Квадратура круга Тарского

Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача, сформулированная Альфредом Тарским в 1925 году:

Возможно ли разрезать круг на конечное количество частей и собрать из них квадрат такой же площади? Или, более формально, возможно ли разбить круг на конечное количество попарно непересекающихся подмножеств, и передвинуть их так, чтобы получить разбиение квадрата такой же площади на попарно непересекающихся подмножества?

Возможность такого разбиения доказал венгерский математик Миклош Лацкович (англ.) в 1990 году (уже спустя 7 лет после смерти Тарского). Доказательство опирается на аксиому выбора. Найденное разбиение состоит из примерно 10⁵⁰ частей, которые являются неизмеримыми множествами, и границы которых не являются жордановыми кривыми. Для перемещения частей достаточно использовать только параллельный перенос, без поворотов и отражений. Кроме того, Лацкович доказал, что аналогичное преобразование возможно между кругом и любым многоугольником.

В 2005 году Тревор Уилсон доказал, что существует требуемое разбиение, при котором части можно сдвигать параллельным переносом таким образом, чтобы они всё время оставались непересекающимися.

См. также

• Парадокс Банаха — Тарского
• Квадратура круга

Ссылки

• Hertel, Eike & Richter, Christian (2003), "[www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.44/no.1/b44h1her.pdf Squaring the circle by dissection]", Beiträge zur Algebra und Geometrie Т. 44 (1): 47–55, <www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.44/no.1/b44h1her.pdf> .
• Laczkovich, Miklós (1990), "[dx.doi.org/10.1515%2Fcrll.1990.404.77 Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem]", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik Т. 404: 77–117, DOI 10.1515/crll.1990.404.77 .
• Laczkovich, Miklós (1994), "Paradoxical decompositions: a survey of recent results", Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), vol. 120, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser, сс. 159–184 .
• Tarski, Alfred (1925), "Probléme 38", Fundamenta Mathematicae Т. 7: 381 .
• Wilson, Trevor M. (2005), "[dx.doi.org/10.2178%2Fjsl%2F1122038921 A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem]", Journal of Symbolic Logic Т. 70 (3): 946–952, DOI 10.2178/jsl/1122038921 .

Отрывок, характеризующий Квадратура круга Тарского

– Хоть бы попугать этих монашенок. Итальянки, говорят, есть молоденькие. Право, пять лет жизни отдал бы!
– Им ведь и скучно, – смеясь, сказал офицер, который был посмелее.
Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.
– Очень хорошо, – отвечал Несвицкий.
Он кликнул казака с лошадью, велел убрать сумочку и фляжку и легко перекинул свое тяжелое тело на седло.
– Право, заеду к монашенкам, – сказал он офицерам, с улыбкою глядевшим на него, и поехал по вьющейся тропинке под гору.
– Нут ка, куда донесет, капитан, хватите ка! – сказал генерал, обращаясь к артиллеристу. – Позабавьтесь от скуки.
– Прислуга к орудиям! – скомандовал офицер.
И через минуту весело выбежали от костров артиллеристы и зарядили.
– Первое! – послышалась команда.
Бойко отскочил 1 й номер. Металлически, оглушая, зазвенело орудие, и через головы всех наших под горой, свистя, пролетела граната и, далеко не долетев до неприятеля, дымком показала место своего падения и лопнула.
Лица солдат и офицеров повеселели при этом звуке; все поднялись и занялись наблюдениями над видными, как на ладони, движениями внизу наших войск и впереди – движениями приближавшегося неприятеля. Солнце в ту же минуту совсем вышло из за туч, и этот красивый звук одинокого выстрела и блеск яркого солнца слились в одно бодрое и веселое впечатление.


Над мостом уже пролетели два неприятельские ядра, и на мосту была давка. В средине моста, слезши с лошади, прижатый своим толстым телом к перилам, стоял князь Несвицкий.