в плен, француз побежал назад на батарею, а Пьер под гору, спотыкаясь на убитых и раненых, которые, казалось ему, ловят его за ноги. Но не успел он сойти вниз, как навстречу ему показались плотные толпы бегущих русских солдат, которые, падая, спотыкаясь и крича, весело и бурно бежали на батарею. (Это была та атака, которую себе приписывал Ермолов, говоря, что только его храбрости и счастью возможно было сделать этот подвиг, и та атака, в которой он будто бы кидал на курган Георгиевские кресты, бывшие у него в кармане.)
Французы, занявшие батарею, побежали. Наши войска с криками «ура» так далеко за батарею прогнали французов, что трудно было остановить их.
С батареи свезли пленных, в том числе раненого французского генерала, которого окружили офицеры. Толпы раненых, знакомых и незнакомых Пьеру, русских и французов, с изуродованными страданием лицами, шли, ползли и на носилках неслись с батареи. Пьер вошел на курган, где он провел более часа времени, и из того семейного кружка, который принял его к себе, он не нашел никого. Много было тут мертвых, незнакомых ему. Но некоторых он узнал. Молоденький офицерик сидел, все так же свернувшись, у края вала, в луже крови. Краснорожий солдат еще дергался, но его не убирали.
Пьер побежал вниз.
«Нет, теперь они оставят это, теперь они ужаснутся того, что они сделали!» – думал Пьер, бесцельно направляясь за толпами носилок, двигавшихся с поля сражения.
Но солнце, застилаемое дымом, стояло еще высоко, и впереди, и в особенности налево у Семеновского, кипело что то в дыму, и гул выстрелов, стрельба и канонада не только не ослабевали, но усиливались до отчаянности, как человек, который, надрываясь, кричит из последних сил.
Главное действие Бородинского сражения произошло на пространстве тысячи сажен между Бородиным и флешами Багратиона. (Вне этого пространства с одной стороны была сделана русскими в половине дня демонстрация кавалерией Уварова, с другой стороны, за Утицей, было столкновение Понятовского с Тучковым; но это были два отдельные и слабые действия в сравнении с тем, что происходило в середине поля сражения.) На поле между Бородиным и флешами, у леса, на открытом и видном с обеих сторон протяжении, произошло главное действие сражения, самым простым, бесхитростным образом.
Сражение началось канонадой с обеих сторон из нескольких сотен орудий.
Потом, когда дым застлал все поле, в этом дыму двинулись (со стороны французов) справа две дивизии, Дессе и Компана, на флеши, и слева полки вице короля на Бородино.
От Шевардинского редута, на котором стоял Наполеон, флеши находились на расстоянии версты, а Бородино более чем в двух верстах расстояния по прямой линии, и поэтому Наполеон не мог видеть того, что происходило там, тем более что дым, сливаясь с туманом, скрывал всю местность. Солдаты дивизии Дессе, направленные на флеши, были видны только до тех пор, пока они не спустились под овраг, отделявший их от флеш. Как скоро они спустились в овраг, дым выстрелов орудийных и ружейных на флешах стал так густ, что застлал весь подъем той стороны оврага. Сквозь дым мелькало там что то черное – вероятно, люди, и иногда блеск штыков. Но двигались ли они или стояли, были ли это французы или русские, нельзя было видеть с Шевардинского редута.
Солнце взошло светло и било косыми лучами прямо в лицо Наполеона, смотревшего из под руки на флеши. Дым стлался перед флешами, и то казалось, что дым двигался, то казалось, что войска двигались. Слышны были иногда из за выстрелов крики людей, но нельзя было знать, что они там делали.
Наполеон, стоя на кургане, смотрел в трубу, и в маленький круг трубы он видел дым и людей, иногда своих, иногда русских; но где было то, что он видел, он не знал, когда смотрел опять простым глазом.
Он сошел с кургана и стал взад и вперед ходить перед ним.
Изредка он останавливался, прислушивался к выстрелам и вглядывался в поле сражения.
Не только с того места внизу, где он стоял, не только с кургана, на котором стояли теперь некоторые его генералы, но и с самых флешей, на которых находились теперь вместе и попеременно то русские, то французские, мертвые, раненые и живые, испуганные или обезумевшие солдаты, нельзя было понять того, что делалось на этом месте. В продолжение нескольких часов на этом месте, среди неумолкаемой стрельбы, ружейной и пушечной, то появлялись одни русские, то одни французские, то пехотные, то кавалерийские солдаты; появлялись, падали, стреляли, сталкивались, не зная, что делать друг с другом, кричали и бежали назад.
С поля сражения беспрестанно прискакивали к Наполеону его посланные адъютанты и ординарцы его маршалов с докладами о ходе дела; но все эти доклады были ложны: и потому, что в жару сражения невозможно сказать, что происходит в данную минуту, и потому, что многие адъютапты не доезжали до настоящего места сражения, а передавали то, что они слышали от других; и еще потому, что пока проезжал адъютант те две три версты, которые отделяли его от Наполеона, обстоятельства изменялись и известие, которое он вез, уже становилось неверно. Так от вице короля прискакал адъютант с известием, что Бородино занято и мост на Колоче в руках французов. Адъютант спрашивал у Наполеона, прикажет ли он пореходить войскам? Наполеон приказал выстроиться на той стороне и ждать; но не только в то время как Наполеон отдавал это приказание, но даже когда адъютант только что отъехал от Бородина, мост уже был отбит и сожжен русскими, в той самой схватке, в которой участвовал Пьер в самом начале сраженья.
Прискакавший с флеш с бледным испуганным лицом адъютант донес Наполеону, что атака отбита и что Компан ранен и Даву убит, а между тем флеши были заняты другой частью войск, в то время как адъютанту говорили, что французы были отбиты, и Даву был жив и только слегка контужен. Соображаясь с таковыми необходимо ложными донесениями, Наполеон делал свои распоряжения, которые или уже были исполнены прежде, чем он делал их, или же не могли быть и не были исполняемы.
Маршалы и генералы, находившиеся в более близком расстоянии от поля сражения, но так же, как и Наполеон, не участвовавшие в самом сражении и только изредка заезжавшие под огонь пуль, не спрашиваясь Наполеона, делали свои распоряжения и отдавали свои приказания о том, куда и откуда стрелять, и куда скакать конным, и куда бежать пешим солдатам. Но даже и их распоряжения, точно так же как распоряжения Наполеона, точно так же в самой малой степени и редко приводились в исполнение. Большей частью выходило противное тому, что они приказывали. Солдаты, которым велено было идти вперед, подпав под картечный выстрел, бежали назад; солдаты, которым велено было стоять на месте, вдруг, видя против себя неожиданно показавшихся русских, иногда бежали назад, иногда бросались вперед, и конница скакала без приказания догонять бегущих русских. Так, два полка кавалерии поскакали через Семеновский овраг и только что въехали на гору, повернулись и во весь дух поскакали назад. Так же двигались и пехотные солдаты, иногда забегая совсем не туда, куда им велено было. Все распоряжение о том, куда и когда подвинуть пушки, когда послать пеших солдат – стрелять, когда конных – топтать русских пеших, – все эти распоряжения делали сами ближайшие начальники частей, бывшие в рядах, не спрашиваясь даже Нея, Даву и Мюрата, не только Наполеона. Они не боялись взыскания за неисполнение приказания или за самовольное распоряжение, потому что в сражении дело касается самого дорогого для человека – собственной жизни, и иногда кажется, что спасение заключается в бегстве назад, иногда в бегстве вперед, и сообразно с настроением минуты поступали эти люди, находившиеся в самом пылу сражения. В сущности же, все эти движения вперед и назад не облегчали и не изменяли положения войск. Все их набегания и наскакивания друг на друга почти не производили им вреда, а вред, смерть и увечья наносили ядра и пули, летавшие везде по тому пространству, по которому метались эти люди. Как только эти люди выходили из того пространства, по которому летали ядра и пули, так их тотчас же стоявшие сзади начальники формировали, подчиняли дисциплине и под влиянием этой дисциплины вводили опять в область огня, в которой они опять (под влиянием страха смерти) теряли дисциплину и метались по случайному настроению толпы.
Генералы Наполеона – Даву, Ней и Мюрат, находившиеся в близости этой области огня и даже иногда заезжавшие в нее, несколько раз вводили в эту область огня стройные и огромные массы войск. Но противно тому, что неизменно совершалось во всех прежних сражениях, вместо ожидаемого известия о бегстве неприятеля, стройные массы войск возвращались оттуда расстроенными, испуганными толпами. Они вновь устроивали их, но людей все становилось меньше. В половине дня Мюрат послал к Наполеону своего адъютанта с требованием подкрепления.
Наполеон сидел под курганом и пил пунш, когда к нему прискакал адъютант Мюрата с уверениями, что русские будут разбиты, ежели его величество даст еще дивизию.
– Подкрепления? – сказал Наполеон с строгим удивлением, как бы не понимая его слов и глядя на красивого мальчика адъютанта с длинными завитыми черными волосами (так же, как носил волоса Мюрат). «Подкрепления! – подумал Наполеон. – Какого они просят подкрепления, когда у них в руках половина армии, направленной на слабое, неукрепленное крыло русских!»
– Dites au roi de Naples, – строго сказал Наполеон, – qu'il n'est pas midi et que je ne vois pas encore clair sur mon echiquier. Allez… [Скажите неаполитанскому королю, что теперь еще не полдень и что я еще не ясно вижу на своей шахматной доске. Ступайте…]
Красивый мальчик адъютанта с длинными волосами, не отпуская руки от шляпы, тяжело вздохнув, поскакал опять туда, где убивали людей.
Наполеон встал и, подозвав Коленкура и Бертье, стал разговаривать с ними о делах, не касающихся сражения.
В середине разговора, который начинал занимать Наполеона, глаза Бертье обратились на генерала с свитой, который на потной лошади скакал к кургану. Это был Бельяр. Он, слезши с лошади, быстрыми шагами подошел к императору и смело, громким голосом стал доказывать необходимость подкреплений. Он клялся честью, что русские погибли, ежели император даст еще дивизию.
Наполеон вздернул плечами и, ничего не ответив, продолжал свою прогулку. Бельяр громко и оживленно стал говорить с генералами свиты, окружившими его.
– Вы очень пылки, Бельяр, – сказал Наполеон, опять подходя к подъехавшему генералу. – Легко ошибиться в пылу огня. Поезжайте и посмотрите, и тогда приезжайте ко мне.
Не успел еще Бельяр скрыться из вида, как с другой стороны прискакал новый посланный с поля сражения.
– Eh bien, qu'est ce qu'il y a? [Ну, что еще?] – сказал Наполеон тоном человека, раздраженного беспрестанными помехами.
– Sire, le prince… [Государь, герцог…] – начал адъютант.
– Просит подкрепления? – с гневным жестом проговорил Наполеон. Адъютант утвердительно наклонил голову и стал докладывать; но император отвернулся от него, сделав два шага, остановился, вернулся назад и подозвал Бертье. – Надо дать резервы, – сказал он, слегка разводя руками. – Кого послать туда, как вы думаете? – обратился он к Бертье, к этому oison que j'ai fait aigle [гусенку, которого я сделал орлом], как он впоследствии называл его.
– Государь, послать дивизию Клапареда? – сказал Бертье, помнивший наизусть все дивизии, полки и батальоны.
Наполеон утвердительно кивнул головой.
Адъютант поскакал к дивизии Клапареда. И чрез несколько минут молодая гвардия, стоявшая позади кургана, тронулась с своего места. Наполеон молча смотрел по этому направлению.
– Нет, – обратился он вдруг к Бертье, – я не могу послать Клапареда. Пошлите дивизию Фриана, – сказал он.
Хотя не было никакого преимущества в том, чтобы вместо Клапареда посылать дивизию Фриана, и даже было очевидное неудобство и замедление в том, чтобы остановить теперь Клапареда и посылать Фриана, но приказание было с точностью исполнено. Наполеон не видел того, что он в отношении своих войск играл роль доктора, который мешает своими лекарствами, – роль, которую он так верно понимал и осуждал.
Дивизия Фриана, так же как и другие, скрылась в дыму поля сражения. С разных сторон продолжали прискакивать адъютанты, и все, как бы сговорившись, говорили одно и то же. Все просили подкреплений, все говорили, что русские держатся на своих местах и производят un feu d'enfer [адский огонь], от которого тает французское войско.
Наполеон сидел в задумчивости на складном стуле.
Проголодавшийся с утра m r de Beausset, любивший путешествовать, подошел к императору и осмелился почтительно предложить его величеству позавтракать.
– Я надеюсь, что теперь уже я могу поздравить ваше величество с победой, – сказал он.
Наполеон молча отрицательно покачал головой. Полагая, что отрицание относится к победе, а не к завтраку, m r de Beausset позволил себе игриво почтительно заметить, что нет в мире причин, которые могли бы помешать завтракать, когда можно это сделать.
– Allez vous… [Убирайтесь к…] – вдруг мрачно сказал Наполеон и отвернулся. Блаженная улыбка сожаления, раскаяния и восторга просияла на лице господина Боссе, и он плывущим шагом отошел к другим генералам.
Наполеон испытывал тяжелое чувство, подобное тому, которое испытывает всегда счастливый игрок, безумно кидавший свои деньги, всегда выигрывавший и вдруг, именно тогда, когда он рассчитал все случайности игры, чувствующий, что чем более обдуман его ход, тем вернее он проигрывает.
Войска были те же, генералы те же, те же были приготовления, та же диспозиция, та же proclamation courte et energique [прокламация короткая и энергическая], он сам был тот же, он это знал, он знал, что он был даже гораздо опытнее и искуснее теперь, чем он был прежде, даже враг был тот же, как под Аустерлицем и Фридландом; но страшный размах руки падал волшебно бессильно.
Все те прежние приемы, бывало, неизменно увенчиваемые успехом: и сосредоточение батарей на один пункт, и атака резервов для прорвания линии, и атака кавалерии des hommes de fer [железных людей], – все эти приемы уже были употреблены, и не только не было победы, но со всех сторон приходили одни и те же известия об убитых и раненых генералах, о необходимости подкреплений, о невозможности сбить русских и о расстройстве войск.
Прежде после двух трех распоряжений, двух трех фраз скакали с поздравлениями и веселыми лицами маршалы и адъютанты, объявляя трофеями корпуса пленных, des faisceaux de drapeaux et d'aigles ennemis, [пуки неприятельских орлов и знамен,] и пушки, и обозы, и Мюрат просил только позволения пускать кавалерию для забрания обозов. Так было под Лоди, Маренго, Арколем, Иеной, Аустерлицем, Ваграмом и так далее, и так далее. Теперь же что то странное происходило с его войсками.
Несмотря на известие о взятии флешей, Наполеон видел, что это было не то, совсем не то, что было во всех его прежних сражениях. Он видел, что то же чувство, которое испытывал он, испытывали и все его окружающие люди, опытные в деле сражений. Все лица были печальны, все глаза избегали друг друга. Только один Боссе не мог понимать значения того, что совершалось. Наполеон же после своего долгого опыта войны знал хорошо, что значило в продолжение восьми часов, после всех употрсбленных усилий, невыигранное атакующим сражение. Он знал, что это было почти проигранное сражение и что малейшая случайность могла теперь – на той натянутой точке колебания, на которой стояло сражение, – погубить его и его войска.
Когда он перебирал в воображении всю эту странную русскую кампанию, в которой не было выиграно ни одного сраженья, в которой в два месяца не взято ни знамен, ни пушек, ни корпусов войск, когда глядел на скрытно печальные лица окружающих и слушал донесения о том, что русские всё стоят, – страшное чувство, подобное чувству, испытываемому в сновидениях, охватывало его, и ему приходили в голову все несчастные случайности, могущие погубить его. Русские могли напасть на его левое крыло, могли разорвать его середину, шальное ядро могло убить его самого. Все это было возможно. В прежних сражениях своих он обдумывал только случайности успеха, теперь же бесчисленное количество несчастных случайностей представлялось ему, и он ожидал их всех. Да, это было как во сне, когда человеку представляется наступающий на него злодей, и человек во сне размахнулся и ударил своего злодея с тем страшным усилием, которое, он знает, должно уничтожить его, и чувствует, что рука его, бессильная и мягкая, падает, как тряпка, и ужас неотразимой погибели обхватывает беспомощного человека.
Известие о том, что русские атакуют левый фланг французской армии, возбудило в Наполеоне этот ужас. Он молча сидел под курганом на складном стуле, опустив голову и положив локти на колена. Бертье подошел к нему и предложил проехаться по линии, чтобы убедиться, в каком положении находилось дело.
– Что? Что вы говорите? – сказал Наполеон. – Да, велите подать мне лошадь.
Он сел верхом и поехал к Семеновскому.
В медленно расходившемся пороховом дыме по всему тому пространству, по которому ехал Наполеон, – в лужах крови лежали лошади и люди, поодиночке и кучами. Подобного ужаса, такого количества убитых на таком малом пространстве никогда не видал еще и Наполеон, и никто из его генералов. Гул орудий, не перестававший десять часов сряду и измучивший ухо, придавал особенную значительность зрелищу (как музыка при живых картинах). Наполеон выехал на высоту Семеновского и сквозь дым увидал ряды людей в мундирах цветов, непривычных для его глаз. Это были русские.
Русские плотными рядами стояли позади Семеновского и кургана, и их орудия не переставая гудели и дымили по их линии. Сражения уже не было. Было продолжавшееся убийство, которое ни к чему не могло повести ни русских, ни французов. Наполеон остановил лошадь и впал опять в ту задумчивость, из которой вывел его Бертье; он не мог остановить того дела, которое делалось перед ним и вокруг него и которое считалось руководимым им и зависящим от него, и дело это ему в первый раз, вследствие неуспеха, представлялось ненужным и ужасным.
Один из генералов, подъехавших к Наполеону, позволил себе предложить ему ввести в дело старую гвардию. Ней и Бертье, стоявшие подле Наполеона, переглянулись между собой и презрительно улыбнулись на бессмысленное предложение этого генерала.
Наполеон опустил голову и долго молчал.
– A huit cent lieux de France je ne ferai pas demolir ma garde, [За три тысячи двести верст от Франции я не могу дать разгромить свою гвардию.] – сказал он и, повернув лошадь, поехал назад, к Шевардину.
Кутузов сидел, понурив седую голову и опустившись тяжелым телом, на покрытой ковром лавке, на том самом месте, на котором утром его видел Пьер. Он не делал никаких распоряжении, а только соглашался или не соглашался на то, что предлагали ему.
«Да, да, сделайте это, – отвечал он на различные предложения. – Да, да, съезди, голубчик, посмотри, – обращался он то к тому, то к другому из приближенных; или: – Нет, не надо, лучше подождем», – говорил он. Он выслушивал привозимые ему донесения, отдавал приказания, когда это требовалось подчиненным; но, выслушивая донесения, он, казалось, не интересовался смыслом слов того, что ему говорили, а что то другое в выражении лиц, в тоне речи доносивших интересовало его. Долголетним военным опытом он знал и старческим умом понимал, что руководить сотнями тысяч человек, борющихся с смертью, нельзя одному человеку, и знал, что решают участь сраженья не распоряжения главнокомандующего, не место, на котором стоят войска, не количество пушек и убитых людей, а та неуловимая сила, называемая духом войска, и он следил за этой силой и руководил ею, насколько это было в его власти.
Общее выражение лица Кутузова было сосредоточенное, спокойное внимание и напряжение, едва превозмогавшее усталость слабого и старого тела.
В одиннадцать часов утра ему привезли известие о том, что занятые французами флеши были опять отбиты, но что князь Багратион ранен. Кутузов ахнул и покачал головой.
– Поезжай к князю Петру Ивановичу и подробно узнай, что и как, – сказал он одному из адъютантов и вслед за тем обратился к принцу Виртембергскому, стоявшему позади него:
– Не угодно ли будет вашему высочеству принять командование первой армией.
Вскоре после отъезда принца, так скоро, что он еще не мог доехать до Семеновского, адъютант принца вернулся от него и доложил светлейшему, что принц просит войск.
Кутузов поморщился и послал Дохтурову приказание принять командование первой армией, а принца, без которого, как он сказал, он не может обойтись в эти важные минуты, просил вернуться к себе. Когда привезено было известие о взятии в плен Мюрата и штабные поздравляли Кутузова, он улыбнулся.
– Подождите, господа, – сказал он. – Сражение выиграно, и в пленении Мюрата нет ничего необыкновенного. Но лучше подождать радоваться. – Однако он послал адъютанта проехать по войскам с этим известием.
Когда с левого фланга прискакал Щербинин с донесением о занятии французами флешей и Семеновского, Кутузов, по звукам поля сражения и по лицу Щербинина угадав, что известия были нехорошие, встал, как бы разминая ноги, и, взяв под руку Щербинина, отвел его в сторону.
– Съезди, голубчик, – сказал он Ермолову, – посмотри, нельзя ли что сделать.
Кутузов был в Горках, в центре позиции русского войска. Направленная Наполеоном атака на наш левый фланг была несколько раз отбиваема. В центре французы не подвинулись далее Бородина. С левого фланга кавалерия Уварова заставила бежать французов.
В третьем часу атаки французов прекратились. На всех лицах, приезжавших с поля сражения, и на тех, которые стояли вокруг него, Кутузов читал выражение напряженности, дошедшей до высшей степени. Кутузов был доволен успехом дня сверх ожидания. Но физические силы оставляли старика. Несколько раз голова его низко опускалась, как бы падая, и он задремывал. Ему подали обедать.
Флигель адъютант Вольцоген, тот самый, который, проезжая мимо князя Андрея, говорил, что войну надо im Raum verlegon [перенести в пространство (нем.) ], и которого так ненавидел Багратион, во время обеда подъехал к Кутузову. Вольцоген приехал от Барклая с донесением о ходе дел на левом фланге. Благоразумный Барклай де Толли, видя толпы отбегающих раненых и расстроенные зады армии, взвесив все обстоятельства дела, решил, что сражение было проиграно, и с этим известием прислал к главнокомандующему своего любимца.
Кутузов с трудом жевал жареную курицу и сузившимися, повеселевшими глазами взглянул на Вольцогена.
Вольцоген, небрежно разминая ноги, с полупрезрительной улыбкой на губах, подошел к Кутузову, слегка дотронувшись до козырька рукою.
Вольцоген обращался с светлейшим с некоторой аффектированной небрежностью, имеющей целью показать, что он, как высокообразованный военный, предоставляет русским делать кумира из этого старого, бесполезного человека, а сам знает, с кем он имеет дело. «Der alte Herr (как называли Кутузова в своем кругу немцы) macht sich ganz bequem, [Старый господин покойно устроился (нем.) ] – подумал Вольцоген и, строго взглянув на тарелки, стоявшие перед Кутузовым, начал докладывать старому господину положение дел на левом фланге так, как приказал ему Барклай и как он сам его видел и понял.
– Все пункты нашей позиции в руках неприятеля и отбить нечем, потому что войск нет; они бегут, и нет возможности остановить их, – докладывал он.
Кутузов, остановившись жевать, удивленно, как будто не понимая того, что ему говорили, уставился на Вольцогена. Вольцоген, заметив волнение des alten Herrn, [старого господина (нем.) ] с улыбкой сказал:
– Я не считал себя вправе скрыть от вашей светлости того, что я видел… Войска в полном расстройстве…
– Вы видели? Вы видели?.. – нахмурившись, закричал Кутузов, быстро вставая и наступая на Вольцогена. – Как вы… как вы смеете!.. – делая угрожающие жесты трясущимися руками и захлебываясь, закричал он. – Как смоете вы, милостивый государь, говорить это мне. Вы ничего не знаете. Передайте от меня генералу Барклаю, что его сведения неверны и что настоящий ход сражения известен мне, главнокомандующему, лучше, чем ему.
Вольцоген хотел возразить что то, но Кутузов перебил его.
– Неприятель отбит на левом и поражен на правом фланге. Ежели вы плохо видели, милостивый государь, то не позволяйте себе говорить того, чего вы не знаете. Извольте ехать к генералу Барклаю и передать ему назавтра мое непременное намерение атаковать неприятеля, – строго сказал Кутузов. Все молчали, и слышно было одно тяжелое дыхание запыхавшегося старого генерала. – Отбиты везде, за что я благодарю бога и наше храброе войско. Неприятель побежден, и завтра погоним его из священной земли русской, – сказал Кутузов, крестясь; и вдруг всхлипнул от наступивших слез. Вольцоген, пожав плечами и скривив губы, молча отошел к стороне, удивляясь uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на это самодурство старого господина. (нем.) ]
– Да, вот он, мой герой, – сказал Кутузов к полному красивому черноволосому генералу, который в это время входил на курган. Это был Раевский, проведший весь день на главном пункте Бородинского поля.
Раевский доносил, что войска твердо стоят на своих местах и что французы не смеют атаковать более. Выслушав его, Кутузов по французски сказал:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Вы, стало быть, не думаете, как другие, что мы должны отступить?]
– Au contraire, votre altesse, dans les affaires indecises c'est loujours le plus opiniatre qui reste victorieux, – отвечал Раевский, – et mon opinion… [Напротив, ваша светлость, в нерешительных делах остается победителем тот, кто упрямее, и мое мнение…]
– Кайсаров! – крикнул Кутузов своего адъютанта. – Садись пиши приказ на завтрашний день. А ты, – обратился он к другому, – поезжай по линии и объяви, что завтра мы атакуем.
Пока шел разговор с Раевским и диктовался приказ, Вольцоген вернулся от Барклая и доложил, что генерал Барклай де Толли желал бы иметь письменное подтверждение того приказа, который отдавал фельдмаршал.
Кутузов, не глядя на Вольцогена, приказал написать этот приказ, который, весьма основательно, для избежания личной ответственности, желал иметь бывший главнокомандующий.
И по неопределимой, таинственной связи, поддерживающей во всей армии одно и то же настроение, называемое духом армии и составляющее главный нерв войны, слова Кутузова, его приказ к сражению на завтрашний день, передались одновременно во все концы войска.
Далеко не самые слова, не самый приказ передавались в последней цепи этой связи. Даже ничего не было похожего в тех рассказах, которые передавали друг другу на разных концах армии, на то, что сказал Кутузов; но смысл его слов сообщился повсюду, потому что то, что сказал Кутузов, вытекало не из хитрых соображений, а из чувства, которое лежало в душе главнокомандующего, так же как и в душе каждого русского человека.
-
-
-
-
