Слегка избыточные числа
Слегка́ избы́точное число́, или квазисовершенное число — избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа.
До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора, впервые попытавшегося решить эту проблему, математики не могут доказать, что слегка избыточных чисел не существует. Известно лишь, что (если слегка избыточные числа существуют) они должны быть больше 1035 и иметь не менее 7 различных простых делителей.
Необходимое условие
Сумму собственных делителей <math>S</math> натурального числа <math>x </math> можно найти, отняв от суммы всех делителей исходное число.
<math>S(x) = \sigma (x) - x </math>.
По определению для слегка избыточных чисел <math>S(x) = x+1 </math>. Тогда <math>\sigma (x) = 2x+1 </math> — нечётное. Значит, в произведении
<math>\sigma (x) = (1+p_1+p_1^2+ \ldots + p_1^{k_1})(1+p_2+p_2^2+ \ldots + p_2^{k_2}) \ldots (1+p_n+p_n^2+ \ldots + p_n^{k_n}),</math> где <math>x= p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_n^{k_n},</math> все множители нечётные.
Для нечётного <math>p_i </math> сумма <math> 1+p_i+p_i^2+ \ldots + p_i^{k_i} </math> будет нечётной только при чётном <math>k_i </math>.
Единственное чётное простое число — это 2. Соответствующая сумма <math> 1+2+2^2+\ldots+2^k </math> всегда нечётна.
Слегка избыточное число <math>x </math> является либо полным квадратом числа, либо удвоенным квадратом числа.
См. также
Напишите отзыв о статье "Слегка избыточные числа"
Отрывок, характеризующий Слегка избыточные числа
– Ежели вы отказываетесь для меня, то я боюсь, что на мне…Соня опять перебила его. Она умоляющим, испуганным взглядом посмотрела на него.
– Nicolas, не говорите мне этого, – сказала она.
– Нет, я должен. Может быть это suffisance [самонадеянность] с моей стороны, но всё лучше сказать. Ежели вы откажетесь для меня, то я должен вам сказать всю правду. Я вас люблю, я думаю, больше всех…
– Мне и довольно, – вспыхнув, сказала Соня.
– Нет, но я тысячу раз влюблялся и буду влюбляться, хотя такого чувства дружбы, доверия, любви, я ни к кому не имею, как к вам. Потом я молод. Мaman не хочет этого. Ну, просто, я ничего не обещаю. И я прошу вас подумать о предложении Долохова, – сказал он, с трудом выговаривая фамилию своего друга.
– Не говорите мне этого. Я ничего не хочу. Я люблю вас, как брата, и всегда буду любить, и больше мне ничего не надо.
– Вы ангел, я вас не стою, но я только боюсь обмануть вас. – Николай еще раз поцеловал ее руку.
У Иогеля были самые веселые балы в Москве. Это говорили матушки, глядя на своих adolescentes, [девушек,] выделывающих свои только что выученные па; это говорили и сами adolescentes и adolescents, [девушки и юноши,] танцовавшие до упаду; эти взрослые девицы и молодые люди, приезжавшие на эти балы с мыслию снизойти до них и находя в них самое лучшее веселье. В этот же год на этих балах сделалось два брака. Две хорошенькие княжны Горчаковы нашли женихов и вышли замуж, и тем еще более пустили в славу эти балы. Особенного на этих балах было то, что не было хозяина и хозяйки: был, как пух летающий, по правилам искусства расшаркивающийся, добродушный Иогель, который принимал билетики за уроки от всех своих гостей; было то, что на эти балы еще езжали только те, кто хотел танцовать и веселиться, как хотят этого 13 ти и 14 ти летние девочки, в первый раз надевающие длинные платья. Все, за редкими исключениями, были или казались хорошенькими: так восторженно они все улыбались и так разгорались их глазки. Иногда танцовывали даже pas de chale лучшие ученицы, из которых лучшая была Наташа, отличавшаяся своею грациозностью; но на этом, последнем бале танцовали только экосезы, англезы и только что входящую в моду мазурку. Зала была взята Иогелем в дом Безухова, и бал очень удался, как говорили все. Много было хорошеньких девочек, и Ростовы барышни были из лучших. Они обе были особенно счастливы и веселы. В этот вечер Соня, гордая предложением Долохова, своим отказом и объяснением с Николаем, кружилась еще дома, не давая девушке дочесать свои косы, и теперь насквозь светилась порывистой радостью.
