Мощность множества

Мо́щность мно́жества, кардина́льное число́ мно́жества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества <math>A</math> обозначается через <math>|A|</math>. Иногда встречаются обозначения <math>\overline{\overline{A}}</math>, <math>\# A</math> и <math>\mathrm{card}(A)</math>.

Определение

При соблюдении аксиомы выбора мощность множества формально определяется как наименьшее порядковое число <math>\alpha</math>, при котором между <math>X</math> и <math>\alpha</math> можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману. Если мы не принимаем аксиому выбора, требуется иной подход. Самое первое определение мощности множества <math>X</math> (оно неявно присутствует в работах Кантора и явным образом сформулировано у Фреге, а также в Principia Mathematica) представляет собой класс <math>[X]</math> всех множеств, равномощных <math>X</math>. В аксиоматических системах, основанных на теории ZFC, такое определение неприменимо, поскольку при непустом <math>X</math> такая совокупность слишком велика, чтобы подходить под определение множества. Точнее, если <math>X \ne \varnothing</math>, то существует инъективное отображение универсального множества в <math>[X]</math>, при котором каждое множество <math>m</math> переходит в <math>\{m\} \times X</math>, откуда, в силу аксиомы ограничения размера следует, что <math>[X]</math> - собственный класс. Данное определение можно использовать в теории типов и "новых основаниях", а также в связанных с ними аксиоматических системах. В случае ZFC определение можно использовать, если ограничить коллекцию <math>[X]</math> равномощными множествами с наименьшим рангом (этот приём, предложенный Даной Скоттом, работает благодаря тому, что совокупность объектов, обладающих заданным рангом, является множеством).

Формальный порядок среди кардинальных чисел вводится следующим образом: <math>|X| \le |Y|</math> означает, что множество <math>X</math> можно инъективно отобразить на <math>Y</math>. Согласно теореме Кантора-Бернштейна, из пары неравенств <math>|X| \le |Y|</math> и <math>|Y| \le |X|</math> следует, что <math>|X| = |Y|</math>. Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что для любых множеств <math>X</math> и <math>Y</math> выполняется, по крайней мере, одно из неравенств <math>|X| \le |Y|</math> или <math>|Y| \le |X|</math>.

Множество <math>X</math> называется бесконечным по Дедекинду, если в нём существует такое собственное подмножество <math>Y</math>, что <math>|X| = |Y|</math>. В противном случае множество называется конечным по Дедекинду. Конечные кардинальные числа совпадают с обычными натуральными числами - иначе говоря, множество <math>X</math> конечно тогда и только тогда, когда <math>|X| = |n| = n</math> при некотором натуральном <math>n</math>. Все остальные множества бесконечны. При соблюдении аксиомы выбора можно доказать, что определения по Дедекинду совпадают со стандартными. Кроме того, можно доказать, что мощность множества натуральных чисел <math>\aleph_0</math> (алеф-нуль, или алеф-0 - название образовано от первой буквы еврейского алфавита <math>\aleph</math>) представляет собой наименьшее бесконечно большое кардинальное число, то есть в любом бесконечном множестве есть подмножество мощности <math>\aleph_0</math>. Следующее по порядку кардинальное число обозначается <math>\aleph_1</math> и так далее. Любому порядковому числу <math>\alpha</math> соответствует кардинальное число <math>\aleph_\alpha</math>, причём таким образом можно описать любое бесконечно большое кардинальное число.

Связанные определения

• Мощность множества натуральных чисел <math>{\mathbb N}</math> обозначается символом <math>\aleph_0</math> («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность <math>\geqslant\aleph_0</math> (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются <math>\aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots</math> (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

• Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом <math>\mathfrak{c}</math>. Предположение о том, что <math>\mathfrak{c}=\aleph_1</math>, называется континуум-гипотезой.

• Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств <math>A</math> и <math>B</math> возможно только одно из трёх:
  1. <math>|A|=|B|</math>, или <math>A</math> и <math>B</math> равномощны;
  2. <math>|A|>|B|</math>, или <math>A</math> мощнее <math>B</math>, т. е. <math>A</math> содержит подмножество, равномощное <math>B</math>, но <math>A</math> и <math>B</math> не равномощны;
  3. <math>|A|<|B|</math>, или <math>B</math> мощнее <math>A</math> — в этом случае <math>B</math> содержит подмножество, равномощное <math>A</math>, но <math>A</math> и <math>B</math> не равномощны.
  • Ситуация, в которой <math>A</math> и <math>B</math> не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
  • Ситуация, в которой <math>|A|>|B|</math> и <math>|A|<|B|</math>, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Примеры

• Множество называется конечным, если оно равномощно отрезку натурального ряда <math>I_n = \{1,2...,n\}</math> при некотором неотрицательном целом <math>n</math>. Число <math>n</math> выражает количество элементов конечного множества. При <math>n=0</math> множество не содержит элементов (пустое множество). Если <math>n<m</math>, то не существует инъективного отображения из <math>I_m</math> в <math>I_n</math> (принцип Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними. Поэтому множества <math>I_m</math> и <math>I_n</math> имеют различную мощность.

• Множество называется счётным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>. Счётными множествами являются:
  • Множество <math>\mathbb{N}\setminus I_k</math> при любом натуральном <math>k</math>. Соответствие: <math>n\rightarrow n+k</math>.
  • Множество <math>\mathbb{N}\cup \{0\}</math>. Соответствие: <math>n\rightarrow n-1</math>.
  • Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Соответствие получается при сопоставлении членов ряда <math>0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...</math> его частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
  • Множество пар натуральных чисел <math>\mathbb{N}\times\mathbb{N}</math>.
  • Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> инъективно отображается во множество <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{N}</math> (несократимой дроби вида <math>p/q</math> соответствует пара чисел <math>(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}</math>). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.

• Бесконечные множества, неравномощные множеству <math>\mathbb{N}</math>, называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.

• Мощность множества вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> равна континууму.

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например <math>|{\mathbb N}|=|\mathbb Z|</math>.
• Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или <math>|2^A| > |A|</math>.
• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
• Мощность декартова произведения:

  <math>|A\times B|=|A|\cdot |B|</math>

• Формула включения-исключения в простейшем виде:

  <math>|A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|</math>

Арифметика кардинальных чисел

Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.

Следующее по порядку кардинальное число

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа <math>\kappa</math> можно определить следующее за ним число <math>\kappa^+>\kappa</math>, причём между <math>\kappa</math> и <math>\kappa^+</math> нет других кардинальных чисел. Если <math>\kappa</math> конечно, то следующее кардинальное число совпадает с <math>\kappa+1</math>. В случае бесконечных <math>\kappa</math> следующее кардинальное число отличается от следующего порядкового числа.

Сложение кардинальных чисел

Если множества <math>X</math> и <math>Y</math> не имеют общих элементов, то сумма мощностей определяется мощностью их объединения. При наличии общих элементов исходные множества можно заменить непересекающимися множествами той же мощности - например, заменить <math>X</math> на <math>X \times \{0\}</math>, а <math>Y</math> на <math>Y \times \{1\}</math>.

Нейтральность нуля относительно сложения:

<math>\kappa + 0 = 0 + \kappa = \kappa</math>

Ассоциативность:

<math>(\kappa + \mu) + \nu = \kappa + (\mu + \nu)</math>

Коммутативность:

<math>\kappa + \mu = \mu + \kappa</math>

Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:

<math>\kappa \le \mu \rightarrow \kappa + \nu \le \mu + \nu.</math>

<math>\kappa \le \mu \rightarrow \nu + \kappa \le \nu + \mu.</math>

Сумму двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если одно из чисел <math>\kappa</math> или <math>\mu</math> бесконечно, то

<math>\kappa + \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.</math>

Вычитание

При соблюдении аксиомы выбора для любого бесконечного кардинального числа <math>\sigma</math> и произвольного кардинального числа <math>\mu</math> существование <math>\kappa</math>, при котором <math>\mu + \kappa = \sigma</math>, эквивалентно неравенству <math>\mu \le \sigma</math>. Такое <math>\kappa</math> единственно (и совпадает с <math>\sigma</math>) тогда и только тогда, когда <math>\mu < \sigma</math>.

Умножение кардинальных чисел

Произведение двух кардинальных чисел выражается через декартово произведение множеств: <math>|X| \cdot |Y| = |X \times Y|</math>

Свойства нуля:

<math>\kappa \cdot 0 = 0 \cdot \kappa = 0</math>

<math>\kappa \cdot \mu = 0 \rightarrow \kappa = 0 \or \mu = 0</math>

Нейтральность единицы относительно умножения:

<math>\kappa \cdot 1 = 1 \cdot \kappa = \kappa</math>

Ассоциативность:

<math>(\kappa \cdot \mu) \cdot \nu = \kappa \cdot (\mu \cdot \nu)</math>

Коммутативность:

<math>\kappa \cdot \mu = \mu \cdot \kappa</math>

Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:

<math>\kappa \le \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \le \mu \cdot \nu.</math>

<math>\kappa \le \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \le \nu \cdot \mu.</math>

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

<math>\kappa \cdot (\mu + \nu) = \kappa \cdot \mu + \kappa \cdot \nu</math>

<math>(\mu + \nu) \cdot \kappa = \mu \cdot \kappa + \nu \cdot \kappa</math>

По аналогии со сложением произведение двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если числа <math>\kappa</math> и <math>\mu</math> отличны от нуля и хотя бы одно из них бесконечно, то

<math>\kappa \cdot \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.</math>

Деление

При соблюдении аксиомы выбора для любой пары кардинальных чисел <math>\pi</math> и <math>\mu</math>, где <math>\pi</math> бесконечно, а <math>\mu</math> не равно нулю, существование <math>\kappa</math>, при котором <math>\mu \cdot \kappa = \pi</math>, эквивалентно неравенству <math>\mu \le \pi</math>. Такое <math>\kappa</math> единственно (и совпадает с <math>\pi</math>) тогда и только тогда, когда <math>\mu < \pi</math>.

Возведение кардинальных чисел в степень

Возведение в степень определяется следующим образом:

<math>|X|^{|Y|} = |X^Y|</math>,

где <math>X^Y</math> обозначает множество всех функций из <math>Y</math> в <math>X</math>.

<math>\kappa^0 = 1</math> (в частности, <math>0^0 = 1</math>), см. Пустая функция

<math>1 \le \mu \rightarrow 0^\mu = 0</math>

<math>1^\mu = 1</math>

<math>\kappa^1 = \kappa</math>

<math>\kappa^{\mu + \nu} = \kappa^\mu \cdot \kappa^\nu</math>

<math>\kappa^{\mu \cdot \nu} = (\kappa^\mu)^\nu</math>

<math>(\kappa \cdot \mu)^\nu = \kappa^\nu \cdot \mu^\nu</math>

Монотонность:

<math>1 \le \nu \and \kappa \le \mu \rightarrow \nu^\kappa \le \nu^\mu</math>

<math>\kappa \le \mu \rightarrow \kappa^\nu \le \mu^\nu</math>

Заметим, что <math>2^{|X|}</math> представляет собой мощность булеана <math>X</math> и, следовательно, <math>2^{|X|} > |X|</math> для любого множества <math>X</math> (см. Диагональный метод Кантора). Отсюда следует, что среди кардинальных чисел нет наибольшего (поскольку для любого кардинального числа <math>\kappa</math> можно указать большее число <math>2^\kappa</math>). В действительности класс всех кардинальных чисел является собственным (хотя в некоторых аксиоматизациях теории множество этого доказать нельзя - к таковым, например, относится система "Новых оснований").

Все последующие утверждения, приведенные в этом разделе, опираются на аксиому выбора.

Если <math>\kappa</math> и <math>\mu</math> - конечные числа, большие 1, а <math>\nu</math> - бесконечное кардинальное число, то <math>\kappa^\nu = \mu^\nu</math> Если кардинальное число <math>\kappa</math> бесконечно, а <math>\mu</math> конечно и отлично от нуля, то <math>\kappa^\mu = \kappa</math>.

Если <math>\kappa \ge 2</math> и <math>\mu \ge 1</math>, причём хотя бы одно из них бесконечно, то

<math>max\{\kappa, 2^\mu\} \le \kappa^\mu \le max\{2^\kappa, 2^\mu\}</math>.

Используя теорему Кёнига, можно доказать, что для любого бесконечного кардинального числа <math>\kappa</math> выполняются неравенства:

<math>\kappa < \kappa^{cf(\kappa)}</math>

<math>\kappa < cf(2^\kappa)</math>,

где <math>cf(\kappa)</math> обозначает конфинальность <math>\kappa</math>.

Извлечение корней

При условии соблюдения аксиомы выбора для любого бесконечного кардинала <math>\kappa</math> и конечного кардинала <math>\mu > 0</math> существует кардинальное число <math>\nu</math>, при котором <math>\nu^\mu = \kappa</math>, причём <math>\nu = \kappa</math>.

Логарифмы

При соблюдении аксиомы выбора кардинальное число <math>\lambda</math>, удовлетворяющее условию <math>\mu^\lambda = \kappa</math>, при заданном бесконечном <math>\kappa</math> и конечном <math>\mu > 1</math>, существует не всегда. Если же такое <math>\lambda</math> существует, то оно бесконечно и меньше <math>\kappa</math>, причём любое конечное кардинальное число <math>\nu > 1</math> также будет удовлетворять равенству <math>\nu^\lambda = \kappa</math>.

Логарифмом бесконечного кардинального числа <math>\kappa</math> называется наименьшее кардинальное число <math>\mu</math>, удовлетворяющее условию <math>\kappa \le 2^\mu</math>. Несмотря на то, что логарифмы бесконечно больших кардинальных чисел лишены некоторых свойств, характерных для логарифмов положительных вещественных чисел, они оказываются полезными в некоторых областях математики - в частности, при изучении кардинальных инвариантов топологических пространств.

Континуум-гипотеза

Согласно утверждению континуум-гипотезы, между <math>\aleph_0</math> и <math>2^{\aleph_0}</math> не существует других кардинальных чисел. Кардинальное число <math>2^{\aleph_0}</math> также обозначается <math>\mathfrak{c}</math> и представляет собой мощность континуума (то есть множества вещественных чисел). В данном случае <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>. Обобщённая континуум-гипотеза отрицает существование кардинальных чисел, заключённых строго между <math>|X|</math> и <math>2^{|X|}</math>, для любого бесконечного множества <math>X</math>. Континуум-гипотеза является независимой от стандартной аксиоматизации теории множеств, то есть системы аксиом Цермело-Френкеля в сочетании с аксиомой выбора (см. Теория множеств Цермело-Френкеля).

См. также

• Порядковое число

Литература

• А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза], Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
• Р. Курант, Г. Роббинс, [www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] Глава II, § 4.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Мощность множества

– Еще два письма пропущу, а третье прочту, – строго сказал князь, – боюсь, много вздору пишете. Третье прочту.
– Прочтите хоть это, mon pere, [батюшка,] – отвечала княжна, краснея еще более и подавая ему письмо.
– Третье, я сказал, третье, – коротко крикнул князь, отталкивая письмо, и, облокотившись на стол, пододвинул тетрадь с чертежами геометрии.
– Ну, сударыня, – начал старик, пригнувшись близко к дочери над тетрадью и положив одну руку на спинку кресла, на котором сидела княжна, так что княжна чувствовала себя со всех сторон окруженною тем табачным и старчески едким запахом отца, который она так давно знала. – Ну, сударыня, треугольники эти подобны; изволишь видеть, угол abc…
Княжна испуганно взглядывала на близко от нее блестящие глаза отца; красные пятна переливались по ее лицу, и видно было, что она ничего не понимает и так боится, что страх помешает ей понять все дальнейшие толкования отца, как бы ясны они ни были. Виноват ли был учитель или виновата была ученица, но каждый день повторялось одно и то же: у княжны мутилось в глазах, она ничего не видела, не слышала, только чувствовала близко подле себя сухое лицо строгого отца, чувствовала его дыхание и запах и только думала о том, как бы ей уйти поскорее из кабинета и у себя на просторе понять задачу.
Старик выходил из себя: с грохотом отодвигал и придвигал кресло, на котором сам сидел, делал усилия над собой, чтобы не разгорячиться, и почти всякий раз горячился, бранился, а иногда швырял тетрадью.
Княжна ошиблась ответом.
– Ну, как же не дура! – крикнул князь, оттолкнув тетрадь и быстро отвернувшись, но тотчас же встал, прошелся, дотронулся руками до волос княжны и снова сел.
Он придвинулся и продолжал толкование.
– Нельзя, княжна, нельзя, – сказал он, когда княжна, взяв и закрыв тетрадь с заданными уроками, уже готовилась уходить, – математика великое дело, моя сударыня. А чтобы ты была похожа на наших глупых барынь, я не хочу. Стерпится слюбится. – Он потрепал ее рукой по щеке. – Дурь из головы выскочит.
Она хотела выйти, он остановил ее жестом и достал с высокого стола новую неразрезанную книгу.
– Вот еще какой то Ключ таинства тебе твоя Элоиза посылает. Религиозная. А я ни в чью веру не вмешиваюсь… Просмотрел. Возьми. Ну, ступай, ступай!
Он потрепал ее по плечу и сам запер за нею дверь.
Княжна Марья возвратилась в свою комнату с грустным, испуганным выражением, которое редко покидало ее и делало ее некрасивое, болезненное лицо еще более некрасивым, села за свой письменный стол, уставленный миниатюрными портретами и заваленный тетрадями и книгами. Княжна была столь же беспорядочная, как отец ее порядочен. Она положила тетрадь геометрии и нетерпеливо распечатала письмо. Письмо было от ближайшего с детства друга княжны; друг этот была та самая Жюли Карагина, которая была на именинах у Ростовых:
Жюли писала:
«Chere et excellente amie, quelle chose terrible et effrayante que l'absence! J'ai beau me dire que la moitie de mon existence et de mon bonheur est en vous, que malgre la distance qui nous separe, nos coeurs sont unis par des liens indissolubles; le mien se revolte contre la destinee, et je ne puis, malgre les plaisirs et les distractions qui m'entourent, vaincre une certaine tristesse cachee que je ressens au fond du coeur depuis notre separation. Pourquoi ne sommes nous pas reunies, comme cet ete dans votre grand cabinet sur le canape bleu, le canape a confidences? Pourquoi ne puis je, comme il y a trois mois, puiser de nouvelles forces morales dans votre regard si doux, si calme et si penetrant, regard que j'aimais tant et que je crois voir devant moi, quand je vous ecris».
[Милый и бесценный друг, какая страшная и ужасная вещь разлука! Сколько ни твержу себе, что половина моего существования и моего счастия в вас, что, несмотря на расстояние, которое нас разлучает, сердца наши соединены неразрывными узами, мое сердце возмущается против судьбы, и, несмотря на удовольствия и рассеяния, которые меня окружают, я не могу подавить некоторую скрытую грусть, которую испытываю в глубине сердца со времени нашей разлуки. Отчего мы не вместе, как в прошлое лето, в вашем большом кабинете, на голубом диване, на диване «признаний»? Отчего я не могу, как три месяца тому назад, почерпать новые нравственные силы в вашем взгляде, кротком, спокойном и проницательном, который я так любила и который я вижу перед собой в ту минуту, как пишу вам?]
Прочтя до этого места, княжна Марья вздохнула и оглянулась в трюмо, которое стояло направо от нее. Зеркало отразило некрасивое слабое тело и худое лицо. Глаза, всегда грустные, теперь особенно безнадежно смотрели на себя в зеркало. «Она мне льстит», подумала княжна, отвернулась и продолжала читать. Жюли, однако, не льстила своему другу: действительно, и глаза княжны, большие, глубокие и лучистые (как будто лучи теплого света иногда снопами выходили из них), были так хороши, что очень часто, несмотря на некрасивость всего лица, глаза эти делались привлекательнее красоты. Но княжна никогда не видала хорошего выражения своих глаз, того выражения, которое они принимали в те минуты, когда она не думала о себе. Как и у всех людей, лицо ее принимало натянуто неестественное, дурное выражение, как скоро она смотрелась в зеркало. Она продолжала читать: 211
«Tout Moscou ne parle que guerre. L'un de mes deux freres est deja a l'etranger, l'autre est avec la garde, qui se met en Marieche vers la frontiere. Notre cher еmpereur a quitte Petersbourg et, a ce qu'on pretend, compte lui meme exposer sa precieuse existence aux chances de la guerre. Du veuille que le monstre corsicain, qui detruit le repos de l'Europe, soit terrasse par l'ange que le Tout Рuissant, dans Sa misericorde, nous a donnee pour souverain. Sans parler de mes freres, cette guerre m'a privee d'une relation des plus cheres a mon coeur. Je parle du jeune Nicolas Rostoff, qui avec son enthousiasme n'a pu supporter l'inaction et a quitte l'universite pour aller s'enroler dans l'armee. Eh bien, chere Marieie, je vous avouerai, que, malgre son extreme jeunesse, son depart pour l'armee a ete un grand chagrin pour moi. Le jeune homme, dont je vous parlais cet ete, a tant de noblesse, de veritable jeunesse qu'on rencontre si rarement dans le siecle оu nous vivons parmi nos villards de vingt ans. Il a surtout tant de franchise et de coeur. Il est tellement pur et poetique, que mes relations avec lui, quelque passageres qu'elles fussent, ont ete l'une des plus douees jouissances de mon pauvre coeur, qui a deja tant souffert. Je vous raconterai un jour nos adieux et tout ce qui s'est dit en partant. Tout cela est encore trop frais. Ah! chere amie, vous etes heureuse de ne pas connaitre ces jouissances et ces peines si poignantes. Vous etes heureuse, puisque les derienieres sont ordinairement les plus fortes! Je sais fort bien, que le comte Nicolas est trop jeune pour pouvoir jamais devenir pour moi quelque chose de plus qu'un ami, mais cette douee amitie, ces relations si poetiques et si pures ont ete un besoin pour mon coeur. Mais n'en parlons plus. La grande nouvelle du jour qui occupe tout Moscou est la mort du vieux comte Безухой et son heritage. Figurez vous que les trois princesses n'ont recu que tres peu de chose, le prince Basile rien, est que c'est M. Pierre qui a tout herite, et qui par dessus le Marieche a ete reconnu pour fils legitime, par consequent comte Безухой est possesseur de la plus belle fortune de la Russie. On pretend que le prince Basile a joue un tres vilain role dans toute cette histoire et qu'il est reparti tout penaud pour Petersbourg.
«Je vous avoue, que je comprends tres peu toutes ces affaires de legs et de testament; ce que je sais, c'est que depuis que le jeune homme que nous connaissions tous sous le nom de M. Pierre les tout court est devenu comte Безухой et possesseur de l'une des plus grandes fortunes de la Russie, je m'amuse fort a observer les changements de ton et des manieres des mamans accablees de filles a Marieier et des demoiselles elles memes a l'egard de cet individu, qui, par parenthese, m'a paru toujours etre un pauvre, sire. Comme on s'amuse depuis deux ans a me donner des promis que je ne connais pas le plus souvent, la chronique matrimoniale de Moscou me fait comtesse Безухой. Mais vous sentez bien que je ne me souc nullement de le devenir. A propos de Marieiage, savez vous que tout derienierement la tante en general Анна Михайловна, m'a confie sous le sceau du plus grand secret un projet de Marieiage pour vous. Ce n'est ni plus, ni moins, que le fils du prince Basile, Anatole, qu'on voudrait ranger en le Marieiant a une personne riche et distinguee, et c'est sur vous qu'est tombe le choix des parents. Je ne sais comment vous envisagerez la chose, mais j'ai cru de mon devoir de vous en avertir. On le dit tres beau et tres mauvais sujet; c'est tout ce que j'ai pu savoir sur son compte.
«Mais assez de bavardage comme cela. Je finis mon second feuillet, et maman me fait chercher pour aller diner chez les Apraksines. Lisez le livre mystique que je vous envoie et qui fait fureur chez nous. Quoiqu'il y ait des choses dans ce livre difficiles a atteindre avec la faible conception humaine, c'est un livre admirable dont la lecture calme et eleve l'ame. Adieu. Mes respects a monsieur votre pere et mes compliments a m elle Bourienne. Je vous embrasse comme je vous aime. Julie».
«P.S.Donnez moi des nouvelles de votre frere et de sa charmante petite femme».
[Вся Москва только и говорит что о войне. Один из моих двух братьев уже за границей, другой с гвардией, которая выступает в поход к границе. Наш милый государь оставляет Петербург и, как предполагают, намерен сам подвергнуть свое драгоценное существование случайностям войны. Дай Бог, чтобы корсиканское чудовище, которое возмущает спокойствие Европы, было низвергнуто ангелом, которого Всемогущий в Своей благости поставил над нами повелителем. Не говоря уже о моих братьях, эта война лишила меня одного из отношений самых близких моему сердцу. Я говорю о молодом Николае Ростове; который, при своем энтузиазме, не мог переносить бездействия и оставил университет, чтобы поступить в армию. Признаюсь вам, милая Мари, что, несмотря на его чрезвычайную молодость, отъезд его в армию был для меня большим горем. В молодом человеке, о котором я говорила вам прошлым летом, столько благородства, истинной молодости, которую встречаешь так редко в наш век между двадцатилетними стариками! У него особенно так много откровенности и сердца. Он так чист и полон поэзии, что мои отношения к нему, при всей мимолетности своей, были одною из самых сладостных отрад моего бедного сердца, которое уже так много страдало. Я вам расскажу когда нибудь наше прощанье и всё, что говорилось при прощании. Всё это еще слишком свежо… Ах! милый друг, вы счастливы, что не знаете этих жгучих наслаждений, этих жгучих горестей. Вы счастливы, потому что последние обыкновенно сильнее первых. Я очень хорошо знаю, что граф Николай слишком молод для того, чтобы сделаться для меня чем нибудь кроме как другом. Но эта сладкая дружба, эти столь поэтические и столь чистые отношения были потребностью моего сердца. Но довольно об этом.
«Главная новость, занимающая всю Москву, – смерть старого графа Безухого и его наследство. Представьте себе, три княжны получили какую то малость, князь Василий ничего, а Пьер – наследник всего и, сверх того, признан законным сыном и потому графом Безухим и владельцем самого огромного состояния в России. Говорят, что князь Василий играл очень гадкую роль во всей этой истории, и что он уехал в Петербург очень сконфуженный. Признаюсь вам, я очень плохо понимаю все эти дела по духовным завещаниям; знаю только, что с тех пор как молодой человек, которого мы все знали под именем просто Пьера, сделался графом Безухим и владельцем одного из лучших состояний России, – я забавляюсь наблюдениями над переменой тона маменек, у которых есть дочери невесты, и самих барышень в отношении к этому господину, который (в скобках будь сказано) всегда казался мне очень ничтожным. Так как уже два года все забавляются тем, чтобы приискивать мне женихов, которых я большею частью не знаю, то брачная хроника Москвы делает меня графинею Безуховой. Но вы понимаете, что я нисколько этого не желаю. Кстати о браках. Знаете ли вы, что недавно всеобщая тетушка Анна Михайловна доверила мне, под величайшим секретом, замысел устроить ваше супружество. Это ни более ни менее как сын князя Василья, Анатоль, которого хотят пристроить, женив его на богатой и знатной девице, и на вас пал выбор родителей. Я не знаю, как вы посмотрите на это дело, но я сочла своим долгом предуведомить вас. Он, говорят, очень хорош и большой повеса. Вот всё, что я могла узнать о нем.
Но будет болтать. Кончаю мой второй листок, а маменька прислала за мной, чтобы ехать обедать к Апраксиным.
Прочитайте мистическую книгу, которую я вам посылаю; она имеет у нас огромный успех. Хотя в ней есть вещи, которые трудно понять слабому уму человеческому, но это превосходная книга; чтение ее успокоивает и возвышает душу. Прощайте. Мое почтение вашему батюшке и мои приветствия m lle Бурьен. Обнимаю вас от всего сердца. Юлия.
PS. Известите меня о вашем брате и о его прелестной жене.]
Княжна подумала, задумчиво улыбаясь (при чем лицо ее, освещенное ее лучистыми глазами, совершенно преобразилось), и, вдруг поднявшись, тяжело ступая, перешла к столу. Она достала бумагу, и рука ее быстро начала ходить по ней. Так писала она в ответ:
«Chere et excellente ami. Votre lettre du 13 m'a cause une grande joie. Vous m'aimez donc toujours, ma poetique Julie.
L'absence, dont vous dites tant de mal, n'a donc pas eu son influenсе habituelle sur vous. Vous vous plaignez de l'absence – que devrai je dire moi, si j'osais me plaindre, privee de tous ceux qui me sont chers? Ah l si nous n'avions pas la religion pour nous consoler, la vie serait bien triste. Pourquoi me supposez vous un regard severe, quand vous me parlez de votre affection pour le jeune homme? Sous ce rapport je ne suis rigide que pour moi. Je comprends ces sentiments chez les autres et si je ne puis approuver ne les ayant jamais ressentis, je ne les condamiene pas. Me parait seulement que l'amour chretien, l'amour du prochain, l'amour pour ses ennemis est plus meritoire, plus doux et plus beau, que ne le sont les sentiments que peuvent inspire les beaux yeux d'un jeune homme a une jeune fille poetique et aimante comme vous.
«La nouvelle de la mort du comte Безухой nous est parvenue avant votre lettre, et mon pere en a ete tres affecte. Il dit que c'etait avant derienier representant du grand siecle, et qu'a present c'est son tour; mais qu'il fera son possible pour que son tour vienne le plus tard possible. Que Dieu nous garde de ce terrible malheur! Je ne puis partager votre opinion sur Pierre que j'ai connu enfant. Il me paraissait toujours avoir un coeur excellent, et c'est la qualite que j'estime le plus dans les gens. Quant a son heritage et au role qu'y a joue le prince Basile, c'est bien triste pour tous les deux. Ah! chere amie, la parole de notre divin Sauveur qu'il est plus aise a un hameau de passer par le trou d'une aiguille, qu'il ne l'est a un riche d'entrer dans le royaume de Dieu, cette parole est terriblement vraie; je plains le prince Basile et je regrette encore davantage Pierre. Si jeune et accable de cette richesse, que de tentations n'aura t il pas a subir! Si on me demandait ce que je desirerais le plus au monde, ce serait d'etre plus pauvre que le plus pauvre des mendiants. Mille graces, chere amie, pour l'ouvrage que vous m'envoyez, et qui fait si grande fureur chez vous. Cependant, puisque vous me dites qu'au milieu de plusurs bonnes choses il y en a d'autres que la faible conception humaine ne peut atteindre, il me parait assez inutile de s'occuper d'une lecture inintelligible, qui par la meme ne pourrait etre d'aucun fruit. Je n'ai jamais pu comprendre la passion qu'ont certaines personnes de s'embrouiller l'entendement, en s'attachant a des livres mystiques, qui n'elevent que des doutes dans leurs esprits, exaltant leur imagination et leur donnent un caractere d'exageration tout a fait contraire a la simplicite chretnne. Lisons les Apotres et l'Evangile. Ne cherchons pas a penetrer ce que ceux la renferment de mysterux, car, comment oserions nous, miserables pecheurs que nous sommes, pretendre a nous initier dans les secrets terribles et sacres de la Providence, tant que nous portons cette depouille charienelle, qui eleve entre nous et l'Eterienel un voile impenetrable? Borienons nous donc a etudr les principes sublimes que notre divin Sauveur nous a laisse pour notre conduite ici bas; cherchons a nous y conformer et a les suivre, persuadons nous que moins nous donnons d'essor a notre faible esprit humain et plus il est agreable a Dieu, Qui rejette toute science ne venant pas de Lui;que moins nous cherchons a approfondir ce qu'il Lui a plu de derober a notre connaissance,et plutot II nous en accordera la decouverte par Son divin esprit.