Квадратриса

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.





Определение

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат <math>ABCD</math> (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка <math>E</math> равномерно движется по дуге от точки <math>D</math> до точки <math>B</math>; одновременно отрезок <math>A'B'</math> равномерно движется из положения <math>DC</math> в положение <math>AB</math>. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса <math>AE</math> и отрезка <math>A'B'</math> опишет квадратрису (рис. 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда[1]. Построения эти довольно сложны и на практике не используются. В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы[2].

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский[3] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия»[4].

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637)[5]. Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных[6].

Уравнения кривой

<math>\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}. </math>
<math>x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}</math>

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

<math>\rho \sin \varphi = \frac{2R}{\pi} \varphi,</math> или: <math>y = k \varphi,</math>

где <math>k =\frac{2R}{\pi}.</math> Отсюда следует основное свойство данной кривой[7]:

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: <math>\frac{y_1}{y_2} = \frac{\varphi_1}{\varphi_2}.</math>

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведенные рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства

Площадь сегмента <math>ADFG</math> квадратрисы определяется формулой[2]:

<math>S = \frac{2R^2 \ln 2}{\pi}</math>

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть <math>EAB</math> (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

  1. Находим точку <math>F</math> на квадратрисе и её ординату <math>A'</math>.
  2. Откладываем на отрезке <math>AA'</math> его третью часть; получим некоторую точку <math>H</math>.
  3. Находим на квадратрисе точку <math>K</math> с ординатой <math>H</math>.
  4. Проводим луч <math>AK</math>. Угол <math>KAB</math> — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей[8].

Квадратура круга

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса <math>R</math>. Алгебраически это означает решение уравнения: <math>x^2=\pi R^2</math>.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса <math>AG</math> её нижней точки (на рис. 3 это отрезок <math>AJ</math>) равна <math>\frac {2R} {\pi}</math>. Выразим это в виде пропорции: <math>C:2R=2R:AG</math>, где <math>C = 2 \pi R</math> — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины <math>C</math>. Прямоугольник со сторонами <math>R</math> и <math>C/2</math> будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами[2].

<math>y=a \sin \frac{\pi x}{2a}</math>
<math>x=2 a \sin^2 \frac{y}{2a}</math>
  • Кохлеоида[9] с полярным уравнением <math>\rho=a \frac{\sin \varphi}{\varphi}</math>.

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата[10]:

<math>y=x\,\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2R}</math>

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция <math>y(x)</math> определена на всей вещественной оси, кроме особых точек <math>\pm 2 R, \pm 4 R, \pm 6 R \dots</math> (В точке <math>x=0</math> функция <math>y(x)</math> доопределяется предельным переходом; см. её график при <math>R=1</math> на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой[10]:

<math>\rho=\frac{R}{\pi} \cdot \frac{\pi-2 \varphi}{\cos \varphi}</math>

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой <math>y=\frac{2R}{\pi}</math> (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба[10].

См. также

Напишите отзыв о статье "Квадратриса"

Примечания

  1. ↑ Прасолов В. В., 1992, с. 58—61.
  2. ↑ 1 2 3 Савелов А. А., 1960, с. 230.
  3. ↑ Папп Александрийский. Математическое собрание, книга IV.
  4. ↑ Савелов А. А., 1960, с. 227.
  5. ↑ Прасолов В. В., 1992, с. 61—62.
  6. ↑ Исаак Ньютон. Математические работы / Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 31, 87—89, 99, 166, 227, 287. — 452 с. — (Классики естествознания).
  7. ↑ Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 34—35.
  8. ↑ Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 35—37.
  9. ↑ 1 2 Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 284. — 468 с.
  10. ↑ 1 2 3 Савелов А. А., 1960, с. 228.

Литература

  • Жуков А. В. [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.18.pdf «О числе π»]. М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
  • Прасолов В. В. [www.math.ru/lib/plm/62 Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга]. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 62).
  • Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М.: Физматлит, 1960. — С. 227—230. — 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
  • Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 33—37. — 96 с.
  • Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.

Ссылки

  • [www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Quadratrix.html Quadratrix of Hippias] at the MacTutor archive.  (англ.)
  • [web.archive.org/web/20070625162103/mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1207&bodyId=1353 Quadratrix of Hippias] at [web.archive.org/web/20060212072618/mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence].  (англ.)