Касательная прямая

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.





Строгое определение

  • Пусть функция <math>f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> определена в некоторой окрестности точки <math>x_0\in \mathbb{R}</math>, и дифференцируема в ней: <math>f \in \mathcal{D}(x_0)</math>. Касательной прямой к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется график линейной функции, задаваемый уравнением
    <math>y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}</math>.
  • Если функция <math>f</math> имеет в точке <math>x_0</math> бесконечную производную <math>f'(x_0) = \pm \infty,</math> то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
    <math>x = x_0.</math>

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку <math>(x_0,f(x_0))</math>. Угол <math>\alpha</math> между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

<math>\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0)= k,</math>

где <math>\operatorname{tg}</math> обозначает тангенс, а <math>\operatorname {k} </math> — коэффициент наклона касательной. Производная в точке <math>x_0</math> равна угловому коэффициенту касательной к графику функции <math>y = f(x)</math> в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть <math>f\colon U(x_0) \to \R</math> и <math>x_1 \in U(x_0).</math> Тогда прямая линия, проходящая через точки <math>(x_0,f(x_0))</math> и <math>(x_1,f(x_1))</math> задаётся уравнением

<math>y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).</math>

Эта прямая проходит через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> для любого <math>x_1\in U(x_0),</math> и её угол наклона <math>\alpha(x_1)</math> удовлетворяет уравнению

<math>\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.</math>

В силу существования производной функции <math>f</math> в точке <math>x_0,</math> переходя к пределу при <math>x_1 \to x_0,</math> получаем, что существует предел

<math>\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0),</math>

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

<math>\alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0).</math>

Прямая, проходящая через точку <math>(x_0,f(x_0))</math> и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий <math>\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0),</math> задаётся уравнением касательной:

<math>y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>

Касательная к окружности

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

  • Если существует правая производная <math>f'_+(x_0) < \infty,</math> то пра́вой полукаса́тельной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
<math>y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.</math>
  • Если существует левая производная <math>f'_-(x_0) < \infty,</math> то ле́вой полукаса́тельной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
<math>y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.</math>
  • Если существует бесконечная правая производная <math>f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),</math> то правой полукасательной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
<math>x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).</math>
  • Если существует бесконечная левая производная <math>f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),</math> то правой полукасательной к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется луч
<math>x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).</math>

См. также

Напишите отзыв о статье "Касательная прямая"

Литература

Отрывок, характеризующий Касательная прямая

– По местам! – крикнул молоденький офицер на собравшихся вокруг Пьера солдат. Молоденький офицер этот, видимо, исполнял свою должность в первый или во второй раз и потому с особенной отчетливостью и форменностью обращался и с солдатами и с начальником.
Перекатная пальба пушек и ружей усиливалась по всему полю, в особенности влево, там, где были флеши Багратиона, но из за дыма выстрелов с того места, где был Пьер, нельзя было почти ничего видеть. Притом, наблюдения за тем, как бы семейным (отделенным от всех других) кружком людей, находившихся на батарее, поглощали все внимание Пьера. Первое его бессознательно радостное возбуждение, произведенное видом и звуками поля сражения, заменилось теперь, в особенности после вида этого одиноко лежащего солдата на лугу, другим чувством. Сидя теперь на откосе канавы, он наблюдал окружавшие его лица.
К десяти часам уже человек двадцать унесли с батареи; два орудия были разбиты, чаще и чаще на батарею попадали снаряды и залетали, жужжа и свистя, дальние пули. Но люди, бывшие на батарее, как будто не замечали этого; со всех сторон слышался веселый говор и шутки.
– Чиненка! – кричал солдат на приближающуюся, летевшую со свистом гранату. – Не сюда! К пехотным! – с хохотом прибавлял другой, заметив, что граната перелетела и попала в ряды прикрытия.
– Что, знакомая? – смеялся другой солдат на присевшего мужика под пролетевшим ядром.
Несколько солдат собрались у вала, разглядывая то, что делалось впереди.
– И цепь сняли, видишь, назад прошли, – говорили они, указывая через вал.
– Свое дело гляди, – крикнул на них старый унтер офицер. – Назад прошли, значит, назади дело есть. – И унтер офицер, взяв за плечо одного из солдат, толкнул его коленкой. Послышался хохот.
– К пятому орудию накатывай! – кричали с одной стороны.
– Разом, дружнее, по бурлацки, – слышались веселые крики переменявших пушку.
– Ай, нашему барину чуть шляпку не сбила, – показывая зубы, смеялся на Пьера краснорожий шутник. – Эх, нескладная, – укоризненно прибавил он на ядро, попавшее в колесо и ногу человека.
– Ну вы, лисицы! – смеялся другой на изгибающихся ополченцев, входивших на батарею за раненым.
– Аль не вкусна каша? Ах, вороны, заколянились! – кричали на ополченцев, замявшихся перед солдатом с оторванной ногой.
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.