Квадратный корень из 5
| Иррациональные числа γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ | |
| Система счисления | Оценка числа √5 |
| Десятичная | 2.23606797749978969… |
| Двоичная | 10.0011110001101111… |
| Двенадцатеричная | 2.29BB1325405891918… |
| Шестнадцатеричная | 2.3C6EF372FE94F82C… |
| Шестидесятеричная | 2;14 09 50 40 59 18 … |
| Рациональные приближения | 7/3; 9/4; 20/9; 29/13; 38/17; 123/55; 161/72; 360/161; 521/233; 682/305; 2207/987; 2889/1292
(перечислено в порядке увеличения точности) |
| Непрерывная дробь | <math>2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}</math> |
2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 2563780489 9414414408 3787822749 6950817615 0773783504 2532677244 4707386358 6360121533 4527088667 7817319187 9165811276 6453226398 5658053576 1350417533 7850034233 9241406444 2086432539 0972525926 2722887629 9517402440 6816117759 0890949849 2371390729 7288984820 8864154268 9894099131 6935770197 4867888442 5089754132 9561831769 2149997742 4801530434 1150359576 6833251249 8815178139 4080005624 2085524354 2235556106 3063428202 3409333198 2933959746 3522712013 4174961420 2635904737 8855043896 8706113566 0045757139 9565955669 5691756457 8221952500 0605392312 3400500928 6764875529 7220567662 5366607448 5853505262 3306784946 3342224231 7637277026 6324076801 0444331582 5733505893 0981362263 4319868647 1946989970 1808189524 2644596203 4522141192 2329125981 9632581110 4170495807 0481204034 5599494350 6855551855 5725123886 4165501026 2436312571 0244496187 8942468290 3404474716 1154557232 0173767659 0460918529 5756035779 8439805415 5380779064 3936397230 2875606299 9482213852 1773485924 5351512104 6345555040 7072278724
Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число[2].
Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков[3].
Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:
- <math>{\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots</math>
Через бесконечный вложенный радикал: <math>\sqrt{5}={\sqrt{\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}}}\dots</math>
Содержание
Вавилонский метод
Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:
- <math>\frac{2}{1} = 2.0,\quad \frac{9}{4} = 2.25,\quad \frac{161}{72} = 2.23611\dots,\quad \frac{51841}{23184} = 2.2360679779 \ldots</math>
Золотое сечение
Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5[4].
(<math>\Phi = 1 / \varphi = \varphi^{-1}</math>) алгебраически можно выразить так:
- <math>\sqrt{5} = \varphi + \Phi = 2\varphi - 1 = 2\Phi + 1</math>
- <math>\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}</math>
- <math>\Phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.</math>
Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:
- <math>F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}.</math>
Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка[5]:
- <math>\frac{\sqrt{5}}{\varphi} = \Phi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} = 1.3819660112501051518\dots = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]</math>
- <math>\frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\Phi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} = 0.72360679774997896964\dots = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots].</math>
- <math>{1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \dots \dots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]</math>
- <math>{1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots].</math>
Алгебра
Кольцо <math>\mathbb{Z}\left[\,\sqrt{-5}\,\right]</math> содержит числа вида <math>a\, +\, b\sqrt{-5}</math>, где a и b целые числа и <math>\sqrt{-5}= i\sqrt{5}</math> — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.
Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:
- <math>6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}).</math>
Поле <math>\mathbb{Q}\left[\,\sqrt{5}\,\right]</math> — абелево расширение рациональных чисел.
Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:
- <math>\sqrt5 = e^{2\pi i/5} - e^{4\pi i/5} - e^{6\pi i/5} + e^{8\pi i/5}.</math>
Тождества Рамануджана
Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями[6][7].
Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:
- <math>
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}} = \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right). </math>
- <math>
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}} = \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}. </math>
- <math>
4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}. </math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Квадратный корень из 5"
Примечания
- ↑ [apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.1mil The square root of five]
- ↑ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
- ↑ R. Nemiroff and J. Bonnell: [antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.1mil The first 1 million digits of the square root of 5]
- ↑ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note — this is a widely cited article).
- ↑ Richard K. Guy: «The Strong Law of Small Numbers». American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675—712
- ↑ Ramanathan, K. G. (1984), "[dx.doi.org/10.1007%2FBF02840651 On the Rogers-Ramanujan continued fraction]", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences Т. 93 (2): 67-77, MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=813071 813071], ISSN [worldcat.org/issn/0253-4142 0253-4142], DOI 10.1007/BF02840651
- ↑ Eric W. Weisstein, [mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html Ramanujan Continued Fractions], <mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html> at MathWorld
Ссылки
- [www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/Mathematical_Thinking/irrationality_of_5.htm Proof that square root of 5 is irrational] (англ.)
- [mathworld.wolfram.com/TheodorussConstant.html Theodorus' Constant] at MathWorld
Отрывок, характеризующий Квадратный корень из 5
Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.
У алтаря лысогорской церкви была часовня над могилой маленькой княгини, и в часовне был поставлен привезенный из Италии мраморный памятник, изображавший ангела, расправившего крылья и готовящегося подняться на небо. У ангела была немного приподнята верхняя губа, как будто он сбирался улыбнуться, и однажды князь Андрей и княжна Марья, выходя из часовни, признались друг другу, что странно, лицо этого ангела напоминало им лицо покойницы. Но что было еще страннее и чего князь Андрей не сказал сестре, было то, что в выражении, которое дал случайно художник лицу ангела, князь Андрей читал те же слова кроткой укоризны, которые он прочел тогда на лице своей мертвой жены: «Ах, зачем вы это со мной сделали?…»
Вскоре после возвращения князя Андрея, старый князь отделил сына и дал ему Богучарово, большое имение, находившееся в 40 верстах от Лысых Гор. Частью по причине тяжелых воспоминаний, связанных с Лысыми Горами, частью потому, что не всегда князь Андрей чувствовал себя в силах переносить характер отца, частью и потому, что ему нужно было уединение, князь Андрей воспользовался Богучаровым, строился там и проводил в нем большую часть времени.
Князь Андрей, после Аустерлицкой кампании, твердо pешил никогда не служить более в военной службе; и когда началась война, и все должны были служить, он, чтобы отделаться от действительной службы, принял должность под начальством отца по сбору ополчения. Старый князь с сыном как бы переменились ролями после кампании 1805 года. Старый князь, возбужденный деятельностью, ожидал всего хорошего от настоящей кампании; князь Андрей, напротив, не участвуя в войне и в тайне души сожалея о том, видел одно дурное.
26 февраля 1807 года, старый князь уехал по округу. Князь Андрей, как и большею частью во время отлучек отца, оставался в Лысых Горах. Маленький Николушка был нездоров уже 4 й день. Кучера, возившие старого князя, вернулись из города и привезли бумаги и письма князю Андрею.
Камердинер с письмами, не застав молодого князя в его кабинете, прошел на половину княжны Марьи; но и там его не было. Камердинеру сказали, что князь пошел в детскую.
– Пожалуйте, ваше сиятельство, Петруша с бумагами пришел, – сказала одна из девушек помощниц няни, обращаясь к князю Андрею, который сидел на маленьком детском стуле и дрожащими руками, хмурясь, капал из стклянки лекарство в рюмку, налитую до половины водой.
– Что такое? – сказал он сердито, и неосторожно дрогнув рукой, перелил из стклянки в рюмку лишнее количество капель. Он выплеснул лекарство из рюмки на пол и опять спросил воды. Девушка подала ему.
В комнате стояла детская кроватка, два сундука, два кресла, стол и детские столик и стульчик, тот, на котором сидел князь Андрей. Окна были завешаны, и на столе горела одна свеча, заставленная переплетенной нотной книгой, так, чтобы свет не падал на кроватку.
– Мой друг, – обращаясь к брату, сказала княжна Марья от кроватки, у которой она стояла, – лучше подождать… после…
– Ах, сделай милость, ты всё говоришь глупости, ты и так всё дожидалась – вот и дождалась, – сказал князь Андрей озлобленным шопотом, видимо желая уколоть сестру.
– Мой друг, право лучше не будить, он заснул, – умоляющим голосом сказала княжна.
Князь Андрей встал и, на цыпочках, с рюмкой подошел к кроватке.
– Или точно не будить? – сказал он нерешительно.
– Как хочешь – право… я думаю… а как хочешь, – сказала княжна Марья, видимо робея и стыдясь того, что ее мнение восторжествовало. Она указала брату на девушку, шопотом вызывавшую его.
Была вторая ночь, что они оба не спали, ухаживая за горевшим в жару мальчиком. Все сутки эти, не доверяя своему домашнему доктору и ожидая того, за которым было послано в город, они предпринимали то то, то другое средство. Измученные бессоницей и встревоженные, они сваливали друг на друга свое горе, упрекали друг друга и ссорились.
– Петруша с бумагами от папеньки, – прошептала девушка. – Князь Андрей вышел.
