Ковёр Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским.

Построение

Итеративный метод

Квадрат <math>Q_0</math> делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата <math>Q_0</math> удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество <math>Q_1</math>, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

<math>Q_0\supset Q_1\supset\dots\supset Q_n\supset\dots ,</math>

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата <math>Q_0</math>.

2. Вероятностное пространство <math>(0; 1)</math> разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая начальная точка <math>P_0</math>, лежащая внутри квадрата <math>Q_0</math>.

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.

1. Генерируется случайное число <math>n \in (0; 1)</math>.

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка <math>P_i</math> с новыми координатами: <math>x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3}</math>,

где: <math>x_{i-1}, y_{i-1}</math> — координаты предыдущей точки <math>P_i</math>; <math>x_A, y_A</math> — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
• Ковер Серпинского замкнут.
• Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность <math>\ln8/\ln3\approx 1,89</math>. В частности,
  • имеет нулевую меру Лебега.
• Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.

Ссылки

• Ковёр Серпинского: тематические медиафайлы на Викискладе
• [www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SqStrFSM.shtml Variations on the Theme of Tremas II]  (англ.)
• [www.evilmadscientist.com/article.php/fractalcookies Печенье с рисунком-фракталом]  (англ.)
• [fractalworld.xaoc.ru/Sierpinski_carpet Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld]