Прямоугольная система координат

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Квадрант плоскости»)
Перейти к: навигация, поиск

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную)[1].





Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат <math>X'X</math> и <math>Y'Y</math> (крестом). Оси координат пересекаются в точке <math>O</math>, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Положение точки <math>A</math> на плоскости определяется двумя координатами <math>x</math> и <math>y</math>. Координата <math>x</math> равна длине отрезка <math>OB</math>, координата <math>y</math> — длине отрезка <math>OC</math> в выбранных единицах измерения. Отрезки <math>OB</math> и <math>OC</math> определяются линиями, проведёнными из точки <math>A</math> параллельно осям <math>Y'Y</math> и <math>X'X</math> соответственно.

При этом координате <math>x</math> приписывается знак минус, если точка <math>B</math> лежит на луче <math>OX'</math> (а не на луче <math>OX</math>, как на рисунке). Координате <math>y</math> приписывается знак минус, если точка <math>C</math> лежит на луче <math>OY'</math>. Таким образом,<math>OX'</math> и <math>OY'</math> являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось <math>x</math> называется осью абсцисс, а ось <math>y</math> - осью ординат. Координата <math>x</math> называется абсциссой точки <math>A</math>, координата <math>y</math> — ординатой точки <math>A</math>.

Символически это записывают так:

<math>A(x,\;y)</math>

или

<math>A = (x,\;y)</math>

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

<math>x_A, x_B</math>

и т. д.

  • В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси <math>Y'Y</math> вверх, ось <math>X'X</math> смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
  • Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат <math>X'X</math> и <math>Y'Y</math>, называются координатными углами, четвертями или квадрантами (см. рис. 1).
    • Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
    • Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
    • Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
    • Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат <math>OX</math>, <math>OY</math> и <math>OZ</math>. Оси координат пересекаются в точке <math>O</math>, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно[2]) одинаковы для всех осей. <math>OX</math> — ось абсцисс, <math>OY</math> — ось ординат, <math>OZ</math> — ось аппликат.

Положение точки <math>A</math> в пространстве определяется тремя координатами <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math>. Координата <math>x</math> равна длине отрезка <math>OB</math>, координата <math>y</math> — длине отрезка <math>OC</math>, координата <math>z</math> — длине отрезка <math>OD</math> в выбранных единицах измерения. Отрезки <math>OB</math>, <math>OC</math> и <math>OD</math> определяются плоскостями, проведёнными из точки <math>A</math> параллельно плоскостям <math>YOZ</math>, <math>XOZ</math> и <math>XOY</math> соответственно.

Координата <math>x</math> называется абсциссой точки <math>A</math>,
координата <math>y</math> — ординатой точки <math>A</math>,
координата <math>z</math> — аппликатой точки <math>A</math>.

Символически это записывают так:

<math>A(x,\;y,\;z)</math>

или

<math>A = (x,\;y,\;z)</math>

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

<math>x_A,\;y_A,\;z_A</math>

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка <math>B</math> лежала не как на рисунке — на луче <math>OX</math>, а на его продолжении в обратную сторону от точки <math>O</math> (на отрицательной части оси <math>OX</math>), то абсцисса <math>x</math> точки <math>A</math> была бы отрицательной (минус расстоянию <math>OB</math>). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами[3] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси <math>OX</math> против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси <math>OY</math>, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси <math>OZ</math>).

Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её n).

Для обозначения координат обычно[4] применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

<math>x_1, x_2, x_3,\dots x_n.</math>

Для обозначения произвольной i-ой координаты из этого набора используют буквенный индекс:

<math>x_i,</math>

а нередко обозначение <math>x_i,</math> используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: <math>i = 1, 2, 3, \dots n</math>.

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет[5].

Прямоугольные координаты вектора

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца[6].

  • Таким образом, например, координаты (x,y) на рис.1 являются координатами вектора <math>\vec{OA}</math>.

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

  1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесенного так, что его начало совпадает с началом координат, - это координаты его конца.
  2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.
  • Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

  • Сложение и умножение на скаляр:
<math>\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)</math>

или

<math>(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,</math>
<math>c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)</math>

или

<math>(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.</math>
а отсюда и вычитание и деление:
<math>\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)</math>

или

<math>(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,</math>
<math>\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac{a_n}{\lambda}\Big)</math>

или

<math>\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.</math>

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n</math>

или

<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,</math>

(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

  • Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора
<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}</math>
и угол между векторами
<math>\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} =
    \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}</math>
<math>(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i</math>

для любой размерности пространства,

<math>(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y</math>
<math>(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z</math>
<math>(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x</math>

Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

Орты

Прямоугольная система координат[7] (любой размерности) также описывается[8] набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный[9].

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются

<math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math> и <math>\mathbf{k}</math>

или

<math>\mathbf{e}_x</math>, <math>\mathbf{e}_y</math> и <math>\mathbf{e}_z</math>.

Могут также применяться обозначения со стрелками (<math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math> и <math>\vec{k}</math> или <math>\vec{e}_x</math>, <math>\vec{e}_y</math> и <math>\vec{e}_z</math>) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

  • <math>[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};</math>
  • <math>[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};</math>
  • <math>[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.</math>

Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто[10] это

<math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,</math>

где n - размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

<math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n</math>

или

<math>\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,</math>

а для ортонормированного базиса координаты еще и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

<math>a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.</math>

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к Гамильтону и Максвеллу.

См. также

Напишите отзыв о статье "Прямоугольная система координат"

Примечания

  1. dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Большая Советская Энциклопедия. Сам же Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (и, вообще, - косоугольную).
  2. Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, т.к. можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).
  3. Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.
  4. Но не обязательно, вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.
  5. Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которого правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Еще проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.
  6. Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.
  7. В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.
  8. Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только еще задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).
  9. При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.
  10. Впрочем, вместо буквы e нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.

Ссылки

  • В. И. Гервидс. [www.youtube.com/watch?v=gmfiKFgy5WM&feature=player_detailpage Модель декартовой системы координат] (flash). НИЯУ МИФИ (10.03.2011). Проверено 3 мая 2011.

Отрывок, характеризующий Прямоугольная система координат

Но хотя все и знали, что надо было уйти, оставался еще стыд сознания того, что надо бежать. И нужен был внешний толчок, который победил бы этот стыд. И толчок этот явился в нужное время. Это было так называемое у французов le Hourra de l'Empereur [императорское ура].
На другой день после совета Наполеон, рано утром, притворяясь, что хочет осматривать войска и поле прошедшего и будущего сражения, с свитой маршалов и конвоя ехал по середине линии расположения войск. Казаки, шнырявшие около добычи, наткнулись на самого императора и чуть чуть не поймали его. Ежели казаки не поймали в этот раз Наполеона, то спасло его то же, что губило французов: добыча, на которую и в Тарутине и здесь, оставляя людей, бросались казаки. Они, не обращая внимания на Наполеона, бросились на добычу, и Наполеон успел уйти.
Когда вот вот les enfants du Don [сыны Дона] могли поймать самого императора в середине его армии, ясно было, что нечего больше делать, как только бежать как можно скорее по ближайшей знакомой дороге. Наполеон, с своим сорокалетним брюшком, не чувствуя в себе уже прежней поворотливости и смелости, понял этот намек. И под влиянием страха, которого он набрался от казаков, тотчас же согласился с Мутоном и отдал, как говорят историки, приказание об отступлении назад на Смоленскую дорогу.
То, что Наполеон согласился с Мутоном и что войска пошли назад, не доказывает того, что он приказал это, но что силы, действовавшие на всю армию, в смысле направления ее по Можайской дороге, одновременно действовали и на Наполеона.


Когда человек находится в движении, он всегда придумывает себе цель этого движения. Для того чтобы идти тысячу верст, человеку необходимо думать, что что то хорошее есть за этими тысячью верст. Нужно представление об обетованной земле для того, чтобы иметь силы двигаться.
Обетованная земля при наступлении французов была Москва, при отступлении была родина. Но родина была слишком далеко, и для человека, идущего тысячу верст, непременно нужно сказать себе, забыв о конечной цели: «Нынче я приду за сорок верст на место отдыха и ночлега», и в первый переход это место отдыха заслоняет конечную цель и сосредоточивает на себе все желанья и надежды. Те стремления, которые выражаются в отдельном человеке, всегда увеличиваются в толпе.
Для французов, пошедших назад по старой Смоленской дороге, конечная цель родины была слишком отдалена, и ближайшая цель, та, к которой, в огромной пропорции усиливаясь в толпе, стремились все желанья и надежды, – была Смоленск. Не потому, чтобы люди знала, что в Смоленске было много провианту и свежих войск, не потому, чтобы им говорили это (напротив, высшие чины армии и сам Наполеон знали, что там мало провианта), но потому, что это одно могло им дать силу двигаться и переносить настоящие лишения. Они, и те, которые знали, и те, которые не знали, одинаково обманывая себя, как к обетованной земле, стремились к Смоленску.
Выйдя на большую дорогу, французы с поразительной энергией, с быстротою неслыханной побежали к своей выдуманной цели. Кроме этой причины общего стремления, связывавшей в одно целое толпы французов и придававшей им некоторую энергию, была еще другая причина, связывавшая их. Причина эта состояла в их количестве. Сама огромная масса их, как в физическом законе притяжения, притягивала к себе отдельные атомы людей. Они двигались своей стотысячной массой как целым государством.
Каждый человек из них желал только одного – отдаться в плен, избавиться от всех ужасов и несчастий. Но, с одной стороны, сила общего стремления к цели Смоленска увлекала каждою в одном и том же направлении; с другой стороны – нельзя было корпусу отдаться в плен роте, и, несмотря на то, что французы пользовались всяким удобным случаем для того, чтобы отделаться друг от друга и при малейшем приличном предлоге отдаваться в плен, предлоги эти не всегда случались. Самое число их и тесное, быстрое движение лишало их этой возможности и делало для русских не только трудным, но невозможным остановить это движение, на которое направлена была вся энергия массы французов. Механическое разрывание тела не могло ускорить дальше известного предела совершавшийся процесс разложения.
Ком снега невозможно растопить мгновенно. Существует известный предел времени, ранее которого никакие усилия тепла не могут растопить снега. Напротив, чем больше тепла, тем более крепнет остающийся снег.
Из русских военачальников никто, кроме Кутузова, не понимал этого. Когда определилось направление бегства французской армии по Смоленской дороге, тогда то, что предвидел Коновницын в ночь 11 го октября, начало сбываться. Все высшие чины армии хотели отличиться, отрезать, перехватить, полонить, опрокинуть французов, и все требовали наступления.
Кутузов один все силы свои (силы эти очень невелики у каждого главнокомандующего) употреблял на то, чтобы противодействовать наступлению.
Он не мог им сказать то, что мы говорим теперь: зачем сраженье, и загораживанье дороги, и потеря своих людей, и бесчеловечное добиванье несчастных? Зачем все это, когда от Москвы до Вязьмы без сражения растаяла одна треть этого войска? Но он говорил им, выводя из своей старческой мудрости то, что они могли бы понять, – он говорил им про золотой мост, и они смеялись над ним, клеветали его, и рвали, и метали, и куражились над убитым зверем.
Под Вязьмой Ермолов, Милорадович, Платов и другие, находясь в близости от французов, не могли воздержаться от желания отрезать и опрокинуть два французские корпуса. Кутузову, извещая его о своем намерении, они прислали в конверте, вместо донесения, лист белой бумаги.
И сколько ни старался Кутузов удержать войска, войска наши атаковали, стараясь загородить дорогу. Пехотные полки, как рассказывают, с музыкой и барабанным боем ходили в атаку и побили и потеряли тысячи людей.
Но отрезать – никого не отрезали и не опрокинули. И французское войско, стянувшись крепче от опасности, продолжало, равномерно тая, все тот же свой гибельный путь к Смоленску.



Бородинское сражение с последовавшими за ним занятием Москвы и бегством французов, без новых сражений, – есть одно из самых поучительных явлений истории.
Все историки согласны в том, что внешняя деятельность государств и народов, в их столкновениях между собой, выражается войнами; что непосредственно, вследствие больших или меньших успехов военных, увеличивается или уменьшается политическая сила государств и народов.
Как ни странны исторические описания того, как какой нибудь король или император, поссорившись с другим императором или королем, собрал войско, сразился с войском врага, одержал победу, убил три, пять, десять тысяч человек и вследствие того покорил государство и целый народ в несколько миллионов; как ни непонятно, почему поражение одной армии, одной сотой всех сил народа, заставило покориться народ, – все факты истории (насколько она нам известна) подтверждают справедливость того, что большие или меньшие успехи войска одного народа против войска другого народа суть причины или, по крайней мере, существенные признаки увеличения или уменьшения силы народов. Войско одержало победу, и тотчас же увеличились права победившего народа в ущерб побежденному. Войско понесло поражение, и тотчас же по степени поражения народ лишается прав, а при совершенном поражении своего войска совершенно покоряется.
Так было (по истории) с древнейших времен и до настоящего времени. Все войны Наполеона служат подтверждением этого правила. По степени поражения австрийских войск – Австрия лишается своих прав, и увеличиваются права и силы Франции. Победа французов под Иеной и Ауерштетом уничтожает самостоятельное существование Пруссии.
Но вдруг в 1812 м году французами одержана победа под Москвой, Москва взята, и вслед за тем, без новых сражений, не Россия перестала существовать, а перестала существовать шестисоттысячная армия, потом наполеоновская Франция. Натянуть факты на правила истории, сказать, что поле сражения в Бородине осталось за русскими, что после Москвы были сражения, уничтожившие армию Наполеона, – невозможно.
После Бородинской победы французов не было ни одного не только генерального, но сколько нибудь значительного сражения, и французская армия перестала существовать. Что это значит? Ежели бы это был пример из истории Китая, мы бы могли сказать, что это явление не историческое (лазейка историков, когда что не подходит под их мерку); ежели бы дело касалось столкновения непродолжительного, в котором участвовали бы малые количества войск, мы бы могли принять это явление за исключение; но событие это совершилось на глазах наших отцов, для которых решался вопрос жизни и смерти отечества, и война эта была величайшая из всех известных войн…
Период кампании 1812 года от Бородинского сражения до изгнания французов доказал, что выигранное сражение не только не есть причина завоевания, но даже и не постоянный признак завоевания; доказал, что сила, решающая участь народов, лежит не в завоевателях, даже на в армиях и сражениях, а в чем то другом.
Французские историки, описывая положение французского войска перед выходом из Москвы, утверждают, что все в Великой армии было в порядке, исключая кавалерии, артиллерии и обозов, да не было фуража для корма лошадей и рогатого скота. Этому бедствию не могло помочь ничто, потому что окрестные мужики жгли свое сено и не давали французам.
Выигранное сражение не принесло обычных результатов, потому что мужики Карп и Влас, которые после выступления французов приехали в Москву с подводами грабить город и вообще не выказывали лично геройских чувств, и все бесчисленное количество таких мужиков не везли сена в Москву за хорошие деньги, которые им предлагали, а жгли его.

Представим себе двух людей, вышедших на поединок с шпагами по всем правилам фехтовального искусства: фехтование продолжалось довольно долгое время; вдруг один из противников, почувствовав себя раненым – поняв, что дело это не шутка, а касается его жизни, бросил свою шпагу и, взяв первую попавшуюся дубину, начал ворочать ею. Но представим себе, что противник, так разумно употребивший лучшее и простейшее средство для достижения цели, вместе с тем воодушевленный преданиями рыцарства, захотел бы скрыть сущность дела и настаивал бы на том, что он по всем правилам искусства победил на шпагах. Можно себе представить, какая путаница и неясность произошла бы от такого описания происшедшего поединка.
Фехтовальщик, требовавший борьбы по правилам искусства, были французы; его противник, бросивший шпагу и поднявший дубину, были русские; люди, старающиеся объяснить все по правилам фехтования, – историки, которые писали об этом событии.
Со времени пожара Смоленска началась война, не подходящая ни под какие прежние предания войн. Сожжение городов и деревень, отступление после сражений, удар Бородина и опять отступление, оставление и пожар Москвы, ловля мародеров, переимка транспортов, партизанская война – все это были отступления от правил.
Наполеон чувствовал это, и с самого того времени, когда он в правильной позе фехтовальщика остановился в Москве и вместо шпаги противника увидал поднятую над собой дубину, он не переставал жаловаться Кутузову и императору Александру на то, что война велась противно всем правилам (как будто существовали какие то правила для того, чтобы убивать людей). Несмотря на жалобы французов о неисполнении правил, несмотря на то, что русским, высшим по положению людям казалось почему то стыдным драться дубиной, а хотелось по всем правилам стать в позицию en quarte или en tierce [четвертую, третью], сделать искусное выпадение в prime [первую] и т. д., – дубина народной войны поднялась со всей своей грозной и величественной силой и, не спрашивая ничьих вкусов и правил, с глупой простотой, но с целесообразностью, не разбирая ничего, поднималась, опускалась и гвоздила французов до тех пор, пока не погибло все нашествие.
И благо тому народу, который не как французы в 1813 году, отсалютовав по всем правилам искусства и перевернув шпагу эфесом, грациозно и учтиво передает ее великодушному победителю, а благо тому народу, который в минуту испытания, не спрашивая о том, как по правилам поступали другие в подобных случаях, с простотою и легкостью поднимает первую попавшуюся дубину и гвоздит ею до тех пор, пока в душе его чувство оскорбления и мести не заменяется презрением и жалостью.


Одним из самых осязательных и выгодных отступлений от так называемых правил войны есть действие разрозненных людей против людей, жмущихся в кучу. Такого рода действия всегда проявляются в войне, принимающей народный характер. Действия эти состоят в том, что, вместо того чтобы становиться толпой против толпы, люди расходятся врозь, нападают поодиночке и тотчас же бегут, когда на них нападают большими силами, а потом опять нападают, когда представляется случай. Это делали гверильясы в Испании; это делали горцы на Кавказе; это делали русские в 1812 м году.
Войну такого рода назвали партизанскою и полагали, что, назвав ее так, объяснили ее значение. Между тем такого рода война не только не подходит ни под какие правила, но прямо противоположна известному и признанному за непогрешимое тактическому правилу. Правило это говорит, что атакующий должен сосредоточивать свои войска с тем, чтобы в момент боя быть сильнее противника.