Касательный вектор

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой

• Пусть функция <math>f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> определена в некоторой окрестности точки <math>x_0\in \mathbb{R}</math> и дифференцируема в ней: <math>f \in \mathcal{D}(x_0)</math>.

Касательным вектором к графику функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется вектор с компонентами

• <math>\vec e = \frac{1}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_x + \frac{f'(x_0)}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_y</math>.

• Если функция <math>f</math> имеет в точке <math>x_0</math> бесконечную производную <math>f'(x_0) = \pm \infty,</math> то касательный вектор

  <math>\vec e = \vec e_y</math>.

Общее определение

Касательным вектором к гладкому многообразию <math>M</math> в точке <math>p \in M</math> называется оператор <math>X</math>, сопоставляющий каждой гладкой функции <math>f\colon M\to \R</math> число <math>X f</math> и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: <math>X(f+h)=Xf+Xh,</math>
• правило Лейбница: <math>X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh).</math>

Множество всех таких операторов в точке <math>p</math> имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

<math>(X+Y)f=Xf+Yf;</math>

<math>(k\cdot X)f=k\cdot(Xf), \ \forall k \in \R</math>.

Совокупность всех касательных векторов в точке <math>p</math> образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке <math>p</math>. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь <math>\mathbf{f}\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n</math>:

<math>\mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n</math>.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь <math>\mathbf{l}(t)</math>, который его касается в момент времени t₀:

<math>\mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial x_1}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial x_2}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial x_n}(t_0)\mathbf{e}_n\right)</math>.

Касание двух путей <math>\mathbf{f}_1(t)</math> и <math>\mathbf{f}_2(t)</math> означает, что <math>\mathbf{f}_1(t)-\mathbf{f}_2(t)=o(t-t_0)</math>; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию

Касательный вектор в точке <math>p</math> гладкого подмногообразия <math>M</math> евклидова пространства — вектор скорости в точке <math>p</math> некоторой кривой в <math>M</math>.

Иначе говоря, касательный вектор в точке <math>p</math> подмногообразия, локально заданного параметрически

<math>r\colon\R^m\to \R^n</math> с <math>p=r(0)\ </math>,

есть произвольная линейная комбинация частных производных <math>\frac{\partial r}{\partial x_i}(0)</math>.

Замечания

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости <math>C^1</math>.
• Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в <math>\R^{2n}</math>. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

Отрывок, характеризующий Касательный вектор

– Да, нынче всё другое, всё по новому. Молодец малый! молодец! Ну, пойдем ко мне.
Он взял князя Василья под руку и повел в кабинет.
Князь Василий, оставшись один на один с князем, тотчас же объявил ему о своем желании и надеждах.
– Что ж ты думаешь, – сердито сказал старый князь, – что я ее держу, не могу расстаться? Вообразят себе! – проговорил он сердито. – Мне хоть завтра! Только скажу тебе, что я своего зятя знать хочу лучше. Ты знаешь мои правила: всё открыто! Я завтра при тебе спрошу: хочет она, тогда пусть он поживет. Пускай поживет, я посмотрю. – Князь фыркнул.
– Пускай выходит, мне всё равно, – закричал он тем пронзительным голосом, которым он кричал при прощаньи с сыном.
– Я вам прямо скажу, – сказал князь Василий тоном хитрого человека, убедившегося в ненужности хитрить перед проницательностью собеседника. – Вы ведь насквозь людей видите. Анатоль не гений, но честный, добрый малый, прекрасный сын и родной.
– Ну, ну, хорошо, увидим.
Как оно всегда бывает для одиноких женщин, долго проживших без мужского общества, при появлении Анатоля все три женщины в доме князя Николая Андреевича одинаково почувствовали, что жизнь их была не жизнью до этого времени. Сила мыслить, чувствовать, наблюдать мгновенно удесятерилась во всех их, и как будто до сих пор происходившая во мраке, их жизнь вдруг осветилась новым, полным значения светом.
Княжна Марья вовсе не думала и не помнила о своем лице и прическе. Красивое, открытое лицо человека, который, может быть, будет ее мужем, поглощало всё ее внимание. Он ей казался добр, храбр, решителен, мужествен и великодушен. Она была убеждена в этом. Тысячи мечтаний о будущей семейной жизни беспрестанно возникали в ее воображении. Она отгоняла и старалась скрыть их.
«Но не слишком ли я холодна с ним? – думала княжна Марья. – Я стараюсь сдерживать себя, потому что в глубине души чувствую себя к нему уже слишком близкою; но ведь он не знает всего того, что я о нем думаю, и может вообразить себе, что он мне неприятен».
И княжна Марья старалась и не умела быть любезной с новым гостем. «La pauvre fille! Elle est diablement laide», [Бедная девушка, она дьявольски дурна собою,] думал про нее Анатоль.
M lle Bourienne, взведенная тоже приездом Анатоля на высокую степень возбуждения, думала в другом роде. Конечно, красивая молодая девушка без определенного положения в свете, без родных и друзей и даже родины не думала посвятить свою жизнь услугам князю Николаю Андреевичу, чтению ему книг и дружбе к княжне Марье. M lle Bourienne давно ждала того русского князя, который сразу сумеет оценить ее превосходство над русскими, дурными, дурно одетыми, неловкими княжнами, влюбится в нее и увезет ее; и вот этот русский князь, наконец, приехал. У m lle Bourienne была история, слышанная ею от тетки, доконченная ею самой, которую она любила повторять в своем воображении. Это была история о том, как соблазненной девушке представлялась ее бедная мать, sa pauvre mere, и упрекала ее за то, что она без брака отдалась мужчине. M lle Bourienne часто трогалась до слез, в воображении своем рассказывая ему , соблазнителю, эту историю. Теперь этот он , настоящий русский князь, явился. Он увезет ее, потом явится ma pauvre mere, и он женится на ней. Так складывалась в голове m lle Bourienne вся ее будущая история, в самое то время как она разговаривала с ним о Париже. Не расчеты руководили m lle Bourienne (она даже ни минуты не обдумывала того, что ей делать), но всё это уже давно было готово в ней и теперь только сгруппировалось около появившегося Анатоля, которому она желала и старалась, как можно больше, нравиться.
Маленькая княгиня, как старая полковая лошадь, услыхав звук трубы, бессознательно и забывая свое положение, готовилась к привычному галопу кокетства, без всякой задней мысли или борьбы, а с наивным, легкомысленным весельем.
Несмотря на то, что Анатоль в женском обществе ставил себя обыкновенно в положение человека, которому надоедала беготня за ним женщин, он чувствовал тщеславное удовольствие, видя свое влияние на этих трех женщин. Кроме того он начинал испытывать к хорошенькой и вызывающей Bourienne то страстное, зверское чувство, которое на него находило с чрезвычайной быстротой и побуждало его к самым грубым и смелым поступкам.