Коммутант

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Квадрат кольца»)
Перейти к: навигация, поиск

Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру (подгруппа, подкольцо, в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы[⇨]), показывающая степень некоммутативности групповой операции.

Коммутант группы[⇨] является наименьшей нормальной подгруппой, такой что фактор по ней является абелевой группой. Коммутант кольца[⇨] — идеал, порождённый всевозможными произведениями элементов.





Коммутант мультиоператорной группы

Наиболее универсально коммутант определяется для мультиоператорной группы. Коммутантом мультиоператорной алгебры <math>\mathfrak G = (G, +, -, 0, \Sigma)</math> называется её идеал, порождённый её коммутаторами, то есть элементами вида:

<math>[g_1, g_2] = -g_1 - g_2 + g_1 + g_2</math>,

а также элементами:

<math>-\sigma(g_1, \dots, g_n) - \sigma(h_1, \dots, h_n) + \sigma (g_1 + h_1, \dots, g_n + h_n)</math>

для каждой <math>n</math>-арной операции <math>\sigma \in \Sigma</math> из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Коммутант группы

Коммутант группы[1] <math>G</math> (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — подгруппа, порождённая множеством <math>\{ [g_1, g_2] \mid g_1,g_2\in G \rangle</math> всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы <math>G</math>. Используются следующие обозначения для коммутанта группы <math>G</math>: <math>[G, G],\; G',\; T_2(G)</math>, <math>K(G)</math>. (При этом коммутаторы в различных источниках записывают по-разному: встречается (в мультипликативной записи) как <math>[g_1, g_2] = g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}</math>, так и <math>[g_1, g_2] = g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2</math>.

Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.

Ряды коммутантов

Конструкцию коммутанта можно проитерировать:

<math>G^{(0)}:=G</math>
<math>G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}], n\in \mathbb N</math>

Группы <math>G^{(2)},G^{(3)},\ldots</math> называются второй производной группой, третьей производной группой и так далее. Убывающий ряд групп:

<math>G=G^{(0)}\vartriangleright G^{(1)}\vartriangleright G^{(2)}\vartriangleright \ldots </math>

называется производным рядом, или рядом коммутантов[2].

Для конечной группы, производный ряд рано или поздно стабилизируется на совершенной группе[en], то есть группе, коммутант которой совпадает с ней самой. Если эта группа тривиальна, исходная группа <math>G</math> называется разрешимой. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно стабилизируется за конечное число шагов, однако его можно доопределить при помощи трансфинитной индукции, получив трансфинитный производный ряд, который рано или поздно приведёт к совершенной группе.

Абелизация

Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы. Факторизация группы <math>G</math> по её коммутанту называется абелизацией и обозначается <math>G_{ab}</math> или <math>G^{ab}</math> или <math>\operatorname{Ab}(G)</math>.

Существует категорная интерпретация отображения <math>\varphi:G\to G^{ab}</math>. А именно, <math>\varphi</math> универсально по отношению ко всем гомоморфизмам из <math>G</math> в абелеву группу: для любого такого гомоморфизма <math>f:G\to H</math> существует единственный гомоморфизм <math>F:G^{ab}\to H</math>, такой что <math>f=F\circ \varphi</math>. Эквивалентным образом, забывающий функтор из категории абелевых групп в категорию всех групп имеет левый сопряжённый — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидным образом действующий на морфизмах.

Абелизацию группы <math>G</math> можно вычислить как первые целочисленные гомологии группы: <math>G_{ab} = H_1 (G, \mathbb{Z} )</math>.

Теорема Гуревича в алгебраической топологии утверждает, что для связного CW-комплекса <math>H_1(X)=\pi_1(X)_{ab}</math>. Таким образом теорию гомологий в топологии можно рассматривать как абелизацию теории гомотопий. Это утверждение можно сделать точным (теорема Дольда — Тома[en]).

Взаимный коммутант

Взаимный коммутант подмножеств <math>L, M</math> носителя группы <math>G</math> — подгруппа <math>[L, M]</math>, порождённая всеми коммутаторами вида <math>[l,m]: l\in L, m\in M</math>. Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.

Для произвольных элементов группы <math>g \in G</math> имеет место следующее соотношение:

<math>g[L,M]g^{-1}=[gLg^{-1},gMg^{-1}]</math>.

Коммутант кольца

Коммутант кольца <math>R</math> (также — квадрат кольца)[3] — идеал, порождённый всеми произведениями: <math>\{ab \mid a, b \in R\}</math>, обозначается <math>[R, R]</math> или <math>R^2</math>. Такое упрощение в сравнении с универсальным определением коммутанта возникает вследствие коммутативности аддитивной группы кольца — коммутатор элементов <math>r_1, r_2 \in R</math> всегда обращается нуль, а условие относительно дополнительной сигнатуры (кольцевого умножения) выражается необходимостью включения в порождающее множество всех элементов следующего вида:

<math>-r_1r_2 - s_1s_2 + (r_1+r_2)(s_1+s_2) = r_1s_2 + r_2s_1</math>.

Напишите отзыв о статье "Коммутант"

Примечания

  1. В английском языке коммутант группы называется «коммутаторной подгруппой» — англ. commutator subgroup, поэтому возможна путаница с понятием коммутатора элементов группы.
  2. Эту конструкцию не нужно путать с нижним центральным рядом группы, который определяется как <math>G_n := [G_{n-1},G]</math>, а не <math>G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}]</math>
  3. В теории колец коммутатором элементов называется другая комбинация: <math>[a, b] = ab - ba</math>, а коммутаторным идеалом называют идеал (кольца, алгебры), порождённый всеми коммутаторами; в литературе иногда такой коммутаторный идеал тоже называют коммутантом кольца (алгебры).

Литература

  • А. Г. Курош. Группы с мультиоператорами // Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1973. — С. 114—124. — 400 с. — 30 000 экз.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 5-е изд. — Лань, 2009. — 288 с. — ISBN 978-5-8114-0894-8.
  • Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
  • [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2301 Коммутант] — статья из Математической энциклопедии. Н. Н. Вильямc, О. А. Иванова.


Отрывок, характеризующий Коммутант

В отношении поднятия духа войска и народа, беспрестанно делались смотры, раздавались награды. Император разъезжал верхом по улицам и утешал жителей; и, несмотря на всю озабоченность государственными делами, сам посетил учрежденные по его приказанию театры.
В отношении благотворительности, лучшей доблести венценосцев, Наполеон делал тоже все, что от него зависело. На богоугодных заведениях он велел надписать Maison de ma mere [Дом моей матери], соединяя этим актом нежное сыновнее чувство с величием добродетели монарха. Он посетил Воспитательный дом и, дав облобызать свои белые руки спасенным им сиротам, милостиво беседовал с Тутолминым. Потом, по красноречивому изложению Тьера, он велел раздать жалованье своим войскам русскими, сделанными им, фальшивыми деньгами. Relevant l'emploi de ces moyens par un acte digue de lui et de l'armee Francaise, il fit distribuer des secours aux incendies. Mais les vivres etant trop precieux pour etre donnes a des etrangers la plupart ennemis, Napoleon aima mieux leur fournir de l'argent afin qu'ils se fournissent au dehors, et il leur fit distribuer des roubles papiers. [Возвышая употребление этих мер действием, достойным его и французской армии, он приказал раздать пособия погоревшим. Но, так как съестные припасы были слишком дороги для того, чтобы давать их людям чужой земли и по большей части враждебно расположенным, Наполеон счел лучшим дать им денег, чтобы они добывали себе продовольствие на стороне; и он приказал оделять их бумажными рублями.]
В отношении дисциплины армии, беспрестанно выдавались приказы о строгих взысканиях за неисполнение долга службы и о прекращении грабежа.

Х
Но странное дело, все эти распоряжения, заботы и планы, бывшие вовсе не хуже других, издаваемых в подобных же случаях, не затрогивали сущности дела, а, как стрелки циферблата в часах, отделенного от механизма, вертелись произвольно и бесцельно, не захватывая колес.
В военном отношении, гениальный план кампании, про который Тьер говорит; que son genie n'avait jamais rien imagine de plus profond, de plus habile et de plus admirable [гений его никогда не изобретал ничего более глубокого, более искусного и более удивительного] и относительно которого Тьер, вступая в полемику с г м Феном, доказывает, что составление этого гениального плана должно быть отнесено не к 4 му, а к 15 му октября, план этот никогда не был и не мог быть исполнен, потому что ничего не имел близкого к действительности. Укрепление Кремля, для которого надо было срыть la Mosquee [мечеть] (так Наполеон назвал церковь Василия Блаженного), оказалось совершенно бесполезным. Подведение мин под Кремлем только содействовало исполнению желания императора при выходе из Москвы, чтобы Кремль был взорван, то есть чтобы был побит тот пол, о который убился ребенок. Преследование русской армии, которое так озабочивало Наполеона, представило неслыханное явление. Французские военачальники потеряли шестидесятитысячную русскую армию, и только, по словам Тьера, искусству и, кажется, тоже гениальности Мюрата удалось найти, как булавку, эту шестидесятитысячную русскую армию.
В дипломатическом отношении, все доводы Наполеона о своем великодушии и справедливости, и перед Тутолминым, и перед Яковлевым, озабоченным преимущественно приобретением шинели и повозки, оказались бесполезны: Александр не принял этих послов и не отвечал на их посольство.
В отношении юридическом, после казни мнимых поджигателей сгорела другая половина Москвы.
В отношении административном, учреждение муниципалитета не остановило грабежа и принесло только пользу некоторым лицам, участвовавшим в этом муниципалитете и, под предлогом соблюдения порядка, грабившим Москву или сохранявшим свое от грабежа.
В отношении религиозном, так легко устроенное в Египте дело посредством посещения мечети, здесь не принесло никаких результатов. Два или три священника, найденные в Москве, попробовали исполнить волю Наполеона, но одного из них по щекам прибил французский солдат во время службы, а про другого доносил следующее французский чиновник: «Le pretre, que j'avais decouvert et invite a recommencer a dire la messe, a nettoye et ferme l'eglise. Cette nuit on est venu de nouveau enfoncer les portes, casser les cadenas, dechirer les livres et commettre d'autres desordres». [«Священник, которого я нашел и пригласил начать служить обедню, вычистил и запер церковь. В ту же ночь пришли опять ломать двери и замки, рвать книги и производить другие беспорядки».]
В торговом отношении, на провозглашение трудолюбивым ремесленникам и всем крестьянам не последовало никакого ответа. Трудолюбивых ремесленников не было, а крестьяне ловили тех комиссаров, которые слишком далеко заезжали с этим провозглашением, и убивали их.
В отношении увеселений народа и войска театрами, дело точно так же не удалось. Учрежденные в Кремле и в доме Познякова театры тотчас же закрылись, потому что ограбили актрис и актеров.
Благотворительность и та не принесла желаемых результатов. Фальшивые ассигнации и нефальшивые наполняли Москву и не имели цены. Для французов, собиравших добычу, нужно было только золото. Не только фальшивые ассигнации, которые Наполеон так милостиво раздавал несчастным, не имели цены, но серебро отдавалось ниже своей стоимости за золото.
Но самое поразительное явление недействительности высших распоряжений в то время было старание Наполеона остановить грабежи и восстановить дисциплину.
Вот что доносили чины армии.
«Грабежи продолжаются в городе, несмотря на повеление прекратить их. Порядок еще не восстановлен, и нет ни одного купца, отправляющего торговлю законным образом. Только маркитанты позволяют себе продавать, да и то награбленные вещи».
«La partie de mon arrondissement continue a etre en proie au pillage des soldats du 3 corps, qui, non contents d'arracher aux malheureux refugies dans des souterrains le peu qui leur reste, ont meme la ferocite de les blesser a coups de sabre, comme j'en ai vu plusieurs exemples».
«Rien de nouveau outre que les soldats se permettent de voler et de piller. Le 9 octobre».
«Le vol et le pillage continuent. Il y a une bande de voleurs dans notre district qu'il faudra faire arreter par de fortes gardes. Le 11 octobre».