Карацуба, Анатолий Алексеевич

Карацуба Анатолий Алексеевич
Дата рождения:	31 января 1937(1937-01-31)
Место рождения:	Грозный
Дата смерти:	28 сентября 2008(2008-09-28) (71 год)
Место смерти:	Москва, Россия
Страна:	СССР СССР, Россия Россия
Научная сфера:	математика
Место работы:	МИАН, МГУ
Альма-матер:	МГУ (мехмат)
Научный руководитель:	Коробов Н. М.
Известные ученики:	Воронин С. М., Чубариков В. Н.
Награды и премии:	премия им. П. Л. Чебышёва АН СССР премия им. И. М. Виноградова РАН

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба (31 января 1937, Грозный — 28 сентября 2008, Москва) — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел (умножение Карацубы).

Учёба и работа

Анатолий Карацуба учился в 1944—1954 годах в средней мужской школе № 6 города Грозного и окончил её с серебряной медалью. Уже в ранние годы проявлял исключительные способности к математике, решая в младших классах задачи, которые давали в математическом кружке старшеклассникам.

В 1959 году окончил механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова. В 1962 году он стал кандидатом физико-математических наук с диссертацией «Рациональные тригонометрические суммы специального вида и их приложения» (научный руководитель — Н. М. Коробов), и начал работать на факультете в МГУ. В 1966 году он защитил докторскую диссертацию «Метод тригонометрических сумм и теоремы о среднем» и стал научным сотрудником Математического института АН СССР (МИАН).

С 1983 года он являлся ведущим специалистом в области теории чисел в СССР и России, и заведующим отдела теории чисел в МИАН (образован в 1983 году), профессором кафедры теории чисел МГУ с 1970 года и профессором кафедры математического анализа МГУ (образована в 1962 году) с 1980 года. Его исследовательские интересы включали тригонометрические суммы и тригонометрические интегралы, дзета-функцию Римана, характеры Дирихле, конечный автомат, эффективные алгоритмы.

Карацуба был научным руководителем 15 аспирантов, получивших степень кандидата наук; семеро из них стали впоследствии докторами наук. Имеет государственные премии и звания.

Премии и звания

• 1981: Премия имени П. Л. Чебышёва АН СССР
• 1999: Заслуженный деятель науки РФ
• 2001: Премия имени И. М. Виноградова РАН

Ранние работы по информатике

Будучи студентом МГУ им. Ломоносова, А. А. Карацуба принимал участие в работе семинара А. Н. Колмогорова и нашёл решения двух поставленных Колмогоровым проблем, что дало импульс развитию теории автоматов и положило начало новому направлению в математике — теории быстрых алгоритмов.

Автоматы

В статье Эдварда Мура «Умозрительные эксперименты на последовательных машинах» <math>(n; m; p)</math> автомат (или машина) <math>S</math> определяется как имеющее <math>n</math> состояний, <math>m</math> входных символов и <math>p</math> выходных символов устройство. Доказывается девять теорем о структуре <math>S</math> и экспериментах с <math>S</math>. Позднее такие <math>S</math> машины стали называть автоматами Мура. В конце статьи, в главе «Новые проблемы» Мур формулирует задачу об улучшении оценок полученных им в теоремах 8 и 9:

Теорема 8 (Мур). Пусть задана произвольная <math>(n; m; p)</math> машина <math>S</math>, такая что каждые два её состояния различимы одно от другого, тогда существует эксперимент длины <math>n(n-1)/2</math> который устанавливает (находит) состояние <math>S</math> в конце этого эксперимента.

В 1957 году Карацуба доказал две теоремы, которые полностью решили проблему Мура по улучшению оценки длины эксперимента в его Теореме 8.

Теорема A (Карацуба). Если <math>S</math> есть <math>(n; m; p)</math> машина, каждые два состояния которой различимы между собой, то существует разветвлённый эксперимент длины не более чем <math>(n-1)(n-2)/2 + 1</math>, посредством которого можно установить (найти) состояние <math>S</math> в конце эксперимента.

Теорема B (Карацуба). Существует <math>(n; m; p)</math> машина, каждые два состояния которой взаиморазличимы, такая, что длина наикратчайшего эксперимента, устанавливающего состояние машины в конце эксперимента, равна <math>(n-1)(n-2)/2 + 1</math>.

Эти две теоремы явились основой курсовой работы Карацубы 4-го курса «Об одной проблеме из теории автоматов» которая была отмечена похвальным отзывом (то есть, не очень высоко) на конкурсе студенческих работ механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова в 1958 году. Статья была подана Карацубой в журнал Успехи математических наук в декабре 1958 года, а опубликована лишь в июне 1960 года. Однако, до настоящего времени этот результат Карацубы, который впоследствии стал называться теоремой Мура – Карацубы, является единственным точным (единственно точный нелинейный порядок оценки) нелинейным результатом как в теории автоматов, так и в аналогичных задачах теории сложности вычислений.

Быстрые алгоритмы

Быстрые алгоритмы — область вычислительной математики, которая изучает алгоритмы вычисления заданной функции с заданной точностью с использованием как можно меньшего числа битовых операций. Будем считать, что числа записаны в двоичной системе счисления, знаки которой 0 и 1 называются битами. Одна битовая операция определяется как запись знаков 0, 1, плюс, минус, скобка; сложение, вычитание и умножение двух битов. Первые постановки задач о битовой сложности вычисления принадлежат А. Н. Колмогорову. Сложность умножения <math>M(n)</math> определяется как количество битовых операций, достаточное для вычисления произведения двух <math>n</math>-значных чисел посредством данного алгоритма.

Перемножая два n-значных числа обычным школьным способом «в столбик», мы имеем оценку сверху <math>M(n) = O(n^2)</math>. В 1956 году А. Н. Колмогоров высказал гипотезу, что нижняя оценка <math>M(n)</math> при любом методе умножения есть также величина порядка <math>n^2</math>, то есть нельзя вычислить произведение двух n-значных чисел быстрее, чем за <math>n^2</math> операций (так называемая «гипотеза <math>n^2</math>»). На правдоподобность гипотезы <math>n^2</math> указывал тот факт, что за всё время существования математики к тому моменту люди производили умножение со сложностью порядка <math>O(n^2)</math>, и если бы был более быстрый метод умножения, то он, вероятно, уже был бы найден.

В 1960 году на механико-математическом факультете МГУ начал работать семинар по математическим вопросам кибернетики под руководством А. Н. Колмогорова, где была сформулирована «гипотеза <math>n^2</math>» и поставлен ряд задач об оценке сложности других подобных вычислений. Анатолий Карацуба, надеясь получить нижнюю оценку величины <math>M(n)</math>, нашёл новый метод умножения двух n-значных чисел, известный теперь как умножение Карацубы, с оценкой сложности

<math>M(n) = O(n^{\log_23}) = O(n^{1,58496\ldots}),</math>

и тем самым опровергнув гипотезу <math>n^2</math>, о чём сообщил Колмогорову после очередного заседания семинара. На следующем заседании семинара этот метод был рассказан самим Колмогоровым, и семинар прекратил свою работу. Первая статья с описанием умножения Карацубы была подготовлена самим Колмогоровым, где он представил два разных и несвязанных друг с другом результата двух своих учеников. Хотя в статье Колмогоров чётко отметил, что одна теорема (не связанная с быстрым умножением) принадлежит Ю. Офману, а другая теорема (с первым в истории быстрым умножением) — А. Карацубе, эта публикация двух авторов надолго сбила с толку читателей, которые полагали, что оба автора внесли вклад в создание метода быстрого умножения, и даже называли этот метод двумя именами. Метод Карацубы впоследствии был обобщён до парадигмы «разделяй и властвуй», другими важными примерами которой являются метод двоичного разбиения (англ.), двоичный поиск, метод бисекции и др.

Впоследствии на основе этой идеи А. Карацубы было построено множество быстрых алгоритмов, самыми известными из которых являются его непосредственные обобщения, такие как метод умножения Шёнхаге-Штрассена, метод матричного умножения Штрассена и быстрое преобразование Фурье.

Французский математик и философ Жан-Поль Делайе назвал метод умножения Карацубы «одним из самых полезных результатов математики».

Алгоритм Анатолия Карацубы внедрён практически во все современные компьютеры не только на программном, но и на аппаратном уровне.

Основные исследования

В своей статье «О математических работах профессора Карацубы», посвящённой 60-летнему юбилею А. А. Карацубы, его ученики Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков так описывают особенности научных работ А. А. Карацубы:

При изложении трудов замечательных учёных естественно выделить какие-нибудь характерные и яркие черты их творчества. Такими отличительными чертами в научной деятельности профессора Карацубы являются комбинаторная изобретательность, основательность и определённая законченность результатов.

Основные исследования А. А. Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях.

Тригонометрические суммы и тригонометрические интегралы

p-адический метод

А. А. Карацуба построил новый <math>p</math>-адический метод в теории тригонометрических сумм. Полученные им оценки так называемых <math>L</math>-сумм вида

<math>S = \sum_{x=1}^P e^{2\pi i (a_1x/p^n+ \dots a_nx^n/p)}, \quad (a_s,p) = 1, \quad 1 \le s \le n,</math>

привели к новым границам нулей <math>L</math>-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа, к выводу асимптотической формулы для числа варинговского сравнения вида

<math>x_1^{n} + \dots + x_t^{n} \equiv N \pmod{p^k}, \quad 1 \le x_s \le P, \quad 1 \le s \le n, \quad P < p^k,</math>

решению проблемы распределения дробных долей многочлена с целыми коэффициентами по модулю <math>p^k</math>. А. А. Карацуба первый реализует в <math>p</math>-адической форме «принцип вложения» Эйлера-Виноградова и строит <math>p</math>-адический аналог <math>u</math>- чисел Виноградова при оценке числа решений сравнения варинговского типа.

Пусть

<math>x_1^{n} + \dots + x_t^{n} \equiv N \pmod{Q}, \quad 1 \le x_s \le P, \quad 1 \le s \le t, \quad (1)</math>

причём

<math>P^r \le Q < P^{r+1}, \quad 1 \le r \le \frac{1}{12}\sqrt{n}, \quad Q = p^k, \quad k \ge 4(r+1)n,</math>

где <math>p</math> — простое число. А. А. Карацуба доказал, что в этом случае для всякого натурального числа <math>n \ge 144</math> существует <math>p_0 = p_0(n)</math> такое, что для любого <math>p_0 > p_0(n)</math> всякое натуральное число <math>N</math> представимо в виде (1) при <math>t \ge 20r + 1</math>, а при <math>t < r</math> существуют <math>N</math> такие, что сравнение (1) неразрешимо.

Этот новый подход, найденный А. А. Карацубой, привёл к новому <math>p</math>-адическому доказательству теоремы о среднем И. М. Виноградова, играющей центральную роль в методе тригонометрических сумм Виноградова.

Ещё одним элементом <math>p</math>-адического метода А. А. Карацубы является переход от неполных систем уравнений к полным за счёт локального <math>p</math>-адического изменения неизвестных.

Пусть <math>r</math> — произвольное натуральное число, <math>1 \le r \le n</math>, и целое число <math>t</math> определяется неравенствами <math>m_t \le r \le m_{t+1}</math>. Рассмотрим систему уравнений

<math>

\begin{cases} x_1^{m_1} + \dots + x_k^{m_1} = y_1^{m_1} + \dots + y_k^{m_1},\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\vdots \\ x_1^{m_s} + \dots + x_k^{m_s} = y_1^{m_s} + \dots + y_k^{m_s},\\ x_1^{n} + \dots + x_k^{n} = y_1^{n} + \dots + y_k^{n}. \end{cases} </math>

<math>1 \le x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_k \le P, \quad 1 \le m_1 < m_2 < \dots < m_s < m_{s+1} = n.</math>

А. А. Карацуба доказал, что для числа решений <math>I_k</math> этой системы уравнений при <math>k \ge 6rn\log n</math> справедлива оценка

<math>I_k \ll P^{2k-\delta}, \quad \delta = m_1 + \dots + m_t + (s-t+1)r.</math>

Для неполных систем уравнений, в которых переменные пробегают числа с малыми простыми делителями, А. А. Карацуба применил мультипликативный сдвиг переменных. Это привело к качественно новой оценке тригонометрических сумм и новой теореме о среднем для таких систем уравнений.

Проблема Хуа Ло-кена о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри

<math>p</math>-адический метод А. А. Карацубы включает в себя способы оценок меры множества точек с малыми значениями функций через значения их параметров (коэффициенты и т. п.) и, обратно, оценок этих параметров через меру множества в вещественной и <math>p</math>-адической метриках. Особенно ярко эта сторона метода А. А. Карацубы проявилась при оценках тригонометрических интегралов, что привело к решению проблемы Хуа Ло-кена. В 1979 году А. А. Карацуба вместе со своими учениками Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым полностью решили проблему Хуа Ло-кена, поставленную в 1937 году, которая заключалась в определении показателя сходимости интеграла:

<math>\vartheta_0=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cdots

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int\limits_{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha_{n}x^{n}+\cdots +\alpha_{1}x)}dx\biggr|^{2k}d\alpha_{n}\ldots d\alpha_{1},</math> где <math>n \ge 2</math> — фиксированное число.

В данном случае показателем сходимости называется такое значение <math>\gamma</math>, что <math>\vartheta_0</math> сходится при <math>2k > \gamma + \varepsilon</math> и расходится при <math>2k < \gamma - \varepsilon</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> сколь угодно мало. Было установлено, что интеграл <math> \vartheta_{0}</math> сходится при <math>2k > \tfrac{1}{2}(n^{2}+n)+1</math> и расходится при <math>2k \le \tfrac{1}{2}(n^{2}+n)+1</math>.

Тогда же была решена и аналогичная проблема для интеграла

<math>

\vartheta_1=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int_{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha_n x^n + \alpha_m x^m + \cdots + \alpha_r x^r)}dx\biggr|^{2k}d\alpha_{n}d\alpha_{m}\ldots d\alpha_{r}, </math> где <math>n, m, \ldots, r</math> — целые числа, удовлетворяющие условиям

<math>1 \le r < \ldots < m < n, \quad r + \ldots + m + n < \tfrac{1}{2}(n^2+n).</math>

А. А. Карацубой и его учениками было установлено, что интеграл <math>\vartheta_1</math> сходится, если <math>2k > n + m + \ldots + r</math> и расходится, если <math>2k \le n + m + \ldots + r</math>.

Интегралы <math>\vartheta_0</math> и <math>\vartheta_1</math> возникают при решении так называемой проблемы Терри (проблемы Терри-Эскотта). А. А. Карацубой и его учениками был получен ряд новых результатов, связанных с многомерным аналогом проблемы Терри. В частности, ими было установлено, что если <math>F</math> — полином от <math>r</math> переменных (<math>r \ge 2</math>) вида

<math>

F(x_{1},\ldots, x_{r})\,=\,\sum\limits_{\nu_{1} = 0}^{n_{1}}\cdots \sum\limits_{\nu_{r} = 0}^{n_{r}}\alpha(\nu_{1},\ldots, \nu_{r})x_{1}^{\nu_{1}}\ldots x_{r}^{\nu_{r}}, </math> с нулевым свободным коэффициентом, <math>m = (n_{1}+1) \ldots (n_{r}+1)-1</math>, <math>\bar{\alpha}</math> — <math>m</math>-мерный вектор, составленный из коэффициентов <math>F</math>, то интеграл

<math>

\vartheta_{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cdots \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int\limits_{0}^{1}\cdots\int\limits_{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots, x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}\biggr|^{2k}d\bar{\alpha} </math> сходится при <math>2k > mn</math> , где <math>n</math> — наибольшее из чисел <math>n_1, \ldots, n_r</math>. Этот результат, не являясь окончательным, породил новое направление в теории тригонометрических интегралов, связанное с уточнением границ для показателя сходимости <math>\vartheta_2</math> (И. А. Икромов, М. А. Чахкиев и другие).

Кратные тригонометрические суммы

В 1966—1980 годах А. А. Карацуба создал (при участии своих учеников Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова) теорию кратных тригонометрических сумм Г. Вейля, то есть сумм вида

<math>S = S(A) = \sum_{x_1=1}^{P_1}\dots\sum_{x_r=1}^{P_r}e^{2\pi i F(x_1,\dots,x_r)}</math> ,

где <math>F(x_1,\dots,x_r) = \sum_{t_1=1}^{n_1}\dots\sum_{t_r=1}^{n_r}\alpha(t_1,\dots,t_r)x_1^{t_1}\dots x_r^{t_r}</math> ,

<math>A</math> — набор вещественных коэффициентов <math>\alpha(t_1,\dots,t_r)</math>. Центральным моментом этой теории, как и теории тригонометрических сумм И. М. Виноградова, является следующая теорема о среднем.

Пусть <math>n_1,\dots,n_r,P_1,\dots,P_r</math> — натуральные числа, <math>P_1 = \min(P_1,\dots,P_r)</math>,<math>m = (n_1+1)\dots(n_r+1)</math>. Пусть, далее <math>\Omega</math> — <math>m</math>-мерный куб в евклидовом пространстве вида

<math>0 \le \alpha(t_1,\dots,t_r) < 1</math> , <math>0 \le t_1 \le n_1, \dots ,0 \le t_r \le n_r</math>,

и

<math>J = J(P_1,\dots,P_r;n_1,\dots,n_r;K,r) = \underset{\Omega}{\int\dots\int}|S(A)|^{2K} dA</math> .

Тогда при любом <math>\tau \ge 0</math> и <math>K \ge K_{\tau} = m\tau</math> для величины <math>J</math> имеет место оценка

<math>J \le K_{\tau}^{2m\tau}\varkappa^{4\varkappa^2\Delta(\tau)}2^{8m\varkappa\tau}(P_1\dots P_r)^{2K}P^{-\varkappa\Delta(\tau)}</math> ,

где <math>\varkappa = n_1\nu_1+ \dots + n_r\nu_r</math> , <math>\gamma\varkappa = 1</math>, <math>\Delta(\tau) = \frac{m}{2}(1-(1-\gamma)^{\tau})</math> , <math>P = (P_1^{n_1}\dots P_r^{n_r})^{\gamma}</math>, и натуральные числа <math>\nu_1, \dots , \nu_r</math> таковы, что:

<math>-1 < \frac{P_s}{P_1} - \nu_s \le 0</math> , <math>s= 1,\dots , r</math> .

Теорема о среднем и лемма о кратности пересечения многомерных параллелепипедов лежат в основе оценки кратной тригонометрической суммы, полученной А. А. Карацубой (двумерный случай был получен Г. И. Архиповым). Если обозначить через <math>Q_0</math> наименьшее общее кратное чисел <math>q(t_1,\dots,t_r)</math> с условием <math>t_1 + \dots t_r \ge 1</math>, то при <math>Q_0 \ge P^{1/6}</math> справедлива оценка

<math>|S(A)| \le (5n^{2n})^{r\nu(Q_0)}(\tau(Q_0))^{r-1}P_1\dots P_rQ^{-0.1\mu} + 2^{8r}(r\mu^{-1})^{r-1}P_1\dots P_rP^{-0.05\mu}</math> ,

где <math>\tau(Q)</math> — количество делителей числа <math>Q</math>, а <math>\nu(Q)</math> — количество различных простых делителей числа <math>Q</math>.

Оценка функции Харди в проблеме Варинга

Применяя сконструированную им <math>p</math>-адическую форму кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, А. А. Карацуба получил новую оценку известной функции Харди <math>G(n)</math> в проблеме Варинга (при <math>n \ge 400</math>):

<math>G(n) < 2 n\log n + 2 n\log\log n + 12 n.</math>

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга А. А. Карацуба получил следующее двумерное обобщение этой проблемы:

Рассмотрим систему уравнений

<math>x_1^{n-i}y_1^i + \dots + x_k^{n-i}y_k^i = N_i</math> , <math>i = 0,1,\dots, n</math> ,

где <math>N_i</math> — заданные положительные целые числа имеющие одинаковый порядок роста, <math>N_0 \to +\infty</math> , а <math>x_{\varkappa},y_{\varkappa}</math> — неизвестные, но также положительные целые числа. Эта система разрешима, если <math>k > cn^2\log n</math> , а если <math>k < c_1n^2</math> , то существуют такие <math>N_i</math>-е, что система не имеет решений.

Проблема Артина о локальном представлении нуля формой

В исследованиях по проблеме Артина о <math>p</math>-адическом представлении нуля формой произвольной степени результаты А. А. Карацубы показали, что вместо ранее предполагавшегося степенного роста числа переменных для нетривиального представления нуля формой, это число переменных должно расти почти экспоненциально в зависимости от степени. А. А. Карацуба вместе со своим учеником Г. И. Архиповым доказали, что для любого натурального числа <math>r</math> существует такое <math>n_0 = n_0(r)</math>, что для любого <math>n \ge n_0</math> существует форма <math>F(x_1,\dots,x_k)</math> степени, меньшей <math>n</math>, с целыми коэффициентами, число переменных которой <math>k</math>, <math>k \ge 2^u</math> ,

<math>u = \frac{n}{(\log_2n)(\log_2\log_2n)\dots\underbrace{(\log_2\dots\log_2n)}_r\underbrace{(\log_2\dots\log_2n)^3}_{r+1}}</math>

и имеющая только тривиальное представление нуля в 2-адических числах, а также получили аналогичный результат для произвольного нечётного простого модуля <math>p</math>.

Оценки коротких сумм Клоостермана

А. А. Карацуба создал(1993—1999) новый метод оценок коротких сумм Клоостермана, то есть тригонометрических сумм вида

<math>\sum\limits_{n\in A}\exp{\biggl(2\pi i\,\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr)},</math>

где <math>n</math> пробегает некоторое множество <math>A</math> чисел, взаимно простых с <math>m</math>, число <math>\|A\|</math> элементов в котором существенно меньше <math>m</math>, а символ <math>n^{*}</math> обозначает вычет, обратный к <math>n</math> по модулю <math>m</math>: <math>nn^{*}\equiv 1(\mod m)</math>.

До начала 1990-х гг. оценки такого типа были известны в основном, для сумм, число слагаемых в которых превосходило <math>\sqrt{m}</math> (Г. Д. Клоостерман, И. М. Виноградов, Г. Салье,Л. Карлиц, С. Учияма, А. Вейль). Исключение составляли специальные модули вида <math>m = p^{\alpha}</math>, где <math>p</math> — фиксированное простое число, а показатель <math>\alpha</math> неограниченно возрастает (этот случай был исследован А. Г. Постниковым методом И. М. Виноградова). Метод А. А. Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, число слагаемых которых не превосходит <math>m^{\varepsilon}</math>, а в некоторых случаях — даже <math>\exp{\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon}\}}</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> — сколь угодно малое фиксированное число. Последняя статья А. А. Карацубы на эту тему была опубликована уже после его смерти.

Различные аспекты метода А. А. Карацубы нашли применение в решении следующих задач аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотик сумм дробных долей вида

  <math>{\sum_{n\le x}}'\biggl\{\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr\}, {\sum_{p\le x}}'\biggl\{\frac{ap^{*}+bp}{m}\biggr\},</math>

где <math>n</math> пробегает подряд идущие целые числа с условием <math>(n,m)=1</math>, а <math>p</math> пробегает простые числа, не делящие модуль <math>m</math> (А. А. Карацуба);

• нахождение нижней границы для числа решений неравенств вида

  <math>\alpha<\biggl\{\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr\}\le\beta</math>

в целых числах <math>n</math>, <math>1\le n\le x</math>, взаимно простых с <math>m</math>, <math>x<\sqrt{m}</math> (А. А. Карацуба);

• точность приближения произвольного вещественного числа из отрезка <math>[0,1]</math> дробными долями вида

  <math>\biggl\{\frac{an^{*}+bn}{m}\biggr\},</math>

где <math>1\le n\le x</math>, <math>(n,m)=1</math>, <math>x<\sqrt{m}</math> (А. А. Карацуба);

• уточнение постоянной <math>c</math> в неравенстве Бруна-Титчмарша

  <math>\pi(x;q,l)< \frac{cx}{\varphi(q)\ln\frac{2x}{q}},</math>

где <math>\pi(x;q,l)</math> — число простых чисел <math>p</math>, не превосходящих <math>x</math> и принадлежащих арифметической прогрессии <math>p\equiv l \pmod{q}</math> (Дж. Фридлендер, Г. Иванец);

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида:

  <math>n^{3}+2</math>, <math>N<n\le 2N</math> (Д. Р. Хиз-Браун);

• доказательство бесконечности простых чисел вида <math>a^{2}+b^{4}</math> (Дж. Фридлендер, Г. Иванец);

• комбинаторные свойства множества чисел <math>n^{*} \pmod{m}</math>, <math>1 \le n \le m^{\varepsilon}</math> (А. А. Глибичук).

Дзета-функция Римана

Гипотеза А. Сельберга

В 1984 году А. А. Карацуба установил, что при фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon < 0.001</math>, достаточно большом <math>T</math> и <math>H = T^{a+\varepsilon}</math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}</math>, промежуток <math>(T,T+H)</math> содержит не менее <math>cH\ln T</math> вещественных нулей дзета-функции Римана <math>\zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr)</math>.

Это утверждение в 1942 году было высказано в качестве гипотезы А. Сельбергом, который сам доказал его справедливость для случая <math>H\ge T^{1/2+\varepsilon}</math>. Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при <math>T\to +\infty</math>.

Распределение нулей дзета-функции Римана на коротких отрезках критической прямой

А. А. Карацубе принадлежит также ряд результатов о распределении нулей <math>\zeta(s)</math> на «коротких» промежутках критической прямой. Он доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков <math>(T,T+H]</math>, <math>H = T^{\varepsilon}</math>, где <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное положительное число. А. А. Карацуба разработал (1992) новый подход к исследованию нулей дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках <math>(T, T+H]</math>, длина <math>H</math> которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени <math>T</math>. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел <math>\varepsilon</math>, <math>\varepsilon_{1}</math> с условием <math>0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1</math> почти все промежутки <math>(T,T+H]</math> при <math>H\ge\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}</math> содержат не менее <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}</math> нулей функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Нули линейных комбинаций эль-рядов Дирихле

А. А. Карацубой создан новый метод исследования нулей функций, представимых в виде линейных комбинаций <math>L</math> -рядов Дирихле. Простейшим примером функции такого рода служит функция Дэвенпорта-Хейльбронна, определяемая равенством

<math>

f(s)=\tfrac{1}{2}(1-i\kappa)L(s,\chi)+\tfrac{1}{2}(1 \,+\,i\kappa)L(s,\bar{\chi}), </math>

где <math>\chi</math> — неглавный характер по модулю <math>5</math> (<math>\chi(1) = 1</math>, <math>\chi(2) = i</math>, <math>\chi(3) = -i</math>, <math>\chi(4) = -1</math>, <math>\chi(5) = 0</math>, <math>\chi(n+5) = \chi(n)</math> для любого <math>n</math>),

<math>

\kappa=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2}{\sqrt{5}-1}. </math>

Для <math>f(s)</math> гипотеза Римана неверна, однако критическая прямая <math>Re \ s = \tfrac{1}{2}</math> содержит, тем не менее, аномально много нулей.

А. А. Карацуба установил (1989), что промежуток <math>(T, T+H]</math>, <math>H = T^{27/82+\varepsilon}</math>, содержит не менее

<math>

H(\ln T)^{1/2}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}} </math>

нулей функции <math>f\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Подобные результаты были получены А. А. Карацубой и для линейных комбинаций, содержащих произвольное (конечное) число слагаемых; показатель степени <math>\tfrac{1}{2}</math> заменяется при этом меньшим числом <math>\beta</math>, зависящим лишь от вида линейной комбинации.

Граница нулей дзета-функции и многомерная проблема делителей Дирихле

А. А. Карацубе принадлежит принципиально новый результат в многомерной проблеме делителей Дирихле, которая связана с нахождением при <math>x\to +\infty</math> числа <math>D_{k}(x)</math> решений неравенства <math>x_{1}*\ldots *x_{k}\le x</math> в натуральных числах <math>x_{1}, \ldots, x_{k}</math>. Для <math>D_{k}(x)</math> имеется асимптотическая формула вида

<math>

D_{k}(x) = xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x) </math> ,

в которой <math>P_{k-1}(u)</math> — многочлен <math>(k-1)</math>-й степени, коэффициенты которого зависят от <math>k</math> и могут быть найдены явно, а <math>R_{k}(x)</math> — остаточный член, все известные (до 1960 г.) оценки которого имели вид

<math>

|R_{k}(x)| \le x^{1-\alpha(k)}(c\ln x)^{k} </math> ,

где <math>\alpha = \frac{1}{ak+b}</math>, <math>a,b,c</math> — абсолютные положительные постоянные.

А. А. Карацуба получил более точную оценку <math>R_{k}(x)</math>, в которой величина <math>\alpha(k)</math> имела порядок <math>k^{-2/3}</math> и убывала гораздо медленнее, чем <math>\alpha(k)</math> в предыдущих оценках. Оценка А. А. Карацубы является равномерной по <math>x</math> и <math>k</math>; в частности, величина <math>k</math> может расти по мере роста <math>x</math> (как некоторая степень логарифма <math>x</math>). (Похожий, но более слабый результат был получен в 1960 г. немецким математиком Х. Э. Рихертом, работа которого оставалась неизвестной советским математикам по меньшей мере до середины 1970-х гг.).

Вывод оценки <math>R_{k}(x)</math> опирается на ряд утверждений, по сути эквивалентных теореме о границе нулей дзета-функции Римана, получаемой методом И. М. Виноградова, то есть теореме о том, что <math>\zeta(s)</math> не имеет нулей в области

<math>

Re \ s \ge 1 - \frac{c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln\ln |t|)^{1/3}},\quad |t|> 10 </math> .

А. А. Карацуба установил (2000) обратную связь оценок величин <math>R_{k}(x)</math> с поведением <math>\zeta(s)</math> вблизи прямой <math>Re \ s = 1</math>. В частности, он доказал, что если <math>\alpha(y)</math> — произвольная невозрастающая функция с условием <math>1/y \le \alpha(y)\le 1/2</math>, такая, что при всех <math>k\ge 2</math> выполняется оценка

<math>

|R_{k}(x)| \le x^{1-\alpha(k)}(c\ln x)^{k} </math> ,

то <math>\zeta(s)</math> не имеет нулей в области

<math>

Re \ s \ge 1 - c_{1}\,\frac{\alpha(\ln |t|)}{\ln\ln |t|},\quad |t|\ge e^{2} </math>

(<math>c, c_{1}</math> — абсолютные постоянные).

Нижние оценки максимума модуля дзета-функции в малых областях критической полосы и на малых промежутках критической прямой

А. А. Карацубой введены и исследованы функции <math>F(T;H)</math> и <math>G(s_{0};\Delta)</math>, определяемые равенствами

<math>

F(T;H) = \max_{|t-T|\le H}\bigl|\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|,\quad G(s_{0};\Delta) = \max_{|s-s_{0}|\le\Delta}|\zeta(s)|. </math>

Здесь <math>T</math> — достаточно большое положительное число, <math>0<H\ll \ln\ln T</math>, <math>s_{0} = \sigma_{0}+iT</math>, <math>\tfrac{1}{2}\le\sigma_{0}\le 1</math>, <math>0<\Delta < \tfrac{1}{3}</math>. Нижние оценки величин <math>F</math> и <math>G</math> показывают, насколько большие (по абсолютной величине) значения может принимать <math>\zeta(s)</math> на коротких отрезках критической прямой или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе <math>0\le Re \ s\le 1</math>. Случай <math>H\gg \ln\ln T</math> был исследован ранее Рамачандрой; случай <math>\Delta > c</math>, где <math>c</math> — достаточно большая постоянная, тривиален.

А. А. Карацуба доказал, в частности, что если величины <math>H</math> и <math>\Delta</math> превосходят некоторые достаточно малые константы, то справедливы оценки

<math>

F(T;H) \ge T^{- c_{1}},\quad G(s_{0}; \Delta) \ge T^{- c_{2}}, </math>

где <math>c_{1}, c_{2}</math> — некоторые абсолютные постоянные.

Поведение аргумента дзета-функции на критической прямой

А. А. Карацубой получен ряд новых результатов , касающихся поведения функции <math>S(t) = \frac{1}{\pi}\arg{\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)}</math>, называемой аргументом дзета-функции Римана на критической прямой (здесь <math>\arg{\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)}</math> — приращение произвольной непрерывной ветви <math>\arg\zeta(s)</math> вдоль ломаной линии, соединяющей точки <math>2, 2+it</math> и <math>\tfrac{1}{2}+it</math>). В их числе — теоремы о средних значениях функции <math>S(t)</math> и её первообразной <math>S_{1}(t) = \int_{0}^{t}S(u)du</math> на отрезках вещественной прямой, а также теорема о том, что всякий промежуток <math>(T,T+H]</math> при <math>H \ge T^{27/82+\varepsilon}</math> содержит не менее

<math>

H(\ln T)^{1/3}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}} </math>

точек перемены знака функции <math>S(t)</math>. Ранее подобные результаты были установлены А. Сельбергом для случая <math>H\ge T^{1/2+\varepsilon}</math>.

Характеры Дирихле

Оценки коротких сумм характеров в конечных полях

В конце 1960-х гг. А. А. Карацуба, занимаясь оценками коротких сумм характеров, создал новый метод, позволивший получать нетривиальные оценки коротких сумм характеров в конечных полях. Пусть <math>n\ge 2</math> — фиксированное целое число, <math>F(x) = x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_{1}x + a_{0}</math> — неприводимый над полем <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел многочлен, <math>\theta</math> — корень уравнения <math>F(\theta) = 0</math>, <math>\mathbb{Q}(\theta)</math> — расширение поля <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\omega_{1},\ldots, \omega_{n}</math> — базис <math>\mathbb{Q}(\theta)</math>, <math>\omega_{1} = 1</math>, <math>\omega_{2} = \theta</math>, <math>\omega_{3} = \theta^{2}, \ldots, \omega_{n} = \theta^{n-1}</math>. Пусть, далее, <math>p</math> — достаточно большое простое число, такое, что <math>F(x)</math> неприводим по модулю <math>p</math>, <math>\mathrm{GF}(p^{n})</math> — поле Галуа с базисом <math>\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}</math>, <math>\chi</math> — неглавный характер Дирихле поля <math>\mathrm{GF}(p^{n})</math>. Пусть, наконец, <math>\nu_{1},\ldots, \nu_{n}</math> — некоторые неотрицательные целые числа, <math>D(X)</math> — множество элементов <math>\bar{x}</math> поля Галуа <math>\mathrm{GF}(p^{n})</math>,

<math>

\bar{x} = x_{1}\omega_{1} + \ldots + x_{n}\omega_{n} </math> ,

таких, что при любом <math>i</math>, <math>1\le i\le n</math>, выполняются неравенства:

<math>

\nu_{i} < x_{i} < \nu_{i} + X </math> .

А. А. Карацуба доказал, что при любом фиксированном <math>k</math>, <math>k\ge n+1</math>, и произвольном <math>X</math> с условием

<math>

p^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4k}} \le X \le p^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4k}} </math>

справедлива оценка:

<math>

\biggl|\sum\limits_{\bar{x}\in D(X)}\chi(\bar{x})\biggr| \le c\Bigl(X^{1-\frac{1}{k}}p^{\frac{1}{4k}+\frac{1}{ 4k^{2}}}\Bigr)^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma}, </math>

где <math>\gamma = \frac{1}{k}(2^{n+1}-1)</math>, а постоянная <math>c</math> зависит лишь от <math>n</math> и базиса <math>\omega_{1},\ldots, \omega_{n}</math>.

Оценки линейных сумм характеров по сдвинутым простым числам

А. А. Карацуба разработал ряд новых приёмов, применение которых наряду с методом И. М. Виноградова оценок сумм с простыми числами позволило ему в 1970 году получить оценку суммы значений неглавного характера по простому модулю <math>q</math> на последовательности сдвинутых простых чисел, а именно оценку вида

<math>\biggl|\sum\limits_{p\le N}\chi(p+k)\biggr|\le cNq^{-\frac{\varepsilon^{2}}{1024}},</math>

где <math>k</math> — целое число с условием <math>k\not\equiv 0\pmod{q}</math>, <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное число, <math>N\ge q^{1/2+\varepsilon}</math>, а постоянная <math>c</math> зависит лишь от <math>\varepsilon</math>.

Это утверждение представляет собой значительное усиление оценки И. М. Виноградова, нетривиальной при <math>N\ge q^{3/4+\varepsilon}</math>.

В 1971 году на Международной конференции по теории чисел, посвященной 80-летию со дня рождения И. М. Виноградова, академик Ю. В. Линник отметил следующее:

Весьма важны исследования И. М. Виноградова в области асимптотики характеров Дирихле от сдвинутых простых чисел <math>\sum\limits_{p\le N}\chi(p+k)</math>, которая давала степенное понижение по сравнению с <math>N</math> уже при <math>N\ge q^{3/4+\varepsilon}</math>, <math>\varepsilon > 0</math>, где <math>q</math> — модуль характера. Эта оценка имеет принципиальное значение, так как по глубине превосходит то, что дает непосредственное применение расширенной гипотезы Римана, и, по-видимому, в этом направлении является истиной, более глубокой, чем указанная гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эту оценку удалось улучшить А. А. Карацубе.

Этот результат был перенесен А. А. Карацубой и на случай, когда <math>p</math> пробегает простые числа арифметической прогрессии, разность которой растет вместе с модулем <math>q</math>.

Оценки сумм характеров от многочленов с простым аргументом

А. А. Карацубе принадлежит ряд оценок сумм характеров Дирихле от многочленов второй степени для случая, когда аргумент многочлена пробегает короткую последовательность подряд идущих простых чисел. Пусть, например, <math>q</math> — достаточно большое простое число, <math>f(x) = (x-a)(x-b)</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — целые числа, удовлетворяющие условию <math>ab(a-b)\not\equiv 0 \pmod{q}</math>, и пусть <math>\left(\frac{n}{q}\right)</math> обозначает символ Лежандра, тогда при любом фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon<\tfrac{1}{2}</math> и <math>N>q^{3/4+\varepsilon}</math> для суммы <math>S_{N}</math>,

<math>

S_{N} = \sum\limits_{p\le N}\biggl(\frac{f(p)}{q}\biggr), </math>

справедлива оценка:

<math>

|S_{N}| \le c\pi(N)q^{-\frac{\varepsilon^{2}}{100}} </math>

(здесь <math>p</math> пробегает подряд идущие простые числа, <math>\pi(N)</math> — количество простых чисел, не превосходящих <math>N</math>, а <math>c</math> — постоянная, зависящая лишь от <math>\varepsilon</math>).

Подобная оценка была получена А. А. Карацубой и для случая, когда <math>p</math> пробегает последовательность простых чисел, принадлежащих арифметической прогрессии, разность которой может расти вместе с модулем <math>q</math>.

А. А. Карацубой высказана гипотеза, согласно которой нетривиальная оценка суммы <math>S_{N}</math> при <math>N</math>, «маленьких» по сравнению с <math>q</math>, остаётся справедливой и в случае, если заменить <math>f(x)</math> произвольным многочленом <math>n</math>-й степени, который не является квадратом по модулю <math>q</math>. Эта гипотеза в настоящее время не доказана.

Нижние оценки сумм характеров от многочленов

А. А. Карацуба построил бесконечную последовательность простых чисел <math>p</math> и последовательность многочленов <math>f(x)</math> степени <math>n</math> с целыми коэффициентами, таких, что <math>f(x)</math> не является полным квадратом по модулю <math>p</math>,

<math>\frac{4(p-1)}{\ln p} \le n \le \frac{8(p-1)}{\ln p},</math>

и таких, что

<math>\sum\limits_{x =1}^{p}\left(\frac{f(x)}{p}\right) = p. </math>

Иными словами, при любом <math>x</math> значение <math>f(x)</math> оказывается квадратичным вычетом по модулю <math>p</math>. Этот результат показывает, что оценку А. Вейля

<math>\biggl|\sum\limits_{x=1}^{p}\left(\frac{f(x)}{p}\right)\biggr| \le (n-1)\sqrt{p}</math>

нельзя слишком сильно улучшить и заменить правую часть последнего неравенства, скажем, величиной <math>C\sqrt{n}\sqrt{p}</math>, где <math>C</math> — абсолютная постоянная.

Суммы характеров на аддитивных последовательностях

А. А. Карацубой предложен новый метод, позволяющий находить весьма точные оценки сумм значений неглавных характеров Дирихле на аддитивных последовательностях, то есть на последовательностях, состоящих из чисел вида <math>x+y</math>, где переменные <math>x</math> и <math>y</math> независимо друг от друга пробегают, соответственно, некоторые множества <math>A</math> и <math>B</math>.

Наиболее ярким примером результатов такого рода является следующее утверждение, находящее применение при решении широкого класса задач, связанных с суммированием значений характеров Дирихле. Пусть <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное число, <math>0<\varepsilon<\tfrac{1}{2}</math>, <math>q</math> — достаточно большое простое число, <math>\chi</math> — неглавный характер по модулю <math>q</math>. Пусть, далее, <math>A</math> и <math>B</math> — произвольные подмножества полной системы вычетов по модулю <math>q</math>, удовлетворяющие лишь условиям <math>\|A\|>q^{\varepsilon}</math>, <math>\|B\|>q^{1/2+\varepsilon}</math>. Тогда имеет место оценка:

<math>

\biggl|\sum\limits_{x\in A}\sum\limits_{y\in B}\chi(x+y)\biggr|\le c\|A\|\cdot\|B\| q^{-\frac{\varepsilon^{2}}{20}},\quad c = c(\varepsilon)>0. </math>

Метод А. А. Карацубы позволяет получать нетривиальные оценки сумм такого рода и в некоторых случаях, когда указанные выше условия на множества <math>A</math> и <math>B</math> заменяются иными, например: <math>\|A\|>q^{\varepsilon}</math>, <math>\sqrt{\|A\|}\cdot\|B\|> q^{1/2+\varepsilon}.</math>

В случае же, когда <math>A</math> и <math>B</math> представляют собой множества простых чисел отрезков <math>(1,X]</math>, <math>(1,Y]</math> соответственно, причём <math>X\ge q^{1/4+\varepsilon}</math>, <math>Y\ge q^{1/4+\varepsilon}</math>, имеет место оценка вида:

<math>

\biggl|\sum\limits_{p\le X}\sum\limits_{p'\le Y}\chi(p+p')\biggr|\le c\pi(X)\pi(Y)q^{-c_{1}\varepsilon^{2}}, </math>

где <math>\pi(Z)</math> — количество простых чисел, не превосходящих <math>Z</math>, <math>c = c(\varepsilon)>0</math>, а <math>c_{1}</math> — некоторая абсолютная постоянная.

Распределение степенных вычетов и первообразных корней в редких последовательностях

А. А. Карацубой получены (2000) нетривиальные оценки сумм значений характеров Дирихле «с весами», то есть сумм слагаемых вида <math>\chi(n)f(n)</math>, где <math>f(n)</math> — функция натурального аргумента. Оценки такого рода находят применение при решении широкого круга задач теории чисел, связанных с распределением степенных вычетов (невычетов), а также первообразных корней в тех или иных последовательностях.

Пусть <math>k\ge 2</math> — целое число, <math>q</math> — достаточно большое простое число, <math>(a,q) = 1</math>, <math>|a|\le \sqrt{q}</math>, <math>N\ge q^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2(k+1)}+\varepsilon}</math>, где <math>0<\varepsilon<\min{\{0.01, \tfrac{2}{3(k+1)}\}}</math>, и пусть, наконец,

<math>

D_{k}(x) = \sum\limits_{x_{1}*\ldots *x_{k}\le x}1 = \sum\limits_{n\le x}\tau_{k}(n) </math>

(асимптотическое выражение для <math>D_{k}(x)</math> см. выше, в разд., посвящённом многомерной проблеме делителей Дирихле). Для сумм <math>V_{1}(x)</math> и <math>V_{2}(x)</math> величин <math>\tau_{k}(n)</math>, распространённых на значения <math>n \le x</math>, для которых числа <math>(n+a)</math> являются квадратичными вычетами (соответственно, невычетами) по модулю <math>q</math>, А. А. Карацуба получил асимптотические формулы вида

<math>

V_{1}(x) = \tfrac{1}{2}D_{k}(x) + O\bigl(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}\bigr),\quad V_{2}(x) = \tfrac{1}{2}D_{k}(x) + O\bigl(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}\bigr) </math> .

Аналогично, для суммы <math>V(x)</math> величин <math>\tau_{k}(n)</math>, взятых по всем <math>n\le x</math>, для которых <math>(n+a)</math> будет первообразным корнем по модулю <math>q</math>, получается асимптотическое выражение вида

<math>

V(x) = \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right)\ldots \left(1 - \frac{1}{p_{s}}\right)D_{k}(x) + O\bigl(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}\bigr) </math> ,

где <math>p_{1},\ldots, p_{s}</math> — все простые делители числа <math>q-1</math>.

Метод, развитый А. А. Карацубой, был применён им и к задачам о распределении степенных вычетов (невычетов) в последовательностях сдвинутых простых чисел <math>p+a</math>, чисел вида <math>x^{2}+y^{2}+a</math> и т. д.

Работы последних лет

Последние годы, кроме исследований в области теории чисел (см. Эффект Карацубы), занимался некоторыми проблемами теоретической физики, в том числе в области квантовой теории поля. Путём применения своей теоремы АТС и некоторых других теоретико-числовых подходов получил новые результаты в модели Джейнса-Каммингса в квантовой оптике.

Личная жизнь

Анатолий Карацуба всю жизнь занимался спортом: в ранние годы тяжёлой атлетикой и борьбой, затем альпинизмом, скалолазанием, спелеологией и горным туризмом. Проходил крымские стены Ай-Петри, Куш-Каи, Оползневого, Фороса и многие другие, участвовал в спелеоэкспедициях в пещеры Анакопийскую (Новоафонскую), Каскадную, Назаровскую.

См. также

• АТС теорема
• Диаграмма Мура
• Умножение Карацубы
• Эффект Карацубы

Ссылки

• [www.mi.ras.ru/~karatsuba/list.html Список научных трудов] на сайте МИАН  (Проверено 24 сентября 2009)
• [www.mi.ras.ru/~karatsuba/ Данные о научных интересах, образовании и профессиональной деятельности]  (Проверено 24 сентября 2009)

Отрывок, характеризующий Карацуба, Анатолий Алексеевич

Он вышел, быстро подрагивая на каждом шагу и откинув несколько назад голову. Вся его потолстевшая, короткая фигура с широкими толстыми плечами и невольно выставленным вперед животом и грудью имела тот представительный, осанистый вид, который имеют в холе живущие сорокалетние люди. Кроме того, видно было, что он в этот день находился в самом хорошем расположении духа.
Он кивнул головою, отвечая на низкий и почтительный поклон Балашева, и, подойдя к нему, тотчас же стал говорить как человек, дорожащий всякой минутой своего времени и не снисходящий до того, чтобы приготавливать свои речи, а уверенный в том, что он всегда скажет хорошо и что нужно сказать.
– Здравствуйте, генерал! – сказал он. – Я получил письмо императора Александра, которое вы доставили, и очень рад вас видеть. – Он взглянул в лицо Балашева своими большими глазами и тотчас же стал смотреть вперед мимо него.
Очевидно было, что его не интересовала нисколько личность Балашева. Видно было, что только то, что происходило в его душе, имело интерес для него. Все, что было вне его, не имело для него значения, потому что все в мире, как ему казалось, зависело только от его воли.
– Я не желаю и не желал войны, – сказал он, – но меня вынудили к ней. Я и теперь (он сказал это слово с ударением) готов принять все объяснения, которые вы можете дать мне. – И он ясно и коротко стал излагать причины своего неудовольствия против русского правительства.
Судя по умеренно спокойному и дружелюбному тону, с которым говорил французский император, Балашев был твердо убежден, что он желает мира и намерен вступить в переговоры.
– Sire! L'Empereur, mon maitre, [Ваше величество! Император, государь мой,] – начал Балашев давно приготовленную речь, когда Наполеон, окончив свою речь, вопросительно взглянул на русского посла; но взгляд устремленных на него глаз императора смутил его. «Вы смущены – оправьтесь», – как будто сказал Наполеон, с чуть заметной улыбкой оглядывая мундир и шпагу Балашева. Балашев оправился и начал говорить. Он сказал, что император Александр не считает достаточной причиной для войны требование паспортов Куракиным, что Куракин поступил так по своему произволу и без согласия на то государя, что император Александр не желает войны и что с Англией нет никаких сношений.
– Еще нет, – вставил Наполеон и, как будто боясь отдаться своему чувству, нахмурился и слегка кивнул головой, давая этим чувствовать Балашеву, что он может продолжать.
Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.
Наполеон заметил смущение Балашева при высказывании последних слов; лицо его дрогнуло, левая икра ноги начала мерно дрожать. Не сходя с места, он голосом, более высоким и поспешным, чем прежде, начал говорить. Во время последующей речи Балашев, не раз опуская глаза, невольно наблюдал дрожанье икры в левой ноге Наполеона, которое тем более усиливалось, чем более он возвышал голос.
– Я желаю мира не менее императора Александра, – начал он. – Не я ли осьмнадцать месяцев делаю все, чтобы получить его? Я осьмнадцать месяцев жду объяснений. Но для того, чтобы начать переговоры, чего же требуют от меня? – сказал он, нахмурившись и делая энергически вопросительный жест своей маленькой белой и пухлой рукой.
– Отступления войск за Неман, государь, – сказал Балашев.
– За Неман? – повторил Наполеон. – Так теперь вы хотите, чтобы отступили за Неман – только за Неман? – повторил Наполеон, прямо взглянув на Балашева.
Балашев почтительно наклонил голову.
Вместо требования четыре месяца тому назад отступить из Номерании, теперь требовали отступить только за Неман. Наполеон быстро повернулся и стал ходить по комнате.
– Вы говорите, что от меня требуют отступления за Неман для начатия переговоров; но от меня требовали точно так же два месяца тому назад отступления за Одер и Вислу, и, несмотря на то, вы согласны вести переговоры.
Он молча прошел от одного угла комнаты до другого и опять остановился против Балашева. Лицо его как будто окаменело в своем строгом выражении, и левая нога дрожала еще быстрее, чем прежде. Это дрожанье левой икры Наполеон знал за собой. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Дрожание моей левой икры есть великий признак,] – говорил он впоследствии.
– Такие предложения, как то, чтобы очистить Одер и Вислу, можно делать принцу Баденскому, а не мне, – совершенно неожиданно для себя почти вскрикнул Наполеон. – Ежели бы вы мне дали Петербуг и Москву, я бы не принял этих условий. Вы говорите, я начал войну? А кто прежде приехал к армии? – император Александр, а не я. И вы предлагаете мне переговоры тогда, как я издержал миллионы, тогда как вы в союзе с Англией и когда ваше положение дурно – вы предлагаете мне переговоры! А какая цель вашего союза с Англией? Что она дала вам? – говорил он поспешно, очевидно, уже направляя свою речь не для того, чтобы высказать выгоды заключения мира и обсудить его возможность, а только для того, чтобы доказать и свою правоту, и свою силу, и чтобы доказать неправоту и ошибки Александра.
Вступление его речи было сделано, очевидно, с целью выказать выгоду своего положения и показать, что, несмотря на то, он принимает открытие переговоров. Но он уже начал говорить, и чем больше он говорил, тем менее он был в состоянии управлять своей речью.
Вся цель его речи теперь уже, очевидно, была в том, чтобы только возвысить себя и оскорбить Александра, то есть именно сделать то самое, чего он менее всего хотел при начале свидания.
– Говорят, вы заключили мир с турками?
Балашев утвердительно наклонил голову.
– Мир заключен… – начал он. Но Наполеон не дал ему говорить. Ему, видно, нужно было говорить самому, одному, и он продолжал говорить с тем красноречием и невоздержанием раздраженности, к которому так склонны балованные люди.
– Да, я знаю, вы заключили мир с турками, не получив Молдавии и Валахии. А я бы дал вашему государю эти провинции так же, как я дал ему Финляндию. Да, – продолжал он, – я обещал и дал бы императору Александру Молдавию и Валахию, а теперь он не будет иметь этих прекрасных провинций. Он бы мог, однако, присоединить их к своей империи, и в одно царствование он бы расширил Россию от Ботнического залива до устьев Дуная. Катерина Великая не могла бы сделать более, – говорил Наполеон, все более и более разгораясь, ходя по комнате и повторяя Балашеву почти те же слова, которые ои говорил самому Александру в Тильзите. – Tout cela il l'aurait du a mon amitie… Ah! quel beau regne, quel beau regne! – повторил он несколько раз, остановился, достал золотую табакерку из кармана и жадно потянул из нее носом.
– Quel beau regne aurait pu etre celui de l'Empereur Alexandre! [Всем этим он был бы обязан моей дружбе… О, какое прекрасное царствование, какое прекрасное царствование! О, какое прекрасное царствование могло бы быть царствование императора Александра!]
Он с сожалением взглянул на Балашева, и только что Балашев хотел заметить что то, как он опять поспешно перебил его.
– Чего он мог желать и искать такого, чего бы он не нашел в моей дружбе?.. – сказал Наполеон, с недоумением пожимая плечами. – Нет, он нашел лучшим окружить себя моими врагами, и кем же? – продолжал он. – Он призвал к себе Штейнов, Армфельдов, Винцингероде, Бенигсенов, Штейн – прогнанный из своего отечества изменник, Армфельд – развратник и интриган, Винцингероде – беглый подданный Франции, Бенигсен несколько более военный, чем другие, но все таки неспособный, который ничего не умел сделать в 1807 году и который бы должен возбуждать в императоре Александре ужасные воспоминания… Положим, ежели бы они были способны, можно бы их употреблять, – продолжал Наполеон, едва успевая словом поспевать за беспрестанно возникающими соображениями, показывающими ему его правоту или силу (что в его понятии было одно и то же), – но и того нет: они не годятся ни для войны, ни для мира. Барклай, говорят, дельнее их всех; но я этого не скажу, судя по его первым движениям. А они что делают? Что делают все эти придворные! Пфуль предлагает, Армфельд спорит, Бенигсен рассматривает, а Барклай, призванный действовать, не знает, на что решиться, и время проходит. Один Багратион – военный человек. Он глуп, но у него есть опытность, глазомер и решительность… И что за роль играет ваш молодой государь в этой безобразной толпе. Они его компрометируют и на него сваливают ответственность всего совершающегося. Un souverain ne doit etre a l'armee que quand il est general, [Государь должен находиться при армии только тогда, когда он полководец,] – сказал он, очевидно, посылая эти слова прямо как вызов в лицо государя. Наполеон знал, как желал император Александр быть полководцем.
– Уже неделя, как началась кампания, и вы не сумели защитить Вильну. Вы разрезаны надвое и прогнаны из польских провинций. Ваша армия ропщет…
– Напротив, ваше величество, – сказал Балашев, едва успевавший запоминать то, что говорилось ему, и с трудом следивший за этим фейерверком слов, – войска горят желанием…
– Я все знаю, – перебил его Наполеон, – я все знаю, и знаю число ваших батальонов так же верно, как и моих. У вас нет двухсот тысяч войска, а у меня втрое столько. Даю вам честное слово, – сказал Наполеон, забывая, что это его честное слово никак не могло иметь значения, – даю вам ma parole d'honneur que j'ai cinq cent trente mille hommes de ce cote de la Vistule. [честное слово, что у меня пятьсот тридцать тысяч человек по сю сторону Вислы.] Турки вам не помощь: они никуда не годятся и доказали это, замирившись с вами. Шведы – их предопределение быть управляемыми сумасшедшими королями. Их король был безумный; они переменили его и взяли другого – Бернадота, который тотчас сошел с ума, потому что сумасшедший только, будучи шведом, может заключать союзы с Россией. – Наполеон злобно усмехнулся и опять поднес к носу табакерку.
На каждую из фраз Наполеона Балашев хотел и имел что возразить; беспрестанно он делал движение человека, желавшего сказать что то, но Наполеон перебивал его. Например, о безумии шведов Балашев хотел сказать, что Швеция есть остров, когда Россия за нее; но Наполеон сердито вскрикнул, чтобы заглушить его голос. Наполеон находился в том состоянии раздражения, в котором нужно говорить, говорить и говорить, только для того, чтобы самому себе доказать свою справедливость. Балашеву становилось тяжело: он, как посол, боялся уронить достоинство свое и чувствовал необходимость возражать; но, как человек, он сжимался нравственно перед забытьем беспричинного гнева, в котором, очевидно, находился Наполеон. Он знал, что все слова, сказанные теперь Наполеоном, не имеют значения, что он сам, когда опомнится, устыдится их. Балашев стоял, опустив глаза, глядя на движущиеся толстые ноги Наполеона, и старался избегать его взгляда.
– Да что мне эти ваши союзники? – говорил Наполеон. – У меня союзники – это поляки: их восемьдесят тысяч, они дерутся, как львы. И их будет двести тысяч.
И, вероятно, еще более возмутившись тем, что, сказав это, он сказал очевидную неправду и что Балашев в той же покорной своей судьбе позе молча стоял перед ним, он круто повернулся назад, подошел к самому лицу Балашева и, делая энергические и быстрые жесты своими белыми руками, закричал почти:
– Знайте, что ежели вы поколеблете Пруссию против меня, знайте, что я сотру ее с карты Европы, – сказал он с бледным, искаженным злобой лицом, энергическим жестом одной маленькой руки ударяя по другой. – Да, я заброшу вас за Двину, за Днепр и восстановлю против вас ту преграду, которую Европа была преступна и слепа, что позволила разрушить. Да, вот что с вами будет, вот что вы выиграли, удалившись от меня, – сказал он и молча прошел несколько раз по комнате, вздрагивая своими толстыми плечами. Он положил в жилетный карман табакерку, опять вынул ее, несколько раз приставлял ее к носу и остановился против Балашева. Он помолчал, поглядел насмешливо прямо в глаза Балашеву и сказал тихим голосом: – Et cependant quel beau regne aurait pu avoir votre maitre! [A между тем какое прекрасное царствование мог бы иметь ваш государь!]
Балашев, чувствуя необходимость возражать, сказал, что со стороны России дела не представляются в таком мрачном виде. Наполеон молчал, продолжая насмешливо глядеть на него и, очевидно, его не слушая. Балашев сказал, что в России ожидают от войны всего хорошего. Наполеон снисходительно кивнул головой, как бы говоря: «Знаю, так говорить ваша обязанность, но вы сами в это не верите, вы убеждены мною».
В конце речи Балашева Наполеон вынул опять табакерку, понюхал из нее и, как сигнал, стукнул два раза ногой по полу. Дверь отворилась; почтительно изгибающийся камергер подал императору шляпу и перчатки, другой подал носовои платок. Наполеон, ne глядя на них, обратился к Балашеву.
– Уверьте от моего имени императора Александра, – сказал оц, взяв шляпу, – что я ему предан по прежнему: я анаю его совершенно и весьма высоко ценю высокие его качества. Je ne vous retiens plus, general, vous recevrez ma lettre a l'Empereur. [Не удерживаю вас более, генерал, вы получите мое письмо к государю.] – И Наполеон пошел быстро к двери. Из приемной все бросилось вперед и вниз по лестнице.


После всего того, что сказал ему Наполеон, после этих взрывов гнева и после последних сухо сказанных слов:
«Je ne vous retiens plus, general, vous recevrez ma lettre», Балашев был уверен, что Наполеон уже не только не пожелает его видеть, но постарается не видать его – оскорбленного посла и, главное, свидетеля его непристойной горячности. Но, к удивлению своему, Балашев через Дюрока получил в этот день приглашение к столу императора.
На обеде были Бессьер, Коленкур и Бертье. Наполеон встретил Балашева с веселым и ласковым видом. Не только не было в нем выражения застенчивости или упрека себе за утреннюю вспышку, но он, напротив, старался ободрить Балашева. Видно было, что уже давно для Наполеона в его убеждении не существовало возможности ошибок и что в его понятии все то, что он делал, было хорошо не потому, что оно сходилось с представлением того, что хорошо и дурно, но потому, что он делал это.
Император был очень весел после своей верховой прогулки по Вильне, в которой толпы народа с восторгом встречали и провожали его. Во всех окнах улиц, по которым он проезжал, были выставлены ковры, знамена, вензеля его, и польские дамы, приветствуя его, махали ему платками.
За обедом, посадив подле себя Балашева, он обращался с ним не только ласково, но обращался так, как будто он и Балашева считал в числе своих придворных, в числе тех людей, которые сочувствовали его планам и должны были радоваться его успехам. Между прочим разговором он заговорил о Москве и стал спрашивать Балашева о русской столице, не только как спрашивает любознательный путешественник о новом месте, которое он намеревается посетить, но как бы с убеждением, что Балашев, как русский, должен быть польщен этой любознательностью.
– Сколько жителей в Москве, сколько домов? Правда ли, что Moscou называют Moscou la sainte? [святая?] Сколько церквей в Moscou? – спрашивал он.
И на ответ, что церквей более двухсот, он сказал:
– К чему такая бездна церквей?
– Русские очень набожны, – отвечал Балашев.
– Впрочем, большое количество монастырей и церквей есть всегда признак отсталости народа, – сказал Наполеон, оглядываясь на Коленкура за оценкой этого суждения.
Балашев почтительно позволил себе не согласиться с мнением французского императора.
– У каждой страны свои нравы, – сказал он.
– Но уже нигде в Европе нет ничего подобного, – сказал Наполеон.
– Прошу извинения у вашего величества, – сказал Балашев, – кроме России, есть еще Испания, где также много церквей и монастырей.
Этот ответ Балашева, намекавший на недавнее поражение французов в Испании, был высоко оценен впоследствии, по рассказам Балашева, при дворе императора Александра и очень мало был оценен теперь, за обедом Наполеона, и прошел незаметно.
По равнодушным и недоумевающим лицам господ маршалов видно было, что они недоумевали, в чем тут состояла острота, на которую намекала интонация Балашева. «Ежели и была она, то мы не поняли ее или она вовсе не остроумна», – говорили выражения лиц маршалов. Так мало был оценен этот ответ, что Наполеон даже решительно не заметил его и наивно спросил Балашева о том, на какие города идет отсюда прямая дорога к Москве. Балашев, бывший все время обеда настороже, отвечал, что comme tout chemin mene a Rome, tout chemin mene a Moscou, [как всякая дорога, по пословице, ведет в Рим, так и все дороги ведут в Москву,] что есть много дорог, и что в числе этих разных путей есть дорога на Полтаву, которую избрал Карл XII, сказал Балашев, невольно вспыхнув от удовольствия в удаче этого ответа. Не успел Балашев досказать последних слов: «Poltawa», как уже Коленкур заговорил о неудобствах дороги из Петербурга в Москву и о своих петербургских воспоминаниях.
После обеда перешли пить кофе в кабинет Наполеона, четыре дня тому назад бывший кабинетом императора Александра. Наполеон сел, потрогивая кофе в севрской чашке, и указал на стул подло себя Балашеву.
Есть в человеке известное послеобеденное расположение духа, которое сильнее всяких разумных причин заставляет человека быть довольным собой и считать всех своими друзьями. Наполеон находился в этом расположении. Ему казалось, что он окружен людьми, обожающими его. Он был убежден, что и Балашев после его обеда был его другом и обожателем. Наполеон обратился к нему с приятной и слегка насмешливой улыбкой.
– Это та же комната, как мне говорили, в которой жил император Александр. Странно, не правда ли, генерал? – сказал он, очевидно, не сомневаясь в том, что это обращение не могло не быть приятно его собеседнику, так как оно доказывало превосходство его, Наполеона, над Александром.
Балашев ничего не мог отвечать на это и молча наклонил голову.
– Да, в этой комнате, четыре дня тому назад, совещались Винцингероде и Штейн, – с той же насмешливой, уверенной улыбкой продолжал Наполеон. – Чего я не могу понять, – сказал он, – это того, что император Александр приблизил к себе всех личных моих неприятелей. Я этого не… понимаю. Он не подумал о том, что я могу сделать то же? – с вопросом обратился он к Балашеву, и, очевидно, это воспоминание втолкнуло его опять в тот след утреннего гнева, который еще был свеж в нем.
– И пусть он знает, что я это сделаю, – сказал Наполеон, вставая и отталкивая рукой свою чашку. – Я выгоню из Германии всех его родных, Виртембергских, Баденских, Веймарских… да, я выгоню их. Пусть он готовит для них убежище в России!
Балашев наклонил голову, видом своим показывая, что он желал бы откланяться и слушает только потому, что он не может не слушать того, что ему говорят. Наполеон не замечал этого выражения; он обращался к Балашеву не как к послу своего врага, а как к человеку, который теперь вполне предан ему и должен радоваться унижению своего бывшего господина.
– И зачем император Александр принял начальство над войсками? К чему это? Война мое ремесло, а его дело царствовать, а не командовать войсками. Зачем он взял на себя такую ответственность?
Наполеон опять взял табакерку, молча прошелся несколько раз по комнате и вдруг неожиданно подошел к Балашеву и с легкой улыбкой так уверенно, быстро, просто, как будто он делал какое нибудь не только важное, но и приятное для Балашева дело, поднял руку к лицу сорокалетнего русского генерала и, взяв его за ухо, слегка дернул, улыбнувшись одними губами.
– Avoir l'oreille tiree par l'Empereur [Быть выдранным за ухо императором] считалось величайшей честью и милостью при французском дворе.
– Eh bien, vous ne dites rien, admirateur et courtisan de l'Empereur Alexandre? [Ну у, что ж вы ничего не говорите, обожатель и придворный императора Александра?] – сказал он, как будто смешно было быть в его присутствии чьим нибудь courtisan и admirateur [придворным и обожателем], кроме его, Наполеона.
– Готовы ли лошади для генерала? – прибавил он, слегка наклоняя голову в ответ на поклон Балашева.
– Дайте ему моих, ему далеко ехать…
Письмо, привезенное Балашевым, было последнее письмо Наполеона к Александру. Все подробности разговора были переданы русскому императору, и война началась.


После своего свидания в Москве с Пьером князь Андреи уехал в Петербург по делам, как он сказал своим родным, но, в сущности, для того, чтобы встретить там князя Анатоля Курагина, которого он считал необходимым встретить. Курагина, о котором он осведомился, приехав в Петербург, уже там не было. Пьер дал знать своему шурину, что князь Андрей едет за ним. Анатоль Курагин тотчас получил назначение от военного министра и уехал в Молдавскую армию. В это же время в Петербурге князь Андрей встретил Кутузова, своего прежнего, всегда расположенного к нему, генерала, и Кутузов предложил ему ехать с ним вместе в Молдавскую армию, куда старый генерал назначался главнокомандующим. Князь Андрей, получив назначение состоять при штабе главной квартиры, уехал в Турцию.
Князь Андрей считал неудобным писать к Курагину и вызывать его. Не подав нового повода к дуэли, князь Андрей считал вызов с своей стороны компрометирующим графиню Ростову, и потому он искал личной встречи с Курагиным, в которой он намерен был найти новый повод к дуэли. Но в Турецкой армии ему также не удалось встретить Курагина, который вскоре после приезда князя Андрея в Турецкую армию вернулся в Россию. В новой стране и в новых условиях жизни князю Андрею стало жить легче. После измены своей невесты, которая тем сильнее поразила его, чем старательнее он скрывал ото всех произведенное на него действие, для него были тяжелы те условия жизни, в которых он был счастлив, и еще тяжелее были свобода и независимость, которыми он так дорожил прежде. Он не только не думал тех прежних мыслей, которые в первый раз пришли ему, глядя на небо на Аустерлицком поле, которые он любил развивать с Пьером и которые наполняли его уединение в Богучарове, а потом в Швейцарии и Риме; но он даже боялся вспоминать об этих мыслях, раскрывавших бесконечные и светлые горизонты. Его интересовали теперь только самые ближайшие, не связанные с прежними, практические интересы, за которые он ухватывался с тем большей жадностью, чем закрытое были от него прежние. Как будто тот бесконечный удаляющийся свод неба, стоявший прежде над ним, вдруг превратился в низкий, определенный, давивший его свод, в котором все было ясно, но ничего не было вечного и таинственного.
Из представлявшихся ему деятельностей военная служба была самая простая и знакомая ему. Состоя в должности дежурного генерала при штабе Кутузова, он упорно и усердно занимался делами, удивляя Кутузова своей охотой к работе и аккуратностью. Не найдя Курагина в Турции, князь Андрей не считал необходимым скакать за ним опять в Россию; но при всем том он знал, что, сколько бы ни прошло времени, он не мог, встретив Курагина, несмотря на все презрение, которое он имел к нему, несмотря на все доказательства, которые он делал себе, что ему не стоит унижаться до столкновения с ним, он знал, что, встретив его, он не мог не вызвать его, как не мог голодный человек не броситься на пищу. И это сознание того, что оскорбление еще не вымещено, что злоба не излита, а лежит на сердце, отравляло то искусственное спокойствие, которое в виде озабоченно хлопотливой и несколько честолюбивой и тщеславной деятельности устроил себе князь Андрей в Турции.
В 12 м году, когда до Букарешта (где два месяца жил Кутузов, проводя дни и ночи у своей валашки) дошла весть о войне с Наполеоном, князь Андрей попросил у Кутузова перевода в Западную армию. Кутузов, которому уже надоел Болконский своей деятельностью, служившей ему упреком в праздности, Кутузов весьма охотно отпустил его и дал ему поручение к Барклаю де Толли.
Прежде чем ехать в армию, находившуюся в мае в Дрисском лагере, князь Андрей заехал в Лысые Горы, которые были на самой его дороге, находясь в трех верстах от Смоленского большака. Последние три года и жизни князя Андрея было так много переворотов, так много он передумал, перечувствовал, перевидел (он объехал и запад и восток), что его странно и неожиданно поразило при въезде в Лысые Горы все точно то же, до малейших подробностей, – точно то же течение жизни. Он, как в заколдованный, заснувший замок, въехал в аллею и в каменные ворота лысогорского дома. Та же степенность, та же чистота, та же тишина были в этом доме, те же мебели, те же стены, те же звуки, тот же запах и те же робкие лица, только несколько постаревшие. Княжна Марья была все та же робкая, некрасивая, стареющаяся девушка, в страхе и вечных нравственных страданиях, без пользы и радости проживающая лучшие годы своей жизни. Bourienne была та же радостно пользующаяся каждой минутой своей жизни и исполненная самых для себя радостных надежд, довольная собой, кокетливая девушка. Она только стала увереннее, как показалось князю Андрею. Привезенный им из Швейцарии воспитатель Десаль был одет в сюртук русского покроя, коверкая язык, говорил по русски со слугами, но был все тот же ограниченно умный, образованный, добродетельный и педантический воспитатель. Старый князь переменился физически только тем, что с боку рта у него стал заметен недостаток одного зуба; нравственно он был все такой же, как и прежде, только с еще большим озлоблением и недоверием к действительности того, что происходило в мире. Один только Николушка вырос, переменился, разрумянился, оброс курчавыми темными волосами и, сам не зная того, смеясь и веселясь, поднимал верхнюю губку хорошенького ротика точно так же, как ее поднимала покойница маленькая княгиня. Он один не слушался закона неизменности в этом заколдованном, спящем замке. Но хотя по внешности все оставалось по старому, внутренние отношения всех этих лиц изменились, с тех пор как князь Андрей не видал их. Члены семейства были разделены на два лагеря, чуждые и враждебные между собой, которые сходились теперь только при нем, – для него изменяя свой обычный образ жизни. К одному принадлежали старый князь, m lle Bourienne и архитектор, к другому – княжна Марья, Десаль, Николушка и все няньки и мамки.
Во время его пребывания в Лысых Горах все домашние обедали вместе, но всем было неловко, и князь Андрей чувствовал, что он гость, для которого делают исключение, что он стесняет всех своим присутствием. Во время обеда первого дня князь Андрей, невольно чувствуя это, был молчалив, и старый князь, заметив неестественность его состояния, тоже угрюмо замолчал и сейчас после обеда ушел к себе. Когда ввечеру князь Андрей пришел к нему и, стараясь расшевелить его, стал рассказывать ему о кампании молодого графа Каменского, старый князь неожиданно начал с ним разговор о княжне Марье, осуждая ее за ее суеверие, за ее нелюбовь к m lle Bourienne, которая, по его словам, была одна истинно предана ему.
Старый князь говорил, что ежели он болен, то только от княжны Марьи; что она нарочно мучает и раздражает его; что она баловством и глупыми речами портит маленького князя Николая. Старый князь знал очень хорошо, что он мучает свою дочь, что жизнь ее очень тяжела, но знал тоже, что он не может не мучить ее и что она заслуживает этого. «Почему же князь Андрей, который видит это, мне ничего не говорит про сестру? – думал старый князь. – Что же он думает, что я злодей или старый дурак, без причины отдалился от дочери и приблизил к себе француженку? Он не понимает, и потому надо объяснить ему, надо, чтоб он выслушал», – думал старый князь. И он стал объяснять причины, по которым он не мог переносить бестолкового характера дочери.
– Ежели вы спрашиваете меня, – сказал князь Андрей, не глядя на отца (он в первый раз в жизни осуждал своего отца), – я не хотел говорить; но ежели вы меня спрашиваете, то я скажу вам откровенно свое мнение насчет всего этого. Ежели есть недоразумения и разлад между вами и Машей, то я никак не могу винить ее – я знаю, как она вас любит и уважает. Ежели уж вы спрашиваете меня, – продолжал князь Андрей, раздражаясь, потому что он всегда был готов на раздражение в последнее время, – то я одно могу сказать: ежели есть недоразумения, то причиной их ничтожная женщина, которая бы не должна была быть подругой сестры.
Старик сначала остановившимися глазами смотрел на сына и ненатурально открыл улыбкой новый недостаток зуба, к которому князь Андрей не мог привыкнуть.
– Какая же подруга, голубчик? А? Уж переговорил! А?
– Батюшка, я не хотел быть судьей, – сказал князь Андрей желчным и жестким тоном, – но вы вызвали меня, и я сказал и всегда скажу, что княжна Марья ни виновата, а виноваты… виновата эта француженка…
– А присудил!.. присудил!.. – сказал старик тихим голосом и, как показалось князю Андрею, с смущением, но потом вдруг он вскочил и закричал: – Вон, вон! Чтоб духу твоего тут не было!..

Князь Андрей хотел тотчас же уехать, но княжна Марья упросила остаться еще день. В этот день князь Андрей не виделся с отцом, который не выходил и никого не пускал к себе, кроме m lle Bourienne и Тихона, и спрашивал несколько раз о том, уехал ли его сын. На другой день, перед отъездом, князь Андрей пошел на половину сына. Здоровый, по матери кудрявый мальчик сел ему на колени. Князь Андрей начал сказывать ему сказку о Синей Бороде, но, не досказав, задумался. Он думал не об этом хорошеньком мальчике сыне в то время, как он его держал на коленях, а думал о себе. Он с ужасом искал и не находил в себе ни раскаяния в том, что он раздражил отца, ни сожаления о том, что он (в ссоре в первый раз в жизни) уезжает от него. Главнее всего ему было то, что он искал и не находил той прежней нежности к сыну, которую он надеялся возбудить в себе, приласкав мальчика и посадив его к себе на колени.
– Ну, рассказывай же, – говорил сын. Князь Андрей, не отвечая ему, снял его с колон и пошел из комнаты.
Как только князь Андрей оставил свои ежедневные занятия, в особенности как только он вступил в прежние условия жизни, в которых он был еще тогда, когда он был счастлив, тоска жизни охватила его с прежней силой, и он спешил поскорее уйти от этих воспоминаний и найти поскорее какое нибудь дело.
– Ты решительно едешь, Andre? – сказала ему сестра.
– Слава богу, что могу ехать, – сказал князь Андрей, – очень жалею, что ты не можешь.
– Зачем ты это говоришь! – сказала княжна Марья. – Зачем ты это говоришь теперь, когда ты едешь на эту страшную войну и он так стар! M lle Bourienne говорила, что он спрашивал про тебя… – Как только она начала говорить об этом, губы ее задрожали и слезы закапали. Князь Андрей отвернулся от нее и стал ходить по комнате.
– Ах, боже мой! Боже мой! – сказал он. – И как подумаешь, что и кто – какое ничтожество может быть причиной несчастья людей! – сказал он со злобою, испугавшею княжну Марью.
Она поняла, что, говоря про людей, которых он называл ничтожеством, он разумел не только m lle Bourienne, делавшую его несчастие, но и того человека, который погубил его счастие.
– Andre, об одном я прошу, я умоляю тебя, – сказала она, дотрогиваясь до его локтя и сияющими сквозь слезы глазами глядя на него. – Я понимаю тебя (княжна Марья опустила глаза). Не думай, что горе сделали люди. Люди – орудие его. – Она взглянула немного повыше головы князя Андрея тем уверенным, привычным взглядом, с которым смотрят на знакомое место портрета. – Горе послано им, а не людьми. Люди – его орудия, они не виноваты. Ежели тебе кажется, что кто нибудь виноват перед тобой, забудь это и прости. Мы не имеем права наказывать. И ты поймешь счастье прощать.
– Ежели бы я был женщина, я бы это делал, Marie. Это добродетель женщины. Но мужчина не должен и не может забывать и прощать, – сказал он, и, хотя он до этой минуты не думал о Курагине, вся невымещенная злоба вдруг поднялась в его сердце. «Ежели княжна Марья уже уговаривает меня простить, то, значит, давно мне надо было наказать», – подумал он. И, не отвечая более княжне Марье, он стал думать теперь о той радостной, злобной минуте, когда он встретит Курагина, который (он знал) находится в армии.
Княжна Марья умоляла брата подождать еще день, говорила о том, что она знает, как будет несчастлив отец, ежели Андрей уедет, не помирившись с ним; но князь Андрей отвечал, что он, вероятно, скоро приедет опять из армии, что непременно напишет отцу и что теперь чем дольше оставаться, тем больше растравится этот раздор.
– Adieu, Andre! Rappelez vous que les malheurs viennent de Dieu, et que les hommes ne sont jamais coupables, [Прощай, Андрей! Помни, что несчастия происходят от бога и что люди никогда не бывают виноваты.] – были последние слова, которые он слышал от сестры, когда прощался с нею.
«Так это должно быть! – думал князь Андрей, выезжая из аллеи лысогорского дома. – Она, жалкое невинное существо, остается на съедение выжившему из ума старику. Старик чувствует, что виноват, но не может изменить себя. Мальчик мой растет и радуется жизни, в которой он будет таким же, как и все, обманутым или обманывающим. Я еду в армию, зачем? – сам не знаю, и желаю встретить того человека, которого презираю, для того чтобы дать ему случай убить меня и посмеяться надо мной!И прежде были все те же условия жизни, но прежде они все вязались между собой, а теперь все рассыпалось. Одни бессмысленные явления, без всякой связи, одно за другим представлялись князю Андрею.


Князь Андрей приехал в главную квартиру армии в конце июня. Войска первой армии, той, при которой находился государь, были расположены в укрепленном лагере у Дриссы; войска второй армии отступали, стремясь соединиться с первой армией, от которой – как говорили – они были отрезаны большими силами французов. Все были недовольны общим ходом военных дел в русской армии; но об опасности нашествия в русские губернии никто и не думал, никто и не предполагал, чтобы война могла быть перенесена далее западных польских губерний.
Князь Андрей нашел Барклая де Толли, к которому он был назначен, на берегу Дриссы. Так как не было ни одного большого села или местечка в окрестностях лагеря, то все огромное количество генералов и придворных, бывших при армии, располагалось в окружности десяти верст по лучшим домам деревень, по сю и по ту сторону реки. Барклай де Толли стоял в четырех верстах от государя. Он сухо и холодно принял Болконского и сказал своим немецким выговором, что он доложит о нем государю для определения ему назначения, а покамест просит его состоять при его штабе. Анатоля Курагина, которого князь Андрей надеялся найти в армии, не было здесь: он был в Петербурге, и это известие было приятно Болконскому. Интерес центра производящейся огромной войны занял князя Андрея, и он рад был на некоторое время освободиться от раздражения, которое производила в нем мысль о Курагине. В продолжение первых четырех дней, во время которых он не был никуда требуем, князь Андрей объездил весь укрепленный лагерь и с помощью своих знаний и разговоров с сведущими людьми старался составить себе о нем определенное понятие. Но вопрос о том, выгоден или невыгоден этот лагерь, остался нерешенным для князя Андрея. Он уже успел вывести из своего военного опыта то убеждение, что в военном деле ничего не значат самые глубокомысленно обдуманные планы (как он видел это в Аустерлицком походе), что все зависит от того, как отвечают на неожиданные и не могущие быть предвиденными действия неприятеля, что все зависит от того, как и кем ведется все дело. Для того чтобы уяснить себе этот последний вопрос, князь Андрей, пользуясь своим положением и знакомствами, старался вникнуть в характер управления армией, лиц и партий, участвовавших в оном, и вывел для себя следующее понятие о положении дел.
Когда еще государь был в Вильне, армия была разделена натрое: 1 я армия находилась под начальством Барклая де Толли, 2 я под начальством Багратиона, 3 я под начальством Тормасова. Государь находился при первой армии, но не в качестве главнокомандующего. В приказе не было сказано, что государь будет командовать, сказано только, что государь будет при армии. Кроме того, при государе лично не было штаба главнокомандующего, а был штаб императорской главной квартиры. При нем был начальник императорского штаба генерал квартирмейстер князь Волконский, генералы, флигель адъютанты, дипломатические чиновники и большое количество иностранцев, но не было штаба армии. Кроме того, без должности при государе находились: Аракчеев – бывший военный министр, граф Бенигсен – по чину старший из генералов, великий князь цесаревич Константин Павлович, граф Румянцев – канцлер, Штейн – бывший прусский министр, Армфельд – шведский генерал, Пфуль – главный составитель плана кампании, генерал адъютант Паулучи – сардинский выходец, Вольцоген и многие другие. Хотя эти лица и находились без военных должностей при армии, но по своему положению имели влияние, и часто корпусный начальник и даже главнокомандующий не знал, в качестве чего спрашивает или советует то или другое Бенигсен, или великий князь, или Аракчеев, или князь Волконский, и не знал, от его ли лица или от государя истекает такое то приказание в форме совета и нужно или не нужно исполнять его. Но это была внешняя обстановка, существенный же смысл присутствия государя и всех этих лиц, с придворной точки (а в присутствии государя все делаются придворными), всем был ясен. Он был следующий: государь не принимал на себя звания главнокомандующего, но распоряжался всеми армиями; люди, окружавшие его, были его помощники. Аракчеев был верный исполнитель блюститель порядка и телохранитель государя; Бенигсен был помещик Виленской губернии, который как будто делал les honneurs [был занят делом приема государя] края, а в сущности был хороший генерал, полезный для совета и для того, чтобы иметь его всегда наготове на смену Барклая. Великий князь был тут потому, что это было ему угодно. Бывший министр Штейн был тут потому, что он был полезен для совета, и потому, что император Александр высоко ценил его личные качества. Армфельд был злой ненавистник Наполеона и генерал, уверенный в себе, что имело всегда влияние на Александра. Паулучи был тут потому, что он был смел и решителен в речах, Генерал адъютанты были тут потому, что они везде были, где государь, и, наконец, – главное – Пфуль был тут потому, что он, составив план войны против Наполеона и заставив Александра поверить в целесообразность этого плана, руководил всем делом войны. При Пфуле был Вольцоген, передававший мысли Пфуля в более доступной форме, чем сам Пфуль, резкий, самоуверенный до презрения ко всему, кабинетный теоретик.
Кроме этих поименованных лиц, русских и иностранных (в особенности иностранцев, которые с смелостью, свойственной людям в деятельности среди чужой среды, каждый день предлагали новые неожиданные мысли), было еще много лиц второстепенных, находившихся при армии потому, что тут были их принципалы.
В числе всех мыслей и голосов в этом огромном, беспокойном, блестящем и гордом мире князь Андрей видел следующие, более резкие, подразделения направлений и партий.
Первая партия была: Пфуль и его последователи, теоретики войны, верящие в то, что есть наука войны и что в этой науке есть свои неизменные законы, законы облического движения, обхода и т. п. Пфуль и последователи его требовали отступления в глубь страны, отступления по точным законам, предписанным мнимой теорией войны, и во всяком отступлении от этой теории видели только варварство, необразованность или злонамеренность. К этой партии принадлежали немецкие принцы, Вольцоген, Винцингероде и другие, преимущественно немцы.
Вторая партия была противуположная первой. Как и всегда бывает, при одной крайности были представители другой крайности. Люди этой партии были те, которые еще с Вильны требовали наступления в Польшу и свободы от всяких вперед составленных планов. Кроме того, что представители этой партии были представители смелых действий, они вместе с тем и были представителями национальности, вследствие чего становились еще одностороннее в споре. Эти были русские: Багратион, начинавший возвышаться Ермолов и другие. В это время была распространена известная шутка Ермолова, будто бы просившего государя об одной милости – производства его в немцы. Люди этой партии говорили, вспоминая Суворова, что надо не думать, не накалывать иголками карту, а драться, бить неприятеля, не впускать его в Россию и не давать унывать войску.
К третьей партии, к которой более всего имел доверия государь, принадлежали придворные делатели сделок между обоими направлениями. Люди этой партии, большей частью не военные и к которой принадлежал Аракчеев, думали и говорили, что говорят обыкновенно люди, не имеющие убеждений, но желающие казаться за таковых. Они говорили, что, без сомнения, война, особенно с таким гением, как Бонапарте (его опять называли Бонапарте), требует глубокомысленнейших соображений, глубокого знания науки, и в этом деле Пфуль гениален; но вместе с тем нельзя не признать того, что теоретики часто односторонни, и потому не надо вполне доверять им, надо прислушиваться и к тому, что говорят противники Пфуля, и к тому, что говорят люди практические, опытные в военном деле, и изо всего взять среднее. Люди этой партии настояли на том, чтобы, удержав Дрисский лагерь по плану Пфуля, изменить движения других армий. Хотя этим образом действий не достигалась ни та, ни другая цель, но людям этой партии казалось так лучше.
Четвертое направление было направление, которого самым видным представителем был великий князь, наследник цесаревич, не могший забыть своего аустерлицкого разочарования, где он, как на смотр, выехал перед гвардиею в каске и колете, рассчитывая молодецки раздавить французов, и, попав неожиданно в первую линию, насилу ушел в общем смятении. Люди этой партии имели в своих суждениях и качество и недостаток искренности. Они боялись Наполеона, видели в нем силу, в себе слабость и прямо высказывали это. Они говорили: «Ничего, кроме горя, срама и погибели, из всего этого не выйдет! Вот мы оставили Вильну, оставили Витебск, оставим и Дриссу. Одно, что нам остается умного сделать, это заключить мир, и как можно скорее, пока не выгнали нас из Петербурга!»
Воззрение это, сильно распространенное в высших сферах армии, находило себе поддержку и в Петербурге, и в канцлере Румянцеве, по другим государственным причинам стоявшем тоже за мир.
Пятые были приверженцы Барклая де Толли, не столько как человека, сколько как военного министра и главнокомандующего. Они говорили: «Какой он ни есть (всегда так начинали), но он честный, дельный человек, и лучше его нет. Дайте ему настоящую власть, потому что война не может идти успешно без единства начальствования, и он покажет то, что он может сделать, как он показал себя в Финляндии. Ежели армия наша устроена и сильна и отступила до Дриссы, не понесши никаких поражений, то мы обязаны этим только Барклаю. Ежели теперь заменят Барклая Бенигсеном, то все погибнет, потому что Бенигсен уже показал свою неспособность в 1807 году», – говорили люди этой партии.
Шестые, бенигсенисты, говорили, напротив, что все таки не было никого дельнее и опытнее Бенигсена, и, как ни вертись, все таки придешь к нему. И люди этой партии доказывали, что все наше отступление до Дриссы было постыднейшее поражение и беспрерывный ряд ошибок. «Чем больше наделают ошибок, – говорили они, – тем лучше: по крайней мере, скорее поймут, что так не может идти. А нужен не какой нибудь Барклай, а человек, как Бенигсен, который показал уже себя в 1807 м году, которому отдал справедливость сам Наполеон, и такой человек, за которым бы охотно признавали власть, – и таковой есть только один Бенигсен».
Седьмые – были лица, которые всегда есть, в особенности при молодых государях, и которых особенно много было при императоре Александре, – лица генералов и флигель адъютантов, страстно преданные государю не как императору, но как человека обожающие его искренно и бескорыстно, как его обожал Ростов в 1805 м году, и видящие в нем не только все добродетели, но и все качества человеческие. Эти лица хотя и восхищались скромностью государя, отказывавшегося от командования войсками, но осуждали эту излишнюю скромность и желали только одного и настаивали на том, чтобы обожаемый государь, оставив излишнее недоверие к себе, объявил открыто, что он становится во главе войска, составил бы при себе штаб квартиру главнокомандующего и, советуясь, где нужно, с опытными теоретиками и практиками, сам бы вел свои войска, которых одно это довело бы до высшего состояния воодушевления.