Список квадратурных формул
Поделись знанием:
Каждые десять секунд, нагнетая воздух, шлепало ядро или разрывалась граната в средине этой густой толпы, убивая и обрызгивая кровью тех, которые стояли близко. Долохов, раненый в руку, пешком с десятком солдат своей роты (он был уже офицер) и его полковой командир, верхом, представляли из себя остатки всего полка. Влекомые толпой, они втеснились во вход к плотине и, сжатые со всех сторон, остановились, потому что впереди упала лошадь под пушкой, и толпа вытаскивала ее. Одно ядро убило кого то сзади их, другое ударилось впереди и забрызгало кровью Долохова. Толпа отчаянно надвинулась, сжалась, тронулась несколько шагов и опять остановилась.
Пройти эти сто шагов, и, наверное, спасен; простоять еще две минуты, и погиб, наверное, думал каждый. Долохов, стоявший в середине толпы, рванулся к краю плотины, сбив с ног двух солдат, и сбежал на скользкий лед, покрывший пруд.
– Сворачивай, – закричал он, подпрыгивая по льду, который трещал под ним, – сворачивай! – кричал он на орудие. – Держит!…
Лед держал его, но гнулся и трещал, и очевидно было, что не только под орудием или толпой народа, но под ним одним он сейчас рухнется. На него смотрели и жались к берегу, не решаясь еще ступить на лед. Командир полка, стоявший верхом у въезда, поднял руку и раскрыл рот, обращаясь к Долохову. Вдруг одно из ядер так низко засвистело над толпой, что все нагнулись. Что то шлепнулось в мокрое, и генерал упал с лошадью в лужу крови. Никто не взглянул на генерала, не подумал поднять его.
– Пошел на лед! пошел по льду! Пошел! вороти! аль не слышишь! Пошел! – вдруг после ядра, попавшего в генерала, послышались бесчисленные голоса, сами не зная, что и зачем кричавшие.
Одно из задних орудий, вступавшее на плотину, своротило на лед. Толпы солдат с плотины стали сбегать на замерзший пруд. Под одним из передних солдат треснул лед, и одна нога ушла в воду; он хотел оправиться и провалился по пояс.
Ближайшие солдаты замялись, орудийный ездовой остановил свою лошадь, но сзади всё еще слышались крики: «Пошел на лед, что стал, пошел! пошел!» И крики ужаса послышались в толпе. Солдаты, окружавшие орудие, махали на лошадей и били их, чтобы они сворачивали и подвигались. Лошади тронулись с берега. Лед, державший пеших, рухнулся огромным куском, и человек сорок, бывших на льду, бросились кто вперед, кто назад, потопляя один другого.
Ядра всё так же равномерно свистели и шлепались на лед, в воду и чаще всего в толпу, покрывавшую плотину, пруды и берег.
На Праценской горе, на том самом месте, где он упал с древком знамени в руках, лежал князь Андрей Болконский, истекая кровью, и, сам не зная того, стонал тихим, жалостным и детским стоном.
К вечеру он перестал стонать и совершенно затих. Он не знал, как долго продолжалось его забытье. Вдруг он опять чувствовал себя живым и страдающим от жгучей и разрывающей что то боли в голове.
«Где оно, это высокое небо, которое я не знал до сих пор и увидал нынче?» было первою его мыслью. «И страдания этого я не знал также, – подумал он. – Да, я ничего, ничего не знал до сих пор. Но где я?»
Он стал прислушиваться и услыхал звуки приближающегося топота лошадей и звуки голосов, говоривших по французски. Он раскрыл глаза. Над ним было опять всё то же высокое небо с еще выше поднявшимися плывущими облаками, сквозь которые виднелась синеющая бесконечность. Он не поворачивал головы и не видал тех, которые, судя по звуку копыт и голосов, подъехали к нему и остановились.
Подъехавшие верховые были Наполеон, сопутствуемый двумя адъютантами. Бонапарте, объезжая поле сражения, отдавал последние приказания об усилении батарей стреляющих по плотине Аугеста и рассматривал убитых и раненых, оставшихся на поле сражения.
– De beaux hommes! [Красавцы!] – сказал Наполеон, глядя на убитого русского гренадера, который с уткнутым в землю лицом и почернелым затылком лежал на животе, откинув далеко одну уже закоченевшую руку.
– Les munitions des pieces de position sont epuisees, sire! [Батарейных зарядов больше нет, ваше величество!] – сказал в это время адъютант, приехавший с батарей, стрелявших по Аугесту.
– Faites avancer celles de la reserve, [Велите привезти из резервов,] – сказал Наполеон, и, отъехав несколько шагов, он остановился над князем Андреем, лежавшим навзничь с брошенным подле него древком знамени (знамя уже, как трофей, было взято французами).
– Voila une belle mort, [Вот прекрасная смерть,] – сказал Наполеон, глядя на Болконского.
Князь Андрей понял, что это было сказано о нем, и что говорит это Наполеон. Он слышал, как называли sire того, кто сказал эти слова. Но он слышал эти слова, как бы он слышал жужжание мухи. Он не только не интересовался ими, но он и не заметил, а тотчас же забыл их. Ему жгло голову; он чувствовал, что он исходит кровью, и он видел над собою далекое, высокое и вечное небо. Он знал, что это был Наполеон – его герой, но в эту минуту Наполеон казался ему столь маленьким, ничтожным человеком в сравнении с тем, что происходило теперь между его душой и этим высоким, бесконечным небом с бегущими по нем облаками. Ему было совершенно всё равно в эту минуту, кто бы ни стоял над ним, что бы ни говорил об нем; он рад был только тому, что остановились над ним люди, и желал только, чтоб эти люди помогли ему и возвратили бы его к жизни, которая казалась ему столь прекрасною, потому что он так иначе понимал ее теперь. Он собрал все свои силы, чтобы пошевелиться и произвести какой нибудь звук. Он слабо пошевелил ногою и произвел самого его разжалобивший, слабый, болезненный стон.
– А! он жив, – сказал Наполеон. – Поднять этого молодого человека, ce jeune homme, и свезти на перевязочный пункт!
Сказав это, Наполеон поехал дальше навстречу к маршалу Лану, который, сняв шляпу, улыбаясь и поздравляя с победой, подъезжал к императору.
Князь Андрей не помнил ничего дальше: он потерял сознание от страшной боли, которую причинили ему укладывание на носилки, толчки во время движения и сондирование раны на перевязочном пункте. Он очнулся уже только в конце дня, когда его, соединив с другими русскими ранеными и пленными офицерами, понесли в госпиталь. На этом передвижении он чувствовал себя несколько свежее и мог оглядываться и даже говорить.
Первые слова, которые он услыхал, когда очнулся, – были слова французского конвойного офицера, который поспешно говорил:
– Надо здесь остановиться: император сейчас проедет; ему доставит удовольствие видеть этих пленных господ.
– Нынче так много пленных, чуть не вся русская армия, что ему, вероятно, это наскучило, – сказал другой офицер.
– Ну, однако! Этот, говорят, командир всей гвардии императора Александра, – сказал первый, указывая на раненого русского офицера в белом кавалергардском мундире.
Болконский узнал князя Репнина, которого он встречал в петербургском свете. Рядом с ним стоял другой, 19 летний мальчик, тоже раненый кавалергардский офицер.
Бонапарте, подъехав галопом, остановил лошадь.
– Кто старший? – сказал он, увидав пленных.
Назвали полковника, князя Репнина.
– Вы командир кавалергардского полка императора Александра? – спросил Наполеон.
– Я командовал эскадроном, – отвечал Репнин.
– Ваш полк честно исполнил долг свой, – сказал Наполеон.
– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Да и всё казалось так бесполезно и ничтожно в сравнении с тем строгим и величественным строем мысли, который вызывали в нем ослабление сил от истекшей крови, страдание и близкое ожидание смерти. Глядя в глаза Наполеону, князь Андрей думал о ничтожности величия, о ничтожности жизни, которой никто не мог понять значения, и о еще большем ничтожестве смерти, смысл которой никто не мог понять и объяснить из живущих.
Император, не дождавшись ответа, отвернулся и, отъезжая, обратился к одному из начальников:
– Пусть позаботятся об этих господах и свезут их в мой бивуак; пускай мой доктор Ларрей осмотрит их раны. До свидания, князь Репнин, – и он, тронув лошадь, галопом поехал дальше.
На лице его было сиянье самодовольства и счастия.
Солдаты, принесшие князя Андрея и снявшие с него попавшийся им золотой образок, навешенный на брата княжною Марьею, увидав ласковость, с которою обращался император с пленными, поспешили возвратить образок.
Князь Андрей не видал, кто и как надел его опять, но на груди его сверх мундира вдруг очутился образок на мелкой золотой цепочке.
«Хорошо бы это было, – подумал князь Андрей, взглянув на этот образок, который с таким чувством и благоговением навесила на него сестра, – хорошо бы это было, ежели бы всё было так ясно и просто, как оно кажется княжне Марье. Как хорошо бы было знать, где искать помощи в этой жизни и чего ждать после нее, там, за гробом! Как бы счастлив и спокоен я был, ежели бы мог сказать теперь: Господи, помилуй меня!… Но кому я скажу это! Или сила – неопределенная, непостижимая, к которой я не только не могу обращаться, но которой не могу выразить словами, – великое всё или ничего, – говорил он сам себе, – или это тот Бог, который вот здесь зашит, в этой ладонке, княжной Марьей? Ничего, ничего нет верного, кроме ничтожества всего того, что мне понятно, и величия чего то непонятного, но важнейшего!»
Носилки тронулись. При каждом толчке он опять чувствовал невыносимую боль; лихорадочное состояние усилилось, и он начинал бредить. Те мечтания об отце, жене, сестре и будущем сыне и нежность, которую он испытывал в ночь накануне сражения, фигура маленького, ничтожного Наполеона и над всем этим высокое небо, составляли главное основание его горячечных представлений.
Тихая жизнь и спокойное семейное счастие в Лысых Горах представлялись ему. Он уже наслаждался этим счастием, когда вдруг являлся маленький Напoлеон с своим безучастным, ограниченным и счастливым от несчастия других взглядом, и начинались сомнения, муки, и только небо обещало успокоение. К утру все мечтания смешались и слились в хаос и мрак беспамятства и забвения, которые гораздо вероятнее, по мнению самого Ларрея, доктора Наполеона, должны были разрешиться смертью, чем выздоровлением.
– C'est un sujet nerveux et bilieux, – сказал Ларрей, – il n'en rechappera pas. [Это человек нервный и желчный, он не выздоровеет.]
Князь Андрей, в числе других безнадежных раненых, был сдан на попечение жителей.
В начале 1806 года Николай Ростов вернулся в отпуск. Денисов ехал тоже домой в Воронеж, и Ростов уговорил его ехать с собой до Москвы и остановиться у них в доме. На предпоследней станции, встретив товарища, Денисов выпил с ним три бутылки вина и подъезжая к Москве, несмотря на ухабы дороги, не просыпался, лежа на дне перекладных саней, подле Ростова, который, по мере приближения к Москве, приходил все более и более в нетерпение.
«Скоро ли? Скоро ли? О, эти несносные улицы, лавки, калачи, фонари, извозчики!» думал Ростов, когда уже они записали свои отпуски на заставе и въехали в Москву.
– Денисов, приехали! Спит! – говорил он, всем телом подаваясь вперед, как будто он этим положением надеялся ускорить движение саней. Денисов не откликался.
– Вот он угол перекресток, где Захар извозчик стоит; вот он и Захар, и всё та же лошадь. Вот и лавочка, где пряники покупали. Скоро ли? Ну!
– К какому дому то? – спросил ямщик.
– Да вон на конце, к большому, как ты не видишь! Это наш дом, – говорил Ростов, – ведь это наш дом! Денисов! Денисов! Сейчас приедем.
Денисов поднял голову, откашлялся и ничего не ответил.
– Дмитрий, – обратился Ростов к лакею на облучке. – Ведь это у нас огонь?
– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.
Старик Михайла спал на ларе. Прокофий, выездной лакей, тот, который был так силен, что за задок поднимал карету, сидел и вязал из покромок лапти. Он взглянул на отворившуюся дверь, и равнодушное, сонное выражение его вдруг преобразилось в восторженно испуганное.
– Батюшки, светы! Граф молодой! – вскрикнул он, узнав молодого барина. – Что ж это? Голубчик мой! – И Прокофий, трясясь от волненья, бросился к двери в гостиную, вероятно для того, чтобы объявить, но видно опять раздумал, вернулся назад и припал к плечу молодого барина.
– Здоровы? – спросил Ростов, выдергивая у него свою руку.
– Слава Богу! Всё слава Богу! сейчас только покушали! Дай на себя посмотреть, ваше сиятельство!
– Всё совсем благополучно?
– Слава Богу, слава Богу!
Ростов, забыв совершенно о Денисове, не желая никому дать предупредить себя, скинул шубу и на цыпочках побежал в темную, большую залу. Всё то же, те же ломберные столы, та же люстра в чехле; но кто то уж видел молодого барина, и не успел он добежать до гостиной, как что то стремительно, как буря, вылетело из боковой двери и обняло и стало целовать его. Еще другое, третье такое же существо выскочило из другой, третьей двери; еще объятия, еще поцелуи, еще крики, слезы радости. Он не мог разобрать, где и кто папа, кто Наташа, кто Петя. Все кричали, говорили и целовали его в одно и то же время. Только матери не было в числе их – это он помнил.
– А я то, не знал… Николушка… друг мой!
– Вот он… наш то… Друг мой, Коля… Переменился! Нет свечей! Чаю!
– Да меня то поцелуй!
– Душенька… а меня то.
Соня, Наташа, Петя, Анна Михайловна, Вера, старый граф, обнимали его; и люди и горничные, наполнив комнаты, приговаривали и ахали.
Петя повис на его ногах. – А меня то! – кричал он. Наташа, после того, как она, пригнув его к себе, расцеловала всё его лицо, отскочила от него и держась за полу его венгерки, прыгала как коза всё на одном месте и пронзительно визжала.
Со всех сторон были блестящие слезами радости, любящие глаза, со всех сторон были губы, искавшие поцелуя.
Соня красная, как кумач, тоже держалась за его руку и вся сияла в блаженном взгляде, устремленном в его глаза, которых она ждала. Соне минуло уже 16 лет, и она была очень красива, особенно в эту минуту счастливого, восторженного оживления. Она смотрела на него, не спуская глаз, улыбаясь и задерживая дыхание. Он благодарно взглянул на нее; но всё еще ждал и искал кого то. Старая графиня еще не выходила. И вот послышались шаги в дверях. Шаги такие быстрые, что это не могли быть шаги его матери.
(перенаправлено с «Квадратурные формулы»)
В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.
Содержание
Обозначения
В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:
- <math> \int\limits_{\Omega_x} f(x) dx = \sum_{i=1}^{m_g} {\widetilde{w_i} f(x_i)} = \sum_{i=1}^{m_g} {w_i \mathrm{det}(J(\xi_i)) f(x(\xi_i))}</math>,
- <math> f(x) </math> — интегрируемая функция;
- <math> w_i </math> — веса интегрирования;
- <math> \xi </math> — система координат мастер-элемента;
- <math> J(\xi) = \frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(\xi_1, \dots \xi_n)} </math> — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.
В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования <math>\Omega</math> будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объедение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.
В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные <math>x, y, z</math>, для обозначения координат мастер-элемента — <math>\xi, \eta, \zeta </math>.
Одномерный интеграл
Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.
- Область интегрирования: отрезок <math> [x_0, x_1] </math>;
- Мастер-элемент: отрезок <math> [-1, 1] </math>;
- Переход на мастер-элемент: <math> \xi(x) = 2 \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} - 1 </math>;
- Переход с мастер-элемента: <math> x(\xi) = \frac{(x_1 - x_0)(\xi + 1)}{2} + x_0</math>;
- Якобиан: <math> \mathrm{det}(J(\xi)) = \frac{x_1 - x_0}{2}</math>.
| Номер | Число точек | Порядок интегрирования | <math>\xi</math> | <math>w</math> | Дополнительно |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | <math> 0 </math> | <math>2</math> | Метод прямоугольников |
| 2 | 2 | 1 | <math> -1 </math> | <math>1</math> | Метод трапеций |
| <math> 1 </math> | <math>1</math> | ||||
| 3 | 2 | 3 | <math> -\frac{1}{\sqrt{3}} </math> | <math>1</math> | Метод Гаусса-2 |
| <math> \frac{1}{\sqrt{3}} </math> | <math>1</math> | ||||
| 4 | 3 | 3 | <math> -1 </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | Метод Симпсона |
| <math> 0 </math> | <math>\frac{4}{3}</math> | ||||
| <math> 1 </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | ||||
| 5 | 3 | 5 | <math> -\sqrt{\frac{3}{5}} </math> | <math>\frac{5}{9}</math> | Метод Гаусса-3 |
| <math> 0 </math> | <math>\frac{8}{9}</math> | ||||
| <math> \sqrt{\frac{3}{5}} </math> | <math>\frac{5}{9}</math> | ||||
| 6 | 4 | 7 | <math> -\sqrt{\frac{3}{7} - \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}} </math> | <math>\frac{18+\sqrt{30}}{36}</math> | Метод Гаусса-4 |
| <math> \sqrt{\frac{3}{7} - \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}} </math> | <math>\frac{18+\sqrt{30}}{36}</math> | ||||
| <math> -\sqrt{\frac{3}{7} + \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}} </math> | <math>\frac{18-\sqrt{30}}{36}</math> | ||||
| <math> \sqrt{\frac{3}{7} + \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}} </math> | <math>\frac{18-\sqrt{30}}{36}</math> | ||||
| 7 | 5 | 9 | <math> 0 </math> | <math>\frac{128}{225}</math> | Метод Гаусса-5 |
| <math> -\frac{1}{3}\sqrt{5 - 2\sqrt{\frac{10}{7}}} </math> | <math>\frac{322+13\sqrt{70}}{900}</math> | ||||
| <math> \frac{1}{3}\sqrt{5 - 2\sqrt{\frac{10}{7}}} </math> | <math>\frac{322+13\sqrt{70}}{900}</math> | ||||
| <math> -\frac{1}{3}\sqrt{5 + 2\sqrt{\frac{10}{7}}} </math> | <math>\frac{322-13\sqrt{70}}{900}</math> | ||||
| <math> \frac{1}{3}\sqrt{5 + 2\sqrt{\frac{10}{7}}} </math> | <math>\frac{322-13\sqrt{70}}{900}</math> |
Двухмерный интеграл
Квадратный мастер-элемент
- Область интегрирования: прямоугольник <math>[x_0, x_1] \times [y_0, y_1] </math>
- Мастер-элемент: квадрат <math>[-1, 1] \times [-1, 1] </math>
- Переход на мастер-элемент:
- <math> \xi(x, y) = 2 \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} - 1 </math>
- <math> \eta(x, y) = 2 \frac{y-y_0}{y_1 - y_0} - 1 </math>;
- Переход с мастер-элемента:
- <math> x(\xi, \eta) = \frac{(x_1 - x_0)(\xi + 1)}{2} + x_0</math>
- <math> y(\xi, \eta) = \frac{(y_1 - y_0)(\eta + 1)}{2} + y_0</math>;
- Якобиан: <math> \mathrm{det}(J(\xi, \eta)) = \frac{(x_1 - x_0)(y_1 - y_0)}{4}</math>.
Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёх угольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.
| Номер | Число точек | Порядок интегрирования | <math>\xi</math> | <math>\eta</math> | <math>w</math> | Дополнительно |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | <math> 0 </math> | <math>0</math> | <math>4</math> | Метод прямоугольников (метод среднего) |
| 2 | 4 | 1 | <math> -1 </math> | <math>-1</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | Метод трапеций |
| <math> -1 </math> | <math>1</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | ||||
| <math> 1 </math> | <math>-1</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | ||||
| <math> 1 </math> | <math>1</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | ||||
| 3 | 4 | 3 | <math> -\frac{1}{3} </math> | <math>-\frac{1}{3}</math> | <math>1</math> | Метод Гаусса-2 |
| <math> -\frac{1}{3} </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math> \frac{1}{3}</math> | <math>-\frac{1}{3}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math> \frac{1}{3} </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>1</math> | ||||
| 4 | 12 | 7 | <math> -c </math> | <math>0</math> | <math>w_c</math> | <math> a = \sqrt{\frac{114-3\sqrt{583}}{287}}</math> <math> b = \sqrt{\frac{114+3\sqrt{583}}{287}}</math> <math>c = \sqrt{\frac{6}{7}}</math> <math>w_a = \frac{307}{810} + \frac{923}{270\sqrt{583}}</math> <math>w_b = \frac{307}{810} - \frac{923}{270\sqrt{583}}</math> <math>w_c = \frac{98}{405} </math> Число узлов минимально[1]. |
| <math> c </math> | <math>0</math> | <math>w_c</math> | ||||
| <math> 0 </math> | <math>-c</math> | <math>w_c</math> | ||||
| <math> 0 </math> | <math>c</math> | <math>w_c</math> | ||||
| <math> -a </math> | <math>-a</math> | <math>w_a</math> | ||||
| <math> a </math> | <math>-a</math> | <math>w_a</math> | ||||
| <math> -a </math> | <math>a</math> | <math>w_a</math> | ||||
| <math> a </math> | <math>a</math> | <math>w_a</math> | ||||
| <math> -b </math> | <math>-b</math> | <math>w_b</math> | ||||
| <math> b </math> | <math>-b</math> | <math>w_b</math> | ||||
| <math> -b </math> | <math>b</math> | <math>w_b</math> | ||||
| <math> b </math> | <math>b</math> | <math>w_b</math> |
Треугольный мастер-элемент
- Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)</math>;
- Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами <math>(0,0), (1, 0), (0, 1) </math>.
Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их <math> \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3</math>.
- <math> \lambda_i(x,y) = \alpha_{i1} x + \alpha_{i2} y + \alpha_{i3} </math>
Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица <math>D</math>:
- <math> D = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} </math> Матрица коэффициентов обратна к <math>D</math>: <math> \Alpha = D^{-1}</math>.
- Переход на мастер элемент:
- <math>\xi(x,y) = \lambda_1(x,y)</math>
- <math>\eta(x,y) = \lambda_2(x,y)</math>
- Переход с мастер элемента:
- <math> \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1\end{pmatrix} = \Alpha \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ 1 - \xi - \eta \end{pmatrix} </math>
- Якобиан : <math> \mathrm{det}(J(\xi,\eta)) = \mathrm{det}(D)</math>.
| Номер | Число точек | Порядок интегрирования | <math>\xi</math> | <math>\eta</math> | <math>w</math> | Дополнительно |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | <math> \frac{1}{3} </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>\frac{1}{2}</math> | Метод среднего |
| 2 | 3 | 1 | <math> \frac{1}{2} </math> | <math>0</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | - |
| <math> 0 </math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | ||||
| <math> \frac{1}{2} </math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | ||||
| 2 | 3 | 2 | <math> \frac{1}{6} </math> | <math>\frac{1}{6}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | Метод Гаусса-3 |
| <math> \frac{2}{3} </math> | <math>\frac{1}{6}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | ||||
| <math> \frac{2}{3} </math> | <math>\frac{1}{6}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | ||||
| 4 | 4 | 3 | <math> \frac{1}{3} </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>-\frac{9}{32}</math> | Метод Гаусса-4 |
| <math> \frac{3}{5} </math> | <math>\frac{1}{5}</math> | <math>\frac{25}{96}</math> | ||||
| <math> \frac{1}{5} </math> | <math>\frac{3}{5}</math> | <math>\frac{25}{96}</math> | ||||
| <math> \frac{1}{5} </math> | <math>\frac{1}{5}</math> | <math>\frac{25}{96}</math> | ||||
| 5 | 7 | 3 | <math> \frac{1}{3} </math> | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>\frac{9}{40}</math> | Метод Ньютона-Котеса (Newton-Cotes (англ.)) |
| <math> \frac{1}{2} </math> | <math>0</math> | <math>\frac{1}{15}</math> | ||||
| <math> \frac{1}{2} </math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{1}{15}</math> | ||||
| <math> 0 </math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{1}{15}</math> | ||||
| <math> 1 </math> | <math>0</math> | <math>\frac{1}{40}</math> | ||||
| <math> 0 </math> | <math>1</math> | <math>\frac{1}{40}</math> | ||||
| <math> 0 </math> | <math>0</math> | <math>\frac{1}{40}</math> |
Трёхмерный интеграл
Кубический мастер-элемент
- Область интегрирования: параллелепипед <math>[x_0, x_1] \times [y_0, y_1] \times [z_0, z_1]</math>
- Мастер-элемент: куб <math>[-1, 1] \times [-1, 1] \times [-1, 1]</math>
- Переход на мастер-элемент:
- <math> \xi(x, y, z) = 2 \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} - 1 </math>
- <math> \eta(x, y, z) = 2 \frac{y-y_0}{y_1 - y_0} - 1 </math>
- <math> \zeta(x, y, z) = 2 \frac{z-z_0}{z_1 - z_0} - 1 </math>
- Переход с мастер-элемента:
- <math> x(\xi, \eta, \zeta) = \frac{(x_1 - x_0)(\xi + 1)}{2} + x_0</math>
- <math> y(\xi, \eta, \zeta) = \frac{(y_1 - y_0)(\eta + 1)}{2} + y_0</math>;
- <math> z(\xi, \eta, \zeta) = \frac{(z_1 - z_0)(\zeta + 1)}{2} + z_0</math>;
- Якобиан: <math> \mathrm{det}(J(\xi, \eta, \zeta)) = \frac{(x_1 - x_0)(y_1 - y_0)(z_1 - z_0)}{8}</math>.
Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника[уточнить], но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.
| Номер | Число точек | Порядок интегрирования | <math>\xi</math> | <math>\eta</math> | <math>\zeta</math> | <math>w</math> | Дополнительно |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | <math> 0 </math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>8</math> | Метод прямоугольников (метод среднего) |
| 2 | 8 | 3 | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | Метод Гаусса-2 |
| <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> | <math>1</math> | ||||
| 3 | 14 | 5 | <math>-\sqrt{\frac{19}{30}}</math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>\frac{320}{361}</math> | Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2] |
| <math>\sqrt{\frac{19}{30}}</math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>\frac{320}{361}</math> | ||||
| <math>0</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{30}}</math> | <math>0</math> | <math>\frac{320}{361}</math> | ||||
| <math>0</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{30}}</math> | <math>0</math> | <math>\frac{320}{361}</math> | ||||
| <math>0</math> | <math>0</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{30}}</math> | <math>\frac{320}{361}</math> | ||||
| <math>0</math> | <math>0</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{30}}</math> | <math>\frac{320}{361}</math> | ||||
| <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>-\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> | ||||
| <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\sqrt{\frac{19}{33}}</math> | <math>\frac{121}{361}</math> |
Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.
- Порядок: 7, число точек: 34
| Номер точки | <math>\xi</math> | <math>\eta</math> | <math>\zeta</math> | <math>w</math> | Дополнительно |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | <math>a</math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>w_1</math> | <math> a = \sqrt{\frac{6}{7}}</math>, <math>b = \sqrt{\frac{960 - 33\sqrt{238}}{2726}}</math>, <math> c = \sqrt{\frac{960 + 33\sqrt{238}}{2726}}</math>, <math>w_1 = \frac{1078}{3645}</math>, <math>w_2 = \frac{343}{3645}</math>, <math>w_3 = \frac{43}{135} + \frac{829\sqrt{238}}{136323}</math>, <math>w_4= \frac{43}{135} - \frac{829\sqrt{238}}{136323}</math> |
| 2 | <math>-a</math> | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>w_1</math> | |
| 3 | <math>0</math> | <math>a</math> | <math>0</math> | <math>w_1</math> | |
| 4 | <math>0</math> | <math>-a</math> | <math>0</math> | <math>w_1</math> | |
| 5 | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>a</math> | <math>w_1</math> | |
| 6 | <math>0</math> | <math>0</math> | <math>-a</math> | <math>w_1</math> | |
| 7 | <math>a</math> | <math>a</math> | <math>0</math> | <math>w_2</math> | |
| 8 | <math>a</math> | <math>-a</math> | <math>0</math> | <math>w_2</math> | |
| 9 | <math>-a</math> | <math>a</math> | <math>0</math> | <math>w_2</math> | |
| 10 | <math>-a</math> | <math>-a</math> | <math>0</math> | <math>w_2</math> | |
| 11 | <math>a</math> | <math>0</math> | <math>a</math> | <math>w_2</math> | |
| 12 | <math>a</math> | <math>0</math> | <math>-a</math> | <math>w_2</math> | |
| 13 | <math>-a</math> | <math>0</math> | <math>a</math> | <math>w_2</math> | |
| 14 | <math>-a</math> | <math>0</math> | <math>-a</math> | <math>w_2</math> | |
| 15 | <math>0</math> | <math>a</math> | <math>a</math> | <math>w_2</math> | |
| 16 | <math>0</math> | <math>a</math> | <math>-a</math> | <math>w_2</math> | |
| 17 | <math>0</math> | <math>-a</math> | <math>a</math> | <math>w_2</math> | |
| 18 | <math>0</math> | <math>-a</math> | <math>-a</math> | <math>w_2</math> | |
| 19 | <math>b</math> | <math>b</math> | <math>b</math> | <math>w_3</math> | |
| 20 | <math>b</math> | <math>b</math> | <math>-b</math> | <math>w_3</math> | |
| 21 | <math>b</math> | <math>-b</math> | <math>b</math> | <math>w_3</math> | |
| 22 | <math>b</math> | <math>-b</math> | <math>-b</math> | <math>w_3</math> | |
| 23 | <math>-b</math> | <math>b</math> | <math>b</math> | <math>w_3</math> | |
| 24 | <math>-b</math> | <math>b</math> | <math>-b</math> | <math>w_3</math> | |
| 25 | <math>-b</math> | <math>-b</math> | <math>b</math> | <math>w_3</math> | |
| 26 | <math>-b</math> | <math>-b</math> | <math>-b</math> | <math>w_3</math> | |
| 27 | <math>c</math> | <math>c</math> | <math>c</math> | <math>w_4</math> | |
| 28 | <math>c</math> | <math>c</math> | <math>-c</math> | <math>w_4</math> | |
| 29 | <math>c</math> | <math>-c</math> | <math>c</math> | <math>w_4</math> | |
| 30 | <math>c</math> | <math>-c</math> | <math>-c</math> | <math>w_4</math> | |
| 31 | <math>-c</math> | <math>c</math> | <math>c</math> | <math>w_4</math> | |
| 32 | <math>-c</math> | <math>c</math> | <math>-c</math> | <math>w_4</math> | |
| 33 | <math>-c</math> | <math>-c</math> | <math>c</math> | <math>w_4</math> | |
| 34 | <math>-c</math> | <math>-c</math> | <math>-c</math> | <math>w_4</math> |
Тетраэдральный мастер-элемент
- Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами <math>(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, y_3), (x_4, y_4, z_4)</math>.
- Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами <math>(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)</math>.
Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их <math> \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4</math>:
- <math> \lambda_i(x,y,z) = \alpha_{i1} x + \alpha_{i2} y + \alpha_{i3} z + \alpha_{i4} </math>
Матрица коэффициентов определяется, как: <math>\Alpha = D^{-1}</math>, где
- <math> D = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}</math>
- Переход на мастер-элемент:
- <math> \xi(x,y,z) = \lambda_1(x,y,z)</math>
- <math> \eta(x,y,z) = \lambda_2(x,y,z)</math>
- <math> \zeta(x,y,z) = \lambda_3(x,y,z)</math>
- Переход с мастер-элемента:
- <math> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\end{pmatrix} = D \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ \zeta \\ 1 - \xi - \eta - \zeta\end{pmatrix} </math>
- Якобиан : <math> \mathrm{det}(J(\xi,\eta, \zeta)) = \mathrm{det}(D)</math>.
| Номер | Число точек | Порядок интегрирования | <math>\xi</math> | <math>\eta</math> | <math>\zeta</math> | <math>w</math> | Дополнительно |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | <math> \frac{1}{4} </math> | <math>\frac{1}{4}</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | Метод среднего |
| 2 | 4 | 3 | <math>\frac{5+3\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{1}{24}</math> | Метод Гаусса-4 |
| <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5+3\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{1}{24}</math> | ||||
| <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5+3\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{1}{24}</math> | ||||
| <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{5-\sqrt{5}}{20}</math> | <math>\frac{1}{24}</math> | ||||
| 3 | 11 | 4 | <math>\frac{1}{4}</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | <math>-\frac{74}{5625}</math> | Метод Гаусса-11 |
| <math>\frac{11}{14}</math> | <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{343}{45000}</math> | ||||
| <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{11}{14}</math> | <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{343}{45000}</math> | ||||
| <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{11}{14}</math> | <math>\frac{343}{45000}</math> | ||||
| <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{5}{70}</math> | <math>\frac{343}{45000}</math> | ||||
| <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{56}{2250}</math> | ||||
| <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math> \frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{56}{2250}</math> | ||||
| <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{56}{2250}</math> | ||||
| <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{56}{2250}</math> | ||||
| <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{56}{2250}</math> | ||||
| <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}</math> | <math>\frac{56}{2250}</math> |
Напишите отзыв о статье "Список квадратурных формул"
Литература
- Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.
Ссылки
- [people.fh-landshut.de/~maurer/numeth/node147.html Numerical Integration over the Triangular Domain] (англ.). — Интегрирование по треугольному элементу. Проверено 12 июня 2014.
- [people.fh-landshut.de/~maurer/numeth/node148.html Numerical Integration over the Tetrahedral Domain] (англ.). — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Проверено 12 июня 2014.
Примечания
- ↑ Мысоковских, с. 285.
- ↑ Мысоковских, с. 280.
Отрывок, характеризующий Список квадратурных формул
В арьергарде Дохтуров и другие, собирая батальоны, отстреливались от французской кавалерии, преследовавшей наших. Начинало смеркаться. На узкой плотине Аугеста, на которой столько лет мирно сиживал в колпаке старичок мельник с удочками, в то время как внук его, засучив рукава рубашки, перебирал в лейке серебряную трепещущую рыбу; на этой плотине, по которой столько лет мирно проезжали на своих парных возах, нагруженных пшеницей, в мохнатых шапках и синих куртках моравы и, запыленные мукой, с белыми возами уезжали по той же плотине, – на этой узкой плотине теперь между фурами и пушками, под лошадьми и между колес толпились обезображенные страхом смерти люди, давя друг друга, умирая, шагая через умирающих и убивая друг друга для того только, чтобы, пройдя несколько шагов, быть точно. так же убитыми.Каждые десять секунд, нагнетая воздух, шлепало ядро или разрывалась граната в средине этой густой толпы, убивая и обрызгивая кровью тех, которые стояли близко. Долохов, раненый в руку, пешком с десятком солдат своей роты (он был уже офицер) и его полковой командир, верхом, представляли из себя остатки всего полка. Влекомые толпой, они втеснились во вход к плотине и, сжатые со всех сторон, остановились, потому что впереди упала лошадь под пушкой, и толпа вытаскивала ее. Одно ядро убило кого то сзади их, другое ударилось впереди и забрызгало кровью Долохова. Толпа отчаянно надвинулась, сжалась, тронулась несколько шагов и опять остановилась.
Пройти эти сто шагов, и, наверное, спасен; простоять еще две минуты, и погиб, наверное, думал каждый. Долохов, стоявший в середине толпы, рванулся к краю плотины, сбив с ног двух солдат, и сбежал на скользкий лед, покрывший пруд.
– Сворачивай, – закричал он, подпрыгивая по льду, который трещал под ним, – сворачивай! – кричал он на орудие. – Держит!…
Лед держал его, но гнулся и трещал, и очевидно было, что не только под орудием или толпой народа, но под ним одним он сейчас рухнется. На него смотрели и жались к берегу, не решаясь еще ступить на лед. Командир полка, стоявший верхом у въезда, поднял руку и раскрыл рот, обращаясь к Долохову. Вдруг одно из ядер так низко засвистело над толпой, что все нагнулись. Что то шлепнулось в мокрое, и генерал упал с лошадью в лужу крови. Никто не взглянул на генерала, не подумал поднять его.
– Пошел на лед! пошел по льду! Пошел! вороти! аль не слышишь! Пошел! – вдруг после ядра, попавшего в генерала, послышались бесчисленные голоса, сами не зная, что и зачем кричавшие.
Одно из задних орудий, вступавшее на плотину, своротило на лед. Толпы солдат с плотины стали сбегать на замерзший пруд. Под одним из передних солдат треснул лед, и одна нога ушла в воду; он хотел оправиться и провалился по пояс.
Ближайшие солдаты замялись, орудийный ездовой остановил свою лошадь, но сзади всё еще слышались крики: «Пошел на лед, что стал, пошел! пошел!» И крики ужаса послышались в толпе. Солдаты, окружавшие орудие, махали на лошадей и били их, чтобы они сворачивали и подвигались. Лошади тронулись с берега. Лед, державший пеших, рухнулся огромным куском, и человек сорок, бывших на льду, бросились кто вперед, кто назад, потопляя один другого.
Ядра всё так же равномерно свистели и шлепались на лед, в воду и чаще всего в толпу, покрывавшую плотину, пруды и берег.
На Праценской горе, на том самом месте, где он упал с древком знамени в руках, лежал князь Андрей Болконский, истекая кровью, и, сам не зная того, стонал тихим, жалостным и детским стоном.
К вечеру он перестал стонать и совершенно затих. Он не знал, как долго продолжалось его забытье. Вдруг он опять чувствовал себя живым и страдающим от жгучей и разрывающей что то боли в голове.
«Где оно, это высокое небо, которое я не знал до сих пор и увидал нынче?» было первою его мыслью. «И страдания этого я не знал также, – подумал он. – Да, я ничего, ничего не знал до сих пор. Но где я?»
Он стал прислушиваться и услыхал звуки приближающегося топота лошадей и звуки голосов, говоривших по французски. Он раскрыл глаза. Над ним было опять всё то же высокое небо с еще выше поднявшимися плывущими облаками, сквозь которые виднелась синеющая бесконечность. Он не поворачивал головы и не видал тех, которые, судя по звуку копыт и голосов, подъехали к нему и остановились.
Подъехавшие верховые были Наполеон, сопутствуемый двумя адъютантами. Бонапарте, объезжая поле сражения, отдавал последние приказания об усилении батарей стреляющих по плотине Аугеста и рассматривал убитых и раненых, оставшихся на поле сражения.
– De beaux hommes! [Красавцы!] – сказал Наполеон, глядя на убитого русского гренадера, который с уткнутым в землю лицом и почернелым затылком лежал на животе, откинув далеко одну уже закоченевшую руку.
– Les munitions des pieces de position sont epuisees, sire! [Батарейных зарядов больше нет, ваше величество!] – сказал в это время адъютант, приехавший с батарей, стрелявших по Аугесту.
– Faites avancer celles de la reserve, [Велите привезти из резервов,] – сказал Наполеон, и, отъехав несколько шагов, он остановился над князем Андреем, лежавшим навзничь с брошенным подле него древком знамени (знамя уже, как трофей, было взято французами).
– Voila une belle mort, [Вот прекрасная смерть,] – сказал Наполеон, глядя на Болконского.
Князь Андрей понял, что это было сказано о нем, и что говорит это Наполеон. Он слышал, как называли sire того, кто сказал эти слова. Но он слышал эти слова, как бы он слышал жужжание мухи. Он не только не интересовался ими, но он и не заметил, а тотчас же забыл их. Ему жгло голову; он чувствовал, что он исходит кровью, и он видел над собою далекое, высокое и вечное небо. Он знал, что это был Наполеон – его герой, но в эту минуту Наполеон казался ему столь маленьким, ничтожным человеком в сравнении с тем, что происходило теперь между его душой и этим высоким, бесконечным небом с бегущими по нем облаками. Ему было совершенно всё равно в эту минуту, кто бы ни стоял над ним, что бы ни говорил об нем; он рад был только тому, что остановились над ним люди, и желал только, чтоб эти люди помогли ему и возвратили бы его к жизни, которая казалась ему столь прекрасною, потому что он так иначе понимал ее теперь. Он собрал все свои силы, чтобы пошевелиться и произвести какой нибудь звук. Он слабо пошевелил ногою и произвел самого его разжалобивший, слабый, болезненный стон.
– А! он жив, – сказал Наполеон. – Поднять этого молодого человека, ce jeune homme, и свезти на перевязочный пункт!
Сказав это, Наполеон поехал дальше навстречу к маршалу Лану, который, сняв шляпу, улыбаясь и поздравляя с победой, подъезжал к императору.
Князь Андрей не помнил ничего дальше: он потерял сознание от страшной боли, которую причинили ему укладывание на носилки, толчки во время движения и сондирование раны на перевязочном пункте. Он очнулся уже только в конце дня, когда его, соединив с другими русскими ранеными и пленными офицерами, понесли в госпиталь. На этом передвижении он чувствовал себя несколько свежее и мог оглядываться и даже говорить.
Первые слова, которые он услыхал, когда очнулся, – были слова французского конвойного офицера, который поспешно говорил:
– Надо здесь остановиться: император сейчас проедет; ему доставит удовольствие видеть этих пленных господ.
– Нынче так много пленных, чуть не вся русская армия, что ему, вероятно, это наскучило, – сказал другой офицер.
– Ну, однако! Этот, говорят, командир всей гвардии императора Александра, – сказал первый, указывая на раненого русского офицера в белом кавалергардском мундире.
Болконский узнал князя Репнина, которого он встречал в петербургском свете. Рядом с ним стоял другой, 19 летний мальчик, тоже раненый кавалергардский офицер.
Бонапарте, подъехав галопом, остановил лошадь.
– Кто старший? – сказал он, увидав пленных.
Назвали полковника, князя Репнина.
– Вы командир кавалергардского полка императора Александра? – спросил Наполеон.
– Я командовал эскадроном, – отвечал Репнин.
– Ваш полк честно исполнил долг свой, – сказал Наполеон.
– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Да и всё казалось так бесполезно и ничтожно в сравнении с тем строгим и величественным строем мысли, который вызывали в нем ослабление сил от истекшей крови, страдание и близкое ожидание смерти. Глядя в глаза Наполеону, князь Андрей думал о ничтожности величия, о ничтожности жизни, которой никто не мог понять значения, и о еще большем ничтожестве смерти, смысл которой никто не мог понять и объяснить из живущих.
Император, не дождавшись ответа, отвернулся и, отъезжая, обратился к одному из начальников:
– Пусть позаботятся об этих господах и свезут их в мой бивуак; пускай мой доктор Ларрей осмотрит их раны. До свидания, князь Репнин, – и он, тронув лошадь, галопом поехал дальше.
На лице его было сиянье самодовольства и счастия.
Солдаты, принесшие князя Андрея и снявшие с него попавшийся им золотой образок, навешенный на брата княжною Марьею, увидав ласковость, с которою обращался император с пленными, поспешили возвратить образок.
Князь Андрей не видал, кто и как надел его опять, но на груди его сверх мундира вдруг очутился образок на мелкой золотой цепочке.
«Хорошо бы это было, – подумал князь Андрей, взглянув на этот образок, который с таким чувством и благоговением навесила на него сестра, – хорошо бы это было, ежели бы всё было так ясно и просто, как оно кажется княжне Марье. Как хорошо бы было знать, где искать помощи в этой жизни и чего ждать после нее, там, за гробом! Как бы счастлив и спокоен я был, ежели бы мог сказать теперь: Господи, помилуй меня!… Но кому я скажу это! Или сила – неопределенная, непостижимая, к которой я не только не могу обращаться, но которой не могу выразить словами, – великое всё или ничего, – говорил он сам себе, – или это тот Бог, который вот здесь зашит, в этой ладонке, княжной Марьей? Ничего, ничего нет верного, кроме ничтожества всего того, что мне понятно, и величия чего то непонятного, но важнейшего!»
Носилки тронулись. При каждом толчке он опять чувствовал невыносимую боль; лихорадочное состояние усилилось, и он начинал бредить. Те мечтания об отце, жене, сестре и будущем сыне и нежность, которую он испытывал в ночь накануне сражения, фигура маленького, ничтожного Наполеона и над всем этим высокое небо, составляли главное основание его горячечных представлений.
Тихая жизнь и спокойное семейное счастие в Лысых Горах представлялись ему. Он уже наслаждался этим счастием, когда вдруг являлся маленький Напoлеон с своим безучастным, ограниченным и счастливым от несчастия других взглядом, и начинались сомнения, муки, и только небо обещало успокоение. К утру все мечтания смешались и слились в хаос и мрак беспамятства и забвения, которые гораздо вероятнее, по мнению самого Ларрея, доктора Наполеона, должны были разрешиться смертью, чем выздоровлением.
– C'est un sujet nerveux et bilieux, – сказал Ларрей, – il n'en rechappera pas. [Это человек нервный и желчный, он не выздоровеет.]
Князь Андрей, в числе других безнадежных раненых, был сдан на попечение жителей.
В начале 1806 года Николай Ростов вернулся в отпуск. Денисов ехал тоже домой в Воронеж, и Ростов уговорил его ехать с собой до Москвы и остановиться у них в доме. На предпоследней станции, встретив товарища, Денисов выпил с ним три бутылки вина и подъезжая к Москве, несмотря на ухабы дороги, не просыпался, лежа на дне перекладных саней, подле Ростова, который, по мере приближения к Москве, приходил все более и более в нетерпение.
«Скоро ли? Скоро ли? О, эти несносные улицы, лавки, калачи, фонари, извозчики!» думал Ростов, когда уже они записали свои отпуски на заставе и въехали в Москву.
– Денисов, приехали! Спит! – говорил он, всем телом подаваясь вперед, как будто он этим положением надеялся ускорить движение саней. Денисов не откликался.
– Вот он угол перекресток, где Захар извозчик стоит; вот он и Захар, и всё та же лошадь. Вот и лавочка, где пряники покупали. Скоро ли? Ну!
– К какому дому то? – спросил ямщик.
– Да вон на конце, к большому, как ты не видишь! Это наш дом, – говорил Ростов, – ведь это наш дом! Денисов! Денисов! Сейчас приедем.
Денисов поднял голову, откашлялся и ничего не ответил.
– Дмитрий, – обратился Ростов к лакею на облучке. – Ведь это у нас огонь?
– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.
Старик Михайла спал на ларе. Прокофий, выездной лакей, тот, который был так силен, что за задок поднимал карету, сидел и вязал из покромок лапти. Он взглянул на отворившуюся дверь, и равнодушное, сонное выражение его вдруг преобразилось в восторженно испуганное.
– Батюшки, светы! Граф молодой! – вскрикнул он, узнав молодого барина. – Что ж это? Голубчик мой! – И Прокофий, трясясь от волненья, бросился к двери в гостиную, вероятно для того, чтобы объявить, но видно опять раздумал, вернулся назад и припал к плечу молодого барина.
– Здоровы? – спросил Ростов, выдергивая у него свою руку.
– Слава Богу! Всё слава Богу! сейчас только покушали! Дай на себя посмотреть, ваше сиятельство!
– Всё совсем благополучно?
– Слава Богу, слава Богу!
Ростов, забыв совершенно о Денисове, не желая никому дать предупредить себя, скинул шубу и на цыпочках побежал в темную, большую залу. Всё то же, те же ломберные столы, та же люстра в чехле; но кто то уж видел молодого барина, и не успел он добежать до гостиной, как что то стремительно, как буря, вылетело из боковой двери и обняло и стало целовать его. Еще другое, третье такое же существо выскочило из другой, третьей двери; еще объятия, еще поцелуи, еще крики, слезы радости. Он не мог разобрать, где и кто папа, кто Наташа, кто Петя. Все кричали, говорили и целовали его в одно и то же время. Только матери не было в числе их – это он помнил.
– А я то, не знал… Николушка… друг мой!
– Вот он… наш то… Друг мой, Коля… Переменился! Нет свечей! Чаю!
– Да меня то поцелуй!
– Душенька… а меня то.
Соня, Наташа, Петя, Анна Михайловна, Вера, старый граф, обнимали его; и люди и горничные, наполнив комнаты, приговаривали и ахали.
Петя повис на его ногах. – А меня то! – кричал он. Наташа, после того, как она, пригнув его к себе, расцеловала всё его лицо, отскочила от него и держась за полу его венгерки, прыгала как коза всё на одном месте и пронзительно визжала.
Со всех сторон были блестящие слезами радости, любящие глаза, со всех сторон были губы, искавшие поцелуя.
Соня красная, как кумач, тоже держалась за его руку и вся сияла в блаженном взгляде, устремленном в его глаза, которых она ждала. Соне минуло уже 16 лет, и она была очень красива, особенно в эту минуту счастливого, восторженного оживления. Она смотрела на него, не спуская глаз, улыбаясь и задерживая дыхание. Он благодарно взглянул на нее; но всё еще ждал и искал кого то. Старая графиня еще не выходила. И вот послышались шаги в дверях. Шаги такие быстрые, что это не могли быть шаги его матери.
