Квадратичное поле

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над <math>\mathbb Q</math>. Можно доказать, что отображение <math>d\mapsto \mathbb Q(\sqrt d)</math> задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если <math>d>0,</math> квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Кольцо целых квадратичного поля

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть <math>D</math> — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое <math>\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})}</math>) — это множество линейных комбинаций вида <math>a+b\sqrt D</math>, где <math>a,b\in \mathbb Z</math>, с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если <math>D\equiv 1\; \text{mod} \; 4</math>, кольцо целых состоит из чисел вида <math>a+b(\frac{{1 + \sqrt{D}}}{2}), a,b\in \mathbb Z</math>.

Примеры колец целых

• Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю <math>D=-1</math>. Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.
• Случаю <math>D=-3</math> (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.

Дискриминант

Дискриминант квадратичного поля <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math> равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольце целых

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в <math>\mathcal{O}_K</math> (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

• (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p² элементов:

<math>\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p^2}</math>

• (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.

<math>\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p}\times \mathbb F_{p}</math>

• (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера <math>\left(\frac{D}{p}\right)</math> равен −1 и 1 соответственно.

Литература

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. — Hermann/Kershaw, 1972.
• I.N. Stewart. Algebraic number theory. — Chapman and Hall, 1979. — ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.
• Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.

Отрывок, характеризующий Квадратичное поле

– Ах, я так счастлива, – отвечала она, улыбнулась сквозь слезы, нагнулась ближе к нему, подумала секунду, как будто спрашивая себя, можно ли это, и поцеловала его.
Князь Андрей держал ее руки, смотрел ей в глаза, и не находил в своей душе прежней любви к ней. В душе его вдруг повернулось что то: не было прежней поэтической и таинственной прелести желания, а была жалость к ее женской и детской слабости, был страх перед ее преданностью и доверчивостью, тяжелое и вместе радостное сознание долга, навеки связавшего его с нею. Настоящее чувство, хотя и не было так светло и поэтично как прежнее, было серьезнее и сильнее.
– Сказала ли вам maman, что это не может быть раньше года? – сказал князь Андрей, продолжая глядеть в ее глаза. «Неужели это я, та девочка ребенок (все так говорили обо мне) думала Наташа, неужели я теперь с этой минуты жена , равная этого чужого, милого, умного человека, уважаемого даже отцом моим. Неужели это правда! неужели правда, что теперь уже нельзя шутить жизнию, теперь уж я большая, теперь уж лежит на мне ответственность за всякое мое дело и слово? Да, что он спросил у меня?»
– Нет, – отвечала она, но она не понимала того, что он спрашивал.
– Простите меня, – сказал князь Андрей, – но вы так молоды, а я уже так много испытал жизни. Мне страшно за вас. Вы не знаете себя.
Наташа с сосредоточенным вниманием слушала, стараясь понять смысл его слов и не понимала.
– Как ни тяжел мне будет этот год, отсрочивающий мое счастье, – продолжал князь Андрей, – в этот срок вы поверите себя. Я прошу вас через год сделать мое счастье; но вы свободны: помолвка наша останется тайной и, ежели вы убедились бы, что вы не любите меня, или полюбили бы… – сказал князь Андрей с неестественной улыбкой.
– Зачем вы это говорите? – перебила его Наташа. – Вы знаете, что с того самого дня, как вы в первый раз приехали в Отрадное, я полюбила вас, – сказала она, твердо уверенная, что она говорила правду.
– В год вы узнаете себя…
– Целый год! – вдруг сказала Наташа, теперь только поняв то, что свадьба отсрочена на год. – Да отчего ж год? Отчего ж год?… – Князь Андрей стал ей объяснять причины этой отсрочки. Наташа не слушала его.
– И нельзя иначе? – спросила она. Князь Андрей ничего не ответил, но в лице его выразилась невозможность изменить это решение.
– Это ужасно! Нет, это ужасно, ужасно! – вдруг заговорила Наташа и опять зарыдала. – Я умру, дожидаясь года: это нельзя, это ужасно. – Она взглянула в лицо своего жениха и увидала на нем выражение сострадания и недоумения.
– Нет, нет, я всё сделаю, – сказала она, вдруг остановив слезы, – я так счастлива! – Отец и мать вошли в комнату и благословили жениха и невесту.
С этого дня князь Андрей женихом стал ездить к Ростовым.


Обручения не было и никому не было объявлено о помолвке Болконского с Наташей; на этом настоял князь Андрей. Он говорил, что так как он причиной отсрочки, то он и должен нести всю тяжесть ее. Он говорил, что он навеки связал себя своим словом, но что он не хочет связывать Наташу и предоставляет ей полную свободу. Ежели она через полгода почувствует, что она не любит его, она будет в своем праве, ежели откажет ему. Само собою разумеется, что ни родители, ни Наташа не хотели слышать об этом; но князь Андрей настаивал на своем. Князь Андрей бывал каждый день у Ростовых, но не как жених обращался с Наташей: он говорил ей вы и целовал только ее руку. Между князем Андреем и Наташей после дня предложения установились совсем другие чем прежде, близкие, простые отношения. Они как будто до сих пор не знали друг друга. И он и она любили вспоминать о том, как они смотрели друг на друга, когда были еще ничем , теперь оба они чувствовали себя совсем другими существами: тогда притворными, теперь простыми и искренними. Сначала в семействе чувствовалась неловкость в обращении с князем Андреем; он казался человеком из чуждого мира, и Наташа долго приучала домашних к князю Андрею и с гордостью уверяла всех, что он только кажется таким особенным, а что он такой же, как и все, и что она его не боится и что никто не должен бояться его. После нескольких дней, в семействе к нему привыкли и не стесняясь вели при нем прежний образ жизни, в котором он принимал участие. Он про хозяйство умел говорить с графом и про наряды с графиней и Наташей, и про альбомы и канву с Соней. Иногда домашние Ростовы между собою и при князе Андрее удивлялись тому, как всё это случилось и как очевидны были предзнаменования этого: и приезд князя Андрея в Отрадное, и их приезд в Петербург, и сходство между Наташей и князем Андреем, которое заметила няня в первый приезд князя Андрея, и столкновение в 1805 м году между Андреем и Николаем, и еще много других предзнаменований того, что случилось, было замечено домашними.