Квадратное пирамидальное число
В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в сетке N × N.
Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:
- 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … (последовательность A000330 в OEIS).
Содержание
Формула
Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:
- <math>P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.</math>
Это частный случай формулы Фаулхабера , который может быть доказан методом прямой математической индукции. Эквивалентная формула приводится в «Книге абака» (лат. Liber abaci) Фибоначчи.
В современной математике, формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрхарта . Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, и вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле[1]:
- (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.
Производящая функция
Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
- <math>\mathbf 1x+\mathbf5 x^2+\mathbf{14}x^3+\mathbf{30}x^4+\mathbf{55}x^5+\ldots = \frac{x(x+1)}{(x-1)^4}.</math>
Связь с другими фигурными числами
Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биноминальных коэффицентов:
- <math>P_n = \binom{n + 2}{3} + \binom{n + 1}{3}.</math>
Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдрические числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими следующим образом:
- <math>P_n=\frac14\binom{2n+2}{3}.</math>
Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом .
Напишите отзыв о статье "Квадратное пирамидальное число"
Примечания
- ↑ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), "Coefficients and roots of Ehrhart polynomials", Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, vol. 374, Contemp. Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., сс. 15—36
Ссылки
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html Square Pyramidal Number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions. — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — P. 813. — ISBN 0486612724.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Квадратное пирамидальное число
В том, что такое историческое лицо, как Александр I, лицо, стоявшее на высшей возможной ступени человеческой власти, как бы в фокусе ослепляющего света всех сосредоточивающихся на нем исторических лучей; лицо, подлежавшее тем сильнейшим в мире влияниям интриг, обманов, лести, самообольщения, которые неразлучны с властью; лицо, чувствовавшее на себе, всякую минуту своей жизни, ответственность за все совершавшееся в Европе, и лицо не выдуманное, а живое, как и каждый человек, с своими личными привычками, страстями, стремлениями к добру, красоте, истине, – что это лицо, пятьдесят лет тому назад, не то что не было добродетельно (за это историки не упрекают), а не имело тех воззрений на благо человечества, которые имеет теперь профессор, смолоду занимающийся наукой, то есть читанном книжек, лекций и списыванием этих книжек и лекций в одну тетрадку.Но если даже предположить, что Александр I пятьдесят лет тому назад ошибался в своем воззрении на то, что есть благо народов, невольно должно предположить, что и историк, судящий Александра, точно так же по прошествии некоторого времени окажется несправедливым, в своем воззрении на то, что есть благо человечества. Предположение это тем более естественно и необходимо, что, следя за развитием истории, мы видим, что с каждым годом, с каждым новым писателем изменяется воззрение на то, что есть благо человечества; так что то, что казалось благом, через десять лет представляется злом; и наоборот. Мало того, одновременно мы находим в истории совершенно противоположные взгляды на то, что было зло и что было благо: одни данную Польше конституцию и Священный Союз ставят в заслугу, другие в укор Александру.
Про деятельность Александра и Наполеона нельзя сказать, чтобы она была полезна или вредна, ибо мы не можем сказать, для чего она полезна и для чего вредна. Если деятельность эта кому нибудь не нравится, то она не нравится ему только вследствие несовпадения ее с ограниченным пониманием его о том, что есть благо. Представляется ли мне благом сохранение в 12 м году дома моего отца в Москве, или слава русских войск, или процветание Петербургского и других университетов, или свобода Польши, или могущество России, или равновесие Европы, или известного рода европейское просвещение – прогресс, я должен признать, что деятельность всякого исторического лица имела, кроме этих целей, ещь другие, более общие и недоступные мне цели.
Но положим, что так называемая наука имеет возможность примирить все противоречия и имеет для исторических лиц и событий неизменное мерило хорошего и дурного.
Положим, что Александр мог сделать все иначе. Положим, что он мог, по предписанию тех, которые обвиняют его, тех, которые профессируют знание конечной цели движения человечества, распорядиться по той программе народности, свободы, равенства и прогресса (другой, кажется, нет), которую бы ему дали теперешние обвинители. Положим, что эта программа была бы возможна и составлена и что Александр действовал бы по ней. Что же сталось бы тогда с деятельностью всех тех людей, которые противодействовали тогдашнему направлению правительства, – с деятельностью, которая, по мнению историков, хороша и полезна? Деятельности бы этой не было; жизни бы не было; ничего бы не было.