Квадратичная функция

Квадратичная функция — функция вида <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>, где <math>a \neq 0</math>. и a, b, c некоторые числа.

График

График квадратичной функции называют параболой.

В общем виде уравнение квадратичной функции записывается так: <math>y=ax^{2}+bx+c</math>. Координаты вершины параболы: <math>(x_{0}; y_{0}), x_{0}=-\frac{b}{2a}, y_0{}=-\frac{D}{4a}</math>.

Прямая <math>x=-\frac{b}{2a}</math> является осью симметрии графика квадратичной функции.

При <math>a<0</math> ветви параболы направлены вниз, при <math>a>0</math> — вверх.

Свойства графика квадратичной функции

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле <math>D=b^2-4ac</math>

Свойства квадратичной функции при x равному <math>a>0</math> (цветом выделены свойства при <math>a<0</math>):

Свойство	Дискриминант
	<math>D>0</math>	<math>D=0</math>	<math>D<0</math>
Область определения	<math>D(f)=R</math>
Множество значений при a>0	<math>E(f)=[-\frac{D}{4a};+\mathcal{1})</math>
Множество значений при a<0	<math>E(f)=(-\mathcal{1};-\frac{D}{4a}]</math>
Нули функции	<math>x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D} {2a}</math>	<math>x= -\frac {b} {2a}</math>	Имеет место на комплексной плоскости
Положительные (отрицательные) значения	<math>(-\mathcal{1};x_1)\cup(x_2;+\mathcal{1})</math>	Везде, кроме точки<math>-\frac{b}{2a}</math>	Везде
Отрицательные (положительные) значения	<math>(x_1;x_2)</math>	Отсутствуют
Промежуток убывания (возрастания) , если а>0	<math>(-\mathcal{1};-\frac{b}{2a}]</math>
Промежуток возрастания (убывания) , если a>0	<math>[-\frac{b}{2a};+\mathcal{1})</math>
Минимальное (максимальное) значение	<math>f(x)_{min}=-\frac{D}{4a}</math>

Примеры появления на практике

• Зависимость высоты свободно падающего тела от времени.
• Зависимость площади фигуры от её линейных размеров (например, площади круга от радиуса).
• Зависимость расстояния от времени при равноускоренном движении.
• Зависимость напора от расхода (напорная характеристика центробежного насоса).

Обобщение

Обобщение на случай многих переменных служат поверхности второго порядка, в общем виде такое уравнение можно записать, как:

<math> f(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} + \vec{b} \cdot \vec{x} + c</math>.

Здесь: <math>A</math> — матрица квадратичной формы, <math>\vec{b}</math> — постоянный вектор, <math>c</math> — константа. Свойства функции, так же как и в одномерном случае, определяются главным коэффициентом — матрицей <math>A</math>.

См. также

• Квадратное уравнение
• Аффинно-квадратичная функция

Отрывок, характеризующий Квадратичная функция

Князь Андрей приехал в Петербург в августе 1809 года. Это было время апогея славы молодого Сперанского и энергии совершаемых им переворотов. В этом самом августе, государь, ехав в коляске, был вывален, повредил себе ногу, и оставался в Петергофе три недели, видаясь ежедневно и исключительно со Сперанским. В это время готовились не только два столь знаменитые и встревожившие общество указа об уничтожении придворных чинов и об экзаменах на чины коллежских асессоров и статских советников, но и целая государственная конституция, долженствовавшая изменить существующий судебный, административный и финансовый порядок управления России от государственного совета до волостного правления. Теперь осуществлялись и воплощались те неясные, либеральные мечтания, с которыми вступил на престол император Александр, и которые он стремился осуществить с помощью своих помощников Чарторижского, Новосильцева, Кочубея и Строгонова, которых он сам шутя называл comite du salut publique. [комитет общественного спасения.]
Теперь всех вместе заменил Сперанский по гражданской части и Аракчеев по военной. Князь Андрей вскоре после приезда своего, как камергер, явился ко двору и на выход. Государь два раза, встретив его, не удостоил его ни одним словом. Князю Андрею всегда еще прежде казалось, что он антипатичен государю, что государю неприятно его лицо и всё существо его. В сухом, отдаляющем взгляде, которым посмотрел на него государь, князь Андрей еще более чем прежде нашел подтверждение этому предположению. Придворные объяснили князю Андрею невнимание к нему государя тем, что Его Величество был недоволен тем, что Болконский не служил с 1805 года.
«Я сам знаю, как мы не властны в своих симпатиях и антипатиях, думал князь Андрей, и потому нечего думать о том, чтобы представить лично мою записку о военном уставе государю, но дело будет говорить само за себя». Он передал о своей записке старому фельдмаршалу, другу отца. Фельдмаршал, назначив ему час, ласково принял его и обещался доложить государю. Через несколько дней было объявлено князю Андрею, что он имеет явиться к военному министру, графу Аракчееву.
В девять часов утра, в назначенный день, князь Андрей явился в приемную к графу Аракчееву.
Лично князь Андрей не знал Аракчеева и никогда не видал его, но всё, что он знал о нем, мало внушало ему уважения к этому человеку.
«Он – военный министр, доверенное лицо государя императора; никому не должно быть дела до его личных свойств; ему поручено рассмотреть мою записку, следовательно он один и может дать ход ей», думал князь Андрей, дожидаясь в числе многих важных и неважных лиц в приемной графа Аракчеева.