Калибровочная инвариантность

Калибро́вочная инвариа́нтность — инвариантность прогнозов теории относительно (локальных) калибровочных преобразований. Впервые калибровочная инвариантность была установлена в классической электродинамике. Глобальная калибровочная инвариантность приводит к закону сохранения электрического заряда в силу теоремы Нётер.

Требование калибровочной инвариантности — одно из ключевых положений физики элементарных частиц. Именно через калибровочную инвариантность удается самосогласованным образом описать в Стандартной модели электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. В частности, электромагнитное поле «появляется» в некоторой квантово-полевой теории при дополнительном требовании локальной калибровочной инвариантности лагранжиана теории. По такому принципу можно «вывести» лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД) из лагранжиана поля Дирака (электронного поля или электрон-позитронного поля).

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

В классической электродинамике

Пусть <math>f=f(x,y,z,t)</math> — произвольная скалярная функция координат и времени. Тогда если изменить потенциалы электромагнитного поля следующим образом:

<math>\varphi' = \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}; \, \mathbf A' = \mathbf A + \nabla f</math>

то реально наблюдаемое поведение системы не изменится. Это очевидно из того, что значения электрического и магнитного полей <math>\mathbf E</math> и <math>\mathbf B</math> при таком преобразовании останутся теми же.

Независимость от фазы комплексного числа

Упрощённо основную идею калибровочной инвариантности можно пояснить следующим образом. Основная характеристика, описывающая физическую систему в квантовой механике, — волновая функция — есть величина комплексная. Однако, все наблюдаемые величины, которые строятся как билинейные комбинации волновых функций, оказываются вещественными (как и должно быть — ведь в нашем осязаемом мире все величины вещественны). В результате получается, что ничего в предсказаниях теории не изменится, если волновые функции умножаются на комплексное число, равное по модулю единице — <math>e^{i\alpha}</math>. (Сопряжённая функция умножается, соответственно, на сопряжённое комплексное число). Это вполне естественно: абсолютное значение фазы комплексного числа — вещь произвольная и не должно влиять на предсказания теории.

Таким образом, квантовая механика инвариантна относительно глобальных фазовых вращений, иначе называемых глобальными калибровочными преобразованиями.

Идея калибровочной инвариантности

А инвариантна ли квантовая механика относительно локальных фазовых вращений <math>e^{i\alpha(\bold{x})}</math> (локальных калибровочных преобразований)? Иными словами, изменится ли что-либо, если волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую? Да, изменится. В частности, очевидно изменится, причём почти произвольным образом, правая часть уравнения Шрёдингера, а значит и эволюция системы во времени. То есть квантовая механика свободной частицы оказывается неинвариантной относительно локальных фазовых вращений.

Можно ли восстановить инвариантность? Да, можно. Однако для этого надо ввести новое физическое поле, которое «чувствует» то внутреннее пространство, в котором мы производим фазовые вращения. В результате, при локальных фазовых вращениях у нас преобразуются как волновые функции, так и новое поле, причём так, что изменения в уравнениях за счёт них компенсируют, «калибруют» друг друга. То есть квантовая механика с дополнительным новым полем стала калибровочно инвариантна.

Если теперь изучить свойства нового поля, то оно будет напоминать электромагнитное поле, которое мы наблюдаем в нашем мире. В частности, взаимодействие этого поля с веществом как раз совпадает с электромагнитным. Поэтому вполне естественно при построении теории отождествить эти два поля.

Итак, требование калибровочной инвариантности оказалось неожиданно удобным способом ввести в теорию и электромагнитное поле. Его не пришлось рассматривать отдельно, оно появилось в теории почти «само».

Калибровочные поля как основа Стандартной Модели

Первую единую теорию гравитационного и электромагнитного поля на основе идей калибровочной инвариантности предложил Г. Вейль. Современная теория калибровочных полей развивает и обобщает его идеи, на основе калибровочных преобразований более сложного вида, отвечающих за инвариантность в некотором более сложном пространстве внутренних степеней свободы.

Так, например, инвариантность относительно вращений кварков в цветовом пространстве приводит к тому, что сильные взаимодействия тоже можно описать как калибровочные поля. Слабые взаимодействия отдельно описать как калибровочные не получается, однако существует неожиданно изящный метод описания электромагнитного и слабого взаимодействий одновременно как двух разных проявлений некоторого калибровочного электрослабого поля.

Таким образом, получается, что все фундаментальные взаимодействия выводятся на основании калибровочной инвариантности. С точки зрения построения физической теории, это крайне экономная и удачная схема.

Особняком стоит гравитационное взаимодействие. Оно также оказывается калибровочным полем, причём общая теория относительности как раз и является калибровочной теорией гравитационного взаимодействия. Однако она формулируется, во-первых, не на квантовом уровне, и до сих пор непонятно, как именно проквантовать её, а во-вторых, пространством, в котором мы производим вращения, является наше привычное четырёхмерное пространство-время, а не внутреннее пространство симметрии взаимодействия.

См. также

• Калибровка векторного потенциала
• Калибровочная симметрия (математика)
• Калибровочная теория гравитации
• Нерешённые проблемы современной физики

Литература

• Г. 'т Хоофт, [ufn.ru/ufn81/ufn81_11/Russian/r8111f.pdf Калибровочные теории сил между элементарными частицами], «Успехи физических наук», 1981, т. 135, вып. 3, с.379. (перевод статьи из «Scientific American», June 1980, Vol. 242, p.90.)
• Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М.: Атомиздат, 1972.
• Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1978. — 238 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля. — М.: УРСС, 2000. — 157 с. — ISBN 5-88417-221-4.
• Утияма Р. К чему пришла физика. От теории относительности к теории калибровочных полей. — М: Знание, 1986. — 224 с.
• Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. — М: Энергоатомиздат, 1984. — 288 с.
• Иваненко Д.Д. Элементарные частицы и компенсирующие поля. — М: Мир, 1964. — 298 с.

Отрывок, характеризующий Калибровочная инвариантность

– Вы поспешили, очень рад. Ну, что говорит Париж? – сказал он, вдруг изменяя свое прежде строгое выражение на самое ласковое.
– Sire, tout Paris regrette votre absence, [Государь, весь Париж сожалеет о вашем отсутствии.] – как и должно, ответил де Боссе. Но хотя Наполеон знал, что Боссе должен сказать это или тому подобное, хотя он в свои ясные минуты знал, что это было неправда, ему приятно было это слышать от де Боссе. Он опять удостоил его прикосновения за ухо.
– Je suis fache, de vous avoir fait faire tant de chemin, [Очень сожалею, что заставил вас проехаться так далеко.] – сказал он.
– Sire! Je ne m'attendais pas a moins qu'a vous trouver aux portes de Moscou, [Я ожидал не менее того, как найти вас, государь, у ворот Москвы.] – сказал Боссе.
Наполеон улыбнулся и, рассеянно подняв голову, оглянулся направо. Адъютант плывущим шагом подошел с золотой табакеркой и подставил ее. Наполеон взял ее.
– Да, хорошо случилось для вас, – сказал он, приставляя раскрытую табакерку к носу, – вы любите путешествовать, через три дня вы увидите Москву. Вы, верно, не ждали увидать азиатскую столицу. Вы сделаете приятное путешествие.
Боссе поклонился с благодарностью за эту внимательность к его (неизвестной ему до сей поры) склонности путешествовать.
– А! это что? – сказал Наполеон, заметив, что все придворные смотрели на что то, покрытое покрывалом. Боссе с придворной ловкостью, не показывая спины, сделал вполуоборот два шага назад и в одно и то же время сдернул покрывало и проговорил:
– Подарок вашему величеству от императрицы.
Это был яркими красками написанный Жераром портрет мальчика, рожденного от Наполеона и дочери австрийского императора, которого почему то все называли королем Рима.
Весьма красивый курчавый мальчик, со взглядом, похожим на взгляд Христа в Сикстинской мадонне, изображен был играющим в бильбоке. Шар представлял земной шар, а палочка в другой руке изображала скипетр.
Хотя и не совсем ясно было, что именно хотел выразить живописец, представив так называемого короля Рима протыкающим земной шар палочкой, но аллегория эта, так же как и всем видевшим картину в Париже, так и Наполеону, очевидно, показалась ясною и весьма понравилась.
– Roi de Rome, [Римский король.] – сказал он, грациозным жестом руки указывая на портрет. – Admirable! [Чудесно!] – С свойственной итальянцам способностью изменять произвольно выражение лица, он подошел к портрету и сделал вид задумчивой нежности. Он чувствовал, что то, что он скажет и сделает теперь, – есть история. И ему казалось, что лучшее, что он может сделать теперь, – это то, чтобы он с своим величием, вследствие которого сын его в бильбоке играл земным шаром, чтобы он выказал, в противоположность этого величия, самую простую отеческую нежность. Глаза его отуманились, он подвинулся, оглянулся на стул (стул подскочил под него) и сел на него против портрета. Один жест его – и все на цыпочках вышли, предоставляя самому себе и его чувству великого человека.
Посидев несколько времени и дотронувшись, сам не зная для чего, рукой до шероховатости блика портрета, он встал и опять позвал Боссе и дежурного. Он приказал вынести портрет перед палатку, с тем, чтобы не лишить старую гвардию, стоявшую около его палатки, счастья видеть римского короля, сына и наследника их обожаемого государя.
Как он и ожидал, в то время как он завтракал с господином Боссе, удостоившимся этой чести, перед палаткой слышались восторженные клики сбежавшихся к портрету офицеров и солдат старой гвардии.
– Vive l'Empereur! Vive le Roi de Rome! Vive l'Empereur! [Да здравствует император! Да здравствует римский король!] – слышались восторженные голоса.
После завтрака Наполеон, в присутствии Боссе, продиктовал свой приказ по армии.
– Courte et energique! [Короткий и энергический!] – проговорил Наполеон, когда он прочел сам сразу без поправок написанную прокламацию. В приказе было:
«Воины! Вот сражение, которого вы столько желали. Победа зависит от вас. Она необходима для нас; она доставит нам все нужное: удобные квартиры и скорое возвращение в отечество. Действуйте так, как вы действовали при Аустерлице, Фридланде, Витебске и Смоленске. Пусть позднейшее потомство с гордостью вспомнит о ваших подвигах в сей день. Да скажут о каждом из вас: он был в великой битве под Москвою!»
– De la Moskowa! [Под Москвою!] – повторил Наполеон, и, пригласив к своей прогулке господина Боссе, любившего путешествовать, он вышел из палатки к оседланным лошадям.
– Votre Majeste a trop de bonte, [Вы слишком добры, ваше величество,] – сказал Боссе на приглашение сопутствовать императору: ему хотелось спать и он не умел и боялся ездить верхом.
Но Наполеон кивнул головой путешественнику, и Боссе должен был ехать. Когда Наполеон вышел из палатки, крики гвардейцев пред портретом его сына еще более усилились. Наполеон нахмурился.
– Снимите его, – сказал он, грациозно величественным жестом указывая на портрет. – Ему еще рано видеть поле сражения.
Боссе, закрыв глаза и склонив голову, глубоко вздохнул, этим жестом показывая, как он умел ценить и понимать слова императора.


Весь этот день 25 августа, как говорят его историки, Наполеон провел на коне, осматривая местность, обсуживая планы, представляемые ему его маршалами, и отдавая лично приказания своим генералам.
Первоначальная линия расположения русских войск по Ко лоче была переломлена, и часть этой линии, именно левый фланг русских, вследствие взятия Шевардинского редута 24 го числа, была отнесена назад. Эта часть линии была не укреплена, не защищена более рекою, и перед нею одною было более открытое и ровное место. Очевидно было для всякого военного и невоенного, что эту часть линии и должно было атаковать французам. Казалось, что для этого не нужно было много соображений, не нужно было такой заботливости и хлопотливости императора и его маршалов и вовсе не нужно той особенной высшей способности, называемой гениальностью, которую так любят приписывать Наполеону; но историки, впоследствии описывавшие это событие, и люди, тогда окружавшие Наполеона, и он сам думали иначе.
Наполеон ездил по полю, глубокомысленно вглядывался в местность, сам с собой одобрительно или недоверчиво качал головой и, не сообщая окружавшим его генералам того глубокомысленного хода, который руководил его решеньями, передавал им только окончательные выводы в форме приказаний. Выслушав предложение Даву, называемого герцогом Экмюльским, о том, чтобы обойти левый фланг русских, Наполеон сказал, что этого не нужно делать, не объясняя, почему это было не нужно. На предложение же генерала Компана (который должен был атаковать флеши), провести свою дивизию лесом, Наполеон изъявил свое согласие, несмотря на то, что так называемый герцог Эльхингенский, то есть Ней, позволил себе заметить, что движение по лесу опасно и может расстроить дивизию.
Осмотрев местность против Шевардинского редута, Наполеон подумал несколько времени молча и указал на места, на которых должны были быть устроены к завтрему две батареи для действия против русских укреплений, и места, где рядом с ними должна была выстроиться полевая артиллерия.
Отдав эти и другие приказания, он вернулся в свою ставку, и под его диктовку была написана диспозиция сражения.
Диспозиция эта, про которую с восторгом говорят французские историки и с глубоким уважением другие историки, была следующая:
«С рассветом две новые батареи, устроенные в ночи, на равнине, занимаемой принцем Экмюльским, откроют огонь по двум противостоящим батареям неприятельским.
В это же время начальник артиллерии 1 го корпуса, генерал Пернетти, с 30 ю орудиями дивизии Компана и всеми гаубицами дивизии Дессе и Фриана, двинется вперед, откроет огонь и засыплет гранатами неприятельскую батарею, против которой будут действовать!