Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть <math>L</math> есть векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — базис в <math>L</math>.

Функция <math>Q : L \to K</math> называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

<math>Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,</math>

где <math>x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n</math>, а <math>a_{ij}</math> — некоторые элементы поля <math>K</math>.

Связанные определения и свойства

• Матрицу <math>A=(a_{ij})</math> называют матрицей квадратичной формы <math>Q(x)</math> в данном базисе. В случае, если характеристика поля <math>K</math> не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть <math>a_{ij}=a_{ji}</math>. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде

<math>Q(x_1,x_2) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2</math>.

• При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>) с матрицей замены <math>C</math> матрица квадратичной формы изменяется по формуле

<math>A' = C^* A \, C,</math>

где <math>A'</math> — матрица квадратичной формы в новом базисе, звёздочка означает транспонирование.

• Из формулы <math>A' = C^* A \, C</math> следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг <math>n</math>, то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
• Для любой квадратичной формы <math>Q</math> существует единственная симметричная билинейная форма <math>B</math>, такая, что <math>Q(x)=B(x,x)</math>. Билинейную форму <math>B</math> называют полярной к <math>Q</math>, она может быть вычислена по формуле

<math>B(x,y)=\frac{1}{2}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).</math>

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда <math>K = \R</math> (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

• Квадратичная форма <math>Q</math> называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого <math>x\neq 0</math> выполнено неравенство <math>Q(x)>0</math> <math>(Q(x)<0)</math>. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма <math>Q(x)</math> называется знакопеременной (индефинитными), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма <math>Q(x)</math> называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если <math>Q(x)\ge 0</math> <math>(Q(x)\le 0)</math> для любого <math>x\in L</math>.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

• Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда <math>K = \R</math> (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):

<math>Q(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p - x^2_{1}- \cdots -x^2_{q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*)</math>

где <math>r</math> — ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы <math>p+q=n</math>, а в случае вырожденной — <math>p+q<n</math>.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число <math>q</math> (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число <math>p-q</math> (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару <math>(p,q)</math>. Числа <math>p,q, p-q</math> являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда <math>K = \C</math> (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

<math>Q(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_r, \qquad (**)</math>

где <math>r</math> — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

• Скалярное произведение векторов <math>(x,y)</math> — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма <math>Q(x)=(x,x)</math> является положительно определённой, она сопоставляет вектору <math>x</math> квадрат его длины.
• Квадратичная форма <math>Q(x)=x_1x_2</math> на плоскости (вектор <math>x</math> имеет две координаты: <math>x_1</math> и <math>x_2</math>) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду <math>x_1'^2-x_2'^2</math> с помощью линейной замены <math>x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2'</math>.

См. также

• Теорема Витта

Литература

• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., [www.nature.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=index.html Линейная алгебра]. Курс лекций.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• * Конвей Дж. [biblio.mccme.ru/node/1931 Квадратичные формы, данные нам в ощущениях]. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Отрывок, характеризующий Квадратичная форма

Когда человек видит умирающее животное, ужас охватывает его: то, что есть он сам, – сущность его, в его глазах очевидно уничтожается – перестает быть. Но когда умирающее есть человек, и человек любимый – ощущаемый, тогда, кроме ужаса перед уничтожением жизни, чувствуется разрыв и духовная рана, которая, так же как и рана физическая, иногда убивает, иногда залечивается, но всегда болит и боится внешнего раздражающего прикосновения.
После смерти князя Андрея Наташа и княжна Марья одинаково чувствовали это. Они, нравственно согнувшись и зажмурившись от грозного, нависшего над ними облака смерти, не смели взглянуть в лицо жизни. Они осторожно берегли свои открытые раны от оскорбительных, болезненных прикосновений. Все: быстро проехавший экипаж по улице, напоминание об обеде, вопрос девушки о платье, которое надо приготовить; еще хуже, слово неискреннего, слабого участия болезненно раздражало рану, казалось оскорблением и нарушало ту необходимую тишину, в которой они обе старались прислушиваться к незамолкшему еще в их воображении страшному, строгому хору, и мешало вглядываться в те таинственные бесконечные дали, которые на мгновение открылись перед ними.
Только вдвоем им было не оскорбительно и не больно. Они мало говорили между собой. Ежели они говорили, то о самых незначительных предметах. И та и другая одинаково избегали упоминания о чем нибудь, имеющем отношение к будущему.
Признавать возможность будущего казалось им оскорблением его памяти. Еще осторожнее они обходили в своих разговорах все то, что могло иметь отношение к умершему. Им казалось, что то, что они пережили и перечувствовали, не могло быть выражено словами. Им казалось, что всякое упоминание словами о подробностях его жизни нарушало величие и святыню совершившегося в их глазах таинства.
Беспрестанные воздержания речи, постоянное старательное обхождение всего того, что могло навести на слово о нем: эти остановки с разных сторон на границе того, чего нельзя было говорить, еще чище и яснее выставляли перед их воображением то, что они чувствовали.

Но чистая, полная печаль так же невозможна, как чистая и полная радость. Княжна Марья, по своему положению одной независимой хозяйки своей судьбы, опекунши и воспитательницы племянника, первая была вызвана жизнью из того мира печали, в котором она жила первые две недели. Она получила письма от родных, на которые надо было отвечать; комната, в которую поместили Николеньку, была сыра, и он стал кашлять. Алпатыч приехал в Ярославль с отчетами о делах и с предложениями и советами переехать в Москву в Вздвиженский дом, который остался цел и требовал только небольших починок. Жизнь не останавливалась, и надо было жить. Как ни тяжело было княжне Марье выйти из того мира уединенного созерцания, в котором она жила до сих пор, как ни жалко и как будто совестно было покинуть Наташу одну, – заботы жизни требовали ее участия, и она невольно отдалась им. Она поверяла счеты с Алпатычем, советовалась с Десалем о племяннике и делала распоряжения и приготовления для своего переезда в Москву.
Наташа оставалась одна и с тех пор, как княжна Марья стала заниматься приготовлениями к отъезду, избегала и ее.
Княжна Марья предложила графине отпустить с собой Наташу в Москву, и мать и отец радостно согласились на это предложение, с каждым днем замечая упадок физических сил дочери и полагая для нее полезным и перемену места, и помощь московских врачей.
– Я никуда не поеду, – отвечала Наташа, когда ей сделали это предложение, – только, пожалуйста, оставьте меня, – сказала она и выбежала из комнаты, с трудом удерживая слезы не столько горя, сколько досады и озлобления.
После того как она почувствовала себя покинутой княжной Марьей и одинокой в своем горе, Наташа большую часть времени, одна в своей комнате, сидела с ногами в углу дивана, и, что нибудь разрывая или переминая своими тонкими, напряженными пальцами, упорным, неподвижным взглядом смотрела на то, на чем останавливались глаза. Уединение это изнуряло, мучило ее; но оно было для нее необходимо. Как только кто нибудь входил к ней, она быстро вставала, изменяла положение и выражение взгляда и бралась за книгу или шитье, очевидно с нетерпением ожидая ухода того, кто помешал ей.
Ей все казалось, что она вот вот сейчас поймет, проникнет то, на что с страшным, непосильным ей вопросом устремлен был ее душевный взгляд.
В конце декабря, в черном шерстяном платье, с небрежно связанной пучком косой, худая и бледная, Наташа сидела с ногами в углу дивана, напряженно комкая и распуская концы пояса, и смотрела на угол двери.
Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление.
Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле.
Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны.
Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить.
«Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем».