Квазитрохоидальная траектория

Квазитрохоида́льная траекто́рия — сложная траектория какого-либо объекта имеющего поступательные и вращательные составляющие движения. Подобная траектория именуется квазитрохоидальной, поскольку на малом участке её возможно приблизить трохоидальной кривой.

Примером квазитрохоидальной траектории является траектория летательного аппарата перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси, траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле, траектория вихревого образования в атмосфере и в жидкости, и т. п.

Анализ и сопровождение

В случае жесткого тела, ограничиваются рассмотрением траектории движения лишь одной, принадлежащей ему, точки принятой за реперную. При рассмотрении движения слабо связанных, но имеющих однообразное движение объектов, к примеру, атмосферных завихренностей, рассматривают совокупность реперных точек, наиболее приближающих заданный процесс, и разбитых на группы, например, по степени удаленности от центра вращения. Основная задача при сопровождении рассматриваемых объектов заключается в оценке параметров траектории для выявления их внутренних свойств, и прогнозировании дальнейшего движения.

Получение

Обычно траектории получают проецированием трехмерных координат на плоскость. Двумерные координаты объекта возможно получить двумя способами. При первом способе, входные двумерные координаты привязываются к временным отсчетам, обычно эквидистантным, что существенно упрощает последующие вычисления. Одной из принципиальных особенностей является возможное отсутствие каких-либо измеренных координат в определенные моменты времени, из-за нестабильности наблюдения или действия помех. Примером являются отсчеты координат, полученные РЛС либо оптико-электронной системой выдающей видеоизображение. Во втором способе, используется уже имеющаяся совокупность двумерных координат за какое-то определенное обычно достаточно большое время, в случаях, когда отсутствует связь измеренных координат с моментами времени измерений.

Модель

В параметрическом виде модель измеренного двумерного сигнала (квазитрохоидальной траектории) представляется в виде уравнений:

<math> \left\{\begin{matrix} x(t)=x_c(t)+R(t)\cos(\theta(t))+n_x(t)\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin(\theta(t))+n_y(t) \end{matrix}\right. </math> (1)

где: <math> x_c(t), y_c(t)</math> — координаты поступательной составляющей (центра вращения); <math>R(t)</math> — радиус вращения; <math>\theta(t)</math> — фаза вращения; <math>d\theta/dt=\omega(t)</math> — угловая частота вращения; <math>n_x(t), n_y(t)</math> — шумы измерения и действующие помехи; и т. д. Нестационарные параметры <math>x_c(t), y_c(t), R(t), \theta(t)</math> сигнала (1) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная ф орма записи параметрических уравнений (1). Полагая <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>, можно записать:

<math>z(t)=z_c(t)+R(t)\exp \left( i\theta(t) \right)+n_z(t)</math> (2)

В простейшем случае, при прямолинейном движении центра вращения, при постоянной частоте вращения и отсутствии шумов, будем иметь параметрические уравнения классической двумерной кривой — трохоиды:

<math> \left\{\begin{matrix} x(t)=x_0+v_xt+R\cos(\omega t+\theta_0)\\ y(t)=y_0+v_yt+R\sin(\omega t+\theta_0) \end{matrix}\right. </math> (3)

где: <math> x_0, y_0 </math> — координаты начального положения центра вращения; <math> v_x, v_y </math> — проекции скорости центра вращения; <math> \omega </math> — циклическая частота вращения; <math> \theta_0 </math> — начальная фаза вращения.

Для более сложного случая используют следующую модель, имеющую одну составляющую вращения:

<math> z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_qt^q \right) \exp \left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_mt^m \right) </math> (4)

В общем случае, вращательных составляющих может быть произвольное количество. Применительно к реальным объектам подлежащих распознаванию и сопровождению, например ЛА, обычно бывает достаточно всего двух гармонических членов. Первый отвечает за основное вращение по углу крена, тогда как второй отражает наличие какой-либо дополнительной составляющей второго порядка малости. Подобной гармоникой может быть описано, к примеру, явление флаттера — высокочастотного колебания вращающейся консоли стабилизатора или крыла ЛА. В этом случае одну из моделей можно представить как:

<math> z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \sum_{g=0}^{G-1} \left( \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_{qg}t^q \right) \exp\left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_{mg}t^m \right) \right) </math>

или

<math> z(t)= \sum_{p=0}^{P-1} \left( R_p \exp \left( \alpha_p t \right ) \right ) + \sum_{m=0}^{M-1} \exp\left( i \omega_m t + \theta_m \right) </math>

где: <math> G </math> — количество вращательных составляющих;

Для слежения за объектами необходимо выделение составляющих параметров траектории, таких как: координаты центра вращения, частоты вращения, текущей фаза вращения, радиуса вращения. По этим параметрам возможно решение задачи распознавания объекта, прогнозирования движения в случае пропадания координат, формирования модельной сглаженной траектории и др. Также, процесс измерения координат подвержен воздействию пассивных и активных помех, в результате действия которых появляются ошибки в измерениях либо отсутствие достоверных измеренных координат.

Литература

1. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
2. Karamov S.V. Modified Prony Method for Tracking Trochoidal trajectories // 8th International conference «Pattern Recognition and Image Analyses: New Information Technologies» Yoshkar-Ola, 2007. — Vol. 1. — P. 310—313.
3. Карамов С. В. Методы идентификации параметров трохоидальной траектории летательного аппарата // VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Труды. -М.: ИПУ РАН, 2007, -С. 293—323.
4. Карамов С. В. Методы сопровождения объектов имеющих квазитрохоидальные траектории // 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2008 г. Т.2, 659-662C.

Ссылки

• [physics.nad.ru/curves.html Циклоидальные кривые]

Отрывок, характеризующий Квазитрохоидальная траектория

На другой день после совета Наполеон, рано утром, притворяясь, что хочет осматривать войска и поле прошедшего и будущего сражения, с свитой маршалов и конвоя ехал по середине линии расположения войск. Казаки, шнырявшие около добычи, наткнулись на самого императора и чуть чуть не поймали его. Ежели казаки не поймали в этот раз Наполеона, то спасло его то же, что губило французов: добыча, на которую и в Тарутине и здесь, оставляя людей, бросались казаки. Они, не обращая внимания на Наполеона, бросились на добычу, и Наполеон успел уйти.
Когда вот вот les enfants du Don [сыны Дона] могли поймать самого императора в середине его армии, ясно было, что нечего больше делать, как только бежать как можно скорее по ближайшей знакомой дороге. Наполеон, с своим сорокалетним брюшком, не чувствуя в себе уже прежней поворотливости и смелости, понял этот намек. И под влиянием страха, которого он набрался от казаков, тотчас же согласился с Мутоном и отдал, как говорят историки, приказание об отступлении назад на Смоленскую дорогу.
То, что Наполеон согласился с Мутоном и что войска пошли назад, не доказывает того, что он приказал это, но что силы, действовавшие на всю армию, в смысле направления ее по Можайской дороге, одновременно действовали и на Наполеона.


Когда человек находится в движении, он всегда придумывает себе цель этого движения. Для того чтобы идти тысячу верст, человеку необходимо думать, что что то хорошее есть за этими тысячью верст. Нужно представление об обетованной земле для того, чтобы иметь силы двигаться.
Обетованная земля при наступлении французов была Москва, при отступлении была родина. Но родина была слишком далеко, и для человека, идущего тысячу верст, непременно нужно сказать себе, забыв о конечной цели: «Нынче я приду за сорок верст на место отдыха и ночлега», и в первый переход это место отдыха заслоняет конечную цель и сосредоточивает на себе все желанья и надежды. Те стремления, которые выражаются в отдельном человеке, всегда увеличиваются в толпе.
Для французов, пошедших назад по старой Смоленской дороге, конечная цель родины была слишком отдалена, и ближайшая цель, та, к которой, в огромной пропорции усиливаясь в толпе, стремились все желанья и надежды, – была Смоленск. Не потому, чтобы люди знала, что в Смоленске было много провианту и свежих войск, не потому, чтобы им говорили это (напротив, высшие чины армии и сам Наполеон знали, что там мало провианта), но потому, что это одно могло им дать силу двигаться и переносить настоящие лишения. Они, и те, которые знали, и те, которые не знали, одинаково обманывая себя, как к обетованной земле, стремились к Смоленску.
Выйдя на большую дорогу, французы с поразительной энергией, с быстротою неслыханной побежали к своей выдуманной цели. Кроме этой причины общего стремления, связывавшей в одно целое толпы французов и придававшей им некоторую энергию, была еще другая причина, связывавшая их. Причина эта состояла в их количестве. Сама огромная масса их, как в физическом законе притяжения, притягивала к себе отдельные атомы людей. Они двигались своей стотысячной массой как целым государством.
Каждый человек из них желал только одного – отдаться в плен, избавиться от всех ужасов и несчастий. Но, с одной стороны, сила общего стремления к цели Смоленска увлекала каждою в одном и том же направлении; с другой стороны – нельзя было корпусу отдаться в плен роте, и, несмотря на то, что французы пользовались всяким удобным случаем для того, чтобы отделаться друг от друга и при малейшем приличном предлоге отдаваться в плен, предлоги эти не всегда случались. Самое число их и тесное, быстрое движение лишало их этой возможности и делало для русских не только трудным, но невозможным остановить это движение, на которое направлена была вся энергия массы французов. Механическое разрывание тела не могло ускорить дальше известного предела совершавшийся процесс разложения.
Ком снега невозможно растопить мгновенно. Существует известный предел времени, ранее которого никакие усилия тепла не могут растопить снега. Напротив, чем больше тепла, тем более крепнет остающийся снег.
Из русских военачальников никто, кроме Кутузова, не понимал этого. Когда определилось направление бегства французской армии по Смоленской дороге, тогда то, что предвидел Коновницын в ночь 11 го октября, начало сбываться. Все высшие чины армии хотели отличиться, отрезать, перехватить, полонить, опрокинуть французов, и все требовали наступления.
Кутузов один все силы свои (силы эти очень невелики у каждого главнокомандующего) употреблял на то, чтобы противодействовать наступлению.
Он не мог им сказать то, что мы говорим теперь: зачем сраженье, и загораживанье дороги, и потеря своих людей, и бесчеловечное добиванье несчастных? Зачем все это, когда от Москвы до Вязьмы без сражения растаяла одна треть этого войска? Но он говорил им, выводя из своей старческой мудрости то, что они могли бы понять, – он говорил им про золотой мост, и они смеялись над ним, клеветали его, и рвали, и метали, и куражились над убитым зверем.
Под Вязьмой Ермолов, Милорадович, Платов и другие, находясь в близости от французов, не могли воздержаться от желания отрезать и опрокинуть два французские корпуса. Кутузову, извещая его о своем намерении, они прислали в конверте, вместо донесения, лист белой бумаги.