Квазициклическая группа

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Также её называют p-группой Прюфера, в честь немецкого математика Хайнца Прюфера, и обозначают как Z(p^∞).

Квазициклическая p-группа может быть представлена как подгруппа U(1), состоящая из комплексных корней из единицы степени pⁿ, где n пробегает все натуральные числа:

<math>\mathbb{Z}(p^\infty)=\{\exp(2\pi i m/p^n) \mid m\in \mathbb{N},\,n\in \mathbb{N}\}.\;</math>

Эквивалентным образом, квазициклическую p-группу можно рассматривать как подгруппу Q/Z, состоящую из элементов, порядок которых является степенью p:

<math>\mathbb{Z}(p^\infty) = \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}.</math>

Также p-группа Прюфера может быть задана образующими и соотношениями:

<math>\mathbb{Z}(p^\infty) = \langle\, g_1, g_2, g_3, \ldots \mid g_1^p = 1, g_2^p = g_1, g_3^p = g_2, \dots\,\rangle.</math>

Квазициклическая p-группа — это единственная бесконечная p-группа, являющаяся локально циклической (то есть такой, что любое конечное подмножество её элементов порождает циклическую группу). Нетрудно видеть, что все собственные подгруппы квазициклической группы являются циклическими.

Квазициклическая группа является полной.

В теории локально компактных топологических групп, квазициклическая p-группа, снабжённая дискретной топологией, является двойственной по Понтрягину к компактной группе p-адических чисел.

Квазициклические p-группы, для всевозможных простых p — это единственные бесконечные группы, такие что множество их подгрупп линейно упоядочено по вложению:

<math>0 \subset \mathbf{Z}/p \subset \mathbf{Z}/p^2 \subset \mathbf{Z}/p^3 \subset \cdots \subset \mathbf{Z}(p^\infty).</math>

На этой цепочке включений p-группа Прюфера представлена как прямой предел своих конечных подгрупп.

Как <math>\mathbb Z</math>-модуль, p-группа Прюфера является артиновой, но не является нётеровой (аналогично, она является артиновой, но не нётеровой группой). В таком качестве она является контрпримером к возможному утверждению о том, что любой артинов модуль нётеров (в то время как любое артиново кольцо действительно является нётеровым).

Ссылки

• [planetmath.org/encyclopedia/quasicyclicgroup.html quasicyclic group] (англ.) на сайте PlanetMath.
• Н. Н. Вильямс. [mathworld.wolfram.com/Quasi-cyclic_group.html Quasi-cyclic group] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Jacobson, Nathan. Basic Algebra. — Dover, 2009. — ISBN 978-0-486-47187-7.
• Pierre Antoine Grillet. Abstract Algebra. — Springer, 2007. — ISBN 978-0-387-71567-4.
• D. L. Armacost and W. L. Armacost. [projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102968274 On p-thetic groups] (англ.) // Pacific J. Math.. — 1972. — Vol. 41, no. 2. — P. 295–301.

Отрывок, характеризующий Квазициклическая группа

В начале июля в Москве распространялись все более и более тревожные слухи о ходе войны: говорили о воззвании государя к народу, о приезде самого государя из армии в Москву. И так как до 11 го июля манифест и воззвание не были получены, то о них и о положении России ходили преувеличенные слухи. Говорили, что государь уезжает потому, что армия в опасности, говорили, что Смоленск сдан, что у Наполеона миллион войска и что только чудо может спасти Россию.
11 го июля, в субботу, был получен манифест, но еще не напечатан; и Пьер, бывший у Ростовых, обещал на другой день, в воскресенье, приехать обедать и привезти манифест и воззвание, которые он достанет у графа Растопчина.
В это воскресенье Ростовы, по обыкновению, поехали к обедне в домовую церковь Разумовских. Был жаркий июльский день. Уже в десять часов, когда Ростовы выходили из кареты перед церковью, в жарком воздухе, в криках разносчиков, в ярких и светлых летних платьях толпы, в запыленных листьях дерев бульвара, в звуках музыки и белых панталонах прошедшего на развод батальона, в громе мостовой и ярком блеске жаркого солнца было то летнее томление, довольство и недовольство настоящим, которое особенно резко чувствуется в ясный жаркий день в городе. В церкви Разумовских была вся знать московская, все знакомые Ростовых (в этот год, как бы ожидая чего то, очень много богатых семей, обыкновенно разъезжающихся по деревням, остались в городе). Проходя позади ливрейного лакея, раздвигавшего толпу подле матери, Наташа услыхала голос молодого человека, слишком громким шепотом говорившего о ней:
– Это Ростова, та самая…
– Как похудела, а все таки хороша!
Она слышала, или ей показалось, что были упомянуты имена Курагина и Болконского. Впрочем, ей всегда это казалось. Ей всегда казалось, что все, глядя на нее, только и думают о том, что с ней случилось. Страдая и замирая в душе, как всегда в толпе, Наташа шла в своем лиловом шелковом с черными кружевами платье так, как умеют ходить женщины, – тем спокойнее и величавее, чем больнее и стыднее у ней было на душе. Она знала и не ошибалась, что она хороша, но это теперь не радовало ее, как прежде. Напротив, это мучило ее больше всего в последнее время и в особенности в этот яркий, жаркий летний день в городе. «Еще воскресенье, еще неделя, – говорила она себе, вспоминая, как она была тут в то воскресенье, – и все та же жизнь без жизни, и все те же условия, в которых так легко бывало жить прежде. Хороша, молода, и я знаю, что теперь добра, прежде я была дурная, а теперь я добра, я знаю, – думала она, – а так даром, ни для кого, проходят лучшие годы». Она стала подле матери и перекинулась с близко стоявшими знакомыми. Наташа по привычке рассмотрела туалеты дам, осудила tenue [манеру держаться] и неприличный способ креститься рукой на малом пространстве одной близко стоявшей дамы, опять с досадой подумала о том, что про нее судят, что и она судит, и вдруг, услыхав звуки службы, ужаснулась своей мерзости, ужаснулась тому, что прежняя чистота опять потеряна ею.