Квадратичный закон взаимности
Поделись знанием:
Николай, уже не перегоняясь, ровно ехал в обратный путь, и всё вглядываясь в этом странном, лунном свете в Соню, отыскивал при этом всё переменяющем свете, из под бровей и усов свою ту прежнюю и теперешнюю Соню, с которой он решил уже никогда не разлучаться. Он вглядывался, и когда узнавал всё ту же и другую и вспоминал, слышав этот запах пробки, смешанный с чувством поцелуя, он полной грудью вдыхал в себя морозный воздух и, глядя на уходящую землю и блестящее небо, он чувствовал себя опять в волшебном царстве.
– Соня, тебе хорошо? – изредка спрашивал он.
– Да, – отвечала Соня. – А тебе ?
На середине дороги Николай дал подержать лошадей кучеру, на минутку подбежал к саням Наташи и стал на отвод.
– Наташа, – сказал он ей шопотом по французски, – знаешь, я решился насчет Сони.
– Ты ей сказал? – спросила Наташа, вся вдруг просияв от радости.
– Ах, какая ты странная с этими усами и бровями, Наташа! Ты рада?
– Я так рада, так рада! Я уж сердилась на тебя. Я тебе не говорила, но ты дурно с ней поступал. Это такое сердце, Nicolas. Как я рада! Я бываю гадкая, но мне совестно было быть одной счастливой без Сони, – продолжала Наташа. – Теперь я так рада, ну, беги к ней.
– Нет, постой, ах какая ты смешная! – сказал Николай, всё всматриваясь в нее, и в сестре тоже находя что то новое, необыкновенное и обворожительно нежное, чего он прежде не видал в ней. – Наташа, что то волшебное. А?
– Да, – отвечала она, – ты прекрасно сделал.
«Если б я прежде видел ее такою, какою она теперь, – думал Николай, – я бы давно спросил, что сделать и сделал бы всё, что бы она ни велела, и всё бы было хорошо».
– Так ты рада, и я хорошо сделал?
– Ах, так хорошо! Я недавно с мамашей поссорилась за это. Мама сказала, что она тебя ловит. Как это можно говорить? Я с мама чуть не побранилась. И никому никогда не позволю ничего дурного про нее сказать и подумать, потому что в ней одно хорошее.
– Так хорошо? – сказал Николай, еще раз высматривая выражение лица сестры, чтобы узнать, правда ли это, и, скрыпя сапогами, он соскочил с отвода и побежал к своим саням. Всё тот же счастливый, улыбающийся черкес, с усиками и блестящими глазами, смотревший из под собольего капора, сидел там, и этот черкес был Соня, и эта Соня была наверное его будущая, счастливая и любящая жена.
Приехав домой и рассказав матери о том, как они провели время у Мелюковых, барышни ушли к себе. Раздевшись, но не стирая пробочных усов, они долго сидели, разговаривая о своем счастьи. Они говорили о том, как они будут жить замужем, как их мужья будут дружны и как они будут счастливы.
На Наташином столе стояли еще с вечера приготовленные Дуняшей зеркала. – Только когда всё это будет? Я боюсь, что никогда… Это было бы слишком хорошо! – сказала Наташа вставая и подходя к зеркалам.
– Садись, Наташа, может быть ты увидишь его, – сказала Соня. Наташа зажгла свечи и села. – Какого то с усами вижу, – сказала Наташа, видевшая свое лицо.
– Не надо смеяться, барышня, – сказала Дуняша.
Наташа нашла с помощью Сони и горничной положение зеркалу; лицо ее приняло серьезное выражение, и она замолкла. Долго она сидела, глядя на ряд уходящих свечей в зеркалах, предполагая (соображаясь с слышанными рассказами) то, что она увидит гроб, то, что увидит его, князя Андрея, в этом последнем, сливающемся, смутном квадрате. Но как ни готова она была принять малейшее пятно за образ человека или гроба, она ничего не видала. Она часто стала мигать и отошла от зеркала.
– Отчего другие видят, а я ничего не вижу? – сказала она. – Ну садись ты, Соня; нынче непременно тебе надо, – сказала она. – Только за меня… Мне так страшно нынче!
Соня села за зеркало, устроила положение, и стала смотреть.
– Вот Софья Александровна непременно увидят, – шопотом сказала Дуняша; – а вы всё смеетесь.
Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.
Содержание
- 1 Формулировка
- 2 (-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4
- 3 (-1)^\frac{p-1}2
- 4 (-1)^\frac{p^2-1}8
- 5 -\left(\frac{1103}{983}\right)
- 6 -\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{3}{983}\right)\cdot\left(\frac{5}{983}\right)
- 7 \left(\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}\right)
- 8 -\left(\frac{1103}{983}\right)
- 9 -\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{15}{983}\right)
- 10 \left(\frac{8}{15}\right)
Формулировка
Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утверждает, что
- <math>\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)
(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4
\left[\begin{matrix}1&\text{если}&p\equiv 1\pmod 4&\text{или}&q\equiv 1\pmod 4\\ -1&\text{если}&p\equiv 3\pmod 4&\text{и}&q\equiv 3\pmod 4\end{matrix}\right., </math> где р и q — различные нечётные простые числа.
Также справедливы следующие дополнения:
- <math>\left(\frac{-1}p\right)
(-1)^\frac{p-1}2
\left[\begin{matrix}1&\text{если}&p\equiv 1\pmod 4\\ -1&\text{если}&p\equiv 3\pmod 4\end{matrix}\right. , </math>
- <math>\left(\frac 2p\right)
(-1)^\frac{p^2-1}8
\left[\begin{matrix}1&\text{если}&p\equiv \pm1\pmod 8\\ -1&\text{если}&p\equiv \pm3\pmod 8\end{matrix}\right. </math> и
- <math>\left(\frac ap\right)
= \left(\frac aq\right) \quad \text{если} \quad p\equiv q\pmod{4\cdot a}. </math>
Следствия
- Следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел <math>x^2+1</math> могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии
- <math>4k+1</math>.
- Другими словами, сравнение
- <math>x^2+1\equiv0\pmod{p}</math>
- по простому модулю <math>p>2</math> разрешимо в том и только в том случае, когда <math>p \equiv 1\pmod4.</math> С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:
- <math>\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2.</math>
- Вопрос о разрешимости сравнения
- <math>ax^2+bx+c\equiv 0 \pmod{p}</math>
- решается алгоритмом с использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.
Примеры использования
- Квадратичный закон позволяет быстро вычислять символы Лежандра. Например
- <math>\left(\frac{983}{1103}\right)
-\left(\frac{1103}{983}\right)
-\left(\frac{120}{983}\right)
-\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{3}{983}\right)\cdot\left(\frac{5}{983}\right)
\left(\frac{983}{3}\right)\cdot\left(\frac{983}{5}\right)
\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}\right)
\left(\frac{2}{3}\right)^2 =1</math>
- В частности сравнение
- <math>x^2\equiv 983\pmod{1103}</math>
- имеет решение.
- Если использовать аналог закона взаимности для символа Якоби, то вычисление проходит ещё проще, поскольку более нет необходимости раскладывать числитель символа на простые множители.
- <math>\left(\frac{983}{1103}\right)
-\left(\frac{1103}{983}\right)
-\left(\frac{120}{983}\right)
-\left(\frac{2}{983}\right)^3\cdot\left(\frac{15}{983}\right)
\left(\frac{983}{15}\right)
\left(\frac{8}{15}\right)
\left(\frac{2}{15}\right)^3 =1</math>
История
Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру в 1783 году[1] Лежандр сформулировал закон независимо от Эйлера и доказал его в некоторых частных случаях в 1785 году. Полное доказательство было получено Гауссом в 1796 году, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.
Одно из самых простых доказательств было предложено Золотарёвым в 1872 году.[2][3][4]
В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности[5].
Вариации и обобщения
- Квадратичный закон взаимности естественно обобщается на символы Якоби, это позволяет ускорить нахождение символа Лежандра, поскольку более не требует проверки на простоту.
См. также
Напишите отзыв о статье "Квадратичный закон взаимности"
Примечания
- ↑ Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
- ↑ Zolotareff G. (1872). «[www.math.us.edu.pl/~szyjewski/Archiwum/Zolotarew/zolot01.pdf Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre]». Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série 11: 354—362.
- ↑ Прасолов В. В. [mi.mathnet.ru/mp62 Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву] // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.
- ↑ Горин Е. А. [cheb.tsput.ru/attachments/583_tom14_v4_Gorin.pdf Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву-Фробениусу-Руссо] // Чебышевский сборник. — 2013. — Т. 14, вып. 4. — С. 80-94.
- ↑ Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.
- Виноградов И. М. [www.mccme.ru/free-books/djvu/vinogradov.djvu Основы теории чисел]. — Москва: ГИТТЛ, 1952. — С. 180. — ISBN 5-93972-252-0.
- Конвей Дж. [biblio.mccme.ru/node/1931 Квадратичные формы, данные нам в ощущениях]. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
- С. М. Львовский [www.mathnet.ru/present5173 Квадратичный закон взаимности] Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна
Отрывок, характеризующий Квадратичный закон взаимности
Когда все поехали назад от Пелагеи Даниловны, Наташа, всегда всё видевшая и замечавшая, устроила так размещение, что Луиза Ивановна и она сели в сани с Диммлером, а Соня села с Николаем и девушками.Николай, уже не перегоняясь, ровно ехал в обратный путь, и всё вглядываясь в этом странном, лунном свете в Соню, отыскивал при этом всё переменяющем свете, из под бровей и усов свою ту прежнюю и теперешнюю Соню, с которой он решил уже никогда не разлучаться. Он вглядывался, и когда узнавал всё ту же и другую и вспоминал, слышав этот запах пробки, смешанный с чувством поцелуя, он полной грудью вдыхал в себя морозный воздух и, глядя на уходящую землю и блестящее небо, он чувствовал себя опять в волшебном царстве.
– Соня, тебе хорошо? – изредка спрашивал он.
– Да, – отвечала Соня. – А тебе ?
На середине дороги Николай дал подержать лошадей кучеру, на минутку подбежал к саням Наташи и стал на отвод.
– Наташа, – сказал он ей шопотом по французски, – знаешь, я решился насчет Сони.
– Ты ей сказал? – спросила Наташа, вся вдруг просияв от радости.
– Ах, какая ты странная с этими усами и бровями, Наташа! Ты рада?
– Я так рада, так рада! Я уж сердилась на тебя. Я тебе не говорила, но ты дурно с ней поступал. Это такое сердце, Nicolas. Как я рада! Я бываю гадкая, но мне совестно было быть одной счастливой без Сони, – продолжала Наташа. – Теперь я так рада, ну, беги к ней.
– Нет, постой, ах какая ты смешная! – сказал Николай, всё всматриваясь в нее, и в сестре тоже находя что то новое, необыкновенное и обворожительно нежное, чего он прежде не видал в ней. – Наташа, что то волшебное. А?
– Да, – отвечала она, – ты прекрасно сделал.
«Если б я прежде видел ее такою, какою она теперь, – думал Николай, – я бы давно спросил, что сделать и сделал бы всё, что бы она ни велела, и всё бы было хорошо».
– Так ты рада, и я хорошо сделал?
– Ах, так хорошо! Я недавно с мамашей поссорилась за это. Мама сказала, что она тебя ловит. Как это можно говорить? Я с мама чуть не побранилась. И никому никогда не позволю ничего дурного про нее сказать и подумать, потому что в ней одно хорошее.
– Так хорошо? – сказал Николай, еще раз высматривая выражение лица сестры, чтобы узнать, правда ли это, и, скрыпя сапогами, он соскочил с отвода и побежал к своим саням. Всё тот же счастливый, улыбающийся черкес, с усиками и блестящими глазами, смотревший из под собольего капора, сидел там, и этот черкес был Соня, и эта Соня была наверное его будущая, счастливая и любящая жена.
Приехав домой и рассказав матери о том, как они провели время у Мелюковых, барышни ушли к себе. Раздевшись, но не стирая пробочных усов, они долго сидели, разговаривая о своем счастьи. Они говорили о том, как они будут жить замужем, как их мужья будут дружны и как они будут счастливы.
На Наташином столе стояли еще с вечера приготовленные Дуняшей зеркала. – Только когда всё это будет? Я боюсь, что никогда… Это было бы слишком хорошо! – сказала Наташа вставая и подходя к зеркалам.
– Садись, Наташа, может быть ты увидишь его, – сказала Соня. Наташа зажгла свечи и села. – Какого то с усами вижу, – сказала Наташа, видевшая свое лицо.
– Не надо смеяться, барышня, – сказала Дуняша.
Наташа нашла с помощью Сони и горничной положение зеркалу; лицо ее приняло серьезное выражение, и она замолкла. Долго она сидела, глядя на ряд уходящих свечей в зеркалах, предполагая (соображаясь с слышанными рассказами) то, что она увидит гроб, то, что увидит его, князя Андрея, в этом последнем, сливающемся, смутном квадрате. Но как ни готова она была принять малейшее пятно за образ человека или гроба, она ничего не видала. Она часто стала мигать и отошла от зеркала.
– Отчего другие видят, а я ничего не вижу? – сказала она. – Ну садись ты, Соня; нынче непременно тебе надо, – сказала она. – Только за меня… Мне так страшно нынче!
Соня села за зеркало, устроила положение, и стала смотреть.
– Вот Софья Александровна непременно увидят, – шопотом сказала Дуняша; – а вы всё смеетесь.
