Квадратный корень из матрицы
Квадратный корень из матрицы — расширение понятия числового квадратного корня на множество квадратных матриц. Далее всюду в статье все матрицы считаются квадратными.
Содержание
Определение
Матрица <math>\mathbf{B}</math> называется квадратным корнем из матрицы <math>\mathbf{A}</math>, если квадрат <math>\mathbf{B},</math> то есть матричное произведение <math>\mathbf{BB},</math> совпадает с матрицей <math>\mathbf{A}.</math>
Существование и однозначность
Не для всех матриц квадратный корень существует. Например, не имеет корня матрица <math>\left( \begin{smallmatrix}\\ 0&1\\ 0&0\end{smallmatrix} \right).</math>
В тех случаях, когда корень существует, он не всегда определён однозначно. Например, матрица <math>\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)</math> имеет четыре корня: <math>\left( \begin{smallmatrix}1&4\\ 8&5\end{smallmatrix} \right)</math> и <math>\left( \begin{smallmatrix}5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \right)</math> и ещё две противоположные им матрицы.
Единичная матрица <math>\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)</math> имеет бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней вида:
- <math>\frac{1}{t}\left( \begin{matrix}s&r\\ r&-s\end{matrix} \right), \quad \frac{1}{t}\left( \begin{matrix}s&-r\\ -r&-s\end{matrix} \right), \quad \frac{1}{t}\left( \begin{matrix}-s&r\\ r&s\end{matrix} \right),</math>
- <math>\frac{1}{t}\left( \begin{matrix}-s&-r\\ -r&s\end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix}1&0\\ 0&\pm 1\end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix}-1&0\\ 0& \pm1\end{matrix} \right),</math>
где <math>(r,s,t)</math> — произвольная пифагорова тройка, то есть тройка натуральных чисел, для которых <math>r^2+s^2=t^2.</math>
Положительно определённые матрицы
Положительно определённая матрица всегда имеет ровно один положительно определённый корень, который называется арифметическим квадратным корнем[1].
Всего же положительно определённая матрица <math>A</math> порядка <math>n</math> с различными собственными значениями имеет <math>2^n</math> корней. Разложив такую матрицу по собственным векторам, получим её представление в виде <math>\mathbf{A} = \mathbf{VDV^{-1}},</math> где <math>\mathbf{D}</math> — диагональная матрица с собственными значениями <math>\lambda_i > 0</math>. Тогда квадратные корни из матрицы <math>A</math> имеют вид <math>\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},</math> где <math>\mathbf{D^\frac12}</math> — диагональная матрица с элементами <math>\pm\sqrt{\lambda_i}</math> на диагонали.
Напишите отзыв о статье "Квадратный корень из матрицы"
Литература
- Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219.
- Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
Примечания
- ↑ Валентин Васильевич Воеводин, Юрий Алексеевич Кузнецов. [books.google.com/books?id=2Fo_AQAAIAAJ Матрицы и вычисления]. — "Наука," Глав. ред. физико-математической литературы, 1984. — С. 88-89. — 330 с.
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Квадратный корень из матрицы
C'etait pour la grande cause, la fin des hasards elle commencement de la securite. Un nouvel horizon, de nouveaux travaux allaient se derouler, tout plein du bien etre et de la prosperite de tous. Le systeme europeen se trouvait fonde; il n'etait plus question que de l'organiser.Satisfait sur ces grands points et tranquille partout, j'aurais eu aussi mon congres et ma sainte alliance. Ce sont des idees qu'on m'a volees. Dans cette reunion de grands souverains, nous eussions traites de nos interets en famille et compte de clerc a maitre avec les peuples.
L'Europe n'eut bientot fait de la sorte veritablement qu'un meme peuple, et chacun, en voyageant partout, se fut trouve toujours dans la patrie commune. Il eut demande toutes les rivieres navigables pour tous, la communaute des mers, et que les grandes armees permanentes fussent reduites desormais a la seule garde des souverains.
De retour en France, au sein de la patrie, grande, forte, magnifique, tranquille, glorieuse, j'eusse proclame ses limites immuables; toute guerre future, purement defensive; tout agrandissement nouveau antinational. J'eusse associe mon fils a l'Empire; ma dictature eut fini, et son regne constitutionnel eut commence…
Paris eut ete la capitale du monde, et les Francais l'envie des nations!..
Mes loisirs ensuite et mes vieux jours eussent ete consacres, en compagnie de l'imperatrice et durant l'apprentissage royal de mon fils, a visiter lentement et en vrai couple campagnard, avec nos propres chevaux, tous les recoins de l'Empire, recevant les plaintes, redressant les torts, semant de toutes parts et partout les monuments et les bienfaits.
Русская война должна бы была быть самая популярная в новейшие времена: это была война здравого смысла и настоящих выгод, война спокойствия и безопасности всех; она была чисто миролюбивая и консервативная.
Это было для великой цели, для конца случайностей и для начала спокойствия. Новый горизонт, новые труды открывались бы, полные благосостояния и благоденствия всех. Система европейская была бы основана, вопрос заключался бы уже только в ее учреждении.
Удовлетворенный в этих великих вопросах и везде спокойный, я бы тоже имел свой конгресс и свой священный союз. Это мысли, которые у меня украли. В этом собрании великих государей мы обсуживали бы наши интересы семейно и считались бы с народами, как писец с хозяином.
