Квазиправильный многогранник

Квазиправильный многогранник — полуправильный многогранник, который имеет в точности два вида правильных граней, поочерёдно следующие вокруг каждой вершины. Эти многогранники рёберно транзитивны, а потому на шаг ближе к правильным многогранникам, чем полуправильные, которые лишь вершинно транзитивны.

Квазиправильные фигуры

(3.3)2	(3.4)2	(3.5)2	(3.6)2	(3.7)2	(3.8)2	(3.∞)2
<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 6 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 7 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 8 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ \infin \end{Bmatrix}</math>
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}	r{3,7}	r{3,8}	r{3,∞}
Квазиправильные многогранники или мозаики имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры являются прямоугольниками.

Существует только два выпуклых квазиправильных многогранника, кубооктаэдр и икосододекаэдр. Имена этих многогранников, данные Кеплером, происходят от понимания, что их грани содержат все грани двойственной пары куба и октаэдра в первом случае, и двойственной пары икосаэдра и додекаэдра во втором.

Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным символом Шлефли <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> или r{p, q} для представления граней как правильного {p, q}, так и двойственного {q, p} многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет вершинную конфигурацию p.q.p.q (или (p.q)²).

В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь вершинную конфигурацию (p.q)^r, представляющую r (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.

Мозаики на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности тришестиугольная мозаика с вершинной конфигурацией (3.6)². Другие квазиправильные мозаики существуют в гиперболической плоскости, например, трисемиугольная мозаика (3.7)². Сюда входят мозаики (p.q)², с 1/p+1/q<1/2.

Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p)^q/2, если q чётно.

Правильные и квазиправильные фигуры

Прямоугольные треугольники (p p 2)
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
<math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 6 \\ 6 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 7 \\ 7 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} 8 \\ 8 \end{Bmatrix}</math>	<math>\begin{Bmatrix} \infin \\ \infin \end{Bmatrix}</math>
(3.3)2	(4.4)2	(5.5)2	(6.6)2	(7.7)2	(8.8)2	(∞.∞)2
	Квадратный паркет	5-угольная мозаика 4-го порядка	6-угольная мозаика 4-го порядка	7-угольная мозаика 4-го порядка	8-угольная мозаика 4-го порядка	∞-угольная мозаика 4-го порядка
Треугольники общего вида (p p 3)
{3,6}	{4,6}	{5,6}	{6,6}	{7,6}	{8,6}	{∞,6}
(3.3)3	(4.4)3	(5.5)3	(6.6)3	(7.7)3	(8.8)3	(∞.∞)3
Треугольники общего вида (p p 4)
{3,8}	{4,8}	{5,8}	{6,8}	{7,8}	{8,8}	{∞,8}
(3.3)4	(4.4)4	(5.5)4	(6.6)4	(7.7)4	(8.8)4	(∞.∞)4
Правильный многогранник или мозаика могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета).

Октаэдр можно считать квазиправильным как тетратетраэдр, (3_a.3_b)², с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом квадратную мозаику (4_a.4_b)² можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле шахматной доски. Также и грани треугольной мозаики могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3_a.3_b)³.

Построение Визоффа

Правильные (p | 2 q) и квазиправильные многогранники (2 | p q) получаются построением Визоффа с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий Символ Визоффа вида p | q r, и он будет правильным, если q=2 или q=r .

Диаграммы Коксетера — Дынкина является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами:

Символ Шлефли		Диаграммы Коксетера — Дынкина	Символ Визоффа
<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>	{p, q}		q | 2 p
<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>	{q, p}		p | 2 q
<math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>	r{p, q}		2 | p q

Выпуклые квазиправильные многогранники

Подробное рассмотрение темы: Полное усечение (геометрия)

Существует два выпуклых квазиправильных многогранника:

1. Кубооктаэдр <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>, вершинная конфигурация (3.4)², диаграмма Коксетера — Дынкина
2. Икосододекаэдр <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>, вершинная конфигурация (3.5)², диаграмма Коксетера — Дынкина

Кроме того, октаэдр, являющийся также правильным, <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, с вершинной конфигурацией (3.3)², может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников. Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно куб + октаэдр и икосаэдр + додекаэдр. Октаэдр является ядром двойственной пары тетраэдров, и при таком способе получения обычно называют его тетратетраэдром.

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетратетраэдр r{3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Куб {4,3} 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} 4 | 2 3	Кубооктаэдр r{3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5	Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3	Икосододекаэдр r{3,4} 2 | 3 5	3.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью полного усечения любого из родителей, усекая рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

Квазиправильные мозаики

Эту последовательность продолжает тришестиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.6.3.6 — квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике.

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
шестиугольная мозаика {6,3} 6 | 2 3	треугольная мозаика {3,6} 3 | 2 6	тришестиугольная мозаика r{5,3} 2 | 3 6	3.6.3.6

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской квадратной мозаики с вершинной фигурой 4.4.4.4:

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r{4,4} 2 | 4 4	4.4.4.4

Треугольную мозаику можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3)³:

h{6,3} 3 | 3 3 =

На гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) эта последовательность продолжается дальше, например, трисемиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.7.3.7 — это квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике.

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Семиугольная мозаика {7,3} 7 | 2 3	Треугольный паркет {3,7} 3 | 2 7	Трисемиугольная мозаика r{3,7} 2 | 3 7	3.7.3.7

Невыпуклые примеры

Коксетер и др. (1954) классифицировали также некоторые звёздчатые многогранники, имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных тел Кеплера — Пуансо.

Большой икосододекаэдр <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix}</math> и додекододекаэдр <math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}</math>:

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Большой звёздчатый додекаэдр {5/2,3} 3 | 2 5/2	Большой икосаэдр {3,5/2} 5/2 | 2 3	Большой икосододекаэдр r{3,5/2} 2 | 3 5/2	3.5/2.3.5/2
Малый звёздчатый додекаэдр {5/2,5} 5 | 2 5/2	Большой додекаэдр {5,5/2} 5/2 | 2 5	Додекододекаэдр r{5,5/2} 2 | 5 5/2	5.5/2.5.5/2

Наконец, существует три битригональных вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней:

Рисунок	Название многогранника Символ Визоффа Диаграмма Коксетера	Вершинная фигура
	Битреугольный додекододекаэдр 3 | 5/3 5 or	(5.5/3)3
	Малый битреугольный икосододекаэдр 3 | 5/2 3 or	(3.5/2)3
	Большой битреугольный икосододекаэдр 3/2 | 3 5 or	((3.5)3)/2

Квазиправильные двойственные

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными телами Каталана. Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше):

1. Ромбододекаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями.
2. Ромботриаконтаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, куб, являющийся правильным, может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их конфигурация грани имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Коксетера — Дынкина

Куб V(3.3)2	Ромбододекаэдр V(3.4)2	Ромботри- аконтаэдр V(3.5)2	Ромбическая мозаика V(3.6)2	V(3.7)2	V(3.8)2

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием ромбических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6)², ромбическая мозаика.

Квазиправильные многогранники в 4-мерном пространстве и квазиправильные соты

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный шестнадцатиячейник можно считать квазиправильным как альтернированный тессеракт, h{4,3,3}, Диаграммы Коксетера — Дынкина: = , состоящий из альтернированных тетраэдраэдральных и тетраэдральных ячеек. Его вершинная фигура — это квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдральной симметрией), .

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — альтернированные кубические соты, h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: = , состоящие из альтернированных тетраэдральных и октаэдральных ячеек. Их вершинные фигуры являются квазиправильными кубооктаэдрами, .

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются альтернированные кубические соты 5-го порядка, h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: = , составленные из альтернированных тетраэдральных и икосаэдраьных ячеек. Вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр, . Связанные паракомпактные альтернированные кубические соты 6-го порядка, h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является тришестиугольной мозаикой, .

Квазиправильные многогранники и соты: h{4,p,q}

Пространство	Конечное	Аффинное	Компактное	Паракомпактное
Название	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	<math>\left\{3,{3\atop3}\right\}</math>	<math>\left\{3,{3\atop4}\right\}</math>	<math>\left\{3,{3\atop5}\right\}</math>	<math>\left\{3,{3\atop6}\right\}</math>	<math>\left\{4,{3\atop4}\right\}</math>	<math>\left\{4,{4\atop4}\right\}</math>
Диаграмма Коксетера
Рисунок
Вершинная фигура r{p,3}

Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или как и получить квазиправильный вид , создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых кубических сот {4,3,4} с кубическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с додекаэдральными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными шестиугольными мозаичными ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные тетраэдры, = .

Правильные и квазиправильные соты: {p,3,4} и {p,3^1,1}

Пространство	Евклидово 4-мерное	Евклидово 3-мерное	Гиперболическое 3-мерное
Название	{3,3,4} {3,31,1} = <math>\left\{3,{3\atop3}\right\}</math>	{4,3,4} {4,31,1} = <math>\left\{4,{3\atop3}\right\}</math>	{5,3,4} {5,31,1} = <math>\left\{5,{3\atop3}\right\}</math>	{6,3,4} {6,31,1} = <math>\left\{6,{3\atop3}\right\}</math>
Диаграмма Коксетера	=	=	=	=
Рисунок
Ячейки {p,3}

Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или как и получить квазиправильный вид , задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные треугольные мозаики, .

Гиперболические однородные соты: {p,3,6} и {p,3^[3]}

Вид	Паракомпактные				Некомпактные
Название	{3,3,6} {3,3[3]}	{4,3,6} {4,3[3]}	{5,3,6} {5,3[3]}	{6,3,6} {6,3[3]}	{7,3,6} {7,3[3]}	{8,3,6} {8,3[3]}	... {∞,3,6} {∞,3[3]}
Рисунок
Ячейки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

См. также

• Хиральный многогранник
• Полное усечение (геометрия)

Литература

• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-55432-2.
• H.S.M Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8. (стр.17 Глава 2.3: Quasi-Regular Polyhedra, стр. 69 Quasi-regular honeycombs p.69
• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN [www.sigla.ru/table.jsp?f=8&t=3&v0=0080-4614&f=1003&t=1&v1=&f=4&t=2&v2=&f=21&t=3&v3=&f=1016&t=3&v4=&f=1016&t=3&v5=&bf=4&b=&d=0&ys=&ye=&lng=&ft=&mt=&dt=&vol=&pt=&iss=&ps=&pe=&tr=&tro=&cc=UNION&i=1&v=tagged&s=0&ss=0&st=0&i18n=ru&rlf=&psz=20&bs=20&ce=hJfuypee8JzzufeGmImYYIpZKRJeeOeeWGJIZRrRRrdmtdeee88NJJJJpeeefTJ3peKJJ3UWWPtzzzzzzzzzzzzzzzzzbzzvzzpy5zzjzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzztzzzzzzzbzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvzzzzzzyeyTjkDnyHzTuueKZePz9decyzzLzzzL*.c8.NzrGJJvufeeeeeJheeyzjeeeeJh*peeeeKJJJJJJJJJJmjHvOJJJJJJJJJfeeeieeeeSJJJJJSJJJ3TeIJJJJ3..E.UEAcyhxD.eeeeeuzzzLJJJJ5.e8JJJheeeeeeeeeeeeyeeK3JJJJJJJJ*s7defeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeSJJJJJJJJZIJJzzz1..6LJJJJJJtJJZ4....EK*&debug=false 0080-4614]. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003. (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra p | q r)

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/QuasiregularPolyhedron.html Quasiregular polyhedron] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html Uniform polyhedron] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Quasi-regular polyhedra: (p.q)^r
• George Hart, [www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html Quasiregular polyhedra]

Отрывок, характеризующий Квазиправильный многогранник

– Я боюсь за ребенка, – говорила она m lle Bourienne, – Бог знает, что может сделаться от испуга.
Вообще маленькая княгиня жила в Лысых Горах постоянно под чувством страха и антипатии к старому князю, которой она не сознавала, потому что страх так преобладал, что она не могла чувствовать ее. Со стороны князя была тоже антипатия, но она заглушалась презрением. Княгиня, обжившись в Лысых Горах, особенно полюбила m lle Bourienne, проводила с нею дни, просила ее ночевать с собой и с нею часто говорила о свекоре и судила его.
– Il nous arrive du monde, mon prince, [К нам едут гости, князь.] – сказала m lle Bourienne, своими розовенькими руками развертывая белую салфетку. – Son excellence le рrince Kouraguine avec son fils, a ce que j'ai entendu dire? [Его сиятельство князь Курагин с сыном, сколько я слышала?] – вопросительно сказала она.
– Гм… эта excellence мальчишка… я его определил в коллегию, – оскорбленно сказал князь. – А сын зачем, не могу понять. Княгиня Лизавета Карловна и княжна Марья, может, знают; я не знаю, к чему он везет этого сына сюда. Мне не нужно. – И он посмотрел на покрасневшую дочь.
– Нездорова, что ли? От страха министра, как нынче этот болван Алпатыч сказал.
– Нет, mon pere. [батюшка.]
Как ни неудачно попала m lle Bourienne на предмет разговора, она не остановилась и болтала об оранжереях, о красоте нового распустившегося цветка, и князь после супа смягчился.
После обеда он прошел к невестке. Маленькая княгиня сидела за маленьким столиком и болтала с Машей, горничной. Она побледнела, увидав свекора.
Маленькая княгиня очень переменилась. Она скорее была дурна, нежели хороша, теперь. Щеки опустились, губа поднялась кверху, глаза были обтянуты книзу.
– Да, тяжесть какая то, – отвечала она на вопрос князя, что она чувствует.
– Не нужно ли чего?
– Нет, merci, mon pere. [благодарю, батюшка.]
– Ну, хорошо, хорошо.
Он вышел и дошел до официантской. Алпатыч, нагнув голову, стоял в официантской.
– Закидана дорога?
– Закидана, ваше сиятельство; простите, ради Бога, по одной глупости.
Князь перебил его и засмеялся своим неестественным смехом.
– Ну, хорошо, хорошо.
Он протянул руку, которую поцеловал Алпатыч, и прошел в кабинет.
Вечером приехал князь Василий. Его встретили на прешпекте (так назывался проспект) кучера и официанты, с криком провезли его возки и сани к флигелю по нарочно засыпанной снегом дороге.
Князю Василью и Анатолю были отведены отдельные комнаты.
Анатоль сидел, сняв камзол и подпершись руками в бока, перед столом, на угол которого он, улыбаясь, пристально и рассеянно устремил свои прекрасные большие глаза. На всю жизнь свою он смотрел как на непрерывное увеселение, которое кто то такой почему то обязался устроить для него. Так же и теперь он смотрел на свою поездку к злому старику и к богатой уродливой наследнице. Всё это могло выйти, по его предположению, очень хорошо и забавно. А отчего же не жениться, коли она очень богата? Это никогда не мешает, думал Анатоль.
Он выбрился, надушился с тщательностью и щегольством, сделавшимися его привычкою, и с прирожденным ему добродушно победительным выражением, высоко неся красивую голову, вошел в комнату к отцу. Около князя Василья хлопотали его два камердинера, одевая его; он сам оживленно оглядывался вокруг себя и весело кивнул входившему сыну, как будто он говорил: «Так, таким мне тебя и надо!»
– Нет, без шуток, батюшка, она очень уродлива? А? – спросил он, как бы продолжая разговор, не раз веденный во время путешествия.
– Полно. Глупости! Главное дело – старайся быть почтителен и благоразумен с старым князем.
– Ежели он будет браниться, я уйду, – сказал Анатоль. – Я этих стариков терпеть не могу. А?
– Помни, что для тебя от этого зависит всё.
В это время в девичьей не только был известен приезд министра с сыном, но внешний вид их обоих был уже подробно описан. Княжна Марья сидела одна в своей комнате и тщетно пыталась преодолеть свое внутреннее волнение.
«Зачем они писали, зачем Лиза говорила мне про это? Ведь этого не может быть! – говорила она себе, взглядывая в зеркало. – Как я выйду в гостиную? Ежели бы он даже мне понравился, я бы не могла быть теперь с ним сама собою». Одна мысль о взгляде ее отца приводила ее в ужас.
Маленькая княгиня и m lle Bourienne получили уже все нужные сведения от горничной Маши о том, какой румяный, чернобровый красавец был министерский сын, и о том, как папенька их насилу ноги проволок на лестницу, а он, как орел, шагая по три ступеньки, пробежал зa ним. Получив эти сведения, маленькая княгиня с m lle Bourienne,еще из коридора слышные своими оживленно переговаривавшими голосами, вошли в комнату княжны.
– Ils sont arrives, Marieie, [Они приехали, Мари,] вы знаете? – сказала маленькая княгиня, переваливаясь своим животом и тяжело опускаясь на кресло.
Она уже не была в той блузе, в которой сидела поутру, а на ней было одно из лучших ее платьев; голова ее была тщательно убрана, и на лице ее было оживление, не скрывавшее, однако, опустившихся и помертвевших очертаний лица. В том наряде, в котором она бывала обыкновенно в обществах в Петербурге, еще заметнее было, как много она подурнела. На m lle Bourienne тоже появилось уже незаметно какое то усовершенствование наряда, которое придавало ее хорошенькому, свеженькому лицу еще более привлекательности.
– Eh bien, et vous restez comme vous etes, chere princesse? – заговорила она. – On va venir annoncer, que ces messieurs sont au salon; il faudra descendre, et vous ne faites pas un petit brin de toilette! [Ну, а вы остаетесь, в чем были, княжна? Сейчас придут сказать, что они вышли. Надо будет итти вниз, а вы хоть бы чуть чуть принарядились!]
Маленькая княгиня поднялась с кресла, позвонила горничную и поспешно и весело принялась придумывать наряд для княжны Марьи и приводить его в исполнение. Княжна Марья чувствовала себя оскорбленной в чувстве собственного достоинства тем, что приезд обещанного ей жениха волновал ее, и еще более она была оскорблена тем, что обе ее подруги и не предполагали, чтобы это могло быть иначе. Сказать им, как ей совестно было за себя и за них, это значило выдать свое волнение; кроме того отказаться от наряжения, которое предлагали ей, повело бы к продолжительным шуткам и настаиваниям. Она вспыхнула, прекрасные глаза ее потухли, лицо ее покрылось пятнами и с тем некрасивым выражением жертвы, чаще всего останавливающемся на ее лице, она отдалась во власть m lle Bourienne и Лизы. Обе женщины заботились совершенно искренно о том, чтобы сделать ее красивой. Она была так дурна, что ни одной из них не могла притти мысль о соперничестве с нею; поэтому они совершенно искренно, с тем наивным и твердым убеждением женщин, что наряд может сделать лицо красивым, принялись за ее одеванье.
– Нет, право, ma bonne amie, [мой добрый друг,] это платье нехорошо, – говорила Лиза, издалека боком взглядывая на княжну. – Вели подать, у тебя там есть масака. Право! Что ж, ведь это, может быть, судьба жизни решается. А это слишком светло, нехорошо, нет, нехорошо!
Нехорошо было не платье, но лицо и вся фигура княжны, но этого не чувствовали m lle Bourienne и маленькая княгиня; им все казалось, что ежели приложить голубую ленту к волосам, зачесанным кверху, и спустить голубой шарф с коричневого платья и т. п., то всё будет хорошо. Они забывали, что испуганное лицо и фигуру нельзя было изменить, и потому, как они ни видоизменяли раму и украшение этого лица, само лицо оставалось жалко и некрасиво. После двух или трех перемен, которым покорно подчинялась княжна Марья, в ту минуту, как она была зачесана кверху (прическа, совершенно изменявшая и портившая ее лицо), в голубом шарфе и масака нарядном платье, маленькая княгиня раза два обошла кругом нее, маленькой ручкой оправила тут складку платья, там подернула шарф и посмотрела, склонив голову, то с той, то с другой стороны.
– Нет, это нельзя, – сказала она решительно, всплеснув руками. – Non, Marie, decidement ca ne vous va pas. Je vous aime mieux dans votre petite robe grise de tous les jours. Non, de grace, faites cela pour moi. [Нет, Мари, решительно это не идет к вам. Я вас лучше люблю в вашем сереньком ежедневном платьице: пожалуйста, сделайте это для меня.] Катя, – сказала она горничной, – принеси княжне серенькое платье, и посмотрите, m lle Bourienne, как я это устрою, – сказала она с улыбкой предвкушения артистической радости.
Но когда Катя принесла требуемое платье, княжна Марья неподвижно всё сидела перед зеркалом, глядя на свое лицо, и в зеркале увидала, что в глазах ее стоят слезы, и что рот ее дрожит, приготовляясь к рыданиям.
– Voyons, chere princesse, – сказала m lle Bourienne, – encore un petit effort. [Ну, княжна, еще маленькое усилие.]
Маленькая княгиня, взяв платье из рук горничной, подходила к княжне Марье.
– Нет, теперь мы это сделаем просто, мило, – говорила она.
Голоса ее, m lle Bourienne и Кати, которая о чем то засмеялась, сливались в веселое лепетанье, похожее на пение птиц.
– Non, laissez moi, [Нет, оставьте меня,] – сказала княжна.
И голос ее звучал такой серьезностью и страданием, что лепетанье птиц тотчас же замолкло. Они посмотрели на большие, прекрасные глаза, полные слез и мысли, ясно и умоляюще смотревшие на них, и поняли, что настаивать бесполезно и даже жестоко.
– Au moins changez de coiffure, – сказала маленькая княгиня. – Je vous disais, – с упреком сказала она, обращаясь к m lle Bourienne, – Marieie a une de ces figures, auxquelles ce genre de coiffure ne va pas du tout. Mais du tout, du tout. Changez de grace. [По крайней мере, перемените прическу. У Мари одно из тех лиц, которым этот род прически совсем нейдет. Перемените, пожалуйста.]
– Laissez moi, laissez moi, tout ca m'est parfaitement egal, [Оставьте меня, мне всё равно,] – отвечал голос, едва удерживающий слезы.
M lle Bourienne и маленькая княгиня должны были признаться самим себе, что княжна. Марья в этом виде была очень дурна, хуже, чем всегда; но было уже поздно. Она смотрела на них с тем выражением, которое они знали, выражением мысли и грусти. Выражение это не внушало им страха к княжне Марье. (Этого чувства она никому не внушала.) Но они знали, что когда на ее лице появлялось это выражение, она была молчалива и непоколебима в своих решениях.
– Vous changerez, n'est ce pas? [Вы перемените, не правда ли?] – сказала Лиза, и когда княжна Марья ничего не ответила, Лиза вышла из комнаты.
Княжна Марья осталась одна. Она не исполнила желания Лизы и не только не переменила прически, но и не взглянула на себя в зеркало. Она, бессильно опустив глаза и руки, молча сидела и думала. Ей представлялся муж, мужчина, сильное, преобладающее и непонятно привлекательное существо, переносящее ее вдруг в свой, совершенно другой, счастливый мир. Ребенок свой, такой, какого она видела вчера у дочери кормилицы, – представлялся ей у своей собственной груди. Муж стоит и нежно смотрит на нее и ребенка. «Но нет, это невозможно: я слишком дурна», думала она.
– Пожалуйте к чаю. Князь сейчас выйдут, – сказал из за двери голос горничной.
Она очнулась и ужаснулась тому, о чем она думала. И прежде чем итти вниз, она встала, вошла в образную и, устремив на освещенный лампадой черный лик большого образа Спасителя, простояла перед ним с сложенными несколько минут руками. В душе княжны Марьи было мучительное сомненье. Возможна ли для нее радость любви, земной любви к мужчине? В помышлениях о браке княжне Марье мечталось и семейное счастие, и дети, но главною, сильнейшею и затаенною ее мечтою была любовь земная. Чувство было тем сильнее, чем более она старалась скрывать его от других и даже от самой себя. Боже мой, – говорила она, – как мне подавить в сердце своем эти мысли дьявола? Как мне отказаться так, навсегда от злых помыслов, чтобы спокойно исполнять Твою волю? И едва она сделала этот вопрос, как Бог уже отвечал ей в ее собственном сердце: «Не желай ничего для себя; не ищи, не волнуйся, не завидуй. Будущее людей и твоя судьба должна быть неизвестна тебе; но живи так, чтобы быть готовой ко всему. Если Богу угодно будет испытать тебя в обязанностях брака, будь готова исполнить Его волю». С этой успокоительной мыслью (но всё таки с надеждой на исполнение своей запрещенной, земной мечты) княжна Марья, вздохнув, перекрестилась и сошла вниз, не думая ни о своем платье, ни о прическе, ни о том, как она войдет и что скажет. Что могло всё это значить в сравнении с предопределением Бога, без воли Которого не падет ни один волос с головы человеческой.


Когда княжна Марья взошла в комнату, князь Василий с сыном уже были в гостиной, разговаривая с маленькой княгиней и m lle Bourienne. Когда она вошла своей тяжелой походкой, ступая на пятки, мужчины и m lle Bourienne приподнялись, и маленькая княгиня, указывая на нее мужчинам, сказала: Voila Marie! [Вот Мари!] Княжна Марья видела всех и подробно видела. Она видела лицо князя Василья, на мгновенье серьезно остановившееся при виде княжны и тотчас же улыбнувшееся, и лицо маленькой княгини, читавшей с любопытством на лицах гостей впечатление, которое произведет на них Marie. Она видела и m lle Bourienne с ее лентой и красивым лицом и оживленным, как никогда, взглядом, устремленным на него; но она не могла видеть его, она видела только что то большое, яркое и прекрасное, подвинувшееся к ней, когда она вошла в комнату. Сначала к ней подошел князь Василий, и она поцеловала плешивую голову, наклонившуюся над ее рукою, и отвечала на его слова, что она, напротив, очень хорошо помнит его. Потом к ней подошел Анатоль. Она всё еще не видала его. Она только почувствовала нежную руку, твердо взявшую ее, и чуть дотронулась до белого лба, над которым были припомажены прекрасные русые волосы. Когда она взглянула на него, красота его поразила ее. Анатопь, заложив большой палец правой руки за застегнутую пуговицу мундира, с выгнутой вперед грудью, а назад – спиною, покачивая одной отставленной ногой и слегка склонив голову, молча, весело глядел на княжну, видимо совершенно о ней не думая. Анатоль был не находчив, не быстр и не красноречив в разговорах, но у него зато была драгоценная для света способность спокойствия и ничем не изменяемая уверенность. Замолчи при первом знакомстве несамоуверенный человек и выкажи сознание неприличности этого молчания и желание найти что нибудь, и будет нехорошо; но Анатоль молчал, покачивал ногой, весело наблюдая прическу княжны. Видно было, что он так спокойно мог молчать очень долго. «Ежели кому неловко это молчание, так разговаривайте, а мне не хочется», как будто говорил его вид. Кроме того в обращении с женщинами у Анатоля была та манера, которая более всего внушает в женщинах любопытство, страх и даже любовь, – манера презрительного сознания своего превосходства. Как будто он говорил им своим видом: «Знаю вас, знаю, да что с вами возиться? А уж вы бы рады!» Может быть, что он этого не думал, встречаясь с женщинами (и даже вероятно, что нет, потому что он вообще мало думал), но такой у него был вид и такая манера. Княжна почувствовала это и, как будто желая ему показать, что она и не смеет думать об том, чтобы занять его, обратилась к старому князю. Разговор шел общий и оживленный, благодаря голоску и губке с усиками, поднимавшейся над белыми зубами маленькой княгини. Она встретила князя Василья с тем приемом шуточки, который часто употребляется болтливо веселыми людьми и который состоит в том, что между человеком, с которым так обращаются, и собой предполагают какие то давно установившиеся шуточки и веселые, отчасти не всем известные, забавные воспоминания, тогда как никаких таких воспоминаний нет, как их и не было между маленькой княгиней и князем Васильем. Князь Василий охотно поддался этому тону; маленькая княгиня вовлекла в это воспоминание никогда не бывших смешных происшествий и Анатоля, которого она почти не знала. M lle Bourienne тоже разделяла эти общие воспоминания, и даже княжна Марья с удовольствием почувствовала и себя втянутою в это веселое воспоминание.
– Вот, по крайней мере, мы вами теперь вполне воспользуемся, милый князь, – говорила маленькая княгиня, разумеется по французски, князю Василью, – это не так, как на наших вечерах у Annette, где вы всегда убежите; помните cette chere Annette? [милую Аннет?]
– А, да вы мне не подите говорить про политику, как Annette!
– А наш чайный столик?
– О, да!
– Отчего вы никогда не бывали у Annette? – спросила маленькая княгиня у Анатоля. – А я знаю, знаю, – сказала она, подмигнув, – ваш брат Ипполит мне рассказывал про ваши дела. – О! – Она погрозила ему пальчиком. – Еще в Париже ваши проказы знаю!
– А он, Ипполит, тебе не говорил? – сказал князь Василий (обращаясь к сыну и схватив за руку княгиню, как будто она хотела убежать, а он едва успел удержать ее), – а он тебе не говорил, как он сам, Ипполит, иссыхал по милой княгине и как она le mettait a la porte? [выгнала его из дома?]
– Oh! C'est la perle des femmes, princesse! [Ах! это перл женщин, княжна!] – обратился он к княжне.
С своей стороны m lle Bourienne не упустила случая при слове Париж вступить тоже в общий разговор воспоминаний. Она позволила себе спросить, давно ли Анатоль оставил Париж, и как понравился ему этот город. Анатоль весьма охотно отвечал француженке и, улыбаясь, глядя на нее, разговаривал с нею про ее отечество. Увидав хорошенькую Bourienne, Анатоль решил, что и здесь, в Лысых Горах, будет нескучно. «Очень недурна! – думал он, оглядывая ее, – очень недурна эта demoiselle de compagn. [компаньонка.] Надеюсь, что она возьмет ее с собой, когда выйдет за меня, – подумал он, – la petite est gentille». [малютка – мила.]
Старый князь неторопливо одевался в кабинете, хмурясь и обдумывая то, что ему делать. Приезд этих гостей сердил его. «Что мне князь Василий и его сынок? Князь Василий хвастунишка, пустой, ну и сын хорош должен быть», ворчал он про себя. Его сердило то, что приезд этих гостей поднимал в его душе нерешенный, постоянно заглушаемый вопрос, – вопрос, насчет которого старый князь всегда сам себя обманывал. Вопрос состоял в том, решится ли он когда либо расстаться с княжной Марьей и отдать ее мужу. Князь никогда прямо не решался задавать себе этот вопрос, зная вперед, что он ответил бы по справедливости, а справедливость противоречила больше чем чувству, а всей возможности его жизни. Жизнь без княжны Марьи князю Николаю Андреевичу, несмотря на то, что он, казалось, мало дорожил ею, была немыслима. «И к чему ей выходить замуж? – думал он, – наверно, быть несчастной. Вон Лиза за Андреем (лучше мужа теперь, кажется, трудно найти), а разве она довольна своей судьбой? И кто ее возьмет из любви? Дурна, неловка. Возьмут за связи, за богатство. И разве не живут в девках? Еще счастливее!» Так думал, одеваясь, князь Николай Андреевич, а вместе с тем всё откладываемый вопрос требовал немедленного решения. Князь Василий привез своего сына, очевидно, с намерением сделать предложение и, вероятно, нынче или завтра потребует прямого ответа. Имя, положение в свете приличное. «Что ж, я не прочь, – говорил сам себе князь, – но пусть он будет стоить ее. Вот это то мы и посмотрим».
– Это то мы и посмотрим, – проговорил он вслух. – Это то мы и посмотрим.
И он, как всегда, бодрыми шагами вошел в гостиную, быстро окинул глазами всех, заметил и перемену платья маленькой княгини, и ленточку Bourienne, и уродливую прическу княжны Марьи, и улыбки Bourienne и Анатоля, и одиночество своей княжны в общем разговоре. «Убралась, как дура! – подумал он, злобно взглянув на дочь. – Стыда нет: а он ее и знать не хочет!»
Он подошел к князю Василью.
– Ну, здравствуй, здравствуй; рад видеть.
– Для мила дружка семь верст не околица, – заговорил князь Василий, как всегда, быстро, самоуверенно и фамильярно. – Вот мой второй, прошу любить и жаловать.
Князь Николай Андреевич оглядел Анатоля. – Молодец, молодец! – сказал он, – ну, поди поцелуй, – и он подставил ему щеку.
Анатоль поцеловал старика и любопытно и совершенно спокойно смотрел на него, ожидая, скоро ли произойдет от него обещанное отцом чудацкое.
Князь Николай Андреевич сел на свое обычное место в угол дивана, подвинул к себе кресло для князя Василья, указал на него и стал расспрашивать о политических делах и новостях. Он слушал как будто со вниманием рассказ князя Василья, но беспрестанно взглядывал на княжну Марью.
– Так уж из Потсдама пишут? – повторил он последние слова князя Василья и вдруг, встав, подошел к дочери.
– Это ты для гостей так убралась, а? – сказал он. – Хороша, очень хороша. Ты при гостях причесана по новому, а я при гостях тебе говорю, что вперед не смей ты переодеваться без моего спроса.
– Это я, mon pиre, [батюшка,] виновата, – краснея, заступилась маленькая княгиня.
– Вам полная воля с, – сказал князь Николай Андреевич, расшаркиваясь перед невесткой, – а ей уродовать себя нечего – и так дурна.