Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактные преобразования) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

<math>Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>

<math>P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>

<math>j = 1, \ldots, s,</math>, где <math>s</math> — число степеней свободы,

<math>\frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; q_1, \ldots, q_s)} \neq 0,</math>

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона <math>H</math>:

<math>\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},</math>

<math>\dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i},</math>

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона <math>\mathcal{H}</math>:

<math>\dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i},</math>

<math>\dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}.</math>

Переменные <math>Q_i</math> и <math>P_i</math> называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а <math>q_i</math> и <math>p_i</math> — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

<math>\sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H}dt - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF,</math>

где постоянную <math>c \neq 0</math> называют валентностью канонического преобразования, <math>dF</math> — полный дифференциал некоторой функции <math>F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t)</math> (предполагается, что <math>P_i</math> и <math>Q_i</math> также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых <math>c = 1</math> называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные <math>c</math> изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных <math>p_i, q_i, Q_i, P_i</math>, причём выбор независим для каждого <math>i = 1, \cdots, s</math>. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого <math>i</math> одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции <math>F</math> имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты <math>F = F(q,p(q,Q,t),t) = F_1(q,Q,t)</math>. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции <math>F</math>. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех <math>i</math> возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

<math>F_1(q,Q,t), \; F_2(q,P,t), \; F_3(p,Q,t), \; F_4(p,P,t),</math>

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов <math>q = (q_1,\cdots, q_2)</math> <math>p = (p_1,\cdots, p_2)</math>, , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть <math>F_1(q,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

<math>\det \left( \frac{\partial^2 F_1}{\partial q \, \partial Q}\right) \ne 0,</math>

кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_1, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу

<math>p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_1}{\partial q},</math>

<math>P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q},</math>

<math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_1}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:

<math>F_1(q,Q,t) = F(q,p(q,Q,t),t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

<math>\det \left(\frac{\partial Q}{\partial p} \right) \neq 0.</math>

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть <math>F_2(q,P,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

<math>\det \left(\frac{\partial^2 F_2}{\partial q \, \partial P}\right) \ne 0.</math>

кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_2, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу

<math>p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_2}{\partial q},</math>

<math>Q = \frac{\partial F_2}{\partial P},</math>

<math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_2}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:

<math>F_2(q,P,t) = F(q,p(q,P,t),t) + P Q(q,p(q,P,t),t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

<math>\det \left(\frac{\partial P}{\partial p} \right) \neq 0.</math>

Производящая функция 3-го типа

Пусть <math>F_3(p,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

<math>\det \left(\frac{\partial^2 F_3}{\partial p \, \partial Q}\right) \ne 0.</math>

кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_3, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу

<math>q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_3}{\partial p},</math>

<math>P = -\frac{\partial F_3}{\partial Q},</math>

<math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_3}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:

<math>F_3(p,Q,t) = F(q(p,Q,t),p,t) - c p q(p,Q,t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

<math>\det \left(\frac{\partial Q}{\partial q} \right) \neq 0.</math>

Производящая функция 4-го типа

Пусть <math>F_4(p,P,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

<math>\det \left(\frac{\partial^2 F_4}{\partial p \, \partial P}\right) \ne 0.</math>

кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_4, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу

<math>q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_4}{\partial p},</math>

<math>Q = \frac{\partial F_4}{\partial P},</math>

<math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_4}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:

<math>F_4(p,P,t) = F(q(p,P,t),p,t)+ P Q(q(p,P,t),p,t) - c p q(p,P,t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

<math>\det \left(\frac{\partial P}{\partial q} \right) \neq 0.</math>

Примеры

1. Тождественное преобразование

<math>Q = q,</math>

<math>P = p,</math>

<math>\mathcal{H} = H </math>

может быть получено при:

<math>F_2 = q P, \quad c=1.</math>

2. Если задать

<math>F_1 = - \alpha q P, \quad c=-\alpha \beta,</math>

то полученное преобразование будет иметь вид:

<math>Q = \alpha p,</math>

<math>P = \beta q.</math>

<math>\mathcal{H} = - \alpha \beta H </math>

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

<math>Q = -q,</math>

<math>P = -p,</math>

<math>\mathcal{H} = H </math>

может быть получено при:

<math>F_2 = -q P, \quad c=1.</math>

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

<math>F_2 = \varphi(q,t) P, \quad c=1,</math>

тогда

<math>Q = \varphi(q,t).</math>

В частности, если

<math>F_2 = ( A q, P), \quad c=1,</math>

где <math>A,</math> — ортогональная матрица:

<math>A^T A = E,</math>

то

<math>Q = A q,</math>

<math>P = A^T p.</math>

К точечным преобразования приводит и функция:

<math>F_3 = \phi(Q,t) p, \quad c=1,</math>

тогда

<math>q = -\phi(Q,t).</math>

В частности функция

<math>F_3 = -p_x \rho \cos \varphi - p_y \rho \sin \phi - p_z z, \quad c=1,</math>

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных <math>(p,q)</math> системы с одной степенью свободы:

<math> Q = \alpha q + \beta p</math>

<math> P = \gamma q + \delta p</math>

является унивалентным каноническим преобразованием при

<math> \alpha \delta - \beta \gamma = 1,</math>

производящая функция:

<math> F = -\beta \gamma p q - \frac{1}{2} \alpha \gamma q^2 - \frac{1}{2} \beta \delta p^2.</math>

Такие преобразования образуют специальную линейную группу <math>SL(2,\mathbb R)</math>.

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

<math>\mathcal{S} = \int p dq - H dt</math>

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

<math>\lbrace P_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace =0,</math>

<math>\lbrace Q_i (q,p,t), Q_k (q,p,t) \rbrace =0,</math>

<math>\lbrace Q_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace = c \delta_{ik}.</math>

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций <math>f(Q,P,t)</math> и <math>g(Q,P,t)</math> условия:

<math>\lbrace f, g \rbrace_{p q} = c \lbrace f, g \rbrace_{P Q},</math>

где под <math>\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{p q}</math> и <math>\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{P Q}</math> понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

<math>\lbrace f, g \rbrace_{p q} =\lbrace f, g \rbrace_{P Q}</math>

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

<math>[ p_i, p_k] =0,</math>

<math>[q_i, q_k ]=0,</math>

<math>[q_i, p_k]= c \delta_{ik}.</math>

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  [lib.mexmat.ru/books/842 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ]
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. [lib.mexmat.ru/books/7184 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ]
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — Спб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..

Отрывок, характеризующий Каноническое преобразование

– Одно было подбито, – отвечал дежурный штаб офицер, – а другое, я не могу понять; я сам там всё время был и распоряжался и только что отъехал… Жарко было, правда, – прибавил он скромно.
Кто то сказал, что капитан Тушин стоит здесь у самой деревни, и что за ним уже послано.
– Да вот вы были, – сказал князь Багратион, обращаясь к князю Андрею.
– Как же, мы вместе немного не съехались, – сказал дежурный штаб офицер, приятно улыбаясь Болконскому.
– Я не имел удовольствия вас видеть, – холодно и отрывисто сказал князь Андрей.
Все молчали. На пороге показался Тушин, робко пробиравшийся из за спин генералов. Обходя генералов в тесной избе, сконфуженный, как и всегда, при виде начальства, Тушин не рассмотрел древка знамени и спотыкнулся на него. Несколько голосов засмеялось.
– Каким образом орудие оставлено? – спросил Багратион, нахмурившись не столько на капитана, сколько на смеявшихся, в числе которых громче всех слышался голос Жеркова.
Тушину теперь только, при виде грозного начальства, во всем ужасе представилась его вина и позор в том, что он, оставшись жив, потерял два орудия. Он так был взволнован, что до сей минуты не успел подумать об этом. Смех офицеров еще больше сбил его с толку. Он стоял перед Багратионом с дрожащею нижнею челюстью и едва проговорил:
– Не знаю… ваше сиятельство… людей не было, ваше сиятельство.
– Вы бы могли из прикрытия взять!
Что прикрытия не было, этого не сказал Тушин, хотя это была сущая правда. Он боялся подвести этим другого начальника и молча, остановившимися глазами, смотрел прямо в лицо Багратиону, как смотрит сбившийся ученик в глаза экзаменатору.
Молчание было довольно продолжительно. Князь Багратион, видимо, не желая быть строгим, не находился, что сказать; остальные не смели вмешаться в разговор. Князь Андрей исподлобья смотрел на Тушина, и пальцы его рук нервически двигались.
– Ваше сиятельство, – прервал князь Андрей молчание своим резким голосом, – вы меня изволили послать к батарее капитана Тушина. Я был там и нашел две трети людей и лошадей перебитыми, два орудия исковерканными, и прикрытия никакого.
Князь Багратион и Тушин одинаково упорно смотрели теперь на сдержанно и взволнованно говорившего Болконского.
– И ежели, ваше сиятельство, позволите мне высказать свое мнение, – продолжал он, – то успехом дня мы обязаны более всего действию этой батареи и геройской стойкости капитана Тушина с его ротой, – сказал князь Андрей и, не ожидая ответа, тотчас же встал и отошел от стола.
Князь Багратион посмотрел на Тушина и, видимо не желая выказать недоверия к резкому суждению Болконского и, вместе с тем, чувствуя себя не в состоянии вполне верить ему, наклонил голову и сказал Тушину, что он может итти. Князь Андрей вышел за ним.
– Вот спасибо: выручил, голубчик, – сказал ему Тушин.
Князь Андрей оглянул Тушина и, ничего не сказав, отошел от него. Князю Андрею было грустно и тяжело. Всё это было так странно, так непохоже на то, чего он надеялся.

«Кто они? Зачем они? Что им нужно? И когда всё это кончится?» думал Ростов, глядя на переменявшиеся перед ним тени. Боль в руке становилась всё мучительнее. Сон клонил непреодолимо, в глазах прыгали красные круги, и впечатление этих голосов и этих лиц и чувство одиночества сливались с чувством боли. Это они, эти солдаты, раненые и нераненые, – это они то и давили, и тяготили, и выворачивали жилы, и жгли мясо в его разломанной руке и плече. Чтобы избавиться от них, он закрыл глаза.
Он забылся на одну минуту, но в этот короткий промежуток забвения он видел во сне бесчисленное количество предметов: он видел свою мать и ее большую белую руку, видел худенькие плечи Сони, глаза и смех Наташи, и Денисова с его голосом и усами, и Телянина, и всю свою историю с Теляниным и Богданычем. Вся эта история была одно и то же, что этот солдат с резким голосом, и эта то вся история и этот то солдат так мучительно, неотступно держали, давили и все в одну сторону тянули его руку. Он пытался устраняться от них, но они не отпускали ни на волос, ни на секунду его плечо. Оно бы не болело, оно было бы здорово, ежели б они не тянули его; но нельзя было избавиться от них.
Он открыл глаза и поглядел вверх. Черный полог ночи на аршин висел над светом углей. В этом свете летали порошинки падавшего снега. Тушин не возвращался, лекарь не приходил. Он был один, только какой то солдатик сидел теперь голый по другую сторону огня и грел свое худое желтое тело.
«Никому не нужен я! – думал Ростов. – Некому ни помочь, ни пожалеть. А был же и я когда то дома, сильный, веселый, любимый». – Он вздохнул и со вздохом невольно застонал.
– Ай болит что? – спросил солдатик, встряхивая свою рубаху над огнем, и, не дожидаясь ответа, крякнув, прибавил: – Мало ли за день народу попортили – страсть!
Ростов не слушал солдата. Он смотрел на порхавшие над огнем снежинки и вспоминал русскую зиму с теплым, светлым домом, пушистою шубой, быстрыми санями, здоровым телом и со всею любовью и заботою семьи. «И зачем я пошел сюда!» думал он.
На другой день французы не возобновляли нападения, и остаток Багратионова отряда присоединился к армии Кутузова.



Князь Василий не обдумывал своих планов. Он еще менее думал сделать людям зло для того, чтобы приобрести выгоду. Он был только светский человек, успевший в свете и сделавший привычку из этого успеха. У него постоянно, смотря по обстоятельствам, по сближениям с людьми, составлялись различные планы и соображения, в которых он сам не отдавал себе хорошенько отчета, но которые составляли весь интерес его жизни. Не один и не два таких плана и соображения бывало у него в ходу, а десятки, из которых одни только начинали представляться ему, другие достигались, третьи уничтожались. Он не говорил себе, например: «Этот человек теперь в силе, я должен приобрести его доверие и дружбу и через него устроить себе выдачу единовременного пособия», или он не говорил себе: «Вот Пьер богат, я должен заманить его жениться на дочери и занять нужные мне 40 тысяч»; но человек в силе встречался ему, и в ту же минуту инстинкт подсказывал ему, что этот человек может быть полезен, и князь Василий сближался с ним и при первой возможности, без приготовления, по инстинкту, льстил, делался фамильярен, говорил о том, о чем нужно было.
Пьер был у него под рукою в Москве, и князь Василий устроил для него назначение в камер юнкеры, что тогда равнялось чину статского советника, и настоял на том, чтобы молодой человек с ним вместе ехал в Петербург и остановился в его доме. Как будто рассеянно и вместе с тем с несомненной уверенностью, что так должно быть, князь Василий делал всё, что было нужно для того, чтобы женить Пьера на своей дочери. Ежели бы князь Василий обдумывал вперед свои планы, он не мог бы иметь такой естественности в обращении и такой простоты и фамильярности в сношении со всеми людьми, выше и ниже себя поставленными. Что то влекло его постоянно к людям сильнее или богаче его, и он одарен был редким искусством ловить именно ту минуту, когда надо и можно было пользоваться людьми.
Пьер, сделавшись неожиданно богачом и графом Безухим, после недавнего одиночества и беззаботности, почувствовал себя до такой степени окруженным, занятым, что ему только в постели удавалось остаться одному с самим собою. Ему нужно было подписывать бумаги, ведаться с присутственными местами, о значении которых он не имел ясного понятия, спрашивать о чем то главного управляющего, ехать в подмосковное имение и принимать множество лиц, которые прежде не хотели и знать о его существовании, а теперь были бы обижены и огорчены, ежели бы он не захотел их видеть. Все эти разнообразные лица – деловые, родственники, знакомые – все были одинаково хорошо, ласково расположены к молодому наследнику; все они, очевидно и несомненно, были убеждены в высоких достоинствах Пьера. Беспрестанно он слышал слова: «С вашей необыкновенной добротой» или «при вашем прекрасном сердце», или «вы сами так чисты, граф…» или «ежели бы он был так умен, как вы» и т. п., так что он искренно начинал верить своей необыкновенной доброте и своему необыкновенному уму, тем более, что и всегда, в глубине души, ему казалось, что он действительно очень добр и очень умен. Даже люди, прежде бывшие злыми и очевидно враждебными, делались с ним нежными и любящими. Столь сердитая старшая из княжен, с длинной талией, с приглаженными, как у куклы, волосами, после похорон пришла в комнату Пьера. Опуская глаза и беспрестанно вспыхивая, она сказала ему, что очень жалеет о бывших между ними недоразумениях и что теперь не чувствует себя вправе ничего просить, разве только позволения, после постигшего ее удара, остаться на несколько недель в доме, который она так любила и где столько принесла жертв. Она не могла удержаться и заплакала при этих словах. Растроганный тем, что эта статуеобразная княжна могла так измениться, Пьер взял ее за руку и просил извинения, сам не зная, за что. С этого дня княжна начала вязать полосатый шарф для Пьера и совершенно изменилась к нему.
– Сделай это для нее, mon cher; всё таки она много пострадала от покойника, – сказал ему князь Василий, давая подписать какую то бумагу в пользу княжны.
Князь Василий решил, что эту кость, вексель в 30 т., надо было всё таки бросить бедной княжне с тем, чтобы ей не могло притти в голову толковать об участии князя Василия в деле мозаикового портфеля. Пьер подписал вексель, и с тех пор княжна стала еще добрее. Младшие сестры стали также ласковы к нему, в особенности самая младшая, хорошенькая, с родинкой, часто смущала Пьера своими улыбками и смущением при виде его.