Квазиклассическое приближение

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель и Крамерс и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)</math>

которое можно переписать в виде

<math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x)</math>

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

<math>\Psi(x) = e^{\Phi(x)}</math>

Φ должна удовлетворять уравнению

<math>\Phi(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)</math>

где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим <math>\Phi'(x)</math> на действительную и мнимую части вводя действительные функции A и B:

<math>\Phi'(x) = A(x) + i B(x)</math>

Тогда амплитуда волновой функции <math>e^{\int^x A(x')dx'}</math>, а фаза — <math>{\int^x B(x')dx'}</math>. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

<math>A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \;</math>

<math>B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;</math>

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням <math> \hbar </math>. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого <math> \hbar ^ {-1} </math>, чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.

<math>A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x)</math>

<math>B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x)</math>

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

<math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)</math>

<math>A_0(x) B_0(x) = 0</math>

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить <math>A_0(x) = 0</math> и получить

<math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }</math>

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

<math>\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}</math>

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим <math>B_0(x) = 0</math> и получим

<math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }</math>

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

<math>\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где <math> E = V (x) </math> и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота

Обозначим классическую точку поворота <math>x_1</math>. Вблизи <math>E=V(x_1)</math>, можно разложить <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)</math> в ряд.

<math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots</math>

Для первого порядка получим

<math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)</math>

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом

<math>\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)</math>

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между <math>C,\theta</math> и <math>C_{+},C_{-}</math>:

<math>C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>

<math>C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>

Что завершает построение глобального решения.

Литература

• В.Л. Покровский. [www.femto.com.ua/articles/part_1/1529.html Квазиклассическое приближение.] // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• [www.femto.com.ua/articles/part_1/0513.html ВКБ-метод.] // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• H. Фрёман, П. У. Фрёман. ВКБ-приближение. — M., 1967.
• В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М., 1976.

Отрывок, характеризующий Квазиклассическое приближение

Проехав гвардию и пустой промежуток, Ростов, для того чтобы не попасть опять в первую линию, как он попал под атаку кавалергардов, поехал по линии резервов, далеко объезжая то место, где слышалась самая жаркая стрельба и канонада. Вдруг впереди себя и позади наших войск, в таком месте, где он никак не мог предполагать неприятеля, он услыхал близкую ружейную стрельбу.
«Что это может быть? – подумал Ростов. – Неприятель в тылу наших войск? Не может быть, – подумал Ростов, и ужас страха за себя и за исход всего сражения вдруг нашел на него. – Что бы это ни было, однако, – подумал он, – теперь уже нечего объезжать. Я должен искать главнокомандующего здесь, и ежели всё погибло, то и мое дело погибнуть со всеми вместе».
Дурное предчувствие, нашедшее вдруг на Ростова, подтверждалось всё более и более, чем дальше он въезжал в занятое толпами разнородных войск пространство, находящееся за деревнею Працом.
– Что такое? Что такое? По ком стреляют? Кто стреляет? – спрашивал Ростов, ровняясь с русскими и австрийскими солдатами, бежавшими перемешанными толпами наперерез его дороги.
– А чорт их знает? Всех побил! Пропадай всё! – отвечали ему по русски, по немецки и по чешски толпы бегущих и непонимавших точно так же, как и он, того, что тут делалось.
– Бей немцев! – кричал один.
– А чорт их дери, – изменников.
– Zum Henker diese Ruesen… [К чорту этих русских…] – что то ворчал немец.
Несколько раненых шли по дороге. Ругательства, крики, стоны сливались в один общий гул. Стрельба затихла и, как потом узнал Ростов, стреляли друг в друга русские и австрийские солдаты.
«Боже мой! что ж это такое? – думал Ростов. – И здесь, где всякую минуту государь может увидать их… Но нет, это, верно, только несколько мерзавцев. Это пройдет, это не то, это не может быть, – думал он. – Только поскорее, поскорее проехать их!»
Мысль о поражении и бегстве не могла притти в голову Ростову. Хотя он и видел французские орудия и войска именно на Праценской горе, на той самой, где ему велено было отыскивать главнокомандующего, он не мог и не хотел верить этому.


Около деревни Праца Ростову велено было искать Кутузова и государя. Но здесь не только не было их, но не было ни одного начальника, а были разнородные толпы расстроенных войск.
Он погонял уставшую уже лошадь, чтобы скорее проехать эти толпы, но чем дальше он подвигался, тем толпы становились расстроеннее. По большой дороге, на которую он выехал, толпились коляски, экипажи всех сортов, русские и австрийские солдаты, всех родов войск, раненые и нераненые. Всё это гудело и смешанно копошилось под мрачный звук летавших ядер с французских батарей, поставленных на Праценских высотах.
– Где государь? где Кутузов? – спрашивал Ростов у всех, кого мог остановить, и ни от кого не мог получить ответа.
Наконец, ухватив за воротник солдата, он заставил его ответить себе.
– Э! брат! Уж давно все там, вперед удрали! – сказал Ростову солдат, смеясь чему то и вырываясь.
Оставив этого солдата, который, очевидно, был пьян, Ростов остановил лошадь денщика или берейтора важного лица и стал расспрашивать его. Денщик объявил Ростову, что государя с час тому назад провезли во весь дух в карете по этой самой дороге, и что государь опасно ранен.
– Не может быть, – сказал Ростов, – верно, другой кто.
– Сам я видел, – сказал денщик с самоуверенной усмешкой. – Уж мне то пора знать государя: кажется, сколько раз в Петербурге вот так то видал. Бледный, пребледный в карете сидит. Четверню вороных как припустит, батюшки мои, мимо нас прогремел: пора, кажется, и царских лошадей и Илью Иваныча знать; кажется, с другим как с царем Илья кучер не ездит.
Ростов пустил его лошадь и хотел ехать дальше. Шедший мимо раненый офицер обратился к нему.
– Да вам кого нужно? – спросил офицер. – Главнокомандующего? Так убит ядром, в грудь убит при нашем полку.
– Не убит, ранен, – поправил другой офицер.
– Да кто? Кутузов? – спросил Ростов.
– Не Кутузов, а как бишь его, – ну, да всё одно, живых не много осталось. Вон туда ступайте, вон к той деревне, там всё начальство собралось, – сказал этот офицер, указывая на деревню Гостиерадек, и прошел мимо.
Ростов ехал шагом, не зная, зачем и к кому он теперь поедет. Государь ранен, сражение проиграно. Нельзя было не верить этому теперь. Ростов ехал по тому направлению, которое ему указали и по которому виднелись вдалеке башня и церковь. Куда ему было торопиться? Что ему было теперь говорить государю или Кутузову, ежели бы даже они и были живы и не ранены?
– Этой дорогой, ваше благородие, поезжайте, а тут прямо убьют, – закричал ему солдат. – Тут убьют!